數(shù)學(xué)模型種群動(dòng)力學(xué)

(Population單物種模??(Population單物種模??兩物種競(jìng)爭(zhēng)模?捕食食模?帶結(jié)構(gòu)的人口模種群動(dòng)力???種群：在某個(gè)種群動(dòng)力???種群：在某個(gè)地區(qū)物種的全人口統(tǒng)計(jì)學(xué)（Demography）–?分布模式種群建Nt+1=Nt+gains-pop.size種群建Nt+1=Nt+gains-pop.sizeonetimeunitpast“t”pop.sizeattimenewN=previousN+births–deaths+immigration–Nt+1=Nt+B-D+I-exchange種群建Nt+1=Nt+gains-tosimplify種群建Nt+1=Nt+gains-tosimplifywe’llfocusonthepop.sizeonetimeunitpast“t”pop.sizeattimenewN=previousN+births–Nt+1=Nt+B-單物種種群?jiǎn)挝锓N種群增長(zhǎng)模?Malthus模?Logistic模Malthus模?英RobertMalthusMalthus模?英RobertMalthusEssayOnHumanpopulationhasthepotentialtogrow??ntheMalthus模?假設(shè)生長(zhǎng)率率是常數(shù)，則Malthus模?假設(shè)生長(zhǎng)率率是常數(shù)，則人口存一個(gè)內(nèi)稟增長(zhǎng)率r=生產(chǎn)率微分方率?dN=rN(t)?如果給定t0時(shí)刻人口數(shù)目為N0那么方程解N(t)=N0exp[r(t?Malthus模?照此模型Malthus模?照此模型，可以計(jì)算人口翻番所需要的間人口增長(zhǎng)率為2%用上述模型對(duì)比1700－可以計(jì)算大約35年人口翻番，那么到??年人口將達(dá)到240億，地球重負(fù)人口能夠永人口能夠永遠(yuǎn)指數(shù)增長(zhǎng)嗎????食物、空間匱疾種群內(nèi)部競(jìng)?Logistic模?考慮成員之間為有限的空間、Logistic模?考慮成員之間為有限的空間、資和食物而展開的競(jìng)爭(zhēng)，在方程中增加一“競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)?競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)時(shí)間內(nèi)兩個(gè)成員發(fā)的次數(shù)與群體個(gè)數(shù)平方成正比dNLogistics模?可變量分離方ZZt=dt=t?ax?Logistics模?可變量分離方ZZt=dt=t?ax?Z1ZNt1b ]dx a?dt=t?a?方程的N(t)bN0+(a?bN0)x[(t?Logistic模型－解的性?Logistic模型－解的性?aN(t) t!b?單調(diào)a<;bN(t)increasea>;bN(t)decreaseMalthus模Malthus模型與Logistic模Logistic模?數(shù)學(xué)生物學(xué)家ii前Gause(1910-1986)對(duì)草履蟲Logistic模?數(shù)學(xué)生物學(xué)家ii前Gause(1910-1986)對(duì)草履蟲進(jìn)行了觀測(cè)：5只草履放在試管內(nèi)N(t)?這個(gè)公式與實(shí)際觀測(cè)異常符合ogistic模型相圖?考慮導(dǎo)數(shù)的符dNogistic模型相圖?考慮導(dǎo)數(shù)的符dN?N=0N=a/b時(shí)，導(dǎo)數(shù)?N>a/b時(shí)，導(dǎo)數(shù)為負(fù)斜向下箭頭?togistic模型相圖?考慮二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，解曲線在N=a/2bogistic模型相圖?考慮二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，解曲線在N=a/2b有拐d2N(t)aa2=bN(t)[ ? —N?數(shù)為負(fù)，圖形向上凸單調(diào)上升曲線??線性穩(wěn)定?線性穩(wěn)定?系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近作小擾動(dòng)后是否保持定?漸近穩(wěn)線性穩(wěn)定?方=f(x;?線性穩(wěn)定?方=f(x;?設(shè)有平衡點(diǎn)x0,即f(x0,t)=0，考慮充分小擾xx=x0x.那么擾動(dòng)項(xiàng)滿足的方程@f(x;=f(x0+±x;t)±x@x線性穩(wěn)定性(Logistic模型Logistic?dNN(t)=rN(t線性穩(wěn)定性(Logistic模型Logistic?dNN(t)=rN(t)(1)K??rN=N==?±N=(±N0)exp?競(jìng)爭(zhēng)(Competition)競(jìng)爭(zhēng)(Competition)模?設(shè)有兩個(gè)物種生活在同樣的環(huán)境里，兩長(zhǎng)率分別為r1,r2,極限容量分別為K1,K2.存比，設(shè)系數(shù)分別為b12,競(jìng)爭(zhēng)(Competition)模?微分方8競(jìng)爭(zhēng)(Competition)模?微分方8N1(t)+b12N2(t)=r1N1(t)(1N2(t)+b21N1(t)=rN(t)(1 ?你能猜猜競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果是什么無量綱化方?變r(jià)2N1N2?=r?u=u=112rKK112K2K1無量綱化方?變r(jià)2N1N2?=r?u=u=112rKK112K2K1a=a=122112?方8<:=u1(1?—a12u2)=f1(u1;=?u2(1?u2?a21u1)=f2(u1;平衡?求解方8<:f1(u1;u2)=u1(1?u平衡?求解方8<:f1(u1;u2)=u1(1?u1?a12u2)=f2(u1;u2)=?u2(1?u2?a21u1)=?求得平衡0@1010101A 2010A;A;A; 2001穩(wěn)定性分?二維系統(tǒng)穩(wěn)定性與下面的穩(wěn)定性分?二維系統(tǒng)穩(wěn)定性與下面的矩陣（Jacobi矩陣有0A=1A;;0=1A1?2u1?212?(1?2u2?穩(wěn)定性分?平衡點(diǎn)(0,0)μ穩(wěn)定性分?平衡點(diǎn)(0,0)μ?0?A?不穩(wěn)定平衡=(±u1)0exp=(±u2)0exp相圖方?四條“零”線將平面劃分，可以相圖方?四條“零”線將平面劃分，可以分別確各區(qū)域的符u1=u2=1?u1?a12u2=1);(1;1?u2?a21u1=1(0;1);;相圖方相圖方?當(dāng)a12<1,a21<1時(shí),第四個(gè)平衡點(diǎn)是漸近穩(wěn)的，即兩物種友好共存相圖方?當(dāng)a相圖方?當(dāng)a12>1,a21>1時(shí),第四個(gè)平衡點(diǎn)是鞍點(diǎn)，兩物種在進(jìn)行“你死我活。相圖方?當(dāng)相圖方?當(dāng)a12<1,a21>1時(shí)u1競(jìng)爭(zhēng)過u2。相圖方?當(dāng)相圖方?當(dāng)a12>1,a21<1時(shí)u2競(jìng)爭(zhēng)過u1。經(jīng)典的物種競(jìng)爭(zhēng)經(jīng)典的物種競(jìng)爭(zhēng)實(shí)twospeciesofac=ca=Gause意大利生物學(xué)家Umberto意大利數(shù)學(xué)家Vito意大利生物學(xué)家Umberto意大利數(shù)學(xué)家Vito????捕食關(guān)系建?食者（Prey）：捕食者殺捕食關(guān)系建?食者（Prey）：捕食者殺食者引食率增dNprey/dt=changeinprey–deathsduetopercapitarateofwithoutModified捕食關(guān)系建?食者（Prey）：捕食者殺捕食關(guān)系建?食者（Prey）：捕食者殺食者引食率增dNprey/dt=–PreypopulationsizedependsonnumberofWithfewpredators,preypopulationWithmanypredators,preypopulation捕食關(guān)系建?捕食者(Predator)捕食關(guān)系建?捕食者(Predator)：捕食者捕獲獵物引起出生率增加dNpredator/dt=cpNpreyNpredator–deathchangeinpredatorpopulationbirthsdueto捕食關(guān)系建?捕食者(Predator)捕食關(guān)系建?捕食者(Predator)：捕食者捕獲獵物引起出生率增加dNpredator/dt=cpNpreyNpredator–ofpreytobabyPredatorpopulationsizedependsonnumberofWithmanyprey,predatorpopulationWithfewprey,predatorpopulation捕食關(guān)系建微分方程捕食關(guān)系建微分方程模型(D’Ancona-Volterra模型或Lotka-Volterra模型?dNprey/dt=–dNpredator/dt=cpNpreyNpredator–Withfewpredators,preypopulationWithmanyprey,predatorpopulationWithmanypredators,preypopulationWithfewprey,predatorpopulationNLotka-Volterra模Lotka-Volterra方??=axLotka-Volterra模Lotka-Volterra方??=ax?=y+?軌道方y(tǒng)+=x(a?相圖方?四條“零”線將平相圖方?四條“零”線將平面劃分，可以分別確各區(qū)域的符x=y=aydx相圖方相圖方?看起來軌道圍繞(c/d,a/b)轉(zhuǎn)圈(周期軌道Lotka-Volterra模?軌道方程變量可分離a??+Lotka-Volterra模?軌道方程變量可分離a??+dyyx?積分得到X-Y平面上的閉軌道￡=expexpLotka-Volterra模?sLotka-Volterra模?sdescribeandpreypopulationRealworldpredatorandpreypopulationscancycleinsize.?帶結(jié)構(gòu)的種群動(dòng)力學(xué)模?結(jié)構(gòu)問題：不的帶結(jié)構(gòu)的種群動(dòng)力學(xué)模?結(jié)構(gòu)問題：不的增長(zhǎng)率率不一樣，有必要考慮結(jié)構(gòu)??率帶結(jié)構(gòu)的種群動(dòng)力?最早由SirPaul給出相應(yīng)的模帶結(jié)構(gòu)的種群動(dòng)力?最早由SirPaul給出相應(yīng)的模型稱之為模?分成了n個(gè)組，每組的人群設(shè)種群xi表示.同時(shí)也說明。的極限是n個(gè)時(shí)?率為di,則該組以si=1-di的設(shè)每個(gè)組例進(jìn)入下一個(gè)組?設(shè)每個(gè)組的出生率為bi新出生的進(jìn)結(jié)構(gòu)模123n結(jié)構(gòu)模123n矩矩模模可達(dá)性和不可約?可達(dá)性和不可約?則稱節(jié)點(diǎn)可達(dá)性：如果矩陣元可達(dá)記?不可約矩陣：矩陣稱為不可約的，如果意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)i,j之間存在路徑，使得i,j通過路徑可達(dá)，即存在一串矩陣可約?矩陣可約?可以證明，可約性有如下的代數(shù)描述?矩陣可約的充分必要條件是存在某個(gè)行置換(即存在某個(gè)置換矩陣P)，使得矩陣以化為如下分塊矩陣形素矩?素矩?如果存在某個(gè)足夠大的整數(shù)k,使得矩陣的全部元素都是正的，即所謂的正矩陣?正矩陣有很好的性質(zhì)，OscarPerron1907Perron-Frobenius定PF定理：設(shè)APerron-Frobenius定PF定理：設(shè)A是非負(fù)不可約n階方陣，?(1A有唯一的單重正特征值對(duì)應(yīng)于小其它特征值的絕對(duì)值都正矩陣的特征值和特征向?正矩陣的特征值和特征向?引理1：如果A為正矩陣，v是A的非負(fù)特向量證明則v的所有項(xiàng)嚴(yán)格大于0要使等式成立，則v的所假若某分量都為0，與特征向量非.正矩陣的特征值和特征向正矩陣的特征值和特征向?的最大特征值相等(即最大特征值是單重的證明：設(shè)v是A的正特征向量則因此可假設(shè)特征向量為(1,…,1)T,于另一方面正矩陣的特征值和特征向正矩陣的特征值和特征向所如則于和最大征值相等。注意到上式取等號(hào)只有Z=(1,1,…,1)時(shí)成立模?矩陣是不可約素矩陣，故模?矩陣是不可約素矩陣，故滿足Frobenius定理的條件，設(shè)其唯一的正特,對(duì)應(yīng)的特征向量為習(xí)題模型的解滿值??其中c是有bi,si和初值x(0)決定的常數(shù)模?所以模型解的性質(zhì)完全由矩決定.模?所以模型解的性質(zhì)完全由矩決定.大于1時(shí)數(shù)量遞增的唯一正特征小于1時(shí)數(shù)量遞減?=1時(shí)，由，矩陣的特征方程(見當(dāng)題這個(gè)R有明確的物理意義：表示一個(gè)雌性體在整個(gè)存活期類繁殖的平均數(shù)量補(bǔ)充指數(shù)矩陣(Matrix?設(shè)A是n補(bǔ)充指數(shù)矩陣(Matrix?設(shè)A是n階