數(shù)形結(jié)合思想

第二講數(shù)形結(jié)合思想1．?dāng)?shù)形結(jié)合思想，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用包括以下兩個(gè)方面：1“以形助數(shù)”，把某些抽象的數(shù)學(xué)問題直觀化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，揭示數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)；2“以數(shù)定形”，把直觀圖形數(shù)量化，使形更加精確．2．?dāng)?shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)、關(guān)鍵及運(yùn)用時(shí)應(yīng)注意的問題：其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想分析和解決問題時(shí)，要注意三點(diǎn)：第一要徹底明白一些概念和運(yùn)算的幾何意義以及曲線的代數(shù)特征，對(duì)數(shù)學(xué)題目中的條件和結(jié)論既分析其幾何意義又分析其代數(shù)意義；第二是恰當(dāng)設(shè)參，合理用參，建立關(guān)系，由數(shù)思形，以形思數(shù)，做好數(shù)形轉(zhuǎn)化；第三是正確確定參數(shù)的取值范圍．3．實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：1實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；2函數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；3以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如復(fù)數(shù)、三角函數(shù)等；4所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯的幾何意義．如等式－22＋－12＝4，表示坐標(biāo)平面內(nèi)以2,1為圓心，以2為半徑的圓．1．最新·重慶已知圓C1：－22＋－32＝1，圓C2：－32＋－42＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，m∈R恰有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根1，2，3，則123的取值范圍是________．審題破題本題以新定義為背景，要先寫出f的解析式，然后將方程f＝m根的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)＝f的圖象和直線＝m的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．答案eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f1－\r3,16，0解析由定義可知，f＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co12－1，≤0，,－－1，>0作出函數(shù)f的圖象，如圖所示．由圖可知，當(dāng)00，且2＋3＝2×eq\f1,2＝1，∴230，∴當(dāng)a0時(shí)，由f′>0，解得eq\ra，由f′0時(shí)，f的單調(diào)增區(qū)間為－∞，－eq\ra，eq\ra，＋∞；單調(diào)減區(qū)間為－eq\ra，eq\ra．[4分]2∵f在＝－1處取得極值，∴f′－1＝3×－12－3a＝0，∴a＝1[6分]∴f＝3－3－1，f′＝32－3，由f′＝0，解得1＝－1，2＝1由1中f的單調(diào)性可知，f在＝－1處取得極大值f－1＝1，在＝1處取得極小值f1＝－3因?yàn)橹本€＝m與函數(shù)＝f的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合如圖所示f的圖象可知：m的取值范圍是－3,1．[12分]評(píng)分細(xì)則1求出f′給1分，不寫出單調(diào)區(qū)間扣1分；2只畫圖象沒有說明極值扣2分；3沒有結(jié)論扣1分，結(jié)論中范圍寫成不等式形式不扣分．閱卷老師提醒1解答本題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)勾畫函數(shù)的大致圖象；2解答中一定要將函數(shù)圖象的特點(diǎn)交待清楚，單調(diào)性和極值是勾畫函數(shù)的前提，然后結(jié)合圖象找出實(shí)數(shù)m的取值范圍．1．設(shè)函數(shù)f定義在實(shí)數(shù)集上，f2－＝f，且當(dāng)≥1時(shí)，f＝n，則有A．feq\f1,3|eq\f1,3－1|>|eq\f1,2－1|，∴feq\f1,20若f－4＝f0，f－2＝－2，則函數(shù)＝g＝f－的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．1B．2C．3D．4答案C解析由f－4＝f0得16－4b＋c＝c由f－2＝－2，得4－2b＋c＝－2聯(lián)立兩方程解得：b＝4，c＝2于是，f＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co12＋4＋2，≤0，,2，>0在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)＝f與函數(shù)＝的圖象，知它們有3個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而函數(shù)亦有3個(gè)零點(diǎn)．3．若方程＋＝eq\r1－2有且只有一個(gè)解，則的取值范圍是A．[－1,1B．＝±eq\r2C．[－1,1]D．＝eq\r2或∈[－1,1答案D解析令＝＋，令＝eq\r1－2，則2＋2＝1≥0．作出圖象如圖：而＝＋中，是直線的縱截距，由圖知：方程有一個(gè)解?直線與上述半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)?＝eq\r2或－1≤eq\f1,24>0，可得0eq\f\r2,2eq\f1,2綜上可得a的取值范圍是eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f\r2,2，16．已知in＝|in＝eq\r5－1專題限時(shí)規(guī)范訓(xùn)練一、選擇題1．已知f是定義在－3,3上的奇函數(shù)，當(dāng)010，若a、b、c互不相等，且fa＝fb＝fc，則abc的取值范圍是A．1,10B．5,6C．10,12D．20,24答案C解析a，b，c互不相等，不妨設(shè)a4時(shí)，f＝10－，f的最大值在＝4時(shí)取得，為64．函數(shù)f＝eq\f1,2－in在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為A．1B．2C．3D．4答案B解析函數(shù)f＝eq\f1,2－in在區(qū)間[0,2π]上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為方程eq\f1,2－in＝0在區(qū)間[0,2π]上解的個(gè)數(shù)．因此可以轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)＝eq\f1,2與＝in交點(diǎn)的個(gè)數(shù)．根據(jù)圖象可得交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為25．已知雙曲線eq\f2,a2－eq\f2,b2＝1a>0，b>0的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值范圍是A．1,2]B．1,2C．[2，＋∞D(zhuǎn)．2，＋∞答案C解析∵漸近線＝eq\fb,a與過焦點(diǎn)F的直線平行，或漸近線從該位置繞原點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，直線與雙曲線的右支有一個(gè)交點(diǎn)，∴eq\fb,a≥eq\r3，即c2＝a2＋b2≥4a2，∴e≥26．設(shè)a＝ineq\f5π,7，b＝coeq\f2π,7，c＝taneq\f2π,7，則A．a(chǎn)1D．00，,≤2，則eq\f,的最小值是________．答案2解析可行域如圖所示．又eq\f,的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率由圖知，過點(diǎn)A的直線OA的斜率最?。?lián)立eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1－＋1＝0，,＝2，得A1,2，∴OA＝eq\f2－0,1－0＝2∴eq\f,的最小值為210．設(shè)A＝{，|2＋－12＝1}，B＝{，|＋＋m≥0}，則使A?B成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．答案m≥eq\r2－1解析集合A是一個(gè)圓2＋－12＝1上的點(diǎn)的集合，集合B是一個(gè)不等式＋＋m≥0表示的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的集合，要使A?B，則應(yīng)使圓被平面區(qū)域所包含如圖，即直線＋＋m＝0應(yīng)與圓相切或相離在圓的下方，而當(dāng)直線與圓相切時(shí)有eq\f|m＋1|,\r2＝1，又m>0，∴m＝eq\r2－1，故m的取值范圍是m≥eq\r2－111．若函數(shù)f＝a－－aa＞0且a≠1有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．答案a＞1解析設(shè)函數(shù)＝aa＞0且a≠1和函數(shù)＝＋＝a－－aa＞0且a≠1有兩個(gè)零點(diǎn)，就是函數(shù)＝aa＞0且a≠1的圖象與函數(shù)＝＋a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．由圖象可知，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，兩函數(shù)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合；當(dāng)a＞1時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)＝aa＞1的圖象過點(diǎn)0,1，而直線＝＋a的圖象與軸的交點(diǎn)一定在點(diǎn)0,1的上方，所以一定有兩個(gè)交點(diǎn)．所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是a＞112．已知函數(shù)f＝eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1e，≥0,－2，0，又f[f]＝依據(jù)＝f[f]的大致圖象如圖知，存在實(shí)數(shù)，使得方程f[f]＋＝0恰有1個(gè)實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程f[f]＋＝0恰有2個(gè)不相等的實(shí)根；不存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有3個(gè)不相等的實(shí)根；不存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不相等的實(shí)根．綜上所述，其中正確命題的序號(hào)是①②三、解答題13．已知函數(shù)f＝3＋a2＋b1若函數(shù)＝f在＝2處有極值－6，求＝f的單調(diào)遞減區(qū)間；2若＝f的導(dǎo)數(shù)f′對(duì)∈[－1,1]都有f′≤2，求eq\fb,a－1的范圍．解1f′＝32＋2a＋b，依題意有eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1f′2＝0，,f2＝－6即eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co112＋4a＋b＝0，,8＋4a＋2b＝－6，解得eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1a＝－\f5,2，,b＝－2∴f′＝32－5－′＜0，得－eq\f1,3＜＜2∴＝f的單調(diào)遞減區(qū)間是eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1－\f1,3，22由eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1f′－1＝3－2a＋b≤2，,f′1＝3＋2a＋b≤2，得eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co12a－b－1≥0，,2a＋b＋1≤0不等式組確定的平面區(qū)域如圖陰影部分所示：由eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co12a－b－1＝0，,2a＋b＋1＝0，得eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1a＝0，,b＝－1∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為0，－1．設(shè)＝eq\fb,a－1，則表示平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)a，b與點(diǎn)P1,0連線的斜率．∵PQ＝1，由圖可知≥1或＜－2，即eq\fb,a－1∈－∞，－2∪[1，＋∞．14．設(shè)關(guān)于θ的方程eq\r3coθ＋inθ＋a＝0在區(qū)間0,2π內(nèi)有相異的兩個(gè)實(shí)根α、β1求實(shí)數(shù)a的取值范圍；2求α＋β的值．解方法一1設(shè)＝coθ，＝inθ，則由題設(shè)知，直線：eq\r3＋＋a＝0與圓2＋2＝1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)Acoα，inα和Bcoβ，inβ．所以原點(diǎn)O到直線的距離小于半徑1，即d＝eq\f\b\c\|\rc\|\a\v4\a\co10＋0＋a,\r\r32＋12＝eq\f|a|,2＜1，∴－2＜a＜2又∵α、β∈0,2π，且α≠β∴直線不過點(diǎn)1,0，即eq\r3＋a≠0∴a≠－eq\r3，即a∈－2，－eq\r3∪－eq\r3，2．2如圖，不妨設(shè)∠OA＝α，∠OB＝－β，作OH⊥AB，垂足為H，則∠BOH＝eq\fα－β,2∵OH⊥AB，∴AB·OH＝－1∴taneq\fα＋β,2＝eq\f\r3,3又∵eq\fα＋β,2∈0,2π，∴α＋β＝eq\fπ,3或α＋β＝eq\f7π,3方法二1原方程可化為inθ＋eq\fπ,3＝－eq\fa,2，作出函數(shù)＝in＋eq\fπ,3∈0,2π的圖象．由圖知，方程在0,2π內(nèi)有相異實(shí)根α，β的充要條件是eq\b\c\{\rc\\a\v4\a\co1－1＜－\fa,2＜1,－\fa,2≠\f\r3,2，即－2＜a＜－eq\r3或－eq\r3＜a＜22由圖知：當(dāng)－eq\r3＜a＜2，即－eq\fa,2∈eq\b\c\\rc\\a\v4\a\co1－1，\f\r3,2時(shí)，直線＝－eq\fa,2與三角函數(shù)＝in＋eq\fπ,3的圖象交于C