2020年高考理科數(shù)學(xué)《不等式選講》題型歸納與訓(xùn)練

11112020年高考理科數(shù)學(xué)《不等式選講》題型歸納與訓(xùn)練題型歸納】題型一解絕對(duì)值不等式例1、設(shè)函數(shù)f(xA|hl|+|h2.(1解不等式f(x)>3;(2若f(x}>a對(duì)xgR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【答案】(1)(一刃0)U(3+g)(2)(一刃1).32x,xv1,【解析】(1因?yàn)閒(x=|一11+|x-2|=1,1Cx<2,2x-3,x>2.所以當(dāng)xv1時(shí)，3-2x>3,解得xv0；當(dāng)1<<2時(shí)，f(x>3無解；當(dāng)x>2時(shí)，2x-3>3，解得x>3.所以不等式f(x>3的解集為(-刃0)U(3+x)?32x,xv1,(2因?yàn)閒(x=1,<x<2,所以f(x)=1.min2x-3,x>2.因?yàn)閒(x>a恒成立，【易錯(cuò)點(diǎn)】如何恰當(dāng)?shù)娜サ艚^對(duì)值符號(hào)【思維點(diǎn)撥】用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：(1)求零點(diǎn)；(2)劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；(3)分別解去掉絕對(duì)值的不等式；(4)取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值.題型二利用絕對(duì)值的幾何意義或圖象解不等式例2、(1若不等式|—1+$+2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】⑴-]-/7一1+嚴(yán)-【解析】(1)V|x-11+|x+2|〉|-1)—(x-2)=3,.?.a2+^a+2<3解得即實(shí)數(shù)a的取值范圍是易錯(cuò)點(diǎn)】絕對(duì)值的幾何意義和如何把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題【思維點(diǎn)撥】解含參數(shù)的不等式存在性問題，只要求出存在滿足條件為即可；不等式的恒成立問題，可3333v|c-d|的充要條件.v|c-d|的充要條件.轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)<af亙成立oa>f(x),f(x)>a恒成立oa<f(x)?maxmin題型三不等式的證明與應(yīng)用例3、設(shè)a，b,c,d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明：⑴若ab>cd,貝「a+b>c+d；【答案】略.【解析】［證明］(1)因?yàn)?、.ya+\；b)2=a+b+2斗1ab(恭+\?'d)2=c+d+2、.!td,由題設(shè)a+b=c+d,ab>cd得(..；a+飛冋2>(#+飛砂2?因此翻+^.b>'c+jcl(2)①若|a—b|v|c-d|,【J(a—b)2<(c—d)2,卩(a+b)2—4ab<(+c)2—4cd.因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd?由(1)得才a+rJb>:c+rJd.②若嗣+衲>卡+辺，貝1」(逅+一朋2>(占+一衛(wèi)2,艮卩a+b+2；ab>c+d+2討1cd.因?yàn)閍+b=c+d,所以ab>cd于是(a—b)2=(a+b)2—4ab<(+c)2—4cd=(c—d)2?因此|a—b|<|c—d|.綜上，十a(chǎn)+i；b>jc+討d是|a—b|<|c-d|的充要條件.【易錯(cuò)點(diǎn)】不等式的亙等變形.【思維點(diǎn)撥】分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆．鞏固訓(xùn)練】題型一解絕對(duì)值不等式1?不等式|x—1|+|x+2|>5的解集為【答案】{x|峑一3或x>2}.[(x—1)+(x+2)>5「—2?<1,或｛—(x-1)+(x+2)>5

或產(chǎn)-2，或]-(x-1)-(x+2)>5,解得x>2或x<-3.故原不等式的解集為{x|峑一3或x>2}?2?已知函數(shù)f(x)=|x+a|+|x—2|.當(dāng)a=—3時(shí)，求不等式f(x)>3的解集；若f(x)<|x—4的解集包含[1,2],求a的取值范圍【答案】(1){x|Xl或x>4};(2)[—3,0]?p—2x+5,x<2,【解析】(1)當(dāng)a=—3時(shí)，f(x)Ll,2?<3I2x—5,x>3.當(dāng)x<2時(shí)，由f(x)>3得一2x+5>3,解得x<l；當(dāng)2<x<3時(shí)，f(x)>3無解；當(dāng)x>3時(shí)，由f(x)>3得2x—5>3，解得x>4；所以f(x)>3的解集為{x|峑1或x>4}?(2)f(M<|x—4Q|x—4|—|x—2|>|x+a|.當(dāng)x^[1,2]時(shí)，|x—4|—|x—2|>|x+a|°4—x—(2—x)>|x+a|o—2—a<x<2—a.由條件得一2—a<1且2—a>2，即一3<a<0.故滿足條件的a的取值范圍為[―3,0]?當(dāng)a=—5時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，試求a的取值范圍.【答案】(1)(—^,—2]U[3,+^)；(2)a>—3.【解析】(1)由題設(shè)知|x+11+|x—2|_5>0,如圖，在同一坐標(biāo)系中作出1函數(shù)|x+1|+|x—2和y=5的圖象，知定義域?yàn)?一a,—2]U[3,+s).(2)由題設(shè)知，當(dāng)x^R時(shí)，恒有|x+11+|x—2|+a>0,艮P|x+1|+|x—2|>—a，又由(1)知儀+1|+|x—2|>3,所以一a<3,即a>—3.題型二利用絕對(duì)值的幾何意義或圖象解不等式1?已知函數(shù)f(x)=x+1—2x-3i（2（2）求不等式f（x）|>1的解集.（2（2）求不等式f（x）|>1的解集.【答案】⑴見解析⑵r，為九瀘‘【答案】⑴見解析⑵r，為九瀘‘+』31⑵當(dāng)-1<X<2,3x-2>1,解得x>1或x33當(dāng)x>^,x一4>1解得x>5或x<3,綜上，x<A1<x<3或x>5,.f<x）>1解集利-皙M丸（5汁J2?不等式|x+1|—|x—2|>k勺解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是?【答案】（一8，—3）【解析】解法一：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù)<，—1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P,A,B,則原不等式等價(jià)于PA—PB>k恒成立.VAB=3,即|x+1—|x—2|>—3故當(dāng)k<—3時(shí)，原不等式恒成立.解法二：令y=|x+1|—|x—2，p—3，x<—1，則y=<2x—1，—1<x<2I3，x>2，55要使|x+1|—|x—2|>k旦成立，從圖象中可以看出，只要《—3即可?故k<—3滿足題意.題型三不等式的證明與應(yīng)用1.已知a、b、c^R，且a+b+c=1；求證：(1+a)(1+b)(1+c)>8(1—a)(1—b)(1—c).答案】略.【解析】證明：因?yàn)閍、b、c^R，且a+b+c=1,所以要證原不等式成立,即證[(a+b+c)+a][(a+b+c)+b][(a+b+c)+c]>8[(a＋b＋c)—a][(a＋b＋c)—b][(a＋b＋c)—c]，也就是證[(a+b)+(c+a)][(a+b)+(b+c)][(c+a)+(b+c)]>8(b+c)(c+a)(a+b)?①因?yàn)?a+b)+(b+c)>2、,：(a十b)(b十c)〉0,三式相乘得①式成立，故原不等式得證2.設(shè)a、b、c、d均為正數(shù)，且a+b=c+d,證明:答案】略.【解析】證明(1)因?yàn)閊,'a十,■b)2=a+b+^abl-d)2=c+d+2J^cd,由題設(shè)a+b=c+d,ab〉cd得(飛⑥十；b)2〉(、c+、d)2?因此、:a十護(hù)〉\疋十護(hù)(2)①若|a—b|<|c—d|,貝0(a—b)2<(c—d)2,即(a+b)2—4ab<(c+d)2—4cd.因?yàn)閍+b=c+d,所以ab〉cd.由(1)得陌十輕〉、.c十,-dl②若叮屮十.0，貝I」(叩百十.*慟2〉(店十申)2,即a+b+2pab〉c+d+2jcd?因?yàn)閍+b=c+d,所以ab〉cd,于是(a—b)2=(a+b)2—4ab<(c+d)2—4cd=(c—d)2.因此|a—b|v|c—d|.綜上,閆仁?〉、,.d是|a-b|v|c-d|的充要條件.3?設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a+b+c=1證明:1(1)ab^bc+ac<3；答案】略.【解析】(1)由a2+bN2abbp+c2N2bcc2+a2>