2022年全國中學生物理競賽決賽模擬試卷試題及答案解析（二）

五、Moiré紋（60分）考慮這樣一種“光柵”,它們像尋常的衍射光柵一樣有密集分布的條紋,用于遮擋光線.我們所使用的光的波長的尺度遠小于條紋的細節(jié),所以實際上無法觀察到衍射現象.當一束均勻的平行光垂直射入光柵時,光柵背后的光屏上會展示出條紋.它們不是光的干涉或衍射條紋,暗紋的出現僅僅是因為本應到達該處的光被光柵上的條紋遮擋.當我們遠遠地觀看光屏時,因為眼睛的辨別能力有限(即條紋間距遠小于Rayleigh判據的要求),實際上觀察到的是一片亮度隨空間分布的光斑,越暗的地方條紋越密.我們定義觀察到的光斑在x,y處的亮度為,在x,(5.1)現在我們制作了兩個相同的光柵,光柵上均勻分布著平直的條紋,條紋寬度都為d,條紋之間的間隙都為p.現在將兩個光柵傾斜擺放,使得它們的條紋與x軸的夾角分別為θ和?θ.兩個光柵關于y軸對稱.將這兩個傾斜擺放的光柵貼在一起后得到一個新的光柵.求均勻的平行光垂直通過這一光柵之后光屏上得到的亮度分布I?x,(5.2)現在我們制作了兩個相似的光柵,光柵上分布著同心圓形狀的條紋.其中一個光柵的條紋的寬度和條紋之間的間隙都為d+,條紋的圓心在a,0.另一個光柵的條紋的寬度和條紋之間的間隙都為d?,條紋的圓心在?a(5.3)接上一問,在極坐標下求暗紋中心的曲線方程;求暗紋的數量有限的條件;在暗紋的數量有限的條件下求暗紋的數量.六、電電圈（50分）有一個圓環(huán)(甜甜圈),截面的圓心到圓環(huán)的軸線的距離為R,截面的半徑為r?R,圓環(huán)內均勻分布著總量為Q的電荷.圓環(huán)以角速度ω繞著軸線旋轉.求軸線附近的磁感應強度,用柱坐標表示,精確到ρ的一階和r答案解析一、突破（40分）(1.1)Proof.顯然原問題等價為證明I收斂(給出這一等價命題可得一半分).令I則有I=I1+I首先處理I1.注意到,當uu因此I由比較審斂法知I1再處理I2.注意到,當uu因此I由比較審斂法知I2因此I收斂,從而任意具有非零能量的粒子都會在有限時間內到達無窮遠.

?推廣:對于A,n>0,勢場Proof.問題等價于證明I收斂,當且僅當n>2.置換元I其中B是beta函數.注意到在宗量的實部趨于0+1

?(1.2)Proof.設U有下界U0,則具有能量E的粒子在τ0這在τ有限時不可能為無窮大量.

?評分標準：考慮到這是一道證明題，所以不設置具體的過程分。第一問30分第二問10分二、球套黑球（70分）(此解答中球坐標的方位角取值為?π(2.1)如圖1所示,以兩個球心的連線為z軸,記P為B上xOz平面內具有極角θ的點.考慮B上以P為原點建立坐標系,z'軸指向O.平面x'Pz'與平面xOx于是A的球心OAx=x考慮從P發(fā)出的具有極角θ'和方位角φx為了求該射線到OA的距離,考慮該射線上的點Q,其到OQ其中u?θ,θ',φ'為QOA2f的形式在定性上有不同.主要分為兩種情形:d<此時對于任意的θ,z'軸都會穿過A.因此,f能定義在整個0d≥此時對于θ∈0,arcsinrd∪π?對于θ∈arcsinrd,π?arcsinrd,z'軸不穿過A.因此,f在θB在P處小面積dAd其中LB?σπSg?其中dΩP或者P其中常數λ?σA對B的總輻射功率顯然為PB對外耗散的總輻射功率顯然為P從而可以建立微分方程組#3即#4其中λ由式[eq:黑體輻射參數]給出.理論上可由式[eq:黑體輻射微分方程]解出T?t.(2.2)此情形給出平凡的結果T?t=這是因為,A的幾乎全部輻射最終總能被反射回A.某根輻射在球形鏡面內來回反射時,它總在某個包含球心的平面內.每一次反射的偏轉角與2π的比值我們可以假定為無理數(因為幾乎所有的實數都是無理數).從而,被反射的某根輻射可以稠密地鋪滿兩個同心圓之間的區(qū)域.該區(qū)域總是能與A有非空的交集(因為一開始該輻射就是從A上射出的),因此輻射總能回到A.評分標準：共70分1，2式各20分3或4式20分5式10分三、步步高升（70分）此解答采用自然單位m=(3.1)因為桿是輕質的,所以斜坡對桿的作用力(彈力和摩擦力的合力)必然沿桿.應用摩擦角的方法易得μ(3.2)令β首先,當兩只腳都與地面接觸時體系靜力平衡,因此此時Kat(重心)必然在兩腳之間.這一幾何關系給出β的下限β現在考慮邁步的過程.令φ為與斜坡接觸的腿與斜坡的法線的夾角.易得邁步過程中的能量守恒1從而有φ建立坐標系,以與斜坡接觸的腳為原點,沿斜坡方向為x軸.易得Kat的y坐標??y對式[eq:Kat坐標]求二階導得y另一方面,在垂直于斜坡方向的Newton第二定律給出y其中N為斜坡對腳的彈力.將式[eq:phi的微分方程]與式[eq:Newton第二定律]代入式[eq:Kat加速度]可得N化簡得N代入不脫離斜面的條件N>E式[eq:E上限]必須對所有φ∈?β,E另一方面,為了翻越φ=E對于由式[eq:E上限2]與式[eq:E下限]組成的不等式組,為了讓E有解,得1其給出β的上限β由式[eq:beta下限]與式[eq:beta上限]得α即sin注意到為了讓ξ有解,α∈從而最終可得所要求的面積?(3.3)當斜坡給予后腳沖量η時,后腿將該沖量傳遞至Kat.從而Kat獲得的垂直于前腿方向的沖量為ηsinE將式[eq:E]代入式[eq:phi的微分方程]可得φ邁一步所需要的時間是φ從?β變化到βT用步幅2ξ除以T即可得平均速度2ξ評分標準：共70分1到14式每個式子共5分。四、擺線氣體（30分）由Boltzmann分布可知,熱平衡態(tài)下粒子數線密度n正比于e?V于是n易知擺線上的線微元dsN注意到0利用題目所給erf的定義,得N于是A代入式[eq:數密度正比]可知數密度,于是知密度λ于是易得質心縱坐標y注意到0于是質心坐標為x另:若不使用Boltzmann分布,可對線微元應用靜力平衡.取線元ds.易知其斜率為?cotφ2.線元兩端的受到壓力之差(沿線元方向的壓力的合力)的大小為kT?由此可得n其與式[eq:數密度正比]相同.評分標準：共30分1到6式每個式子5分五、Moiré紋（60分）(6.1)首先應當注意到d<p與d>p兩種情況能給出定性上不同的條紋,如圖所示.可以看出,當d>現在先研究d<顯然,三角形ABC是以AC為底邊的等腰三角形,其頂角∠ABC=2θ,其腰上的高為dx在三角形ADE中經過類似的推導可知x取四邊平行于坐標軸的矩形作為dS,注意到矩形的高必然遠大于d+p,同時矩形的寬必然遠小于xI而當x∈I當x∈0,考慮到對稱性,可以知道I是只與x有關的以xB+x觀察圖像可知,可以利用絕對值函數將I在一個周期上的解析式寫出.即,當x∈I現在考慮d>p的情形.它與d<p的區(qū)別在于,在x達到d2sinθ之前,x會先達到觀察圖像可知,可以利用絕對值函數將I在一個周期上的解析式寫出.即,當x∈I可以看出,光強其實是相同的.因此它們同時適用于d<p和利用向下取整函數表達周期性.于是x,I?(6.2)若沿用上一問的做法,利用平面幾何來進行分析的話,會過于困難.這一問中,由于條紋的間距和寬度相同,因此可以從相位的角度考慮.將a,0與?a,0假想為兩個光源,它們分別發(fā)出波長為d+和d?的光.當光相遇的時候,如果它們的相位差為2π的整數倍,則這里是亮紋中心(I=1又,注意到亮度應當隨相位線性變化(除非跨越π的整數倍).因此,亮度關于相位差的函數是一個三角波I而相位差可以表示為φ將式[eq:相位差關于坐標]代入式[eq:亮度關于相位差]可得I?(6.3)暗紋即φ將式[eq:相位差關于坐標]代入式[eq:暗紋]即可獲得直角坐標下的暗紋方程d從而可以獲得極坐標下的方程d注意到式[eq:極坐標暗紋方程]左邊最小只能取?d++d?dn大多數情況下式[eq:極坐標暗紋方程]左邊是沒有最大值的,從而n可以取得任意大.但是在d時,式[eq:極坐標暗紋方程]左邊有最大值2a/d,從而n有上界n于是只能有有限個n,從而暗紋的數量有限.暗紋的數量m六、電電圈（50分）容易得到半徑為ρ'B將整個圓環(huán)分解為多個電流環(huán),每個電流環(huán)的位置由圓環(huán)截