201641高等代數(shù)(二)作業(yè)(高起本)

高等代數(shù)（二）作業(yè)一、以下判斷是否正確，并說明理由1、實(shí)數(shù)域R可以看成復(fù)數(shù)域C上的向量空間。2、一個(gè)向量組若有線性無關(guān)的部分向量組，則該向量組線性無關(guān)。3、若矩陣A與B相似，則A與B的特征值相同。4、(xx1 2

,x)(x3

x,x2

x,x3

xR3上的線性變換。12 0 2 5、若二次型的矩陣是0 1 4，則二次型為 2 4 f(x,x1 2

,x)2x3 1

x2

3x23

2xx1

4xx2 36、數(shù)域F上次數(shù)小于n的全體多項(xiàng)式以及零多項(xiàng)式，對(duì)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)乘構(gòu)成F向量空間。7、因?yàn)閗kk1 2 3

0k1 1

k2

k3

0，所以,,1 2

線性相關(guān)。8,,V中的線性變換，若，則。9、W1

x, x|xxxR（i=1，2，3）}R3的子空間。2 3 1 2 3 i2 1 2 110、二次型f(x,x11 2

,x)2x25x3 3

xx1

2xx1

3xx2

的矩陣是1 0 3。 2 3 Pn階對(duì)稱矩陣的全體，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成數(shù)域P上的向量空間。12f(xx1 2

,x)2x3 1

5x3

2是正定二次型。13、是向量空間V 中的線性變換，若,, 是V 中線性相關(guān)的向量，則1 2 3),),也線性相關(guān)。1 2 31、設(shè),是歐氏空間中夾角為的兩個(gè)非零向量，若,(kR，則k為正實(shí)數(shù)的充分必要條件為0。15、W{(x,x1 2

,1)|x,x1

R}是向量空間R3的子空間。16、n(1)次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的全體，對(duì)于多項(xiàng)式的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的向量空間。17、(aa1 2

,a)(a3

a,a2

a,0),a3

F （i=23，是F3上的線性變換。18、n階矩陣A與B相似的充分必要條件是A與B的特征多項(xiàng)式相同。19、若,線性無關(guān)，則+，也線性無關(guān)。1 2 1 2 1 220、在歐氏空間中，若與，，都正交，則與，，的任意線性組合也1 2 3 1 2 3正交。二、證明 1、1 2

,n

',1

',2 n

是n維向量空間V的兩組基，前者到后者的過渡矩陣為A，設(shè)V中向量在這兩組基下的坐標(biāo)分別為x,x1 2

,xn

和y,y1

,yn

。試證x y 1 1x2

y2x yn n2可以由,,,,,,1 2 r 1 2 r3、已知R3中的兩組向量1

，20) 2

(0)，30)

(0, ，和1 ， 2 ， 31）,,和,,分別是3的兩組基；1 2 3 1 2 3（2）求兩組基之間的過渡矩陣。4、設(shè)V的線性變換，V下的基

,

下的矩陣是A，向 1 2 n量 在這組基下的坐標(biāo)是x 1

x, 2

x 。試證，n

( )在這組基下的坐標(biāo)y, y1 2

y 滿足n5、用正交變換化二次型f(x,x1 2

,x)6x3 1

5x22

7x23

4xx1

4xx1

為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出所用的正交變換。y x 1 1y2

x2 。y xn n6、若,,,是向量空間V的一組基，試證，，+，+也是V的1 2 3 4 1 2 2 3 3 4一組基。7、1、在向量空間R3中，(1 1 2求證：,線性無關(guān)；1 2把,R3的一組基；1 2

（3）求出(

2, 在這組基下的坐標(biāo)。8、設(shè)V的線性變換，V的基,1 2

,n

下的矩陣為A，向量在這組基下的坐標(biāo)是x,1

x x2

試證()在這組基下的坐標(biāo), y1 2

y滿n足y x 1 1y2

x2 y xn n1 2 29、設(shè)A2 2

，求正交矩陣P，使PAP為對(duì)角形。 2 4 101 2

是線性變換的兩個(gè)不同的特征值1

是分別屬于2 1

的特征向量，試證：不是的特征向量。1 2、是數(shù)域F上向量空間V的線性變換，在V的基, , 下的矩陣為1 2 3a a a1 2 3

,

,

, 0b b b

在基k

下的矩陣，這里k Fk 。1 2 3

2 3 1c c c1 2 3122,

和,

是n維向量空間V1 2 n 1 2 n的過渡矩陣為A，設(shè)V中向量在這兩組基下的坐標(biāo)分別是（x1

x, x）和2 n（y, y1 2

, y ）nx y 1 1試證x2

y2 。x yn n13、證明，如果W,W1 2

都是線性變換W1

W也是的不變子空間。214f(xx1 2

,x)3x3 1

3x22

3x23

2xx1

2xx1

2xx2 3為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出所用的正交變換。三、計(jì)算t滿足什么條件時(shí)f(xx1 2

,x)x3