通信網(wǎng)理論基礎(chǔ)4章1節(jié)etudiant36

第三章通信網(wǎng)結(jié)構(gòu)3.1圖論基礎(chǔ)3.1.1.基本定義3.1.2第三章通信網(wǎng)結(jié)構(gòu)3.1圖論基礎(chǔ)3.1.1.基本定義3.1.2.圖的聯(lián)結(jié)性最短徑問題3.2.1.最短主樹3.2.2.端間的最短徑問題3.2.3.最佳流問題第四章網(wǎng)內(nèi)業(yè)務(wù)分析排隊論基礎(chǔ)?概述≡排隊系統(tǒng)的構(gòu)成????要求服務(wù)的顧客排隊規(guī)則如圖離去排隊系統(tǒng)≡排隊論也稱為隨機服務(wù)系統(tǒng)理論? 主要研究面的內(nèi)容即研究各種排隊系統(tǒng)的概率規(guī)律性?性能問題忙期分布等包括瞬態(tài)情形和穩(wěn)態(tài)情形兩種?最優(yōu)化問題靜態(tài)最優(yōu)化動態(tài)最優(yōu)化即研究最優(yōu)設(shè)計即研究現(xiàn)有排隊系統(tǒng)的最優(yōu)運營?第四章網(wǎng)內(nèi)業(yè)務(wù)分析排隊論基礎(chǔ)?概述≡排隊系統(tǒng)的構(gòu)成????要求服務(wù)的顧客排隊規(guī)則如圖離去排隊系統(tǒng)≡排隊論也稱為隨機服務(wù)系統(tǒng)理論? 主要研究面的內(nèi)容即研究各種排隊系統(tǒng)的概率規(guī)律性?性能問題忙期分布等包括瞬態(tài)情形和穩(wěn)態(tài)情形兩種?最優(yōu)化問題靜態(tài)最優(yōu)化動態(tài)最優(yōu)化即研究最優(yōu)設(shè)計即研究現(xiàn)有排隊系統(tǒng)的最優(yōu)運營?排隊系統(tǒng)的統(tǒng)計推斷判斷一個實際排隊系統(tǒng)符合哪種模型以便根據(jù)排隊理論進行分析研究4.1.1.基本概念? 排隊系統(tǒng)的特征=輸入過程≡輸入指顧客達到排隊系統(tǒng)顧客源顧客到達服務(wù)機構(gòu)服務(wù)規(guī)則隊列排隊規(guī)則≡≡≡≡≡顧客源即顧客的總體可能是有限的也可能是無限的顧客到來的方式可能是一個一個的也可以是成批的顧客的到達可以是相互輸入過程可以是平穩(wěn)的可以是確定型的也可以是隨機型的的也可以是相關(guān)聯(lián)的或稱為對時間是齊次的=排隊規(guī)則≡即時制或損失制? 等待制? 顧客到達時? 在等待制中若所有服務(wù)臺都已被占用則顧客隨即離去≡若所有服務(wù)臺都已占用則顧客排隊等候為顧務(wù)的次序可以有如下一些規(guī)則????隨機服務(wù)≡隊列長度? 限長隊列? ≡≡≡≡≡顧客源即顧客的總體可能是有限的也可能是無限的顧客到來的方式可能是一個一個的也可以是成批的顧客的到達可以是相互輸入過程可以是平穩(wěn)的可以是確定型的也可以是隨機型的的也可以是相關(guān)聯(lián)的或稱為對時間是齊次的=排隊規(guī)則≡即時制或損失制? 等待制? 顧客到達時? 在等待制中若所有服務(wù)臺都已被占用則顧客隨即離去≡若所有服務(wù)臺都已占用則顧客排隊等候為顧務(wù)的次序可以有如下一些規(guī)則????隨機服務(wù)≡隊列長度? 限長隊列? 隊列數(shù)目? 單列隊列? 多列隊列≡=服務(wù)機構(gòu)≡服務(wù)機構(gòu)可以沒有服務(wù)員? 也可以有一個服務(wù)員? 在多個服務(wù)臺的情況下服務(wù)臺通道窗口等≡???各服務(wù)臺可以是串并混合排列的≡服務(wù)方式? 對單個顧客進行服務(wù)? 服務(wù)時間? 確定型服務(wù)時間? 隨機型服務(wù)時間服務(wù)過程通常假定是平穩(wěn)的≡≡? 排隊模型的分類=Kendall分類法1顧客相繼到達的間隔時間的分布23服務(wù)臺個數(shù)? 按照這三個特征分類并用符號形式表示X/Y/Z???XYZ表示服務(wù)時間的分布表示并列的服務(wù)臺的數(shù)目≡間隔時間和服務(wù)時間的各種分布有??????MDEkGIGHR確定型分布k階愛爾朗一般相互Erlang分布的時間間隔分布一般服務(wù)時間的分布R階指數(shù)分布≡排隊模型舉例?M/M/1服務(wù)時間為負指數(shù)分布單服務(wù)臺的排隊模型?D/M/C表示確定的到達的間隔負指數(shù)分布的服務(wù)時間C個服務(wù)臺但顧客排一隊的排隊模型?23服務(wù)臺個數(shù)? 按照這三個特征分類并用符號形式表示X/Y/Z???XYZ表示服務(wù)時間的分布表示并列的服務(wù)臺的數(shù)目≡間隔時間和服務(wù)時間的各種分布有??????MDEkGIGHR確定型分布k階愛爾朗一般相互Erlang分布的時間間隔分布一般服務(wù)時間的分布R階指數(shù)分布≡排隊模型舉例?M/M/1服務(wù)時間為負指數(shù)分布單服務(wù)臺的排隊模型?D/M/C表示確定的到達的間隔負指數(shù)分布的服務(wù)時間C個服務(wù)臺但顧客排一隊的排隊模型???M/M/1問題稱為初級問題或基本問題G/M/1M/G/1問題稱為中級問題G/G/1G/G/m問題稱為高級問題?Er/G/1G/Er/1ErEk/1等成批到達/離開問題≡在??Kendall符號進行擴充X/Y/Z/A/B/C????前三項意義不變A處填寫系統(tǒng)容量限制NBmN個以內(nèi)C處填寫服務(wù)規(guī)則等如先到先服務(wù)FCFS 后到先服務(wù)LCFS?則意味著 X/Y/Z/∞/∞/FCFS并約定如果略去后三項? 排隊問題的求解=一個實際問題作為排隊問題求解時≡≡首先要研究它屬于哪個模型其中只有顧客到達的間隔時間分布和服務(wù)時間的分布需要根據(jù)實際測量的數(shù)據(jù)來確定其它因素都是在問題提出時給定的≡=求解排隊問題的目的≡≡≡≡≡估計服務(wù)質(zhì)量研究設(shè)計改進的措施等=排隊系統(tǒng)運行的基本指標(biāo)≡≡隊列長在系統(tǒng)中的顧客數(shù)Ls在系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)的顧客數(shù) 期望值為Lq? 系統(tǒng)中的顧客數(shù)排隊等待服務(wù)的顧客數(shù)正被服務(wù)的顧客數(shù)≡≡一個顧客在系統(tǒng)中停留的時間 期望值記為WsWq? 逗留時間等待時間 服務(wù)時間? 列德爾 Little 公式適用于任何排隊系統(tǒng)?忙期WsLs≡? 從顧客到達空閑服務(wù)機構(gòu)起時間長度? 忙期和一個忙期中平均完成服務(wù)的顧客數(shù)是衡量服務(wù)機構(gòu)效率的指標(biāo)η直到服務(wù)機構(gòu)再次空閑為止這段≡????m個服務(wù)臺≡≡≡≡≡估計服務(wù)質(zhì)量研究設(shè)計改進的措施等=排隊系統(tǒng)運行的基本指標(biāo)≡≡隊列長在系統(tǒng)中的顧客數(shù)Ls在系統(tǒng)中排隊等待服務(wù)的顧客數(shù) 期望值為Lq? 系統(tǒng)中的顧客數(shù)排隊等待服務(wù)的顧客數(shù)正被服務(wù)的顧客數(shù)≡≡一個顧客在系統(tǒng)中停留的時間 期望值記為WsWq? 逗留時間等待時間 服務(wù)時間? 列德爾 Little 公式適用于任何排隊系統(tǒng)?忙期WsLs≡? 從顧客到達空閑服務(wù)機構(gòu)起時間長度? 忙期和一個忙期中平均完成服務(wù)的顧客數(shù)是衡量服務(wù)機構(gòu)效率的指標(biāo)η直到服務(wù)機構(gòu)再次空閑為止這段≡????m個服務(wù)臺r個服務(wù)臺被占用則占用率為r/m?它是一個隨量rm???其統(tǒng)計平均值即為系統(tǒng)效率η忙期效率η越大服務(wù)的利用率越高≡損失率? 在即時制或隊長有限制的系統(tǒng)中? ρ≡? 定義為顧客到達率μ之比ρ/μ??ρm時ρm時系統(tǒng)是穩(wěn)定的? 對于截止型系統(tǒng)?ρm由于隊長被人為地限制系統(tǒng)仍能穩(wěn)定地工作=這些指標(biāo)的計算基礎(chǔ)≡系統(tǒng)狀態(tài)即系統(tǒng)中的顧客數(shù)? n個顧客? 系統(tǒng)狀態(tài)的可能取值為就說系統(tǒng)的狀態(tài)是n???隊長沒有限制時n01 2N以內(nèi)時n01 2n 0N2在即時制系統(tǒng)中 服務(wù)臺有C個時1C此時n又表示正在工作的服務(wù)臺數(shù)≡系統(tǒng)狀態(tài)的概率? 系統(tǒng)系統(tǒng)處于某一狀態(tài)下的概率?t變化的?所以 在時刻tn的概率Pnt表示≡Pnt 的方法?Pnt的關(guān)系式??其中t是連續(xù)變量n是離散變量只取非負整數(shù)?Pnt所以的關(guān)系式一般為微分差分方程??t的微分方程n的差分方程?≡系統(tǒng)狀態(tài)即系統(tǒng)中的顧客數(shù)? n個顧客? 系統(tǒng)狀態(tài)的可能取值為就說系統(tǒng)的狀態(tài)是n???隊長沒有限制時n01 2N以內(nèi)時n01 2n 0N2在即時制系統(tǒng)中 服務(wù)臺有C個時1C此時n又表示正在工作的服務(wù)臺數(shù)≡系統(tǒng)狀態(tài)的概率? 系統(tǒng)系統(tǒng)處于某一狀態(tài)下的概率?t變化的?所以 在時刻tn的概率Pnt表示≡Pnt 的方法?Pnt的關(guān)系式??其中t是連續(xù)變量n是離散變量只取非負整數(shù)?Pnt所以的關(guān)系式一般為微分差分方程??t的微分方程n的差分方程?方程的解稱為瞬態(tài)解或過渡狀態(tài)解??求瞬態(tài)解一般是不容易的即使求出也很難利用?因此我們常用瞬態(tài)解的極限如果存在的話??t稱之為穩(wěn)態(tài)解?穩(wěn)態(tài)的物理含義????當(dāng)系統(tǒng)運行了無限長的時間以后0 n0初始 t0狀態(tài)的概率分布 Pn的影響已消失系統(tǒng)的狀態(tài)概率分布不再隨時間變化當(dāng)然在大多數(shù)實際應(yīng)用中系統(tǒng)會很快趨于穩(wěn)態(tài)并不真t∞??但是在實際應(yīng)用中永遠達不到穩(wěn)態(tài)的情形也確實存在求穩(wěn)態(tài)概率Pn時并不一定求t0即可∞時Pnt的極限而只Pn't4.1.2.到達間隔的分布和服務(wù)時間的分布≡這里只介紹幾種常見的理論分布???泊松分布?泊松流=變量與符號≡≡NPntt1t>0n個表示在時間[0,t)內(nèi)到達的顧客數(shù)n0t2表示在時間[t1t2)內(nèi)t2>t1顧客到達的概率? 在時間[t1t2)內(nèi)有n個顧客到達是隨機t2>t1n0? Pnt1 t2PN(t2)N(t1)=n=4.1.2.到達間隔的分布和服務(wù)時間的分布≡這里只介紹幾種常見的理論分布???泊松分布?泊松流=變量與符號≡≡NPntt1t>0n個表示在時間[0,t)內(nèi)到達的顧客數(shù)n0t2表示在時間[t1t2)內(nèi)t2>t1顧客到達的概率? 在時間[t1t2)內(nèi)有n個顧客到達是隨機t2>t1n0? Pnt1 t2PN(t2)N(t1)=n=泊松流的定義≡當(dāng)Pnt1t2滿足下列三個條件時就說顧客的到達形成泊松流或顧客是按泊松流到達的1?2???在不相重疊的時間區(qū)間內(nèi)顧客到達數(shù)是相互的我們稱這種性質(zhì)為無后效性t在時間[t,t+?t)內(nèi)對充分小的時長t無關(guān)而約與時長t成正比tP1ttOt Ot4.1-2t的高階無窮小??其中t是當(dāng)t0時關(guān)于是大于零的常數(shù)稱為概率強度它表示時間內(nèi)有一個顧客到達的概率?3???我們稱這種性質(zhì)為平穩(wěn)性對于充分小的時長t在時間[t,t+?t)內(nèi)有兩個或兩個以上顧客到達的概率極小以致可以忽略即Pn(ttt)O(t)n2我們稱這種性質(zhì)為疏稀性4.1-3=在泊松流條件下顧客到達數(shù)n的概率分布0開始≡由條件Pn20并簡記為tPnt? 即由平穩(wěn)性知 概率分布與時間起點無關(guān)只與時長有關(guān)沒有顧客到達的概率≡由條件 2和 3容易推得在[t,t+?t)內(nèi)P0(t,tt)1P1(t,tt)P2(t,tt)P3(t,tt)......1P1(t,tt)Pn(t,tt)n21tO(t)4.1-4≡Pnt?????用建立未知函數(shù)的微分方程的方法Pnttt+t的改變量tt+t時刻的概率分布的關(guān)系方程區(qū)間[0,t+?t)可以分成兩個互不重疊的區(qū)間[0,t)和[t,t+?P0(t,tt)1P1(t,tt)P2(t,tt)P3(t,tt)......1P1(t,tt)Pn(t,tt)n21tO(t)4.1-4≡Pnt?????用建立未知函數(shù)的微分方程的方法Pnttt+t的改變量tt+t時刻的概率分布的關(guān)系方程區(qū)間[0,t+?t)可以分成兩個互不重疊的區(qū)間[0,t)和[t,t+?t)顧客到達總數(shù)是n情況分別出現(xiàn)在這兩個區(qū)間上不外乎下列三種?Pnt+各O所以概率一項t應(yīng)是這三種情況之和t合為Pnt+ tPnt1PntttOt1?作變換P(tt)P(t)(t)O(t)P(t)Pnnnn1tt?令 t 0得下列方程并注意初始條件(t)P(t)P (t)n1n1所以得nn14.1-5ndtn(0)0?n0時BC兩種情況(t)0P(t)4.1-60dt0()1?解(4.1-5)和(4.1-6)兩式可得(t)n?Pn(t)et4.1-7情況[0,t)[t,tt)[0,tt)到達個數(shù)概率到達個數(shù)概率到達個數(shù)概率AnPn t01 ?tO(?t)nPn(t)[1 ?tO(?t)]Bn-1Pn1 t1?tnPn-1(t) ?tCn-2n-30Pn2 tPn3 tn23nO ?tO ?tO ?tnnnO ?tO ?tO ?t?推導(dǎo)由(4.1-6)式tP0P0t0cec=1tP0tet由(4.1-5)式兩邊乘edP(t)etP(t)e etP (t)tnn1ndttd[P(t)e]etP n dt得(t)n1tP(t)etPdn1n0n1tP(t)etP?推導(dǎo)由(4.1-6)式tP0P0t0cec=1tP0tet由(4.1-5)式兩邊乘edP(t)etP(t)e etP (t)tnn1ndttd[P(t)e]etP n dt得(t)n1tP(t)etPdn1n0n1tP(t)etP()ed100teedt0P1ttetn2tP(t)etP()ed210t(t)2e ed20(t)2P2(t)e2!式(t)n依此類推可得4.1-7ett0;nPn(t)≡泊松過程的數(shù)學(xué)期望???Pn隨tt內(nèi)到達n個顧客的概率N(t)N(sE[N(t)]t)N(s) 服從泊松分布t量4.1-8證明(t)iE[N(t)]iPi(t)iei!i0eti0(t)i(t)i1tettetett泊松過程的方差≡? 其方差是其中D[N(t)]t4.1-8’D[N(t)] E[N2(t)]E[N(t)]2))1]E[N(t)]E[N2(t)]EN(t)[N(EN(i(i1)Pi(t)ti0i(i1)(t)t))1]E[N(t)]E[N2(t)]EN(t)[N(EN(i(i1)Pi(t)ti0i(i1)(t)tie ti!(t)i2i0et(t)2ti2(i2)!(t)2t]D[Ntt2tt2t? 期望值與方差相等是泊松分布的一個重要特征我們可以利用它對一個經(jīng)驗分布是否合于泊松分布進行初步的識別?負指數(shù)分布=T的概率密度若是定義?隨ett0t04.1-9fT(t)0?則稱T服從負指數(shù)分布1ett0t0≡其分布函數(shù)是FT(t)4.1-100≡≡≡其數(shù)學(xué)期望是E[T]=1/2D[T]=1/其方差是其標(biāo)準差是 σ[T]=1/=負指數(shù)分布的性質(zhì)≡無記憶性或馬爾柯夫性 所以又稱為M分布? 即PT>ts|T>s=PT>t4.1-11? 其含義是??T表示排隊系統(tǒng)中顧客到達的間隔時間則這個性質(zhì)說明一個顧客到來所需的時間與過去一個顧客s無關(guān)?也就是說這種情況下的顧客到達是純隨機的≡若輸入過程為泊松流? T一定服從負指數(shù)分布?證明對于泊松流?在[0t)時間內(nèi)至少有1位顧客到達的概率是(t)netn1et(et1et此概率又可表示為:4.1-7t0?P Ttt=FT(t)1et>0?4.1-10式可知T服從負指數(shù)分布證畢=其它需要說明的問題≡對于泊松流?? 1/表示時間內(nèi)平均到達的顧客數(shù)表示相繼顧客到達的平均間隔時間≡v的分布????(t)netn1et(et1et此概率又可表示為:4.1-7t0?P Ttt=FT(t)1et>0?4.1-10式可知T服從負指數(shù)分布證畢=其它需要說明的問題≡對于泊松流?? 1/表示時間內(nèi)平均到達的顧客數(shù)表示相繼顧客到達的平均間隔時間≡v的分布????v即為一顧務(wù)的時間v也服從負指數(shù)分布其分布函數(shù)為其概率密度為F(t)1etvtfv(t)e4.1-12稱為平均服務(wù)率??μ表示1/μ E時間內(nèi)能被服務(wù)完成的顧客數(shù)v 表示一個顧客的平均服務(wù)時間?愛爾朗 Erlang 分布=定義≡≡≡≡≡≡≡v1v2,,vk是k個相互的隨量kμ的負指數(shù)分布令 Tv1v2vkbk(t)k(kt)k1T的概率密度為kt4.1-13t0eTk階愛爾朗分布E[T]D[T]1/μ1/kμ24.1-14=1≡≡≡k個服務(wù)臺每臺的服務(wù)時間相互且均服從相同的負指數(shù)分布 參數(shù)為kμ則一顧客走完這k個服務(wù)臺總共需要的服務(wù)時間就服從k階愛爾朗分布=2≡≡成批到達的排隊問題在一個公共汽車站發(fā)車規(guī)則是? k個座位都坐滿后就發(fā)車≡tk階愛爾朗分布??ktf(t)kektt=t1+t2+(即平均每秒到達k 位)服從負指數(shù)分布即泊松流????+tkt是相互的)的k次卷積所以t的分布是f(t或t的特征函數(shù)t的特征函數(shù)的k次方Zkk? k個座位都坐滿后就發(fā)車≡tk階愛爾朗分布??ktf(t)kektt=t1+t2+(即平均每秒到達k 位)服從負指數(shù)分布即泊松流????+tkt是相互的)的k次卷積所以t的分布是f(t或t的特征函數(shù)t的特征函數(shù)的k次方Zkkk(kt)k1?kt經(jīng)反變換就得到4.1-13式bk(t)e=注≡≡≡比指數(shù)分布有更強的適應(yīng)性k1時愛爾朗分布即為負指數(shù)分布? 此時過程可看作是完全隨機的≡≡≡k增大時k30時愛爾朗分布的概率密度函數(shù)逐漸變?yōu)閷ΨQ的愛爾朗分布近似于正態(tài)分布k∞時D[T]0b(t)δ(t1/μ)? 此時愛爾朗分布變?yōu)榇_定型分布D分布≡可見一般k階愛爾朗分布可以看成是完全隨機過程與完全確定過程的中間型? 因此應(yīng)性在表達現(xiàn)實世界中的隨機過程時能夠提供更為廣泛的適? R階指數(shù)分布HR分布=定義R≡t概率密度函數(shù)是a(t) eiiii1Rii1≡且有1=例≡R類不同顧客到達? 各類的平均到達率不相同? 分別為12R≡≡當(dāng)這些顧客混合排隊時? 顧客到達的平均時間間隔的概率分布就是HR分布12R4.1.3.M/M/1排隊系統(tǒng)的分析=本節(jié)將討論≡≡≡輸入過程為泊松流單個服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)=這種排隊系統(tǒng)可分為≡≡≡M/M/1模型即M/M/1/FCFSM/M/1模型M/M/1模型即M/M/1N/∞/FCFSM/M/1/M/FCFS?M/M/1模型M/M/1/∞/∞/FCFS=定義M/M/1模型≡輸入過程???4.1.3.M/M/1排隊系統(tǒng)的分析=本節(jié)將討論≡≡≡輸入過程為泊松流單個服務(wù)臺的排隊系統(tǒng)=這種排隊系統(tǒng)可分為≡≡≡M/M/1模型即M/M/1/FCFSM/M/1模型M/M/1模型即M/M/1N/∞/FCFSM/M/1/M/FCFS?M/M/1模型M/M/1/∞/∞/FCFS=定義M/M/1模型≡輸入過程????顧客源是無限的顧客單個到來且相互到達過程已是平穩(wěn)的≡排隊規(guī)則???單隊先到先服務(wù)≡服務(wù)機構(gòu)??注單服務(wù)臺各顧客的服務(wù)時間是相互的且服從相同的負指數(shù)分布≡顧客到達的間隔時間與服務(wù)時間是相互=系統(tǒng)分析≡t的狀態(tài)為nPnt???tn個顧客的概率它決定了系統(tǒng)運行的特征已知 到達規(guī)律服從參數(shù)為的泊松過程μ的負指數(shù)分布?所以 在[t,t+?t)時間內(nèi)可分為如下三種情況ttO tO t1沒有顧客到達的概率為當(dāng)有顧客在接受服務(wù)時121個顧客被服務(wù)完成離去的概率為 μtO tμttO1O沒有顧客離去的概率為t3 多于一個顧客的到達或離去的概率是略可以忽在時刻t t處?系統(tǒng)中有n個顧客n>0的情況可分為下列2個以上的情況未列入四種t)應(yīng)是這四項概率?所以 Pn(t由于這四種情況是互不相容的即 將t的高階無窮小合為一項之和Pn(t t) Pn(t)(1tμt)Pn1(t)μt1(t) tO(t)Pn?整理t)P(t)P(t(t)()P(t)o(t)P(t)PnnμttO1O沒有顧客離去的概率為t3 多于一個顧客的到達或離去的概率是略可以忽在時刻t t處?系統(tǒng)中有n個顧客n>0的情況可分為下列2個以上的情況未列入四種t)應(yīng)是這四項概率?所以 Pn(t由于這四種情況是互不相容的即 將t的高階無窮小合為一項之和Pn(t t) Pn(t)(1tμt)Pn1(t)μt1(t) tO(t)Pn?整理t)P(t)P(t(t)()P(t)o(t)P(t)Pnnn1n1ntt令t0 Pnt的微分差分方程dP(t)P(t)P (t)()P(t)4.1-15nn1n1ndt?找出邊界條件?nt0時 只有前表AB兩種情況tt μtP0tP0t 1P1t1?處理后得dP(t)P(t)P(t)4.1-16001dt?這樣的系統(tǒng)狀態(tài)特殊情形n隨時間變化的過程是稱為生滅過程的一個?求解方程 4.1-154.1-16是很麻煩的?不便于應(yīng)用含有修正的貝塞爾函數(shù)?我們只研究穩(wěn)態(tài)的情況??Pnt與t無關(guān)Pn0從 4.1-15和 4.1-16可得0(4.117)(4.118)P P()P0n0 n1n1n情況t處顧客數(shù)在時間 t,t t在時刻t t處顧客數(shù)概率 略去O t到達離去ABCDnn 1n 1nnnnn?這是關(guān)于的Pn差分方程圖它表明了各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移關(guān)系如012n-1nn+1?從圖中可以看出01的轉(zhuǎn)移率為P010μP1對狀態(tài)0 必須滿足以下平衡方程?P0μP1同樣 對任何n1的狀態(tài)?4.1-18可得到Pn的平衡方程Pn1 μPn+1μPP?4.1-17解得10?代入 4.1-18 并令n1得P()PP200?這是關(guān)于的Pn差分方程圖它表明了各狀態(tài)間的轉(zhuǎn)移關(guān)系如012n-1nn+1?從圖中可以看出01的轉(zhuǎn)移率為P010μP1對狀態(tài)0 必須滿足以下平衡方程?P0μP1同樣 對任何n1的狀態(tài)?4.1-18可得到Pn的平衡方程Pn1 μPn+1μPP?4.1-17解得10?代入 4.1-18 并令n1得P()PP2002 n?依此類推可得 ?ρ/μ<1(否則系統(tǒng)不穩(wěn)定 隊列將排至無限長)n0又由概率的歸一性1P110P的關(guān)系式代入nPn01n01n11(1)n得到4.1-19Pnn的概率≡以4.1-19式為基礎(chǔ)可以算出系統(tǒng)的運行指標(biāo)1LS在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)系統(tǒng)隊長的期望值LE(n)nPn(1)nSnn0n1(2233)(22334)23(01)12在隊列中等待的平均顧客數(shù)隊列長的期望值LqLqE(n1)(n1)Pnn1n1n12LS13Ws?逗留時間W負指數(shù)分布隨即量在M/M/1情形下服從參數(shù)為μ的分布函數(shù)F(w)1e()w4.1-20w0LqE(n1)(n1)Pnn1n1n12LS13Ws?逗留時間W負指數(shù)分布隨即量在M/M/1情形下服從參數(shù)為μ的分布函數(shù)F(w)1e()w4.1-20w0概率密度f(w)()e()w?證明設(shè)顧客到達時 系統(tǒng)已有n個顧客則此顧客的逗留時間Wn應(yīng)為前n個顧客的服務(wù)時間Ti和此顧Tn1之和WnT1+T2+T3++Tn+Tn+1其中第一位顧客正被服務(wù)T1 是到服務(wù)完了的部分時間f所以wn+1表示W(wǎng)n的概率密度w的概率密度為n0Tii1,2,n+1μ的負指數(shù)分布則根據(jù)負指數(shù)分布的無記憶性Ts 也服從同參數(shù)的負指數(shù)分布由4.1-13 式可得Wn服從愛爾朗分布(w)new(w)nf(w)(1)newn!n0(1)ewn0()e()w所以(w)nn!證畢?也可以參見書上的方法,?于是WSWSE[w]1/μ4Wq 11WWq s 1?將以上結(jié)論歸納如下 L S1 2Lq1(4.121)1WSWq 1L WS1 S2(4.121)L? L S1 2Lq1(4.121)1WSWq 1L WS1 S2(4.121)L? 各運行參數(shù)間的相互關(guān)系Little公式LSWSL11WWWW(4.122)SS SLSLLSLS=舉例≡某醫(yī)院手術(shù)室根據(jù)來診和完成手術(shù)時間的????100個工作小時每小時來就診的數(shù)n4.1-8100個完成手術(shù)的v小時 出現(xiàn)的次數(shù)如表4.1-94.1-94.1-8≡計算基本參數(shù)???取??ρ每小時平均到達率Σnfn/100人/小時2.1每次手術(shù)平均時長 Σvfv/1000.4小時/人2.5人/小時每小時平均完成手術(shù)人數(shù) 1/0.4通過統(tǒng)計檢查的方法 如χ2檢查法≡2.1可以看出μ2.5到達數(shù)服從參數(shù)為2.1的泊松分布2.5的負指數(shù)分布μ≡/μ2.1/2.50.84vfv0.0 0.20.2 0.40.4 0.60.6 0.80.8 1.01.0 1.21.2以上3825179650到達 數(shù)nfn0123456以上102829161061??手術(shù)實 有84這說明服務(wù)機構(gòu)的時間是繁忙的被利用的16的時間是空閑的≡計算運行指標(biāo)????在中的數(shù)數(shù)LSLq2.1/(2.5-2.1) 5.25人人0.84 5.254.41在WS1/(2.5-2.1)2.52.1中逗留時間期望值小時排隊等待時間 期望值Wq0.84/(2.5-2.1)?M/M/1模型M/M/1/N/∞/FCFS=模型≡≡≡≡≡≡≡如果系統(tǒng)容量最大為N對于單服務(wù)臺的情形排隊等待的顧客最多為N1個在某一時刻一顧客到達時N個顧客則這個顧客就拒絕進入系統(tǒng)NN1時∞時為容量立損制的情形的情形=穩(wěn)態(tài)解≡各狀態(tài)間概率強度的轉(zhuǎn)移關(guān)系圖01n-1nn+1N-1N≡列出狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程??手術(shù)實 有84這說明服務(wù)機構(gòu)的時間是繁忙的被利用的16的時間是空閑的≡計算運行指標(biāo)????在中的數(shù)數(shù)LSLq2.1/(2.5-2.1) 5.25人人0.84 5.254.41在WS1/(2.5-2.1)2.52.1中逗留時間期望值小時排隊等待時間 期望值Wq0.84/(2.5-2.1)?M/M/1模型M/M/1/N/∞/FCFS=模型≡≡≡≡≡≡≡如果系統(tǒng)容量最大為N對于單服務(wù)臺的情形排隊等待的顧客最多為N1個在某一時刻一顧客到達時N個顧客則這個顧客就拒絕進入系統(tǒng)NN1時∞時為容量立損制的情形的情形=穩(wěn)態(tài)解≡各狀態(tài)間概率強度的轉(zhuǎn)移關(guān)系圖01n-1nn+1N-1N≡列出狀態(tài)概率的穩(wěn)態(tài)方程P P ()P(4.1-23)nN1,n1n1nPPN≡解此差分方程??P0ρP1PN1/μ1P10?1N111N1(4.1-24)PnnNn≡≡ρ1情形的討論留為作業(yè)ρ1情形的討論? 在系統(tǒng)容量沒有限制的情形下??ρ1這是實際問題的需要?也是無窮級數(shù)收斂所必需的?N的情形下?ρ1這個條件就不必要了?系統(tǒng)運行的各項指標(biāo)1系統(tǒng)隊長 期望值(N1)N1NLSE(n)nPn 1 1N11,n02隊列長期望值N?也是無窮級數(shù)收斂所必需的?N的情形下?ρ1這個條件就不必要了?系統(tǒng)運行的各項指標(biāo)1系統(tǒng)隊長 期望值(N1)N1NLSE(n)nPn 1 1N11,n02隊列長期望值Nn13顧客逗留時間期望值????????4.1-22 Little公式仍可使用但須注意平均到達率0而當(dāng)系統(tǒng)滿員時nN因此需要求出有效到達率1PNeP0μ先求有效服務(wù)率 μe1穩(wěn)態(tài)時所以μeeP01e/μLq顧客逗留時間 LS 1WS(1P) (1P) 0期望值N4顧客等待時間WqWs1/μ?歸納如下(N1)LS11N14.1-25 LS WS(1P)01WWq S=舉例≡在單服務(wù)員理發(fā)店里有六把椅子供人們排隊等待????當(dāng)六把椅子都坐滿時再到達的顧客不進店就離開顧客平均到達率為3人/小時則15分鐘???N7為系統(tǒng)中最多的顧客數(shù)3人/小時4人/小時求某顧客一到達就能理發(fā)的概率μ1?這種情形相當(dāng)于理發(fā)店里沒有顧客?所求概率為0.2778N4求需要等待的顧客數(shù)的期望值28 L2.11S841.39求有效到達率3μ1P0410.27782.89人/小時e4求一顧客在理發(fā)店內(nèi)逗留的時間的期望值WSLS/e=2.11/2.89=0.73小時43.8分鐘5在可能到來的顧客中有百分之幾不等待就離開?這就是系統(tǒng)中有N 7個顧客的概率7?所求概率為0.2778N4求需要等待的顧客數(shù)的期望值28 L2.11S841.39求有效到達率3μ1P0410.27782.89人/小時e4求一顧客在理發(fā)店內(nèi)逗留的時間的期望值WSLS/e=2.11/2.89=0.73小時43.8分鐘5在可能到來的顧客中有百分之幾不等待就離開?這就是系統(tǒng)中有N 7個顧客的概率7 3.7%P87 4 ?這也是理發(fā)店的損失率≡現(xiàn)以本例的數(shù)據(jù)來比較一下隊長有限和無限的兩種結(jié)果? M/M/1模型M/M/1/∞/m/FCFS=模型排隊系統(tǒng)顧客源隊列m≡關(guān)于平均到達率? 在無限源的情形下? 在有限源的情形下必須按每位顧客來考慮n服務(wù)臺人/小時人/小時LSLqWSWqP0損失率有限隊長N 72.111.390.730.480.2783.7%無限隊長32.251.00.750.250??為簡單起見設(shè)各位顧客的到達率都是相同的這里的含義是每臺運轉(zhuǎn)時間內(nèi)發(fā)生故障的概率或平??這時所以e=在排隊系統(tǒng)外的顧客平均數(shù)為mLS對排隊系統(tǒng)來說顧客的有效到達率(4.1-26)e應(yīng)為(mLS)=穩(wěn)態(tài)解≡狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率圖m(m-1)(m-n+1) (m-n)012n-1nn+1m-1m≡系統(tǒng)狀態(tài)方程n=00<nm-1n=mdP0(t)/dtdPn(t)/dtdPm(t)/dtμP1(t)mP0(t)(m-n+1) Pn1(t)μPn1(t)[(m-n)μ]Pn(t)Pm1(t)μPm(t)≡穩(wěn)態(tài)下狀態(tài)轉(zhuǎn)移差分方程P (mn1)P ??為簡單起見設(shè)各位顧客的到達率都是相同的這里的含義是每臺運轉(zhuǎn)時間內(nèi)發(fā)生故障的概率或平??這時所以e=在排隊系統(tǒng)外的顧客平均數(shù)為mLS對排隊系統(tǒng)來說顧客的有效到達率(4.1-26)e應(yīng)為(mLS)=穩(wěn)態(tài)解≡狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率圖m(m-1)(m-n+1) (m-n)012n-1nn+1m-1m≡系統(tǒng)狀態(tài)方程n=00<nm-1n=mdP0(t)/dtdPn(t)/dtdPm(t)/dtμP1(t)mP0(t)(m-n+1) Pn1(t)μPn1(t)[(m-n)μ]Pn(t)Pm1(t)μPm(t)≡穩(wěn)態(tài)下狀態(tài)轉(zhuǎn)移差分方程P (mn1)P [(mn)]P1nm1, n1n1nPP???m m1使用遞推法注意條件解得mi0因而不要求 /μ<111P0m!i(4.1-27)mi0(mi)!m! nnm)PPn0(mn)!?求解系統(tǒng)運行指標(biāo)(1P0)()(1P)(4.1-28)Lm0(2)qL(1P)S0m1(1P)(3)WS01WqWS(4)=例≡5臺? 每臺的連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負指數(shù)分布? 15分鐘有一位修理工≡??求1234567解?12分鐘≡修理工空閑的概率5臺都出故障的概率出故障的平均臺數(shù)平均停工時間評價這些結(jié)果≡m 51/151/12/0.815!P(0.8)0 (0.8)1 (0.8)2 (0.8)3 (0.8)4 (0.8)505!4!0.00731136.8P (0.8)P? 每臺的連續(xù)運轉(zhuǎn)時間服從負指數(shù)分布? 15分鐘有一位修理工≡??求1234567解?12分鐘≡修理工空閑的概率5臺都出故障的概率出故障的平均臺數(shù)平均停工時間評價這些結(jié)果≡m 51/151/12/0.815!P(0.8)0 (0.8)1 (0.8)2 (0.8)3 (0.8)4 (0.8)505!4!0.00731136.8P (0.8)P0.287(2)5501L5 10.0073)3.76臺(3)S0.8(4)q51546分鐘W(5)S1(10.0073)12461234分鐘停工時間過長(6)(7)Wq修理工幾乎沒有空閑時間應(yīng)當(dāng)提高服務(wù)率以減少修理時間或增加修理工人4.1.4.M/M/c排隊系統(tǒng)的分析==本節(jié)將討論單隊列并列多個c個服務(wù)臺的情形這種排隊系統(tǒng)可分為≡≡≡M/M/c模型M/M/c/FCFSM/M/c模型M/M/c模型M/M/cN/FCFSM/M/cm/FCFS? M/M/c模型M/M/c/∞/∞/FCFS=定義≡輸入過程M/M/1模型? 顧客源是無限的顧客單個到來且相互? 一定時間內(nèi)到達的顧客數(shù)服從泊松分布到達過程是平穩(wěn)的≡≡單隊隊長沒有限制 先到先服務(wù)????c個服務(wù)臺c>1各服務(wù)臺的工作是相互的不搞協(xié)作各服務(wù)臺的平均服務(wù)率相同 整個服務(wù)機構(gòu)的服務(wù)率為c12c當(dāng)nc時n系統(tǒng)中顧客數(shù)令??時?ρ/c對于不拒絕系統(tǒng)ρ<1是穩(wěn)定的充分必要條件將小于平均離去的人數(shù)c保證系統(tǒng)隊長無限增大?ρ為系統(tǒng)的服務(wù)強度或服務(wù)機構(gòu)的平均利用率=模型服務(wù)臺μ隊列μμ=系統(tǒng)分析≡狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖01n-1nn+1c-1cc+1=定義≡輸入過程M/M/1模型? 顧客源是無限的顧客單個到來且相互? 一定時間內(nèi)到達的顧客數(shù)服從泊松分布到達過程是平穩(wěn)的≡≡單隊隊長沒有限制 先到先服務(wù)????c個服務(wù)臺c>1各服務(wù)臺的工作是相互的不搞協(xié)作各服務(wù)臺的平均服務(wù)率相同 整個服務(wù)機構(gòu)的服務(wù)率為c12c當(dāng)nc時n系統(tǒng)中顧客數(shù)令??時?ρ/c對于不拒絕系統(tǒng)ρ<1是穩(wěn)定的充分必要條件將小于平均離去的人數(shù)c保證系統(tǒng)隊長無限增大?ρ為系統(tǒng)的服務(wù)強度或服務(wù)機構(gòu)的平均利用率=模型服務(wù)臺μ隊列μμ=系統(tǒng)分析≡狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖01n-1nn+1c-1cc+12(n-1)n(n+1)(c-1)ccc??12??n03系統(tǒng)中有一位顧客被服務(wù)完了的轉(zhuǎn)移概率為μP1其中有一人被服務(wù)完成而離去的轉(zhuǎn)移概率由于不限哪一個2μP2狀態(tài)n-1 當(dāng)nc時 狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率為nμPn?nc時c個服務(wù)臺c個顧客在被服務(wù)cμPn≡穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)狀態(tài)方程(nc)1cn1n11i0狀態(tài)方程求解(nc)1cn1n11i0狀態(tài)方程求解≡遞推法1 c1c11k1P0 k0k!1(4.1-29)n (nc)Pnn 1 (nc)c nc ≡系統(tǒng)運行指標(biāo)12平均系統(tǒng)隊長平均隊列長LsLq/μ(4.1-30-1)(4.1-30-2)(c)cL (nc)PPqn0c!(1)2nc1345平均系統(tǒng)逗留時間由Little公式求得WsWqLs/Lq/平均等待時間 由Little公式求得ηρ/mμ系統(tǒng)效率=舉例≡某售票所有三個窗口??????顧客的到達服從泊松過程平均到達率為0.9人/分鐘服務(wù)時間為每顧客售票時長服從負指數(shù)分布μ0.4人/分鐘顧客到達后排成一隊≡模型隊列 =0.9≡參數(shù)??c 3/μ2.25窗口3=0.4窗口2=0.4窗口1=0.4?ρ/cμ2.25/3<1≡運行指標(biāo)1整個售票所空閑的概率12.2502.2512.2522.2531P00.0748 1 0!12.25332平均隊長L 40.07481.70q123!4Lq3456LSWqWs/μ3.95系統(tǒng)隊長?ρ/cμ2.25/3<1≡運行指標(biāo)1整個售票所空閑的概率12.2502.2512.2522.2531P00.0748 1 0!12.25332平均隊長L 40.07481.70q123!4Lq3456LSWqWs/μ3.95系統(tǒng)隊長1.70/0.9=1.89分鐘分鐘1.89+1/0.4=4.39顧客到達后必須等待的概率? c(=3)人以上的概率?亦即各服務(wù)臺都不空閑的概率(2.25)3P(n3)0.07480.5714=M/M/ccM/M/1型系統(tǒng)的比較≡≡利用前例來作比較cM/M/1系統(tǒng)??排隊方式變?yōu)槠渌鼦l件均不變???顧客到達后在每個窗口前各排一隊模型堅持不換=0.3=0.3=0.9=0.3?其中1于是設(shè)每個隊列的平均到達率相等/30.3人/分鐘23?c3M/M/1型的子系統(tǒng)≡cM/M/1型系統(tǒng)的運行指標(biāo)并與前例作比較窗口=0.4窗口=0.4窗口=0.4? 有顯著優(yōu)越性單隊系統(tǒng) M/M/c3個M/M/1比三隊系統(tǒng)?M/M/c系統(tǒng)M/M/c/N/∞/FCFS=定義N c≡系統(tǒng)容量最大限制為???nN時N再到達的顧客即被拒絕排隊c時≡M/M/c系統(tǒng)相同=狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖0n-1c1nn+1N2 (n-1)(n+1)n(n+2)ccc≡穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)狀態(tài)方程?穩(wěn)態(tài)下 dPn(t)/dt0Pn(t)t無關(guān)P0(t)(n+1)μPn1(t)Pn記為????n=00<nccn<Nn=NμP? 有顯著優(yōu)越性單隊系統(tǒng) M/M/c3個M/M/1比三隊系統(tǒng)?M/M/c系統(tǒng)M/M/c/N/∞/FCFS=定義N c≡系統(tǒng)容量最大限制為???nN時N再到達的顧客即被拒絕排隊c時≡M/M/c系統(tǒng)相同=狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖0n-1c1nn+1N2 (n-1)(n+1)n(n+2)ccc≡穩(wěn)態(tài)下系統(tǒng)狀態(tài)方程?穩(wěn)態(tài)下 dPn(t)/dt0Pn(t)t無關(guān)P0(t)(n+1)μPn1(t)Pn記為????n=00<nccn<Nn=NμP1(t)=PnPnPn1(t)1(t)1(t)(nμ)Pn(t)cμ)Pn(t)cμPn1(t)cμPn(t)(Ni0?歸一性條件1=系統(tǒng)的狀態(tài)概率≡利用遞推法可解出上述方程組k(cN)1ccc≡c! 11,k!k0指標(biāo)M/M/3型3M/M/1服務(wù)臺空閑概率P0Lq平均系統(tǒng)隊長Ls平均逗留時間WsWq0.0748P(n3) 0.571.703.954.39 分鐘1.89 分鐘0.25 每個子系統(tǒng)0.752.25 每個子系統(tǒng))9.00 整個系統(tǒng)10 分鐘7.5 分鐘n(0nc)n!≡(4.1-31)cc!cnP(cnN)n(nN)/c0 ,ρ其中≡ρ加以限制? ρ1的情形作為習(xí)題進行討論=系統(tǒng)運行指標(biāo)P(c)cLNc(Nc)n(0nc)n!≡(4.1-31)cc!cnP(cnN)n(nN)/c0 ,ρ其中≡ρ加以限制? ρ1的情形作為習(xí)題進行討論=系統(tǒng)運行指標(biāo)P(c)cLNc(Nc))0 1qc!(1)2(4.1-32)PN) Lq WqP)N1WWs q? 系統(tǒng)效率ncnc時時系統(tǒng)的效率即窗口占用率n/c1=Nc時即時制系統(tǒng)≡此時的狀態(tài)概率為1P0(c)kc(4.1-33)k!k0(c)n0ncPn(c)c? 其中 當(dāng)nc時 PP 稱為愛爾朗呼叫損失公式c0c!≡此時的運行指標(biāo)為10,WLs(4.1-34)cn1其中?例?????Ls又是平均被占用的服務(wù)臺數(shù)≡顧客到達為泊松流6人2天試就旅館在分別具有c6人/天1/2天8個房間的條件下計算每123天客房平均占用數(shù)Ls及滿員概率Pc? 顯然這是即時式 在客房滿員條件下旅客不可能排隊等待? 計算過程如下表:cρ/12?M/M/c模型M/M/c/∞/m/FCFS=模型≡≡≡mmc顧客到達率是按每個顧客來考慮的 同單服務(wù)臺情形一樣nc時所有顧客都被服務(wù)? 有cn個服務(wù)臺空閑≡c<nm時,???有 nc個顧客在排隊等待有c個顧客在被服務(wù)所c個服務(wù)臺都繁忙≡c個服務(wù)臺的服務(wù)水平相同? 服務(wù)時間都服從參數(shù)為的負指數(shù)分布≡假定顧客的服務(wù)時間與后面顧客的到達是相互的m個隊列 =系統(tǒng)的狀態(tài)概率窗口c窗口2窗口11n2(cρ)? 顯然這是即時式 在客房滿員條件下旅客不可能排隊等待? 計算過程如下表:cρ/12?M/M/c模型M/M/c/∞/m/FCFS=模型≡≡≡mmc顧客到達率是按每個顧客來考慮的 同單服務(wù)臺情形一樣nc時所有顧客都被服務(wù)? 有cn個服務(wù)臺空閑≡c<nm時,???有 nc個顧客在排隊等待有c個顧客在被服務(wù)所c個服務(wù)臺都繁忙≡c個服務(wù)臺的服務(wù)水平相同? 服務(wù)時間都服從參數(shù)為的負指數(shù)分布≡假定顧客的服務(wù)時間與后面顧客的到達是相互的m個隊列 =系統(tǒng)的狀態(tài)概率窗口c窗口2窗口11n2(cρ)n=12n3n!4(cρ)n/n!5c)n0 n!6Pc 答7c1 c n0 n08Ls 答01234567811.2 101.44 1021.73 1032.07 1042.49 1052.99 1063.58 1074.30 1081126241207205.04 1034.03 104112722888642.07 1034.15 1037.11 1031.07 104113853731.24 1033.31 1037.46 1031.45 1042.52 10410.920.850.770.700.630.560.490.42--0.000.370.440.510.58--0.921.832.743.624.485.336.146.9311P 0ckkccc1m1k0 k!(mk)!n c!kc1(mk)!mm! n (0nc)Pnnm! P0(c11P 0ckkccc1m1k0 k!(mk)!n c!kc1(mk)!mm! n (0nc)Pnnm! P0(c1nm)(mn)!c nc/c其中ρm=系統(tǒng)運行指標(biāo)mn1m≡Lq(nc)Pn≡≡nc1有效到達率e???應(yīng)為每個顧客的到達率乘以在系統(tǒng)外顧客數(shù)的期望值mLse在數(shù)故障問題中它是每時間m臺平均出現(xiàn)故障的次=有用的關(guān)系式)eL(mLLLs qqsLsW(4.1-36)seLqeWq=例≡有2位修理工人負責(zé)5臺的正常運行1次??求12345解?每臺平均損壞率為4臺/小時修好≡等待修理的需要修理的有效損壞率每臺損壞后的平均停工時間≡參數(shù)m5=1次/小時4臺/小時c2cρ/m/=1/4114 1511011112132211?P0 0.3149 !!4 !4 !4 c2cρ/m/=1/4114 1511011112132211?P0 0.3149 !!4 !4 !4 !88 8P10.394P20.197P30.074P40.018P50.002mn1e(mLs)1(51.094)3.906(2)(3)LqeLse0.1183.9060.03小時1.0943.9060.28小時(4)Wq(5)Ws4.1.5.一般服務(wù)時間M/G/1模型≡在任何情形下以下這些關(guān)系都是正確的?E[]表示求期望值則E[隊列中顧客數(shù)]??E[系統(tǒng)中顧客數(shù)]E[服務(wù)機構(gòu)中顧客數(shù)]E[在系統(tǒng)中逗留時間]E[排隊等候時間]服務(wù)時間](4.1-37)?用符號表示??LsWsTLqWqLseE[T]服務(wù)時間隨量T服從負指數(shù)分布時另外E[T]1/???LsLq注WsWq在有限源和有限隊長情況下要換成e? P_K公式Pollaczek_Khintchine欣欽=M/G/1模型T的分布是一般的≡≡≡≡都存在M/M/1模型相同ρE[T]P_K公式22Var[T]?(4.1-38)Ls2(1)≡即???只要知道T是什么具體分布LsLqWqWs=P_K公式可以看出≡≡由于有方差項的存在說明隨機性的波動會對所研究的各期望值有影響? 即LsLq Wq Ws等都是期望值都會受隨機性波動的影響≡≡0時隨機性波動才對Ls等有影響所以要想改進系統(tǒng)的各項指標(biāo)? 也可以從改變方差的角度來考慮=例≡一售票口2≡即???只要知道T是什么具體分布LsLqWqWs=P_K公式可以看出≡≡由于有方差項的存在說明隨機性的波動會對所研究的各期望值有影響? 即LsLq Wq Ws等都是期望值都會受隨機性波動的影響≡≡0時隨機性波動才對Ls等有影響所以要想改進系統(tǒng)的各項指標(biāo)? 也可以從改變方差的角度來考慮=例≡一售票口230秒的時間間隔的負指數(shù)分布到達2分鐘1若服務(wù)時間也服從負指數(shù)分布間和等待時間求顧客為購票所需的平均逗留時2若經(jīng)顧客在售票口前至少要占用1分鐘且服務(wù)時間從負指數(shù)分布ey1而是服從以下概率密度分布y1y1f(y)0再求顧客的逗留時間和等待時間1≡解????1/2.51/2/1/ρ/ρWsWq210 分鐘8分鐘≡解???y為服務(wù)時間若y 1+X 則X為服從均值為1的負指數(shù)分布于是E[Y]21ρE[Y]0.8?P_K公式得0.820.421Ls0.82.8LqLs2LsLq7(分鐘Ws5(分鐘Wq?M/D/1=服務(wù)時間是確定的常數(shù)≡≡≡如在一條裝配線上完成一件工作的時間就是確定的常數(shù)0.820.421Ls0.82.8LqLs2LsLq7(分鐘Ws5(分鐘Wq?M/D/1=服務(wù)時間是確定的常數(shù)≡≡≡如在一條裝配線上完成一件工作的時間就是確定的常數(shù)此時1沖洗一輛汽車的時間也是確定的TVar[T]022(1)(4.139)Ls2LqLs2(1)=例≡某??求????有一臺自動檢驗性能的儀器6分鐘4位顧客≡1234在內(nèi)LsLqWs等候檢驗的在Wq≡解????4E[T]1/10小時ρ Var[T]00.42臺LqLs0.5330.40.133(2)臺LsW 0.133小時8(3)分鐘sLqW 0.1330.033小時2(4)分鐘q4?愛爾朗服務(wù)時間M/Er/1模型=適用情景≡≡k個服務(wù)站每個服務(wù)站的服務(wù)時間Ti相互? 并且服從相同的負指數(shù)分布kk則總的服務(wù)時間Ti服從k階愛爾朗分布i1≡服務(wù)機構(gòu)k k0.42臺LqLs0.5330.40.133(2)臺LsW 0.133小時8(3)分鐘sLqW 0.1330.033小時2(4)分鐘q4?愛爾朗服務(wù)時間M/Er/1模型=適用情景≡≡k個服務(wù)站每個服務(wù)站的服務(wù)時間Ti相互? 并且服從相同的負指