南京市2017屆高三年級三模數(shù)學(xué)卷

南京市2017屆高三年級三模數(shù)學(xué)卷南京市2017屆高三年級三模數(shù)學(xué)卷南京市2017屆高三年級三模數(shù)學(xué)卷V:1.0精細整理，僅供參考南京市2017屆高三年級三模數(shù)學(xué)卷日期：20xx年X月南京市2017屆高三年級第三次模擬考試數(shù)學(xué)注意事項：1．本試卷共4頁，包括填空題（第1題~第14題）、解答題（第15題~第20題）兩部分．本試卷滿分為160分，考試時間為120分鐘．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、學(xué)校寫在答題卡上．試題的答案寫在答題卡上對應(yīng)題目的答案空格內(nèi)．考試結(jié)束后，交回答題卡．參考公式：方差s2＝eq\f(1,n)[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－)2]，其中eq\x\to(x)為x1，x2，…，xn的平均數(shù)．柱體的體積公式：V＝Sh，其中S為柱體的底面積，h為柱體的高．錐體的體積公式：V＝eq\F(1,3)Sh，其中S為錐體的底面積，h為錐體的高．一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上．1．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，4}，B＝{3，4}，則?EQ\s\do2(U)(A∪B)＝▲．2．甲盒子中有編號分別為1，2的2個乒乓球，乙盒子中有編號分別為3，4，5，6的4個乒乓球．現(xiàn)分別從兩個盒子中隨機地各取出1個乒乓球，則取出的乒乓球的編號之和大于6的概率為▲．（第4題圖）ReadxIfx≥0Theny←2EQ\s\up4()Elsey←2－x2（第4題圖）ReadxIfx≥0Theny←2EQ\s\up4()Elsey←2－x2EndIfPrinty復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為▲．4．執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出y的值為1，則輸入x的值為▲．7790894810779089481035甲乙（第5題圖）6．在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝sin(x＋eq\F(π,3))（x∈[0，2π]）的圖象和直線y＝eq\F(1,2)的交點的個數(shù)是▲．7．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線eq\F(x2,2m2)－eq\F(y2,3m)＝1的焦距為6，則所有滿足條件的實數(shù)m構(gòu)成的集合是▲．ACBA1B1C1D（第10題圖）8．已知函數(shù)f(x)是定義在R上且周期為4的偶函數(shù)．當(dāng)x∈[2，4]時，f(x)＝|log4(ACBA1B1C1D（第10題圖）則f(eq\f(1,2))的值為▲．9．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a3－a1＝2，則a5的最小值為▲．10．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，點D為側(cè)棱BB1上的動點．當(dāng)AD＋DC1最小時，三棱錐D－ABC1的體積為▲．11．（2017南京三模）若函數(shù)f(x)＝ex(－x2＋2x＋a)在區(qū)間[a，a＋1]上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的最大值為▲．12．（2017南京三模）在凸四邊形ABCD中，BD＝2，且eq\o(AC,\s\up7(→))·eq\o(BD,\s\up7(→))＝0，(eq\o(AB,\s\up7(→))＋eq\o(\s\up7(→),DC))?(eq\o(\s\up7(→),BC)＋eq\o(\s\up7(→),AD))＝5，則四邊形ABCD的面積為▲．13.（2017南京三模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x＋a＋3)2＋(y－2a)2＝1(a為實數(shù))．若圓O與圓M上分別存在點P，Q，使得∠OQP＝30，則a的取值范圍為▲．14．（2017南京三模）已知a，b，c為正實數(shù)，且a＋2b≤8c，EQ\F(2,a)＋EQ\F(3,b)≤EQ\F(2,c)，則EQ\F(3a＋8b,c)的取值范圍為▲．ABCFED（第15題圖）二、解答題：本大題共6小題，共計90分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答ABCFED（第15題圖）15．（2017南京三模）（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐A－BCD中，E，F(xiàn)分別為棱BC，CD上的點，且BD∥平面AEF．（1）求證：EF∥平面ABD；（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求證：平面AEF⊥平面ACD．16．（2017南京三模）（本小題滿分14分）已知向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，α∈(0，EQ\F(π,2))．（1）若a－b＝(eq\f(2,5)，0)，求t的值；（2）若t＝1，且a?b＝1，求tan(2α＋EQ\F(π,4))的值．CBA水域看臺Ⅰ表演臺看臺ⅡDE（第17題圖）17．（2017南京三模）（本小題滿分14分）在一水域上建一個演藝廣場．演藝廣場由看臺Ⅰ，看臺Ⅱ，三角形水域ABC，及矩形表演臺BCDE四個部分構(gòu)成（如圖）．看臺Ⅰ，看臺Ⅱ是分別以AB，AC為直徑的兩個半圓形區(qū)域，且看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍；矩形表演臺BCDE中，CD＝10米；三角形水域ABC的面積為400eq\R(,CBA水域看臺Ⅰ表演臺看臺ⅡDE（第17題圖）（1）求BC的長（用含θ的式子表示）；（2）若表演臺每平方米的造價為萬元，求表演臺的最低造價．xyOCBDMA（第18題圖）18．（2017南京三模）（本小題滿分16分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點分別為A，B，M為線段AB的中點，且eq\o(OM,\s\up7(→))eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(3,2)b2．xyOCBDMA（第18題圖）（1）求橢圓的離心率；（2）已知a＝2，四邊形ABCD內(nèi)接于橢圓，AB∥DC．記直線AD，BC的斜率分別為k1，k2，求證：k1·k2為定值．19．（2017南京三模）（本小題滿分16分）已知常數(shù)p＞0，數(shù)列{an}滿足an＋1＝|p－an|＋2an＋p，n∈N*．（1）若a1＝－1，p＝1，=1\*GB3①求a4的值；=2\*GB3②求數(shù)列{an}的前n項和Sn．（2）若數(shù)列{an}中存在三項ar，as，at(r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差數(shù)列，求eq\F(a1,p)的取值范圍．20．（2017南京三模）（本小題滿分16分）已知λ∈R，函數(shù)f(x)＝ex－ex－λ(xlnx－x＋1)的導(dǎo)函數(shù)為g(x)．（1）求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程；（2）若函數(shù)g(x)存在極值，求λ的取值范圍；（3）若x≥1時，f(x)≥0恒成立，求λ的最大值．南京市2017屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)參考答案及評分標(biāo)準1．{2}2．EQ\F(3,8)3．EQ\r(,5)4．－15．6．27．{eq\F(3,2)}8．eq\f(1,2)9．810．eq\f(1,3)11．EQ\F(－1＋\r(5),2)12．313．[－eq\f(6,5)，0]14．[27，30]二、解答題（本大題共6小題，計90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）15．（本小題滿分14分）證明：（1）因為BD∥平面AEF，BD平面BCD，平面AEF∩平面BCD＝EF，所以BD∥EF．……3分因為BD平面ABD，EF平面ABD，所以EF∥平面ABD．……6分（2）因為AE⊥平面BCD，CD平面BCD，所以AE⊥CD．……8分因為BD⊥CD，BD∥EF，所以CD⊥EF，……10分又AE∩EF＝E，AE平面AEF，EF平面AEF，所以CD⊥平面AEF．……12分又CD平面ACD，所以平面AEF⊥平面ACD．……14分16．（本小題滿分14分）解：（1）因為向量a＝(2cosα，sin2α)，b＝(2sinα，t)，且a－b＝(eq\f(2,5)，0)，所以cosα－sinα＝eq\f(1,5)，t＝sin2α．……2分由cosα－sinα＝eq\f(1,5)得(cosα－sinα)2＝eq\f(1,25)，即1－2sinαcosα＝eq\f(1,25)，從而2sinαcosα＝eq\f(24,25)．所以(cosα＋sinα)2＝1＋2sinαcosα＝eq\f(49,25)．因為α∈(0，EQ\F(π,2))，所以cosα＋sinα＝eq\f(7,5)．……5分所以sinα＝eq\f((cosα＋sinα)－(cosα－sinα),2)＝eq\f(3,5)，從而t＝sin2α＝eq\f(9,25)．……7分（2）因為t＝1，且a?b＝1，所以4sinαcosα＋sin2α＝1，即4sinαcosα＝cos2α．因為α∈(0，EQ\F(π,2))，所以cosα≠0，從而tanα＝EQ\F(1,4)．……9分所以tan2α＝EQ\F(2tanα,1－tan2α)＝EQ\F(8,15)．……11分從而tan(2α＋EQ\F(π,4))＝EQ\F(tan2α＋tanEQ\F(π,4),1－tan2αtanEQ\F(π,4))＝EQ\F(EQ\F(8,15)＋1,1－EQ\F(8,15))＝EQ\F(23,7)．……14分17．（本小題滿分14分）解：（1）因為看臺Ⅰ的面積是看臺Ⅱ的面積的3倍，所以AB＝eq\r(3)AC．在△ABC中，S△ABC＝eq\f(1,2)AB?AC?sinθ＝400eq\r(3)，所以AC2＝eq\f(800,sinθ)．……3分由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB?AC?cosθ，＝4AC2－2eq\r(3)AC2cosθ＝(4－2eq\r(3)cosθ)eq\f(800,sinθ)，即BC＝eq\r((4－2eq\r(3)cosθ)?eq\f(800,sinθ))＝40eq\r(eq\f(2－eq\r(3)cosθ,sinθ))．所以BC＝40eq\r(eq\f(2－eq\r(3)cosθ,sinθ))，θ∈(0，π)．……7分（2）設(shè)表演臺的總造價為W萬元．因為CD＝10m，表演臺每平方米的造價為萬元，所以W＝3BC＝120eq\r(eq\f(2－eq\r(3)cosθ,sinθ))，θ∈(0，π)．……9分記f(θ)＝eq\f(2－eq\r(3)cosθ,sinθ)，θ∈(0，π)．則f′(θ)＝eq\f(eq\r(3)－2cosθ,sin2θ)．……11分由f′(θ)＝0，解得θ＝eq\f(π,6)．當(dāng)θ∈(0，eq\f(π,6))時，f′(θ)＜0；當(dāng)θ∈(eq\f(π,6)，π)時，f′(θ)＞0．故f(θ)在(0，eq\f(π,6))上單調(diào)遞減，在(eq\f(π,6)，π)上單調(diào)遞增，從而當(dāng)θ＝eq\f(π,6)時，f(θ)取得最小值，最小值為f(eq\f(π,6))＝1．所以Wmin＝120(萬元)．答：表演臺的最低造價為120萬元．……14分18．（本小題滿分16分）解：（1）A(a，0)，B(0，b)，由M為線段AB的中點得M(eq\f(a,2)，eq\f(b,2))．所以eq\o(OM,\s\up7(→))＝(eq\f(a,2)，eq\f(b,2))eq\o(AB,\s\up7(→))＝(－a，b)．因為eq\o(OM,\s\up7(→))·eq\o(AB,\s\up7(→))＝－eq\f(3,2)b2，所以(eq\f(a,2)，eq\f(b,2))·(－a，b)＝－eq\f(a2,2)＋eq\f(b2,2)＝－eq\f(3,2)b2，整理得a2＝4b2，即a＝2b．……3分因為a2＝b2＋c2，所以3a2＝4c2，即eq\r(3)a＝2c．所以橢圓的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(eq\r(3),2)．……5分（2）方法一：由a＝2得b＝1，故橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1．從而A(2，0)，B(0，1)，直線AB的斜率為－eq\f(1,2)．……7分因為AB∥DC，故可設(shè)DC的方程為y＝－eq\f(1,2)x＋m．設(shè)D(x1，y1)，C(x2，y2)．聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\al(y＝－eq\f(1,2)x＋m，,eq\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得x2－2mx＋2m2－2＝0，所以x1＋x2＝2m，從而x1＝2m－x2．………9分直線AD的斜率k1＝eq\f(y1,x1－2)＝eq\f(－eq\f(1,2)x1＋m,x1－2)，直線BC的斜率k2＝eq\f(y2－1,x2)＝eq\f(－eq\f(1,2)x2＋m－1,x2)，………………11分所以k1k2＝eq\f(－eq\f(1,2)x1＋m,x1－2)·eq\f(－eq\f(1,2)x2＋m－1,x2)＝eq\f(eq\f(1,4)x1x2－eq\f(1,2)(m－1)x1－eq\f(1,2)mx2＋m(m－1),(x1－2)x2)＝eq\f(eq\f(1,4)x1x2－eq\f(1,2)m(x1＋x2)＋eq\f(1,2)x1＋m(m－1),x1x2－2x2)＝eq\f(eq\f(1,4)x1x2－eq\f(1,2)m2m＋eq\f(1,2)(2m－x2)＋m(m－1),x1x2－2x2)＝eq\f(eq\f(1,4)x1x2－eq\f(1,2)x2,x1x2－2x2)＝eq\f(1,4)，即k1·k2為定值eq\f(1,4)．………16分方法二：由a＝2得b＝1，故橢圓方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1．從而A(2，0)，B(0，1)，直線AB的斜率為－eq\f(1,2)．……7分設(shè)C(x0，y0)，則eq\f(x02,4)＋y02＝1．因為AB∥CD，故CD的方程為y＝－eq\f(1,2)(x－x0)＋y0．聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\al(y＝－eq\f(1,2)(x－x0)＋y0，,eq\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y，得x2－(x0＋2y0)x＋2x0y0＝0，解得x＝x0（舍去）或x＝2y0．所以點D的坐標(biāo)為(2y0，eq\f(1,2)x0)．………13分所以k1·k2＝eq\f(eq\f(1,2)x0,2y0－2)·eq\f(y0－1,x0)＝eq\f(1,4)，即k1·k2為定值eq\f(1,4)．………16分19．（本小題滿分16分）解：（1）因為p＝1，所以an＋1＝|1－an|＋2an＋1．=1\*GB3①因為a1＝－1，所以a2＝|1－a1|＋2a1＋1＝1，a3＝|1－a2|＋2a2＋1＝3，a4＝|1－a3|＋2a3＋1＝9．……………3分=2\*GB3②因為a2＝1，an＋1＝|1－an|＋2an＋1，所以當(dāng)n≥2時，an≥1，從而an＋1＝|1－an|＋2an＋1＝an－1＋2an＋1＝3an，于是有an＝3n－2(n≥2)．…5分當(dāng)n＝1時，S1＝－1；當(dāng)n≥2時，Sn＝－1＋a2＋a3＋…＋an＝－1＋eq\F(1－3n－1,1－3)＝eq\F(3n－1－3,2)．所以Sn＝eq\b\lc\{(\a\al(1，n＝1，,eq\F(3n－1－3,2)，n≥2，n∈N*，))即Sn＝eq\F(3n－1－3,2)，n∈N*．…………8分（2）因為an＋1－an＝|p－an|＋an＋p≥p－an＋an＋p＝2p＞0，所以an＋1＞an，即{an}單調(diào)遞增．…………10分（i）當(dāng)eq\F(a1,p)≥1時，有a1≥p，于是an≥a1≥p，所以an＋1＝|p－an|＋2an＋p＝an－p＋2an＋p＝3an，所以an＝3n－1a1．若{an}中存在三項ar，as，at(r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差數(shù)列，則有2as＝ar＋at，即2×3s－1＝3r－1＋3t－1．（*），因為s≤t－1，所以2×3s－1＝eq\f(2,3)×3s＜3t－1＜3r－1＋3t－1，即（*）不成立．故此時數(shù)列{an}中不存在三項依次成等差數(shù)列．………12分（ii）當(dāng)－1＜eq\F(a1,p)＜1時，有－p＜a1＜p．此時a2＝|p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2a1＋p＝a1＋2p＞p，于是當(dāng)n≥2時，an≥a2＞p，從而an＋1＝|p－an|＋2an＋p＝an－p＋2an＋p＝3an．所以an＝3n－2a2＝3n－2(a1＋2p)(n≥2)．若{an}中存在三項ar，as，at(r，s，t∈N*，r＜s＜t)依次成等差數(shù)列，同（i）可知，r＝1，于是有2×3s－2(a1＋2p)＝a1＋3t－2(a1＋2p)．因為2≤s≤t－1，所以eq\F(a1,a1＋2p)＝2×3s－2－3t－2＝eq\f(2,9)×3s－eq\f(1,3)×3t－1＜0．因為2×3s－2－3t－2是整數(shù)，所以eq\F(a1,a1＋2p)≤－1，于是a1≤－a1－2p，即a1≤－p，與－p＜a1＜p相矛盾．故此時數(shù)列{an}中不存在三項依次成等差數(shù)列．…14分（iii）當(dāng)eq\F(a1,p)≤－1時，則有a1≤－p＜p，a1＋p≤0，于是a2＝|p－a1|＋2a1＋p＝p－a1＋2a1＋p＝a1＋2p，a3＝|p－a2|＋2a2＋p＝|p＋a1|＋2a1＋5p＝－p－a1＋2a1＋5p＝a1＋4p，此時有a1，a2，a3成等差數(shù)列．綜上可知：eq\F(a1,p)≤－1．………………16分20．（本小題滿分16分）解：（1）因為f′(x)＝ex－e－λlnx，所以曲線y＝f(x)在x＝1處的切線的斜率為f′(1)＝0，又切點為(1，f(1))，即(1，0)，所以切線方程為y＝0．…………2分（2）g(x)＝ex－e－λlnx，g′(x)＝ex－eq\F(λ,x)．當(dāng)λ≤0時，g′(x)＞0恒成立，從而g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故此時g(x)無極值．…………4分當(dāng)λ＞0時，設(shè)h(x)＝ex－eq\F(λ,