2020年高考數(shù)學復習之壓軸題專題訓練★★★★專題1.3 以棱柱、棱錐與球的組合體的選擇題

【精品】2020年高考數(shù)學復習之壓軸題專題訓練★★★★專題一壓軸選擇題第三關以棱柱、棱錐與球的組合體為背景的選擇題類型一四面體的外接球問題典例1.［福建省泉州市2019屆高三1月單科質檢］已知三棱錐的所有頂點都在球門的球面上，心丄平面二f：」》，若球口的表面積為貝y三棱錐的側面積的最大值為（）裁+孚蓉+年A.1B.【答案】A【解析】設球【解析】設球0得半徑為R,AB=x,AC=y,S=SaABDS=SaABD+SaACD+SaABC得x2+y2=25.三棱錐A-BCD的側面積：貼蟲24R2=29.又1-2斗+1-2*+-xyx2+y2+22=（2R）1廠由x2+y2^2xy，得xy「當且僅當x=y=〉時取等號，由（x+y）'”工If「和加2=x2+2xy+y202（x2+y2）,得x+yS5“,當且僅當x=y=》時取等號，S<^'啓―4■當且僅當x=y=“時取等號?三棱錐A-BCD的側面積的最大值為Q?故選A.【方法指導】本題屬于三棱錐的外接球問題，當三棱錐的某一頂點的三條棱兩兩垂直，可將其補全為長方體或長方體，三棱錐與長方體的外接球是同一外接球，而長方體的外接球的在球心就是對角線的交點，那么對角線就是外接球的直徑2R=\：a2+b2+c2，a,b,c分別指兩兩垂直的三條棱，進而確定外接球表面積.TOC\o"1-5"\h\z【舉一反三】【2018南寧摸底聯(lián)考】三棱錐m中，丄【曲為等邊三角形，：〔丨=：屮=川=，.-.I:出,三棱錐的外接球的體積為（）\o"CurrentDocument"272冷77JTA.」B.ID.6

【答案】B【解析】由題意可得F扎PB,PC兩兩相等，底面杲正三角形，所以三棱錐P-ABC是正棱錐，P在底面的身脣是底面正三角形的中心4由死1PO.BC丄A0二BC丄面PAO=SC1旳‘再由旳丄PS.,可知已4丄面PBC,所以可知皿丄PG即FA.FB^FC兩兩垂直，由于是球外接球，所以正三棱錐F-AEC可以看成正方體切下來的一個角，與原正方體共外接球，所^4^=3x（3^=27T=^=^oTOC\o"1-5"\h\zJ丄類型二三棱柱的外接球問題典例2.［山東省臨沂市2019屆高三上學期第六次質量調研］已知三棱柱MJ""人的側棱垂直于底面，各頂點都在同一球面上，若該棱柱的體積為-則此球的體積等于（）'Zr4品兀A.：：B.上C.：：D.::【答案】B1皿【解析】設AA］=h,則???棱柱的體積為'\AB=2、.SAC=、=,ZBAC=60°,.?.妝2匸x「：x；h=「；.?.h=l,8+2.2x2,7k,2x|=k6?.?AB=2「，AC=「，ZBAC=60°???BCh.如圖，連接上下底面外心，O為PQ的中點，OP丄平面ABC,AP=「則球的半徑為OA,134由題意OP=,AOA=:所以球的體積為：?：nA—故選B.【名師指導】確定球心位置是解決相關問題的關鍵，確定一個點到多面體各頂點相等的策略是將問題分解,即先確定到頂點A、B、C距離相等的點在過AABC的外心且垂直于平面ABC的直線上，再確定到頂點A、B、C距離相等的點過AABC的外心且垂直于平面ABC的直線上，故直三棱柱ABC-ABC的外111111111111接球球心為連接上下底面外心的線段的中點，進而可確定外接球半徑.【舉一反三】【陜西省榆林市2018屆高考模擬第一次測試】已知直三棱柱ABC-ABC的6個頂點都在球111O的球面上，若AB=3,AC=4,AB丄AC,勒=12，則球O的直徑為（）A.13B.4近0C.2近0D.-172【答案】A【解析】因為三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球0的球面上，若AB=3,AC=4,AB丄AC,AA1=12,所以三棱柱的底面是直角三角形，側棱與底面垂直，△ABC的外心是斜邊的中點，上下底面的中心連線垂直底面ABC，其中點是球心，即側面B1BCC1，經過球的球心，球的直徑是側面B1BCC1的對角線的長，因為AB=3，AC=4，BC=5，BC1=13，所以球的直徑為：13.故答案為：A。類型三四棱錐的外接球問題典例3.【河北省承德市聯(lián)校2018屆高三上學期期末考試】《九章算術》是我國古代內容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有陽馬，廣五尺，褒七尺，高八尺，問積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形,一側棱垂直于底面的四棱錐，它的底面長、寬分別為7尺和5尺，高為8尺，問它的體積是多少？”若以上的條件不變，則這個四棱錐的外接球的表面積為（）A.142n平方尺b.140n平方尺c.138n平方尺d.128n平方尺【答案】C【解析】將該幾何體補形為長方體，外接球的直徑2R即為長方體的對角線，即（2R=52+72+82=25+49+64=138，故其表面積是4nR2=138n.【名師?指點】某些空間幾何體是某一個幾何體的一部分，在解題時，把這個幾何體通過“補形”補成完整的幾何體或置于一個更熟悉的幾何體中，巧妙地破解空間幾何體的體積問題，這是一種重要的解題策略一一補形法.常見的補形法有對稱補形、聯(lián)系補形與還原補形.對于還原補形，主要涉及臺體中“還臺為錐”問題.本題可以利用補體法，將四棱錐補體為直三棱錐，利用直三棱柱的外接球半徑求法確定其外接球半徑.【舉一反三】【貴州省貴陽第一中學、云南師大附中、廣西南寧三中2019屆高三“333”高考備考診斷聯(lián)考數(shù)學（理）試題】已知四棱錐一山丁門的所有頂點都在球“的球面上，?⑺-平面1'，;';'：1，底面是等腰梯n形，川且滿足?V"=打廠=「，且"，_、：'，則球的表面積是（）A.氏B.〒C.匚D.：：7【答案】A￡DAB=—lq、【解析】依題意，得「，由余弦定理可得■；''—「，貝0」，71￡ADB=-則J,又四邊形川舁川是等腰梯形，故四邊形二W的外接圓直徑為川;；設川，對=卜伴￥-?的中點為6,球的半徑為R,卞丄平面沖甌P,"一匕j一4,貝yS=4nR2=5jt，故選：A.類型四幾何體的內切球問題典例4.若圓錐的內切球與外接球的球心重合，且內切球的半徑為1,則圓錐的體積為.【答案】3n【解析】過便錐的龍誌軸作軸載面，得截面△磁反其內切圓G)□和外接圓CD2,且兩圓同便心，即△遊的內心與外心重合，易得△遊為正三角形「由題意知三卩的半徑為『二「J.△近的邊長対諒,圓錐的底面半徑為燈高為》二JTX3X3=371.【名師指點】解決球與其他幾何體的切接問題，關鍵在于認真分析、觀察，弄清先關元素的一幾何關系和數(shù)量關系，選準最佳角度作出截面，截面的選擇應該更多地體現(xiàn)元素與元素之間關系，達到空間問題平面化的目的.【舉一反三】【黑龍江省哈爾濱師范大學附屬中學2019屆高三上學期期末】在底面是邊長為2的正方形的四棱錐；i中，點「在底面的射影”為正方形川；出的中心，異面直線⑴；與”所成角的正切值為2,若四r棱錐的內切球半徑為外接球的半徑為心貝叭—()2211A.B.C.D.、【答案】B【解析】如圖，E,F為AB,CD的中點,由題意，P-ABCD為正四棱錐，底邊長為2,?.?BC〃AD,???"BC即為PB與AD所成角，可得斜高為2,???△PEF為正三角形，正四棱錐P-ABCD的內切球半徑即為APEF的內切圓半徑,可得r,設O為外接球球心，在Rt^OHA中，K2=2+（^-lB=2解得R匸,r2?”「??,故選：B.故選：B.【精選名校模擬】【2018河南漯河中學三?！恳阎忮FS-ABC的底面是以AB為斜邊的等腰直角三角形,AB=4,SA=SB=SC=4，則三棱錐的外接球的球心到平面ABC的距離為（）2^3A.2^3A.B.2j3C.2【答案】A【解析】【解析】由圖可知，OB2=OD2+DB2，得r2=C*：3—r)+4，解得r=~3~d-3，故選A。【廣東省佛山市順德區(qū)2019屆高三第二次教學質量檢測】已知三棱錐的底面?皿是邊長為2的等邊三角形，卞丄平面川：且山"，貝y該三棱錐外接球的表面積為（）68tt28ttA.'B.C.4人d.'【答案】D【解析】由已知得，作下圖I—平rc,連結心，延長至圓上交于h,過;作皿||宀■.交二甬仁:，于.，則?：；為眥巴，所以，》為斜邊;1'；的中點，所以，"丁為w的中位線，汀為小圓圓心，貝仔為山的中點，則O'R-AO'00'=^卩月=1億］■■■'■'-，貝y°q，r-oh-Jo護卜恥?-則球的半徑r-oh-Jo護卜恥?-則球的半徑n28tt斗kF=—球■的表面積為■-答案選D.【2018河南漯河中學二?！克拿骟w川爲-的四個頂點都在球口的表面上I,m,山；丄平面;:，（';：，則球口的表面積為（）罠21&JT奇応応-^―A.旳B.C.D.「：【答案】D??TBC=CD=l,ZBCD=60°???底面△BCD為等邊三角形，取CD中點為E,連接BE,.?.△BCD的外心G111CE=—rf——BC——在BE上，設為G,取BC中點F,連接GF,在Rt^BCE中，由二；「，得「：-：,又12在RtABFG中，得BG=”「：：‘'1''',過G作AB的平行線與AB的中垂線HO交于O,則O為四面體ABCD的外接球的球心，即R=OB,???球O的表面積為4———72g+BG2--TAB丄平面BCD,?OG丄BG,在Rt^BGO中，求得???球O的表面積為4167T3故選D【福建省三明市第一中學2019屆高三上學期期中考試】已知底面半徑為1,高為的圓錐的頂點和底面圓周都在球0的球面上，則此球的表面積為（）3216jtA.GB.「C.「D.::【答案】D【解析】畫出圓錐的軸截面對應的三角形孔D如下團所示，由于圓錐的頂點和底面圓周都在球口的球面上,故球心為三角形B切的外心，球的半徑為三角形理巧卜接圓半徑?依題意BE=^fEC=ED=l?所以BC=CD=BD=2,即三角形ECD為等邊三角形，內角為￡由正弦定理得ZR二總二補」尺二三故球的TOC\o"1-5"\h\z二SIm-A￡LU■亍7a表面積為4）於=4伍X1=于故選D.as5.【山西省呂梁市2018屆高三上學期第一次模擬】已知點A,B,C,D在同一個球的球面上，AB=BC=\；2，AC=2，若四面體ABCD的體積為2拿，球心O恰好在棱da上，則這個球的表面積為（）A.B.4兀C.8兀D.1鼠4【答案】D【解析】根據條件可知球心O在側棱DA中點，從而有AC垂直CD，可得AD二4所以球的半徑為r二2，故球的表面積為S=4兀r2=16?！竞幽鲜÷尻柺?019屆高三上學期尖子生第二次聯(lián)考】已知正三角形三個頂點都在半徑為2的球面上,球心仃到平面二皿的距離為1,點，是線段^的中點，過點：作球仃的截面，則截面面積的最小值是（）7jtA.：B.二C.D.-【答案】C【解析】設等邊三角形的中心為；，作出圖像如下圖所示根據題意可知，當截面直徑為*時，截面的面積

最小.；所以最小截面面積為：.最小.；所以最小截面面積為：.故選C.C【河北省唐山市2018屆高三上學期期末考試】在三棱椎P-ABC中，底面ABC是等邊三角形，側面PAB是直角三角形，且PA=PB=2，當三棱椎P-ABC表面積最大時，該三棱椎外接球的表面積為（）A"B-%C-4岳D-簣如圖所示，由條件可得等邊三角形ABC的邊長為2遼，且APAB今APCB，所以ZPAB=ZPCB，設ZPAB=ZPCB=0，則三棱錐的表面積為S=Sapab十2SAPBC十SAABC=2x22+22卜222邁sin0+￥心）=2+23+4\；'2sine，故當sin。=1，即0=90°時，表面積最大值，此時ZPAB=ZPCB=90°，所以PC=,「PC=,「22+=2J3.取PC的中點O，連OA,OB，則OA=OB=OP=OC=七：3，故點O為三棱椎外接球的球心，且球半徑R=爲?所以該三棱椎外接球的表面積為$球表=4冗R2=12兀?選A.【湖南省邵陽市2019屆高三上學期10月大聯(lián)考】已知三棱錐m底面的3個頂點'A在球口的同一個大圓上，且一皿為正三角形，"為該球面上的點，若三棱錐體積的最大值為J則球仃的表面積為（）A1加b1阮c32jtd64tt【答案】B【解析】正三棱錐P-ABC的四個頂點都在同一球面上,其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上.因為-題目中涉及到體積最大值，故ABC的中心就是球心O,PO是球的半徑，也是正三棱錐的高，設為R，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"~—7—2斤_＞口—3/?底面三角形的邊長設為a，由正弦定理得到，三角形的面積為-x、、曲x.-3Rx5m60°-久"旺2V--x/?x鳴F--2*4，椎體的體積為'"則球O的表面積是4nR2=4nx4=16n.故答案為：B【2019貴州省貴陽市高三模擬】在四棱錐m中，四條側棱長均為2,底面」從出為正方形，，為九的中點，且=；'"'|：，若該四棱錐的所有頂點都在同一球面上，則該球的表面積是（）16164A.：B.'C.D.斤【答案】A【解析】設四棱錐底面棱長為，為u的中點，且=：|"'貝則"二二■

X2則I解得：:,則正方形的外接圓半徑L，棱錐的高“-:,設棱錐外接球的半徑為，解得：':,S=4r/^2=—7T故棱錐的外接球的表面積:,故選：A.I1'在同一個球面上,io.【黑龍江省哈爾濱市第三中學2019屆高三上學期期末考試】已知點m、==G，若四面體MNPQI1'在同一個球面上,2加62-)jt^25tt12EjtA.：B."C."D.【答案】B【解析】由=“NP二七麗P=5，可知/NM=90“,則球心;在過C中點,：與面W垂直的直線上，因為汁面積為定值，所以高最大時體積最大，根據球的幾何性質可得，當“過球心時體積最大,因為四面體體S'的最大體積為10,111所以二興s也跡pxO'(?=-x-x=10可得=「在［川‘丿：中口門=，九心卩，

^R2=(5-R)2+-r=-4,得y,x「'球的表面積為25*_625^x「'球的表面積為J'l：-,故選B.【黑龍江省牡丹江市第一高級中學2019屆高三上學期期末】在三棱錐中，匕I「|」山丁，是線段血?上一動點，線段U長度最小值為.'，則三棱錐「-山的外接球的表面積是（）%A.二B.“C.化=D.I行【答案】D【解析】在中，PM2=PA2+AM2=2+AM2-線段^i長度最小值為；,則線段長度最小值為】，即A到BC的最短距離為1lBAD=60°t/.CAD=120°-l&AD=60°則訶川為等腰三角形」」■；==.■-n12“R=-X=2"；；?的外接圓半徑為'、J-'■■■■'設球心距平面ABC的高度為h『—滬+（密-卩則球半徑?-一29V=4氏，=4?rx-=18tt則三棱錐的外接球的表面積是-故選D13.【福建省龍巖市2018-2019學年第一學期期末高三教學質量檢查】在三棱錐中，和"^都是邊長為的等邊三角形，且平面川『平面阮；，則三棱錐外接球的表面積為（）

A.B.KC.IXd.【答案】D【解析】【解析】取毗的中點『連結肛與加」則肚丄DE,且處=DE=2占二齊在DE上馭點！使得殆=沙亦在AE上取點廳使得酣二#町則點虛三角形肌D的外接圓圓心，點廳是三』r-角形的外接圓圓心’則田=討