數(shù)值分析重點

數(shù)值分析重點第一章誤差分析近似數(shù)誤差大小的度量方法：絕對誤差/相對誤差/有效數(shù)字有效數(shù)字的判斷定義：從末尾到第一個非零數(shù)字之間的所有數(shù)字的個數(shù)。幾個重點結(jié)論：（1）、設(shè)數(shù)x的近似值可以表示為其中m是整數(shù),αi(i=1,2,…,n)是0到9中的一個數(shù)字，而α1≠0.如果其絕對誤差限為（不超過其末尾數(shù)的半個單位）則稱近似數(shù)x*具有n位有效數(shù)字。（2）、相對誤差與有效數(shù)字的關(guān)系（誤差：精確值與近似值的差值） 得到相對誤差限2.誤差的分類：模型誤差、觀測誤差、截斷誤差（方法誤差）和舍入誤差（計算誤差）3.誤差算法設(shè)計應(yīng)注意的問題：（1）、避免兩個相近的數(shù)相減 考慮能否改變一下算法（2）、防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)當一組數(shù)進行相加運算時，應(yīng)按照由小到大的次序進行相加。（3）、絕對值太小的數(shù)不宜作除數(shù) 考慮能否改變一下算法（4）、注意簡化計算程序，減少計算次數(shù)（5）、選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法4、誤差的傳播：Taylor展開式：f(x1,x2,…,xn)在(x1*,x2*,…,xn*)的展開：e(y)=f(x1,x2,…,xn)-f(x1*,x2*,…,xn*)例如：ε（x1+x2）=ε(x1)+ε(x2)ε（x1*x2）=|x1|ε(x2)+|x2|ε(x1)ε（x1/x2）={|x1|ε(x2)+|x2|ε(x1)}/|x2|2第二章代數(shù)插值通過一些實驗所得的離散點找到函數(shù)的一個滿足精度要求且便于計算的近似表達式（多項式）。n+1個互異的節(jié)點可以唯一確定一個n次多項式。填空1.差商與微商的關(guān)系例1：,試求其如下差商：例2：已知一個四階差商和一個五階差商，用定義反求另一個四階差商。一般地，稱k-1階差商的一階差商為k階差商：為f(x)關(guān)于點的k階差商。2.p54頁證明題：考具體的例子。N次多項式插值函數(shù)為其本身。3.分段線性插值公式的記憶二次拉格朗日插值多項式的三種表示形式：…緊湊格式…基函數(shù)表示………………ω3(x)表示式誤差估計式其中，ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)分段線性插值函數(shù)：在區(qū)間上的線性函數(shù)為4.由三次樣條差值多項式的性質(zhì)(二階導數(shù)連續(xù))求未知常數(shù)。大題1.給出幾個點，構(gòu)造插值多項式（newton直接列表求），并求出在某點的函數(shù)值和導數(shù)值。important:newton插值多項式:2.給出三個點和一個導數(shù)值，構(gòu)造差值多項式再求出誤差項。(P39頁，例題2.7)第三章最佳平方逼近1.相當于已知兩個未知量，兩個方程的求解（注意基函數(shù)的取法）。important:連續(xù)函數(shù)：解此方程組，就可以得到c0*,c1*,…,cn*，也就得到了f(x)的最佳平方逼近：誤差為離散點：法方程組表示為：誤差：第四章數(shù)值微積分采用近似解法或數(shù)值解法的思想是先找出被積函數(shù)f(x)的近似函數(shù)p(x),即：，則可以得到：填空Newton-cotes型系數(shù)之和：（b-a）或者1簡單梯形公式、simpson公式的記憶important:梯形求積公式及其誤差為：拋物線(simpson)求積公式及誤差為：用代數(shù)精度的定義來確定未知常數(shù)a。定義：如果求積公式 對于f(x)=xi(i=0,1,…,n)精確成立即而對于f(x)=xn+1不精確成立，即則稱積分公式（4.1）具有n階代數(shù)精度。4、Gauss型公式（n個點具有2n-1階代數(shù)精度）。5、寫出Gauss型公式（6個，三個特殊，三個一般（帶權(quán)和不帶權(quán)的）Gauss-Legendre(勒讓德)求積公式：Gauss-拉蓋爾求積公式： Gauss-Hermite求積公式： 6、數(shù)值微分公式（向前，向后，中心，一階三點，二階三點公式及推導）一階向前差商數(shù)值微分公式一階向后差商數(shù)值微分公式一階中心差商數(shù)值微分公式7、一般的Gauss型求積公式的構(gòu)造： 可采用待定系數(shù)法，將Gauss型求積公式的系數(shù)和節(jié)點確定下來。 例：兩點的Gauss型求積公式有三階精度：對1，x,x2精確成立。大題復化的梯形公式、simpson公式及誤差估計式。important:復化的梯形公式及誤差估計式：（n段需要n+1個點，步長h為1/n）復化拋物線公式及誤差估計式：（n段需要2n+1個點，步長h為1/n）一般數(shù)值積分（非兩種特殊的積分）隨意取n點，構(gòu)造出n-1次lagrange插值多項式，作為未知函數(shù)的近似，求積分。第五章線性方程組的直接解法填空gauss消去法解方程組的適用條件：系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不等于0。gauss消去法包括兩個過程：先把方程組化為同解的上三角形方程組，再按相反順序求解上三角形方程組，前者稱消去或者消元過程，后者稱為回代過程。LU分解解方程組的適用條件：系數(shù)矩陣A的各階順序主子式不等于0。（gauss消去法、LU分解均可以直接用增廣矩陣進行變形）可進行喬列斯分解（A=GGt）的條件：系數(shù)矩陣A為對稱正定矩陣（各階順序主子式大于0且A=At）大題LU分解解方程組（具體）直接用增廣矩陣進行計算。第六章線性方程組的迭代解法迭代法求解過程包括：初值的選取、按照迭代格式進行迭代計算、對迭代格式收斂性判斷。填空向量和矩陣范數(shù)的計算*（一般指列向量）向量1-范數(shù)：向量2-范數(shù)：向量3-范數(shù)：矩陣1-范數(shù)：列和矩陣2-范數(shù)：矩陣3-范數(shù)：行和譜半徑的定義及計算（A的特征值絕對值的最大者）條件數(shù)Cond(A)=||A||||A-1||，如果Cond(A)=||A||||A-1||太大，則稱相應(yīng)的方程組為病態(tài)方程組。|λ|≤||A||，ρ(A)≤||A||SOR迭代法收斂的必要條件是0<ω<2。大題迭代格式的構(gòu)造及收斂性判斷。Important:兩個迭代矩陣①Jacobi：BJ=-D-1(L+U)=-D-1(A-D)=E-D-1AFJ=D-1b.②Gauss-seidle：BG=-(L+D)-1UFG=(L+D)-1（其中L為下三角陣，D為對角陣，U為上三角陣）收斂性判斷：Jacobi：①A嚴格對角占優(yōu)；②ρ(B)<1Gauss-seidle:①A嚴格對角占優(yōu)；②A對稱正定；③ρ(B)<1 （A為系數(shù)矩陣;B為迭代矩陣）迭代次數(shù)的控制：①②||x(k+1)-x(k)||<ε一般迭代格式收斂性判斷先將f(x)=0化為：x(k+1)=Bx(k)+F（①ρ(B)<1；②收斂速度：ρ(B)越小，收斂速度越快）第八章非線性方程組求根填空1、二分法：誤差（k=0,1…）2、Newton迭代格式：（注意f(x)=0的變形式且將f(x)具體形式代入）大題普通迭代格式的構(gòu)造及收斂性判斷(3個條件)由方程f(x)=0產(chǎn)生的迭代格式:xk+1=g(xk),k=0,1,2,…(8.3)設(shè)迭代函數(shù)g(x)滿足條件:1）g(x)∈C[a,b];2）當x∈[a,b]時,g(x)∈[a,b];3）g’(x)存在，且存在0<L<1，使得對一切x∈[a,b]，|g’(x)|≤L<1Newton迭代格式公式：（將f(x)帶入即可）Newton迭代格式計算常數(shù)值例：求的值(a>0).（令f(x)=xn-a）(利用局部收斂性定理證明)局部收斂性定理：如果方程x=g(x)滿足條件：1).g(x)在方程的解x*的鄰域內(nèi)連續(xù)可微；2).|g’(x*)|<1(由于g(x)在x*的鄰域內(nèi)連續(xù)可微，故一定存在L使得|g’(x*)|≤L<1)；3、收斂階數(shù)判定及證明：定義：由迭代法xk+1=g(xk)產(chǎn)生的誤差ek=xk-x*，如果當k∞時則稱迭代法是p階收斂的。當p=1且0<c<1時稱為線性收斂，當p=2時稱為平方收斂或二階收斂。1).對于一般迭代解xk+1=g(xk)則迭代格式xk+1=g(xk)線性收斂。證明：若且則迭代格式xk+1=g(xk)線性收斂。2).Newton迭代法具有二階收斂速度。再由Taylor展式得到兩式相減當k∞時xkx*,ξx*第九章常