畫法幾何及土木工程制圖立體的投影課件

第四章立體的投影第四章立體的投影

我們把這些簡單的幾合體稱為基本幾何體，有時也稱為基本形體，把建筑物及其構(gòu)配件的形體稱為建筑形體。

在建筑工程中，我們會接觸到各種形狀的建筑物（如：房屋、水塔）及其構(gòu)配件（如：基礎(chǔ)、梁、柱等）的形狀雖然復(fù)雜多樣，但經(jīng)過仔細(xì)分析，不難看出它們一般都是由一些簡單的幾何體經(jīng)過疊加、切割、或相交等形式組合而成。我們把這些簡單的幾合體稱為基本幾何體，有時也稱為基本基本幾何體（按照其表面的組成）平面立體：表面全部由平面圍成的幾何體（簡稱平面體）

曲面立體：表面全部由曲面或曲面與平面圍成的幾何體（簡稱曲面體）基本幾何體（按照其表面的組成）平面立體：表面全部由平面圍成的第一節(jié)平面立體的投影

一、平面立體的投影

平面立體的表面都是平面多邊形，凡是帶有斜面的平面體統(tǒng)稱為斜面體，如棱錐、棱臺等。第一節(jié)平面立體的投影一、平面立體的投影平面立體的表面

繪制平面立體的投影，實質(zhì)上就是繪制平面立體各多邊形表面，即繪制各棱線和各頂點的投影。

在平面立體的投影圖中，可見棱線用實線表示，不可見棱線用虛線表示，以區(qū)分可見表面和不可見表面。（一）棱柱體（1）形體特征:棱柱的各棱線互相平行，底面、頂面為多邊形。棱線垂直頂面時稱直棱柱，棱線傾斜頂面時稱斜棱柱。繪制平面立體的投影，實質(zhì)上就是繪制平面立體各多邊形表

（2）安放位置

:安放形體時要考慮兩個因素：一要使形體處于穩(wěn)定狀態(tài)，二要考慮形體的工作狀況。為了作圖方便，應(yīng)盡量使形體的表面平行或垂直于投影面。（3）投影分析（2）安放位置:安放形體時要考慮兩個因素：一要使形體（二）棱錐體（1）形體特征:

底面是多邊形，棱線交于一點，側(cè)棱面均為三角形。（2）安放位置:

底面△ABC平行于H面。（3）投影分析

（二）棱錐體（1）形體特征:底面是多邊形，棱線交于一點【例4-1】作四棱臺的正投影圖解：（1）分析（2）作圖1）四棱臺的上、下底面都與H面平行，前、后兩棱面為側(cè)垂面，左、右兩棱面為正垂面。2）上、下兩底面與H面平行，其水平投影反映實形；其正面、側(cè)面投影積聚為直線。3）前、后兩棱面與W面垂直，其側(cè)面投影積聚為直線；與H、V面傾斜，投影為縮小的類似形。4）左、右兩個面與V面垂直，其正面投影積聚為直線；與H、W面傾斜，投影為縮小的類似形。5）四根斜棱線都是一般位置直線，其投影都不反映實長?！纠?-1】作四棱臺的正投影圖解：（1）分析（2）作圖二、平面立體上點和直線的投影即在其表面上取點、取線的作圖問題其作圖的基本原理就是：平面立體上的點和直線一定在立體表面上。

判斷立體表面上點和線可見與否的原則是：如果點、線所在的表面投影可見，那么點、線的同面投影一定可見，否則不可見。求解方法有：（一）從屬性法當(dāng)點位于立體表面的某條棱線上時，那么點的投影必定在棱線的投影上，既可利用線上點的“從屬性”求解。（二）積聚性法當(dāng)點所在的立體表面對某投影面的投影具有積聚性時，那么點投影必定在該表面對這個投影面的積聚投影上。（三）輔助線法二、平面立體上點和直線的投影即在其表面上取點、取線的作圖問

【例4-2】已知三棱柱的三面投影及其表面上的點M和N的正面投影m‘和n’，求作它們的另兩個投影。

分析：根據(jù)已知條件，M點必在三棱柱前右側(cè)的棱面上（因m'可見），而N點必在三棱柱的后棱面上（因n'不可見）。

作圖：利用棱柱各棱面的水平投影有積聚性，可向下引投影連接，直接找到兩點的水平投影m和n，然后即可按投影規(guī)律求出這兩點的側(cè)面投影m"和n"?！纠?-2】已知三棱柱的三面投影及其表面上的點M和N的正【例4-3】

如下圖所示，已知四棱柱的三面投影及其表面上的點M、N的正面投影，求出另外兩面投影。解：（1）分析

（2）作圖

【例4-3】如下圖所示，已知四棱柱的三面投影及其表面上的點【例4-4】已知三棱錐的三面投影及其表面上點K的正面投影k‘和點L的水平投影l(fā),求出它們的別兩個投影。1、分析2、作圖（1）利用過錐頂S的輔助線求K點各投影【例4-4】已知三棱錐的三面投影及其表面上點K的正面投影k‘（2）利用過L點且平行于底邊的直線為輔助線求L點的各投影【例4-5】

如左圖所示，已知三棱錐的三面投影及其表面上的線段EF的投影ef，求出線段的其它投影。（2）利用過L點且平行于底邊的直線為輔助線求L點的各投影【

下面列出了一些工程中常見到的平面立體的投影圖和立體圖，可按前述平面立體投影圖的畫法對它們進行分析，以便更進一步熟悉平面立體投影的表達方法和規(guī)律。下面列出了一些工程中常見到的平面立體的投影圖和立體圖第二節(jié)曲面立體的投影

一、基本概念

由曲面包圍或者由曲面和平面包圍而成的立體稱為曲面立體。圓柱、圓錐、球和環(huán)是工程上常見的曲面立體。（一）曲線曲線曲線可以看成是一個點按一定規(guī)律運動而形成的軌跡。平面曲線：曲線上各點都是在同一個平面內(nèi)（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）?？臻g曲線：曲線上各點不在同一個平面內(nèi)（如圓柱螺旋線等）。第二節(jié)曲面立體的投影一、基本概念由曲面包圍或二、曲面立體的投影（一）圓柱體的投影

（1）形體分析圓柱體是由圓柱面和兩個圓形的底面所圍成的。

（2）安放位置我們只研究圓柱軸線垂直于某一投影面，底面、頂面為投影面平行面的情況。（3）投影分析

H面投影：V面投影：W面投影：二、曲面立體的投影（一）圓柱體的投影（1）形體分析圓（4）作圖步驟1）用點劃線畫出圓柱體各投影的軸線、中心線；2）有直徑畫水平投影圓；4）由“高平齊、寬相等”作側(cè)面投影矩形。3）由“長對正”和高度作正面投影矩形；注意：非輪廓線的素線投影不必畫出。（4）作圖步驟1）用點劃線畫出圓柱體各投影的軸線、中心線；（二）圓錐體的投影

（1）形體分析圓錐體是由圓錐面和底平面所圍成的。

（2）安放位置當(dāng)圓錐體在投影面體系中的位置一經(jīng)確定后，它對各投影面的投影輪廓也隨之確定。如右圖所示，圓錐軸線垂直于H面，底平面為水平面。（3）投影分析

H面投影V面投影W面投影（二）圓錐體的投影（1）形體分析圓錐體是由圓錐面和底平（4）作圖步驟

⑴用點劃線畫出圓錐體三面投影的軸線、中心線；⑵畫出底面圓的三面投影。底面為水平面，水平投影為反映實形的圓，其它兩投影積聚為直線段，長度等于底圓直徑；⑶依據(jù)圓錐的高度畫出錐頂點S的三面正投影。⑷畫輪廓線的三面正投影，即連接等腰三角形的腰。當(dāng)素線的投影不是輪廓線時，均不畫出。（4）作圖步驟⑴用點劃線畫出圓錐體三面投影的軸線、中心線；（三）圓球體的投影

1、投影分析

圓球體的三面投影都是大小相等的圓，是球體在三個不同方向的輪廓線的投影，其直徑與球徑相等。H面投影的圓a是V面投影的圓b是W面投影的圓c是（三）圓球體的投影1、投影分析圓球體的三面投影都2、作圖步驟⑴用點劃線畫出圓球體各投影的中心線⑵以球的直徑為直徑畫三個等大的圓，如右圖所示。bac2、作圖步驟⑴用點劃線畫出圓球體各投影的中心線⑵以球的直三、曲面立體上點和直線的投影（一）圓柱面上的點和線

1．圓柱面上點的投影

如右圖所示，若已知圓柱面上兩點A和B和正面投影a'和b'，求出它們的水平投影a、b和側(cè)面投影a"、b"。

分析：根據(jù)已知條件a'可見，b'不可見，可知A點在前半個圓柱面上；B點在后半個圓柱面上。利用圓柱的水平投影有積聚性，可直接找到a和b，然后根據(jù)已知二投影求出a″和b″。

由于A點在左半圓柱面上，所以a″為可見；而B點在右半圓柱面上，所以b″為不可見。三、曲面立體上點和直線的投影（一）圓柱面上的點和線1．圓2．圓柱面上線的投影

【例4-5】如下圖所示，已知圓柱面上的AB線段的正面投影a′b′，求其另兩面投影。解：（1）分析

（2）作圖

2．圓柱面上線的投影【例4-5】如下圖所示，已知圓柱面上（二）圓錐面上的點和線

1．圓錐面上點的投影

圓錐體的投影沒有積聚性，在其表面上取點的方法有兩種：方法一：素線法。【例4-6】如下圖所示，已知圓錐面上一點A的正面投影a′，求a、a″。解：（1）分析

（2）作圖

（二）圓錐面上的點和線1．圓錐面上點的投影圓錐體的投影沒方法二：緯圓法?！纠?-7】如下圖所示，已知圓錐表面上一點A的投影a′，求a、a″。解：（1）分析

（2）作圖

方法二：緯圓法?！纠?-7】如下圖所示，已知圓錐表面上一2．圓錐表面上線的投影【例4-8】如下圖所示，已知圓錐表面上的線段AB的正面投影，求其另兩面投影。

作圓錐面上線段的投影的方法：是求出線段上的端點、輪廓線上的點、分界點等特殊位置的點及適當(dāng)數(shù)量的一般點，并依次連接各點的同面投影。

解：（1）分析

（2）作圖

2．圓錐表面上線的投影【例4-8】如下圖所示，已知圓錐表（三）圓球體上的點和線

1．圓球體上的點

由于圓球體的特殊性，過球面上一點可以作屬于球體的無數(shù)個緯圓，為作圖方便，常沿投影面的平行面作相應(yīng)投影面的緯圓，這樣過球面上任一點可以得到H、V、W三個方向的緯圓。因此只要求出過該點的緯圓投影，即可求出該點的投影?！纠?-9】如下圖所示，已知球面上的一點A的投影a′，求a及a〞。解：（1）分析

由a′得知A點在左上半球上，可以利用水平緯圓解題。（2）作圖

（三）圓球體上的點和線1．圓球體上的點由于圓球體2．圓球體上的線【例4-10】如右圖所示，已知屬于球體上的點A、B、C及線段EF的一個投影，求其另兩個投影。解：（1）分析

（2）作圖

小結(jié)：求曲面上點的投影的方法主要有素線法和緯圓法兩種，在采用這兩種方法時應(yīng)著重弄清以下概念：（1）某一點在曲面上，則它一定在該曲面的素線或緯圓上。（2）求一點投影時，要先求出它所在的素線或緯圓的投影。（3）為了熟練地掌握在各種曲面上作素線或緯圓的投影，必須了解各種曲面的形成規(guī)律和特性。2．圓球體上的線【例4-10】如右圖所示，已知屬于球體上第三節(jié)立體表面交線的投影

一、立體表面的截交線

平面與錐面的交線

圓柱面與錐面的交線

第三節(jié)立體表面交線的投影一、立體表面的截交線平面與錐我們把假想用來截割形體的平面，成為截平面。截平面與形體表面的交線稱為截交線。截平面

截交線圍成的平面圖形稱為截面（或斷面）。截交線截交線斷面平面立體和曲面立體截交線都具有以下特性：1．截交線的形狀一般都是封閉的平面多邊形或曲線。2．截交線是平面與立體表面的共有線，既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立體表面共有點的集合。我們把假想用來截割形體的平面，成為截平面。截平面與形體表面（一）平面立體截交線平面立體截交線的特征：

平面立體截交線是一個封閉的平面多邊形，多邊形的頂點是平面立體的棱線與截平面的交點，多邊形的每條邊是平面立體的棱面與截平面的交線。截平面

截交線截交線斷面求作平面立體截交線的方法有兩種方法：

（1）交點法：即先求出平面立體的棱線、底邊與截平面的交點，然后將各點依次連接起來，即得截交線。

連接各交點有一定的原則：只有兩點在同一個棱面上時才能連接，可見棱面上的兩點用實線連接，不可見棱面上的兩點用虛線連接。（2）交線法：即求出平面立體的棱面、底面與截平面的交線。（一）平面立體截交線平面立體截交線的特征：平面立1、棱柱上的截交線【例4-11】如下圖所示，求作四棱柱被正垂面截斷后的投影。解：（1）分析

（2）作圖

（3）求作截斷面的實形

1、棱柱上的截交線【例4-11】如下圖所示，求作四棱柱被2．棱錐上的截交線【例4-12】求作正垂面P截割三棱錐S-ABC所得的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

2．棱錐上的截交線【例4-12】求作正垂面P截割三棱錐S（2）作圖

【例4-13】如圖4-25所示，求作鉛垂面Q截割三棱錐S-ABC所得的截交線。解：（1）分析

（2）作圖【例4-13】如圖4-25所示，求作鉛垂面Q截3．帶缺口的平面立體的投影

畫帶有切口形狀的投影時，關(guān)鍵是要把切口輪廓線的投影表達清楚。而畫切口輪廓線的投影，其實質(zhì)就是求作切口平面與立體的截交線，切口的截交線就是由數(shù)條截交線組合而成。例：完成帶切口的四棱柱的投影（圖中雙點劃線表示立體上被切掉的部分，粗實線表示留下的部分）。解：（1）分析

（2）作圖

3．帶缺口的平面立體的投影畫帶有切口形狀的投影時，【例4-14】如右圖所示，已知三棱錐及其上缺口的V面投影，求H面和W面投影。解：（1）分析

（2）作圖

【例4-14】如右圖所示，已知三棱錐及其上缺口的V面投影，畫法幾何及土木工程制圖立體的投影課件（二）曲面立體截交線（1）平面與曲面立體相交，所得的截交線一般為封閉的平面曲線。

（2）截交線上的每一點，都是截平面與曲面立體表面的共有點。

求曲面立體截交線的方法：求出足夠的共有點，然后依次連接起來，即得截交線。

求共有點的方法有：素線法、緯圓法和輔助平面法。

曲面立體截交線的特征：

平面與圓柱面相交，根據(jù)截平面與圓柱軸線相對位置的不同，所得的截交線有三種情況1．圓柱上的截交線（二）曲面立體截交線（1）平面與曲面立體相交，所得的截交線圓柱面上的截交線截平面P的位置截平面垂直于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平面平行于圓柱軸線截交線空間形狀圓橢圓兩條平行直線投影圖圓柱面上的截交線截平面垂直于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平【例4-15】如右圖所示，求正垂面與圓柱的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點。這些點包括輪廓線上的點、特殊素線上的點、極限點以及橢圓長短軸的端點。2）求一般點。為了作圖準(zhǔn)確，在截交線上特殊點之間選取一些一般位置點。3）連點。將所求各點的側(cè)面投影順次光滑連接4）判別可見性。

【例4-15】如右圖所示，求正垂面與圓柱的截交線。解：（2．圓錐上的截交線

當(dāng)平面與圓錐截交時，根據(jù)截平面與圓錐軸線相對位置的不同，可產(chǎn)生五種不同形狀的截交線：2．圓錐上的截交線當(dāng)平面與圓錐截交時，根據(jù)截平面與截平面p位置截平面垂直于圓錐軸線截平面與錐面上所有素線相交截平面平行于圓錐面上一條素線截平面平行于圓錐面上兩條素線截平面通過錐頂截交線空間形狀圓橢圓拋物線雙曲線兩條素線投影圖

圓錐面上的截交線截平面p位置截平面垂直于圓錐軸線截平面與錐面上所有素線相交截【例4-16】如下圖所示，已知圓錐的三面投影和正垂面P的投影，求截交線的投影及實形。解：（1）分析

（2）作圖

1）求長軸端點2）求短軸端點3）求最前、最后素線與P面的交點E、F4）求一般點L、N5）連接各點并判別可見性6）求截面的實形【例4-16】如下圖所示，已知圓錐的三面投影和正垂面P的投【例4-17】如下圖所示，求作側(cè)平面Q與圓錐的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

【例4-17】如下圖所示，求作側(cè)平面Q與圓錐的截交線。解3．球上的截交線

球體上的截面不論其角度如何，所得截交線的形狀都是圓。截平面距球心的距離決定截交圓的大小，經(jīng)過球心的截交圓是最大的截交圓。（1）球上截交線的特征：

（2）球上截交線的投影分析3．球上的截交線球體上的截面不論其角度如何，所得截4．帶缺口的曲面立體的投影【例4-18】如下圖所示，給出圓柱切割體的正面投影和水平投影，補畫出側(cè)面投影。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點。2）求一般點。4．帶缺口的曲面立體的投影【例4-18】如下圖所示，給出【例4-19】如下圖所示，求切割后圓錐的投影。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點2）求一般點3）連點并判別可見性【例4-19】如下圖所示，求切割后圓錐的投影。解：（1）分【例4-20】如下圖所示，已知半球體被切割后的正面投影，畫出其水平投影及側(cè)面投影。解：（1）分析

（2）作圖【例4-20】如下圖所示，已知半球體被切割后的正面投影，二、立體表面的相貫線

在建筑形體中常常會遇到由兩個或兩個以上的基本形體相交（或稱相貫）而成的組合形體，兩相交的立體稱為相貫體。它們的表面交線稱為相貫線（或稱相交線）。1.相貫線是兩形體表面的共有線。2.相貫線上的點即為兩形體表面的共有點，同時也是兩形體表面的分界點。立體相交可分為三種情況：（1）平面立體與平面立體相交，（2）平面立體與曲面立體相交，（3）曲面立體與曲面立體相交。相貫線的特性:二、立體表面的相貫線在建筑形體中常常會遇到由兩個或㈠直線與立體相交直線與立體表面相交，其交點稱為貫穿點。貫穿點的特征：一般情況是成對出現(xiàn)的（一進一出）。求貫穿點的常用方法有兩種：第一種方法：利用積聚性求貫穿點；第二種方法：利用輔助平面求貫穿點。即當(dāng)直線與立體表面的投影沒有積聚性時，用輔助平面求貫穿點。作輔助平面求貫穿點的步驟如下：首先，過直線作適當(dāng)?shù)妮o助平面；其次，求出輔助平面與平面立體的截交線；再次，求出截交線與已知直線的交點，即為所求的貫穿點。輔助平面的選擇原則：應(yīng)使所作的輔助平面與立體的交線簡單易畫(直線或圓)，為了簡化作圖，通常選擇投影面垂直面作為輔助面。㈠直線與立體相交直線與立體表面相交，其交點稱為貫穿點。貫1．直線與平面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-21】如下圖所示，已知鉛垂線EF的水平投影，求其與三棱錐S-ABC的貫穿點。解：1）分析

2）作圖

①求貫穿點的正面投影m′、n′。②判別可見性。1．直線與平面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-【例4-22】如下圖所示，求一般位置直線EF與三棱柱ABC的貫穿點M、N。

解：1）分析

2）作圖

①求貫穿點的正面投影m′、n′。②判別可見性?！纠?-22】如下圖所示，求一般位置直線EF與三棱柱ABC（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-23】如下圖所示，求直線KL與三棱錐S-ABC的貫穿點M、N。解：1）分析

2）作圖

①作輔助平面。②求出截交線的水平投影△123，△123與kl的交點m、n即為貫穿點M、N的水平投影。③判別可見性。（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-23】如下圖所示，求2．直線與曲面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-24】如下圖所示，求一般位置直線AB與圓柱的貫穿點。解：1）分析

2）作圖

①求水平投影m、n。②根據(jù)點、線的從屬關(guān)系，求出m′、n′。③判別可見性。2．直線與曲面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-25】如左圖所示，求正垂線CD與圓錐面的貫穿點。解：1）分析

2）作圖

①求正面投影k′、l′。②求水平投影k、l。③判別可見性。（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-25】如左圖所示，求㈡兩平面立體的表面交線相交形體的表面交線稱為相貫線。兩平面立體相貫線的特征：一般情況為空間折線，特殊情況為平面折線，每段折線是兩立體棱面的交線，每個折點是一立體棱線與另一立體的貫穿點。立體的相貫形式有兩種：

一是全貫，即一個立體完全穿過另一個立體，相貫線有兩組；二是互貫，兩個立體各有一部分參與相貫，相貫線為一組。求兩平面體相貫線的方法：有兩種（1）交點法——先作出各個平面體的有關(guān)棱線與另一立體的交點，再將所有交點順次連成折線，即組成相貫線。連點的規(guī)則是：只有當(dāng)兩個交點對每個立體來說，都位于同一個棱面上時才能相連，否則不能相連。（2）交線法——直接作出兩平面立體上兩個相應(yīng)棱面的交線，然后組成相貫線。判別可見性：判別的原則是，只有位于兩立體都可見的棱面上的交線才是可見的。只要有一個棱面不可見，面上的交線就不可見，應(yīng)畫成虛線。㈡兩平面立體的表面交線相交形體的表面交線稱為相貫線。兩平【例4-26】如下圖所示，求作直立的三棱柱和水平的三棱柱的相貫線。解：（1）分析

（2）作圖

是互貫，互貫的相貫線為一組空間折線?！纠?-26】如下圖所示，求作直立的三棱柱和水平的三棱柱的【例4-27】見下圖所示，求作長方體和三棱錐的相貫線。解：（1）分析

（2）作圖1）在正面上標(biāo)出各貫穿點的投影；

2）作水平面P、Q，求出全部折點的水平投影，進一步求出其側(cè)面投影；3）連點并判別可見性。

【例4-27】見下圖所示，求作長方體和三棱錐的相貫線。解【例4-28】如下圖所示，求作三棱錐和三棱柱的相貫線。解：（1）分析

（2）作圖1）求折點。2）連折點。3）判別可見性?！纠?-28】如下圖所示，求作三棱錐和三棱柱的相貫線。解㈢平面立體與曲面立體的表面交線

平面立體與曲面立體相交時，其相貫線的特征：

1.相貫線是由若干段平面曲線或平面曲線和直線所組成。作相貫線投影圖的方法：先求出轉(zhuǎn)折點，再根據(jù)求曲面體上截交線的方法，求出每段曲線或直線。2.各段平面曲線或直線，就是平面立體上各棱面截割曲面立體所得的截交線。每一段平面曲線或直線的折點，就是平面立體的棱線與曲面立體表面的交點。㈢平面立體與曲面立體的表面交線平面立體與曲面立體相交時，其【例4-29】如下圖所示，求四棱錐與圓柱的相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求連接點。2）求特殊點。3）判別可見性并連線。【例4-29】如下圖所示，求四棱錐與圓柱的相貫線。解：（1【例4-30】如下圖所示，給出圓錐薄殼基礎(chǔ)的主要輪廓線，求作相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求特殊點。3）連點。4）判斷可見性。2）同樣用素線法求出兩對稱的一般點E、F的正面投影e′、f′及側(cè)面投影e″、f″；【例4-30】如下圖所示，給出圓錐薄殼基礎(chǔ)的主要輪廓線，求㈣兩曲面立體表面的交線

兩曲面體表面相貫線的特征：一般是封閉的空間曲線，特殊情況下可能為平面曲線或直線。兩曲面體表面相貫線的性質(zhì)：組成相貫線的所有相貫點，均為兩曲面體表面的共有點。求相貫線的原理：先求出一系列的共有點，然后依次連接各點，即得相貫線。求相貫線的方法：

1.積聚投影法——相交兩曲面體，如果有一個表面投影具有積聚性時，就可利用該曲面體投影的積聚性作出兩曲面的一系列共有點，然后依次連成相貫線。2.輔助平面法——根據(jù)三面共點原理，作輔助平面與兩曲面相交，求出兩輔助截交線的交點，即為相貫點。㈣兩曲面立體表面的交線兩曲面體表面相貫線的特征：一般是封閉求共有點時，應(yīng)先求特殊點，再求一般點。相貫線上的特殊點包括：可見性分界點，曲面投影輪廓線上的點，極限位置點（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。選擇輔助平面的原則是：輔助截平面與兩個曲面的截交線（輔助截交線）的投影都應(yīng)是最簡單易畫的直線或圓。因此在實際應(yīng)用中往往多采用投影面的平行面作為輔助截平面。求共有點時，應(yīng)先求特殊點，再求一般點。相貫線上的特殊點包括1.兩回轉(zhuǎn)體相交,交線為相貫線.圓柱與圓柱相交相貫線2.相貫線為二立體表面的公共線。3.相貫線一般為封閉的空間曲線.圓柱與圓錐相交相貫線為二立體表面公共線封閉的空間曲線相貫線相貫線1.兩回轉(zhuǎn)體相交,交線為相貫線.圓柱與圓柱相交相貫線2.相貫【例4-31】如下圖所示，求作兩軸線正交的圓柱體的相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求特殊點2）求一般點3）連點并判別可見性【例4-31】如下圖所示，求作兩軸線正交的圓柱體的相貫線?！纠?-32】如下圖所示，求圓柱與圓錐的相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求特殊點①求最低點②求最高點③求最右點④求圓錐正面輪廓線上的點2）求一般點3）連線并判別可見性?！纠?-32】如下圖所示，求圓柱與圓錐的相貫線。解：（14.特殊情況下,相貫線為平面曲線或直線.相貫線為圓相貫線為直線4.特殊情況下,相貫線為平面曲線或直線.相貫線為圓相貫線為直特殊位置和形狀的相貫線等徑正交兩圓柱的相貫線特殊位置和形狀的相貫線等徑正交兩圓柱的相貫線特殊位置和形狀的相貫線軸線平行兩圓柱的相貫線特殊位置和形狀的相貫線軸線平行兩圓柱的相貫線特殊位置和形狀的相貫線兩同軸回轉(zhuǎn)體的相貫線相貫線為水平圓相貫線為水平圓相貫線為側(cè)平圓特殊位置和形狀的相貫線兩同軸回轉(zhuǎn)體的相貫線相貫線為水平圓相貫例:求二圓柱的相貫線.分析:相貫線水平投影不用求相貫線側(cè)面投影不用求作圖:最前點1最后點2最低點最左點3最右點4最高點2.適當(dāng)求一般點3.連線1?2?3?4?12341?2?1.求特殊點4?3?例:求二圓柱的相貫線.分析:相貫線水平投影不用求相貫線側(cè)面投第四節(jié)組合體的三面正投影一、組合體的組成由基本幾何體組成的形體稱為組合體。

組合體（根據(jù)構(gòu)成方式的不同）疊加型組合體：是由若干個基本幾何體疊加而成切割型組合體：是由基本幾何體切割去某些形體而成相貫型組合體：是由若干個基本幾何體相交而成綜合型組合體：是既有疊加又有切割或相交的組合體第四節(jié)組合體的三面正投影一、組合體的組成由基本幾何體畫法幾何及土木工程制圖立體的投影課件二、組合體三面投影圖的畫法（一）三面投影和三視圖

基本幾何體在H、V及W投影面上的投影統(tǒng)稱為三面投影。三面投影

H面投影又稱為水平投影

V面投影又稱為正面投影

W面投影又稱為側(cè)面投影

在建筑工程制圖中，通常把建筑形體或組合體在投影面上的投影稱為視圖；既把建筑形體或組合體的三面投影圖稱為三面視圖（簡稱三視圖）。三視圖

形體的水平投影稱為平面圖

形體的正面投影稱為正立面圖

形體的側(cè)面投影稱為左側(cè)立面圖

二、組合體三面投影圖的畫法（一）三面投影和三視圖三視圖

形體的水平投影稱為平面圖

形體的正面投影稱為正立面圖

形體的側(cè)面投影稱為左側(cè)立面圖

三視圖形體的水平投影稱為平面圖形體的正面投影稱為正立面圖（二）組合體三面投影圖的畫法

把一個復(fù)雜形體分解成若干基本形體或簡單形體的方法，稱為形體分析法。它是畫圖、讀圖和標(biāo)注尺寸的基本方法。1．形體分析如下圖a所示為一室外臺階，把它可以看成是由邊墻、臺階、邊墻三大部分組成。（二）組合體三面投影圖的畫法把一個復(fù)雜形體分解成若再如下圖a所示是一肋式杯形基礎(chǔ)，可以把它看成由底板、中間挖去一楔形塊的四棱柱和六塊梯形肋板組成。再如下圖a所示是一肋式杯形基礎(chǔ)，可以把它看成由底板、中間挖去

畫組合體的投影圖時，必須正確表示各基本形體之間的表面連接。形體之間的表面連接可歸納為以下四種情況：（1）兩形體表面相交時，兩表面投影之間應(yīng)畫出交線的投影；（2）兩形體的表面共面時，兩表面投影之間不應(yīng)畫線；（3）兩形體的表面相切時，由于光滑過渡，兩表面投影之間不應(yīng)畫線；（4）兩形體的表面不共面時，兩表面投影之間應(yīng)該有線分開。畫組合體的投影圖時，必須正確表示各基本形體之間的表面2．投影圖選擇投影圖選擇包括確定物體的安放位置、選擇正面投影及確定投影圖數(shù)量等。（1）確定安放位置

一要使形體處于穩(wěn)定狀態(tài)，二要考慮形體的工作狀況。為了作圖方便，應(yīng)盡量使形體的表面平行或垂直于投影面。2．投影圖選擇投影圖選擇包括確定物體的安放位置、選擇正面投（2）選擇正面投影

正立面圖是表達形體的一組視圖中最主要的視圖，所以在視圖分析的過程中應(yīng)重點考慮。其選擇的原則為：1）應(yīng)使正面投影盡量反映出物體各組成部分的形狀特征及其相對位置；2）應(yīng)使視圖上的虛線盡可能少一些；3）應(yīng)合理利用圖紙的幅面；正面投影方向（3）確定投影圖數(shù)量：用較少的投影圖把物體的形狀完整、清楚、準(zhǔn)確的表達出來。（2）選擇正面投影正立面圖是表達形體的一組視圖中最3．畫圖步驟（1）選取畫圖比例、確定圖幅（2）布圖、畫基準(zhǔn)線

正面投影方向（3）繪制視圖的底稿根據(jù)物體投影規(guī)律，逐個畫出各基本形體的三視圖。

畫圖的順序是：一般先畫實形體，后畫虛形體（挖去的形體）；先畫大形體后畫小形體；先畫整體形狀，后畫細(xì)節(jié)形狀。（4）檢查、描深：檢查無誤后，可按規(guī)定的線型進行加深。3．畫圖步驟（1）選取畫圖比例、確定圖幅（2）布圖、畫基（1）選取畫圖比例、確定圖幅（2）布圖、畫基準(zhǔn)線

（3）繪制視圖的底稿（4）檢查、描深作右圖所示形體的三視圖（1）選取畫圖比例、確定圖幅（2）布圖、畫基準(zhǔn)線（3）繪三、尺寸標(biāo)注（一）基本幾何體的尺寸標(biāo)注

形體的真實大小，必須由尺寸來確定。

1.任何基本幾何體都有長、寬、高三個方向上的大小，在視圖上，通常要把反映這三個方向的大小尺寸都標(biāo)注出來。

三、尺寸標(biāo)注（一）基本幾何體的尺寸標(biāo)注形體的真實大小，必2.對于回轉(zhuǎn)體，可在其非圓視圖上注出直徑方向尺寸“”。

3.球的尺寸標(biāo)注要在直徑數(shù)字前加注“S”。

4.尺寸一般標(biāo)注在反映實形的投影上，并盡可能集中注寫在一兩個投影的下方或右方，必要時才注寫在上方或左方。

5.一個尺寸只需標(biāo)注一次，盡量避免重復(fù)。

6.正多邊形的大小，可標(biāo)注其外接圓的直徑尺寸。

不必再標(biāo)注2.對于回轉(zhuǎn)體，可在其非圓視圖上注出直徑方向尺寸“”。3對于被切割的基本幾何體，除了要注出基本形體的尺寸外，還應(yīng)注出截平面的位置尺寸，但不必注出截交線的尺寸。

對于被切割的基本幾何體，除了要注出基本形體的尺寸外，還應(yīng)注出（二）組合體的尺寸標(biāo)注組合體尺寸標(biāo)注的基本要求是完整、清晰、合理。

（1）尺寸標(biāo)注的方法

標(biāo)注組合體的尺寸時，應(yīng)先對物體進行形體分析，然后順序標(biāo)注出其定形尺寸、定位尺寸和總尺寸。

定形尺寸——確定物體各組成部分的形狀、大小的尺寸。

定位尺寸——確定物體各組成部分之間的相對位置的尺寸。

總尺寸——確定物體的總長、總寬和總高的尺寸。

（二）組合體的尺寸標(biāo)注組合體尺寸標(biāo)注的基本要求是完整、清晰

以下圖所示的肋式杯形基礎(chǔ)為例，說明組合體尺寸標(biāo)注的步驟：

1）形體分析2）標(biāo)注定形尺寸3）標(biāo)注定位尺寸4）標(biāo)注總尺寸以下圖所示的肋式杯形基礎(chǔ)為例，說明組合體尺寸標(biāo)注的步（2）尺寸標(biāo)注應(yīng)注意的幾個問題

1）尺寸一般宜注寫在反映形體特征的投影圖上

2）尺寸應(yīng)盡可能標(biāo)注在圖形輪廓線外面，不宜與圖線、文字及符號相交；但某些細(xì)部尺寸允許標(biāo)注在圖形內(nèi)。

3）表達同一幾何形體的定形、定位尺寸，應(yīng)盡量集中標(biāo)注。

4）尺寸線的排列要整齊。對同方向上的尺寸線，組合起來排成幾道尺寸，從被注圖形的輪廓線由近至遠(yuǎn)整齊排列，小尺寸線離輪廓線近，大尺寸線應(yīng)離輪廓線遠(yuǎn)些，且尺寸線間的距離應(yīng)相等。

5）盡量避免在虛線上標(biāo)注尺寸。

（2）尺寸標(biāo)注應(yīng)注意的幾個問題1）尺寸一般宜注寫在反映形體四、組合體三面正投影圖的識讀（一）讀圖的基本知識

投影圖的識讀就是根據(jù)物體投影圖想象出物體的空間形狀，也就是看圖、讀圖、識圖。畫圖是由物到圖，讀圖則是由圖到物。（1）將幾個投影圖聯(lián)系起來看一個投影圖不能確定物體的形狀四、組合體三面正投影圖的識讀（一）讀圖的基本知識有時兩個投影圖也不能確定物體的形狀（2）有基本技能熟練掌握基本幾何體、較簡單的組合體的形狀特征和的投影特征（3）讀圖時應(yīng)先從特征視圖入手有時兩個投影圖也不能確定物體的形狀（2）有基本技能熟練（4）明確投影圖中封閉線框和圖線的含義投影圖上一個封閉線框可能有下述幾種含義：①表示一個平面或曲面；②表示一個相切的組合面；③表示一個孔洞。投影圖上的一條線段可能表示：①物體上一個具有積聚性的平面或曲面；②表示兩個面的交線；③表示曲面的輪廓素線。（4）明確投影圖中封閉線框和圖線的含義投影圖上一個封閉線框（二）讀圖的基本方法1．形體分析法

所謂形體分析法，就是通過對物體幾個投影圖的對比，先找到特征視圖，然后按照視圖中的每一個封閉線框都代表一個簡單基本形體的投影道理，將特征視圖分解成若干個封閉線框，按“三等關(guān)系”找出每一線框所對應(yīng)的其它投影，并想出形狀。然后再把他們拼裝起來，去掉重復(fù)的部分，最后構(gòu)思出該物體的整體形狀?！纠?-35】試根據(jù)投影圖想象出物體的形狀。（二）讀圖的基本方法1．形體分析法所謂形體分析法畫法幾何及土木工程制圖立體的投影課件2．線面分析法

線面分析法就是以線、面的投影規(guī)律為基礎(chǔ)，根據(jù)形體投影的某些圖線和線框，分析它們的形狀和相互位置，從而想象出被它們圍成的形體的整體形狀。

形體分析法和線面分析法是有聯(lián)系的，不能截然分開。對于比較復(fù)雜的圖形，先從形體分析獲得形體的大致整體形象之后，不清楚的地方針對每一條“線段”和每一個封閉“線框”加以分析，從而明確該部分的形狀，彌補形體分析的不足。以形體分析法為主，結(jié)合線面分析法，綜合想象得出組合體的全貌?！纠?-36】試根據(jù)下圖a所示投影圖，想象出擋土墻的形狀。2．線面分析法線面分析法就是以線、面的投影規(guī)律為基畫法幾何及土木工程制圖立體的投影課件（三）讀圖的步驟以下圖a所示的組合體投影為例，介紹讀圖的過程?！纠?-37】識讀組合體投影圖，如下圖a所示。解：（1）分析投影圖抓住特征（2）對投影想形狀（三）讀圖的步驟以下圖a所示的組合體投影為例，介紹讀圖的過（3）綜合起來想整體（3）綜合起來想整體【例4-38】

補畫下圖a所示組合體的側(cè)面投影。

【例4-38】補畫下圖a所示組合體的側(cè)面投影。第四章立體的投影第四章立體的投影

我們把這些簡單的幾合體稱為基本幾何體，有時也稱為基本形體，把建筑物及其構(gòu)配件的形體稱為建筑形體。

在建筑工程中，我們會接觸到各種形狀的建筑物（如：房屋、水塔）及其構(gòu)配件（如：基礎(chǔ)、梁、柱等）的形狀雖然復(fù)雜多樣，但經(jīng)過仔細(xì)分析，不難看出它們一般都是由一些簡單的幾何體經(jīng)過疊加、切割、或相交等形式組合而成。我們把這些簡單的幾合體稱為基本幾何體，有時也稱為基本基本幾何體（按照其表面的組成）平面立體：表面全部由平面圍成的幾何體（簡稱平面體）

曲面立體：表面全部由曲面或曲面與平面圍成的幾何體（簡稱曲面體）基本幾何體（按照其表面的組成）平面立體：表面全部由平面圍成的第一節(jié)平面立體的投影

一、平面立體的投影

平面立體的表面都是平面多邊形，凡是帶有斜面的平面體統(tǒng)稱為斜面體，如棱錐、棱臺等。第一節(jié)平面立體的投影一、平面立體的投影平面立體的表面

繪制平面立體的投影，實質(zhì)上就是繪制平面立體各多邊形表面，即繪制各棱線和各頂點的投影。

在平面立體的投影圖中，可見棱線用實線表示，不可見棱線用虛線表示，以區(qū)分可見表面和不可見表面。（一）棱柱體（1）形體特征:棱柱的各棱線互相平行，底面、頂面為多邊形。棱線垂直頂面時稱直棱柱，棱線傾斜頂面時稱斜棱柱。繪制平面立體的投影，實質(zhì)上就是繪制平面立體各多邊形表

（2）安放位置

:安放形體時要考慮兩個因素：一要使形體處于穩(wěn)定狀態(tài)，二要考慮形體的工作狀況。為了作圖方便，應(yīng)盡量使形體的表面平行或垂直于投影面。（3）投影分析（2）安放位置:安放形體時要考慮兩個因素：一要使形體（二）棱錐體（1）形體特征:

底面是多邊形，棱線交于一點，側(cè)棱面均為三角形。（2）安放位置:

底面△ABC平行于H面。（3）投影分析

（二）棱錐體（1）形體特征:底面是多邊形，棱線交于一點【例4-1】作四棱臺的正投影圖解：（1）分析（2）作圖1）四棱臺的上、下底面都與H面平行，前、后兩棱面為側(cè)垂面，左、右兩棱面為正垂面。2）上、下兩底面與H面平行，其水平投影反映實形；其正面、側(cè)面投影積聚為直線。3）前、后兩棱面與W面垂直，其側(cè)面投影積聚為直線；與H、V面傾斜，投影為縮小的類似形。4）左、右兩個面與V面垂直，其正面投影積聚為直線；與H、W面傾斜，投影為縮小的類似形。5）四根斜棱線都是一般位置直線，其投影都不反映實長?！纠?-1】作四棱臺的正投影圖解：（1）分析（2）作圖二、平面立體上點和直線的投影即在其表面上取點、取線的作圖問題其作圖的基本原理就是：平面立體上的點和直線一定在立體表面上。

判斷立體表面上點和線可見與否的原則是：如果點、線所在的表面投影可見，那么點、線的同面投影一定可見，否則不可見。求解方法有：（一）從屬性法當(dāng)點位于立體表面的某條棱線上時，那么點的投影必定在棱線的投影上，既可利用線上點的“從屬性”求解。（二）積聚性法當(dāng)點所在的立體表面對某投影面的投影具有積聚性時，那么點投影必定在該表面對這個投影面的積聚投影上。（三）輔助線法二、平面立體上點和直線的投影即在其表面上取點、取線的作圖問

【例4-2】已知三棱柱的三面投影及其表面上的點M和N的正面投影m‘和n’，求作它們的另兩個投影。

分析：根據(jù)已知條件，M點必在三棱柱前右側(cè)的棱面上（因m'可見），而N點必在三棱柱的后棱面上（因n'不可見）。

作圖：利用棱柱各棱面的水平投影有積聚性，可向下引投影連接，直接找到兩點的水平投影m和n，然后即可按投影規(guī)律求出這兩點的側(cè)面投影m"和n"?！纠?-2】已知三棱柱的三面投影及其表面上的點M和N的正【例4-3】

如下圖所示，已知四棱柱的三面投影及其表面上的點M、N的正面投影，求出另外兩面投影。解：（1）分析

（2）作圖

【例4-3】如下圖所示，已知四棱柱的三面投影及其表面上的點【例4-4】已知三棱錐的三面投影及其表面上點K的正面投影k‘和點L的水平投影l(fā),求出它們的別兩個投影。1、分析2、作圖（1）利用過錐頂S的輔助線求K點各投影【例4-4】已知三棱錐的三面投影及其表面上點K的正面投影k‘（2）利用過L點且平行于底邊的直線為輔助線求L點的各投影【例4-5】

如左圖所示，已知三棱錐的三面投影及其表面上的線段EF的投影ef，求出線段的其它投影。（2）利用過L點且平行于底邊的直線為輔助線求L點的各投影【

下面列出了一些工程中常見到的平面立體的投影圖和立體圖，可按前述平面立體投影圖的畫法對它們進行分析，以便更進一步熟悉平面立體投影的表達方法和規(guī)律。下面列出了一些工程中常見到的平面立體的投影圖和立體圖第二節(jié)曲面立體的投影

一、基本概念

由曲面包圍或者由曲面和平面包圍而成的立體稱為曲面立體。圓柱、圓錐、球和環(huán)是工程上常見的曲面立體。（一）曲線曲線曲線可以看成是一個點按一定規(guī)律運動而形成的軌跡。平面曲線：曲線上各點都是在同一個平面內(nèi)（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等）?？臻g曲線：曲線上各點不在同一個平面內(nèi)（如圓柱螺旋線等）。第二節(jié)曲面立體的投影一、基本概念由曲面包圍或二、曲面立體的投影（一）圓柱體的投影

（1）形體分析圓柱體是由圓柱面和兩個圓形的底面所圍成的。

（2）安放位置我們只研究圓柱軸線垂直于某一投影面，底面、頂面為投影面平行面的情況。（3）投影分析

H面投影：V面投影：W面投影：二、曲面立體的投影（一）圓柱體的投影（1）形體分析圓（4）作圖步驟1）用點劃線畫出圓柱體各投影的軸線、中心線；2）有直徑畫水平投影圓；4）由“高平齊、寬相等”作側(cè)面投影矩形。3）由“長對正”和高度作正面投影矩形；注意：非輪廓線的素線投影不必畫出。（4）作圖步驟1）用點劃線畫出圓柱體各投影的軸線、中心線；（二）圓錐體的投影

（1）形體分析圓錐體是由圓錐面和底平面所圍成的。

（2）安放位置當(dāng)圓錐體在投影面體系中的位置一經(jīng)確定后，它對各投影面的投影輪廓也隨之確定。如右圖所示，圓錐軸線垂直于H面，底平面為水平面。（3）投影分析

H面投影V面投影W面投影（二）圓錐體的投影（1）形體分析圓錐體是由圓錐面和底平（4）作圖步驟

⑴用點劃線畫出圓錐體三面投影的軸線、中心線；⑵畫出底面圓的三面投影。底面為水平面，水平投影為反映實形的圓，其它兩投影積聚為直線段，長度等于底圓直徑；⑶依據(jù)圓錐的高度畫出錐頂點S的三面正投影。⑷畫輪廓線的三面正投影，即連接等腰三角形的腰。當(dāng)素線的投影不是輪廓線時，均不畫出。（4）作圖步驟⑴用點劃線畫出圓錐體三面投影的軸線、中心線；（三）圓球體的投影

1、投影分析

圓球體的三面投影都是大小相等的圓，是球體在三個不同方向的輪廓線的投影，其直徑與球徑相等。H面投影的圓a是V面投影的圓b是W面投影的圓c是（三）圓球體的投影1、投影分析圓球體的三面投影都2、作圖步驟⑴用點劃線畫出圓球體各投影的中心線⑵以球的直徑為直徑畫三個等大的圓，如右圖所示。bac2、作圖步驟⑴用點劃線畫出圓球體各投影的中心線⑵以球的直三、曲面立體上點和直線的投影（一）圓柱面上的點和線

1．圓柱面上點的投影

如右圖所示，若已知圓柱面上兩點A和B和正面投影a'和b'，求出它們的水平投影a、b和側(cè)面投影a"、b"。

分析：根據(jù)已知條件a'可見，b'不可見，可知A點在前半個圓柱面上；B點在后半個圓柱面上。利用圓柱的水平投影有積聚性，可直接找到a和b，然后根據(jù)已知二投影求出a″和b″。

由于A點在左半圓柱面上，所以a″為可見；而B點在右半圓柱面上，所以b″為不可見。三、曲面立體上點和直線的投影（一）圓柱面上的點和線1．圓2．圓柱面上線的投影

【例4-5】如下圖所示，已知圓柱面上的AB線段的正面投影a′b′，求其另兩面投影。解：（1）分析

（2）作圖

2．圓柱面上線的投影【例4-5】如下圖所示，已知圓柱面上（二）圓錐面上的點和線

1．圓錐面上點的投影

圓錐體的投影沒有積聚性，在其表面上取點的方法有兩種：方法一：素線法?！纠?-6】如下圖所示，已知圓錐面上一點A的正面投影a′，求a、a″。解：（1）分析

（2）作圖

（二）圓錐面上的點和線1．圓錐面上點的投影圓錐體的投影沒方法二：緯圓法?！纠?-7】如下圖所示，已知圓錐表面上一點A的投影a′，求a、a″。解：（1）分析

（2）作圖

方法二：緯圓法?！纠?-7】如下圖所示，已知圓錐表面上一2．圓錐表面上線的投影【例4-8】如下圖所示，已知圓錐表面上的線段AB的正面投影，求其另兩面投影。

作圓錐面上線段的投影的方法：是求出線段上的端點、輪廓線上的點、分界點等特殊位置的點及適當(dāng)數(shù)量的一般點，并依次連接各點的同面投影。

解：（1）分析

（2）作圖

2．圓錐表面上線的投影【例4-8】如下圖所示，已知圓錐表（三）圓球體上的點和線

1．圓球體上的點

由于圓球體的特殊性，過球面上一點可以作屬于球體的無數(shù)個緯圓，為作圖方便，常沿投影面的平行面作相應(yīng)投影面的緯圓，這樣過球面上任一點可以得到H、V、W三個方向的緯圓。因此只要求出過該點的緯圓投影，即可求出該點的投影?！纠?-9】如下圖所示，已知球面上的一點A的投影a′，求a及a〞。解：（1）分析

由a′得知A點在左上半球上，可以利用水平緯圓解題。（2）作圖

（三）圓球體上的點和線1．圓球體上的點由于圓球體2．圓球體上的線【例4-10】如右圖所示，已知屬于球體上的點A、B、C及線段EF的一個投影，求其另兩個投影。解：（1）分析

（2）作圖

小結(jié)：求曲面上點的投影的方法主要有素線法和緯圓法兩種，在采用這兩種方法時應(yīng)著重弄清以下概念：（1）某一點在曲面上，則它一定在該曲面的素線或緯圓上。（2）求一點投影時，要先求出它所在的素線或緯圓的投影。（3）為了熟練地掌握在各種曲面上作素線或緯圓的投影，必須了解各種曲面的形成規(guī)律和特性。2．圓球體上的線【例4-10】如右圖所示，已知屬于球體上第三節(jié)立體表面交線的投影

一、立體表面的截交線

平面與錐面的交線

圓柱面與錐面的交線

第三節(jié)立體表面交線的投影一、立體表面的截交線平面與錐我們把假想用來截割形體的平面，成為截平面。截平面與形體表面的交線稱為截交線。截平面

截交線圍成的平面圖形稱為截面（或斷面）。截交線截交線斷面平面立體和曲面立體截交線都具有以下特性：1．截交線的形狀一般都是封閉的平面多邊形或曲線。2．截交線是平面與立體表面的共有線，既在截平面上，又在立體表面上，是截平面與立體表面共有點的集合。我們把假想用來截割形體的平面，成為截平面。截平面與形體表面（一）平面立體截交線平面立體截交線的特征：

平面立體截交線是一個封閉的平面多邊形，多邊形的頂點是平面立體的棱線與截平面的交點，多邊形的每條邊是平面立體的棱面與截平面的交線。截平面

截交線截交線斷面求作平面立體截交線的方法有兩種方法：

（1）交點法：即先求出平面立體的棱線、底邊與截平面的交點，然后將各點依次連接起來，即得截交線。

連接各交點有一定的原則：只有兩點在同一個棱面上時才能連接，可見棱面上的兩點用實線連接，不可見棱面上的兩點用虛線連接。（2）交線法：即求出平面立體的棱面、底面與截平面的交線。（一）平面立體截交線平面立體截交線的特征：平面立1、棱柱上的截交線【例4-11】如下圖所示，求作四棱柱被正垂面截斷后的投影。解：（1）分析

（2）作圖

（3）求作截斷面的實形

1、棱柱上的截交線【例4-11】如下圖所示，求作四棱柱被2．棱錐上的截交線【例4-12】求作正垂面P截割三棱錐S-ABC所得的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

2．棱錐上的截交線【例4-12】求作正垂面P截割三棱錐S（2）作圖

【例4-13】如圖4-25所示，求作鉛垂面Q截割三棱錐S-ABC所得的截交線。解：（1）分析

（2）作圖【例4-13】如圖4-25所示，求作鉛垂面Q截3．帶缺口的平面立體的投影

畫帶有切口形狀的投影時，關(guān)鍵是要把切口輪廓線的投影表達清楚。而畫切口輪廓線的投影，其實質(zhì)就是求作切口平面與立體的截交線，切口的截交線就是由數(shù)條截交線組合而成。例：完成帶切口的四棱柱的投影（圖中雙點劃線表示立體上被切掉的部分，粗實線表示留下的部分）。解：（1）分析

（2）作圖

3．帶缺口的平面立體的投影畫帶有切口形狀的投影時，【例4-14】如右圖所示，已知三棱錐及其上缺口的V面投影，求H面和W面投影。解：（1）分析

（2）作圖

【例4-14】如右圖所示，已知三棱錐及其上缺口的V面投影，畫法幾何及土木工程制圖立體的投影課件（二）曲面立體截交線（1）平面與曲面立體相交，所得的截交線一般為封閉的平面曲線。

（2）截交線上的每一點，都是截平面與曲面立體表面的共有點。

求曲面立體截交線的方法：求出足夠的共有點，然后依次連接起來，即得截交線。

求共有點的方法有：素線法、緯圓法和輔助平面法。

曲面立體截交線的特征：

平面與圓柱面相交，根據(jù)截平面與圓柱軸線相對位置的不同，所得的截交線有三種情況1．圓柱上的截交線（二）曲面立體截交線（1）平面與曲面立體相交，所得的截交線圓柱面上的截交線截平面P的位置截平面垂直于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平面平行于圓柱軸線截交線空間形狀圓橢圓兩條平行直線投影圖圓柱面上的截交線截平面垂直于圓柱軸線截平面傾斜于圓柱軸線截平【例4-15】如右圖所示，求正垂面與圓柱的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點。這些點包括輪廓線上的點、特殊素線上的點、極限點以及橢圓長短軸的端點。2）求一般點。為了作圖準(zhǔn)確，在截交線上特殊點之間選取一些一般位置點。3）連點。將所求各點的側(cè)面投影順次光滑連接4）判別可見性。

【例4-15】如右圖所示，求正垂面與圓柱的截交線。解：（2．圓錐上的截交線

當(dāng)平面與圓錐截交時，根據(jù)截平面與圓錐軸線相對位置的不同，可產(chǎn)生五種不同形狀的截交線：2．圓錐上的截交線當(dāng)平面與圓錐截交時，根據(jù)截平面與截平面p位置截平面垂直于圓錐軸線截平面與錐面上所有素線相交截平面平行于圓錐面上一條素線截平面平行于圓錐面上兩條素線截平面通過錐頂截交線空間形狀圓橢圓拋物線雙曲線兩條素線投影圖

圓錐面上的截交線截平面p位置截平面垂直于圓錐軸線截平面與錐面上所有素線相交截【例4-16】如下圖所示，已知圓錐的三面投影和正垂面P的投影，求截交線的投影及實形。解：（1）分析

（2）作圖

1）求長軸端點2）求短軸端點3）求最前、最后素線與P面的交點E、F4）求一般點L、N5）連接各點并判別可見性6）求截面的實形【例4-16】如下圖所示，已知圓錐的三面投影和正垂面P的投【例4-17】如下圖所示，求作側(cè)平面Q與圓錐的截交線。解：（1）分析

（2）作圖

【例4-17】如下圖所示，求作側(cè)平面Q與圓錐的截交線。解3．球上的截交線

球體上的截面不論其角度如何，所得截交線的形狀都是圓。截平面距球心的距離決定截交圓的大小，經(jīng)過球心的截交圓是最大的截交圓。（1）球上截交線的特征：

（2）球上截交線的投影分析3．球上的截交線球體上的截面不論其角度如何，所得截4．帶缺口的曲面立體的投影【例4-18】如下圖所示，給出圓柱切割體的正面投影和水平投影，補畫出側(cè)面投影。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點。2）求一般點。4．帶缺口的曲面立體的投影【例4-18】如下圖所示，給出【例4-19】如下圖所示，求切割后圓錐的投影。解：（1）分析

（2）作圖

1）求特殊點2）求一般點3）連點并判別可見性【例4-19】如下圖所示，求切割后圓錐的投影。解：（1）分【例4-20】如下圖所示，已知半球體被切割后的正面投影，畫出其水平投影及側(cè)面投影。解：（1）分析

（2）作圖【例4-20】如下圖所示，已知半球體被切割后的正面投影，二、立體表面的相貫線

在建筑形體中常常會遇到由兩個或兩個以上的基本形體相交（或稱相貫）而成的組合形體，兩相交的立體稱為相貫體。它們的表面交線稱為相貫線（或稱相交線）。1.相貫線是兩形體表面的共有線。2.相貫線上的點即為兩形體表面的共有點，同時也是兩形體表面的分界點。立體相交可分為三種情況：（1）平面立體與平面立體相交，（2）平面立體與曲面立體相交，（3）曲面立體與曲面立體相交。相貫線的特性:二、立體表面的相貫線在建筑形體中常常會遇到由兩個或㈠直線與立體相交直線與立體表面相交，其交點稱為貫穿點。貫穿點的特征：一般情況是成對出現(xiàn)的（一進一出）。求貫穿點的常用方法有兩種：第一種方法：利用積聚性求貫穿點；第二種方法：利用輔助平面求貫穿點。即當(dāng)直線與立體表面的投影沒有積聚性時，用輔助平面求貫穿點。作輔助平面求貫穿點的步驟如下：首先，過直線作適當(dāng)?shù)妮o助平面；其次，求出輔助平面與平面立體的截交線；再次，求出截交線與已知直線的交點，即為所求的貫穿點。輔助平面的選擇原則：應(yīng)使所作的輔助平面與立體的交線簡單易畫(直線或圓)，為了簡化作圖，通常選擇投影面垂直面作為輔助面。㈠直線與立體相交直線與立體表面相交，其交點稱為貫穿點。貫1．直線與平面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-21】如下圖所示，已知鉛垂線EF的水平投影，求其與三棱錐S-ABC的貫穿點。解：1）分析

2）作圖

①求貫穿點的正面投影m′、n′。②判別可見性。1．直線與平面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-【例4-22】如下圖所示，求一般位置直線EF與三棱柱ABC的貫穿點M、N。

解：1）分析

2）作圖

①求貫穿點的正面投影m′、n′。②判別可見性?！纠?-22】如下圖所示，求一般位置直線EF與三棱柱ABC（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-23】如下圖所示，求直線KL與三棱錐S-ABC的貫穿點M、N。解：1）分析

2）作圖

①作輔助平面。②求出截交線的水平投影△123，△123與kl的交點m、n即為貫穿點M、N的水平投影。③判別可見性。（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-23】如下圖所示，求2．直線與曲面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-24】如下圖所示，求一般位置直線AB與圓柱的貫穿點。解：1）分析

2）作圖

①求水平投影m、n。②根據(jù)點、線的從屬關(guān)系，求出m′、n′。③判別可見性。2．直線與曲面立體相交（1）利用積聚性法求貫穿點【例4-（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-25】如左圖所示，求正垂線CD與圓錐面的貫穿點。解：1）分析

2）作圖

①求正面投影k′、l′。②求水平投影k、l。③判別可見性。（2）利用輔助平面法求貫穿點【例4-25】如左圖所示，求㈡兩平面立體的表面交線相交形體的表面交線稱為相貫線。兩平面立體相貫線的特征：一般情況為空間折線，特殊情況為平面折線，每段折線是兩立體棱面的交線，每個折點是一立體棱線與另一立體的貫穿點。立體的相貫形式有兩種：

一是全貫，即一個立體完全穿過另一個立體，相貫線有兩組；二是互貫，兩個立體各有一部分參與相貫，相貫線為一組。求兩平面體相貫線的方法：有兩種（1）交點法——先作出各個平面體的有關(guān)棱線與另一立體的交點，再將所有交點順次連成折線，即組成相貫線。連點的規(guī)則是：只有當(dāng)兩個交點對每個立體來說，都位于同一個棱面上時才能相連，否則不能相連。（2）交線法——直接作出兩平面立體上兩個相應(yīng)棱面的交線，然后組成相貫線。判別可見性：判別的原則是，只有位于兩立體都可見的棱面上的交線才是可見的。只要有一個棱面不可見，面上的交線就不可見，應(yīng)畫成虛線。㈡兩平面立體的表面交線相交形體的表面交線稱為相貫線。兩平【例4-26】如下圖所示，求作直立的三棱柱和水平的三棱柱的相貫線。解：（1）分析

（2）作圖

是互貫，互貫的相貫線為一組空間折線?！纠?-26】如下圖所示，求作直立的三棱柱和水平的三棱柱的【例4-27】見下圖所示，求作長方體和三棱錐的相貫線。解：（1）分析

（2）作圖1）在正面上標(biāo)出各貫穿點的投影；

2）作水平面P、Q，求出全部折點的水平投影，進一步求出其側(cè)面投影；3）連點并判別可見性。

【例4-27】見下圖所示，求作長方體和三棱錐的相貫線。解【例4-28】如下圖所示，求作三棱錐和三棱柱的相貫線。解：（1）分析

（2）作圖1）求折點。2）連折點。3）判別可見性?！纠?-28】如下圖所示，求作三棱錐和三棱柱的相貫線。解㈢平面立體與曲面立體的表面交線

平面立體與曲面立體相交時，其相貫線的特征：

1.相貫線是由若干段平面曲線或平面曲線和直線所組成。作相貫線投影圖的方法：先求出轉(zhuǎn)折點，再根據(jù)求曲面體上截交線的方法，求出每段曲線或直線。2.各段平面曲線或直線，就是平面立體上各棱面截割曲面立體所得的截交線。每一段平面曲線或直線的折點，就是平面立體的棱線與曲面立體表面的交點。㈢平面立體與曲面立體的表面交線平面立體與曲面立體相交時，其【例4-29】如下圖所示，求四棱錐與圓柱的相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求連接點。2）求特殊點。3）判別可見性并連線?！纠?-29】如下圖所示，求四棱錐與圓柱的相貫線。解：（1【例4-30】如下圖所示，給出圓錐薄殼基礎(chǔ)的主要輪廓線，求作相貫線。解：（1）分析（2）作圖1）求特殊點。3）連點。4）判斷可見性。2）同樣用素線法求出兩對稱的一般點E、F的正面投影e′、f′及側(cè)面投影e″、f″；【例4-30】如下圖所示，給出圓錐薄殼基礎(chǔ)的主要輪廓線，求㈣兩曲面立體表面的交線

兩曲面體表面相貫線的特征：一般是封閉的空間曲線，特殊情況下可能為平面曲線或直線。兩曲面體表面相貫線的性質(zhì)：組成相貫線的所有相貫點，均為兩曲面體表面的共有點。求相貫線的原理：先求出一系列的共有點，然后依次連接各點，即得相貫線。求相貫線的方法：

1.積聚投影法——相交兩曲面體，如果有一個表面投影具有積聚性時，就可利用該曲面體投影的積聚性作出兩曲面的一系列共有點，然后依次連成相貫線。2.輔助平面法——根據(jù)三面共點原理，作輔助平面與兩曲面相交，求出兩輔助截交線的交點，即為相貫點。㈣兩曲面立體表面的交線兩曲面體表面相貫線的特征：一般是封閉求共有點時，應(yīng)先求特殊點，再求一般點。相貫線上的特殊點包括：可見性分界點，曲面投影輪廓線上的點，極限位置點（最高、最低、最左、最右、最前、最后）等。選擇輔助平面的原則是：輔助截平面與兩個曲面的截交線（輔助截交線）的投影都應(yīng)是最簡單易畫的直線或圓。因此在實際應(yīng)用中往往多采用投影面的平行面作為輔助截平面。求共有點時，應(yīng)先求特殊點，再求一般點。相貫線上的特殊點包括1.兩回轉(zhuǎn)體相交,交線為相貫線.圓柱與圓柱相交相貫線2.相貫線為二立體表面的公共線。3.相貫線一般為封閉的空間曲線.圓柱與圓錐相交相貫線為二立體表面公共線封閉的空間曲線相貫線相貫線1.兩回轉(zhuǎn)體相交,交線為相貫線