圓的一般方程 市賽獲獎

圓的一般方程【教學目標】1．掌握圓的一般方程及其特點．2．會將圓的一般方程化為標準方程，并能熟練地指出圓心的位置和半徑的大小．3．能根據(jù)某些具體條件，運用待定系數(shù)法確定圓的方程．4通過對方程2＋2＋D＋E＋F＝0表示圓的條件的探究，提高探索、發(fā)現(xiàn)及分析、解決問題的能力；體驗數(shù)形結合、化歸與轉化等數(shù)學思想方法；通過求圓的方程，培養(yǎng)運用配方法和待定系數(shù)法解決實際問題的能力【知識要點】1．對于二元二次方程2＋2＋D＋E＋F＝2＋E2－4F＝0時，方程表示一個點，該點的坐標為；當D2＋E2－4F4F0時，方程表示的曲線為，它的圓心坐標為，半徑等于2．圓的一般方程的特征是：2和2項的系數(shù)，沒有的二次項．【問題情境】在直線的方程中，有直線方程的一般式，那么，在圓的方程中，有沒有圓的一般方程【新課講解】探究點一圓的一般方程問題1圓的標準方程是什么答問題2把圓的標準方程展開，并整理得2＋2－2a－2b＋a2＋b2－r2＝0，取D＝－2a，E＝－2b，F(xiàn)＝a2＋b2－r2，得2＋2＋D＋E＋F＝0，這是一個二元二次方程．這個方程與一般的二元二次方程A2＋B＋C2＋D＋E＋F＝0答方程2＋2＋D＋E＋F＝0與一般的二元二次方程的不同之處：①2和2項的系數(shù)相等且都為1若2和2項的系數(shù)相等但不為1，可同除其系數(shù)變?yōu)?；②沒有這樣的二次項問題3一個形如2＋2＋D＋E＋F＝0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎小結當D2＋E2－4F>0時，二元二次方程2＋2＋D＋E＋F＝0表示一個圓，我們把2＋2＋D＋E＋F＝0問題4圓的標準方程與圓的一般方程有什么不同答圓的一般方程與圓的標準方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小，幾何特征較明顯．問題5求圓的一般方程實質上是求圓的一般方程中的哪些量答圓的一般方程中有三個待定的系數(shù)D、E、F，因此只要求出這三個系數(shù)，圓的方程就確定了探究點二圓的標準方程與一般方程的互化例1將下列圓的方程化為標準方程，并寫出圓的圓心坐標和半徑：12＋2＋4－6－12＝0；242＋42－8＋4－15＝0小結圓的標準方程展開為一般方程，一般方程利用配方或者利用公式可求圓心或半徑．跟蹤訓練1將下列方程互化，并寫出圓心和半徑：1－32＋－22＝13；222＋22－4＋8＋5＝0探究點三圓的一般方程的應用例2求過三點A0,5，B1，－2，C－3，－4的圓的方程．小結求圓的方程需知三個條件，過不共線三點求圓的方程，用一般式簡單；知圓心和半徑用標準形式簡單．我們也可以設圓的方程為－a2＋－b2＝r2同樣，根據(jù)已知條件可以列出三個未知數(shù)的方程組．通過解方程組，求出a，b，r跟蹤訓練2求過三點A0,0，B1,1，C4,2的圓方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標．例3已知一曲線是與兩個定點O0,0，A3,0距離的比為eq\f1,2的點的軌跡，求這個曲線的方程，并畫出曲線．小結本例題求曲線方程的方法是直接法．直接法求曲線的方程的一般步驟為：根據(jù)題目條件，建立坐標系，設出動點坐標，找出動點滿足的條件，然后化簡．跟蹤訓練3如圖，過點M－6,0作圓C：2＋2－6－4＋9＝0的割線，交圓C于A、B兩點，求線段AB的中點P的軌跡．【練一練】1．將圓2＋2－2－4＋1＝0平分的直線是A．＋－1＝0B．＋＋3＝0C．－＋1＝0D．－＋3＝02．圓22＋22＋6－4－3＝0的圓心坐標和半徑分別為\b\c\\rc\\a\v4\a\co1－\f3,2，1和eq\f19,4B3,2和eq\f\r19,2\b\c\\rc\\a\v4\a\co1－\f3,2，1和eq\f\r19,2\b\c\\rc\\a\v4\a\co1\f3,2，－1和eq\f\r19,23．圓2＋2－2＋4＋3＝0的圓心到直線－＝1的距離為A．2B．eq\f\r2,2C．1D．eq\r24．已知圓2＋2＋2－4＋a＝0關于直線＝2＋b成軸對稱，則a－b的取值范圍是________．【課堂小結】1．圓的一般方程2＋2＋D＋E＋F＝0－b2＝r2在應用時，注意它們之間的相互轉化及表示圓的條件．2．圓的方程可用待定系數(shù)法來確定，在設方