2020高考數(shù)學(xué)-三視圖(幾何體的面積問(wèn)題)

第八章第第八章第60煉三視圖幾何體的面積問(wèn)題立體幾何第八章第第八章第60煉三視圖幾何體的面積問(wèn)題立體幾何第60煉三視圖——幾何體的面積問(wèn)題一、基礎(chǔ)知識(shí)：1、常見(jiàn)幾何體的表面積計(jì)算：三角形面積：設(shè)AABC的底為a，高為h，則SABC=2a-h圓形面積：設(shè)圓的半徑為r，則S=兀r2圓柱的側(cè)面積：設(shè)圓柱底面半徑為r，高為h，則側(cè)面積為S二2兀r-h圓錐的側(cè)面積：設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，則側(cè)面積為S二兀rl圓臺(tái)的側(cè)面積：設(shè)圓臺(tái)上下底面半徑分別為r,R，母線長(zhǎng)為l，則側(cè)面積為S=兀(R+r)l棱柱(棱錐，棱臺(tái))的側(cè)面積：只需求出每個(gè)側(cè)面的面積并加在一起球的面積：設(shè)球的半徑為R，則球的表面積為S=4兀R22、軸截面：對(duì)于旋轉(zhuǎn)體(圓柱，圓錐，圓臺(tái))，用軸所在的平面去截幾何體，得到的截面稱(chēng)為軸截面，軸截面的邊角關(guān)系與幾何體的一些要素向?qū)?yīng)。圓柱：軸截面為矩形，其中矩形的長(zhǎng)對(duì)應(yīng)圓柱的底面直徑，矩形的高對(duì)應(yīng)橢圓的高圓錐：軸截面為等腰三角形，其中等腰三角形的底對(duì)應(yīng)圓錐的底面直徑，高對(duì)應(yīng)圓錐的高，腰對(duì)應(yīng)圓錐的母線長(zhǎng)圓臺(tái)：軸截面為等腰梯形，其中上底對(duì)應(yīng)圓臺(tái)上底面直徑，下底對(duì)應(yīng)下底面直徑，高對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的高，腰對(duì)應(yīng)圓臺(tái)的母線3、三視圖解面積的步驟：分析出所圍成的幾何體的特征(柱，錐，臺(tái)還是組合體)確定所求幾何體由哪些面組成根據(jù)圍成的面的特點(diǎn)，尋找可求出面積的要素，進(jìn)而求出面積將各部分面積求和即可得到幾何體的表面積4、求表面積要注意的幾點(diǎn)：三視圖中側(cè)面的高通常與某個(gè)視圖的邊相對(duì)應(yīng)。圓錐和圓柱可利用軸截面的特點(diǎn)求出相關(guān)要素，例如已知圓錐的高和底面半徑，通過(guò)軸截面可求出圓錐的母線長(zhǎng)當(dāng)幾何體被切割時(shí)，要注意截面也算在表面積之列。

（4）如果幾何體是由多個(gè)簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，要注意哪些面因拼接而含在幾何體之中,進(jìn)而在求表面積時(shí)不予考慮。二、典型例題：例1：一個(gè)幾何體的三視圖及其尺寸（單位：cm），如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積cm思路：通過(guò)三視圖可判斷出該幾何體為正四棱錐，所以只需計(jì)算出一個(gè)側(cè)面三角形的面積，乘4即為側(cè)面積。通過(guò)三視圖可得側(cè)面三角形的底為8（由俯視圖可得），高為5（左側(cè)面的高即為正視圖中三角形左腰的長(zhǎng)度），所以面積為S=5-8=20，所以側(cè)面積為S=4S=80cmi2i答案：80例2：一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為.思路：由三視圖可得該幾何體由一個(gè)半球和一個(gè)圓錐組成，其表面積為半球面積和圓錐側(cè)面積的和。球的半徑為3，所以半球的面積S=-4兀-32=18兀，圓錐的底面半徑為3,母線長(zhǎng)i2為5，所以圓錐的側(cè)面積為S=兀rl=兀?3-5=15兀，所以表2面積為S=S+S=33兀12答案：3%例3：已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于其余的面中有三個(gè)面是正方形思路：可初步判斷出該幾何體可由正方體截得一部分而構(gòu)成。從三視圖中可得去掉的一角為側(cè)棱長(zhǎng)為1，且兩兩垂直的三棱錐（如圖所示），可得aABC為邊長(zhǎng)是的等邊三角形。所其余的面中有三個(gè)面是正方形以SABC的面積減去一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形的面積，即「c117S=22--12=，另外三個(gè)面為完整的正方形，即122S=22=4，所以表面積S=3S+3S+S212ABC第八章第第八章第60煉三視圖幾何體的面積問(wèn)題立體幾何第八章第第八章第60煉三視圖幾何體的面積問(wèn)題立體幾何2222答案:45+-J32-例4：某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）B.11+2邁C.14+2遷D.158+2\：2，從而表面積俯視圖一個(gè)內(nèi)角為60的菱形，俯視圖為正方形，那么這個(gè)幾何體的表面積為（）A.8+2\：2，從而表面積俯視圖一個(gè)內(nèi)角為60的菱形，俯視圖為正方形，那么這個(gè)幾何體的表面積為（）A.—込B.4J3C.8D.4思路：由三視圖可得，該幾何體為兩個(gè)正四棱錐上下拼接而成，其表面積為8個(gè)側(cè)面三角形面積的和。首先計(jì)算正視圖中菱形的邊長(zhǎng)。圖中的菱形被分成2個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為a，正視圖彳府視圖側(cè)視圖思路：由三視圖可判斷出該幾何體為一個(gè)正四棱柱，所以表面積由側(cè)面的四個(gè)矩形，還有上下兩個(gè)底面（直角梯形）的面積組成。由俯視圖可得梯形的上下底分別為1,2，高為1,所以梯形面積3S]=—（1+2）?1=—，四個(gè)側(cè)面的底分別為2,1,1,J2，高為2，所以側(cè)面面積為S?=2-__S=S+S=2?—+8+2、遼=11+2邁122答案：B例5：如圖，一個(gè)空間幾何體的正視圖，側(cè)視圖都是面積為尋,解得a=2答案：D例6：某幾何體的三視圖如圖所示，則它的表面積為（A.B.1ffii觀怪1第八章第第八章第60煉三視圖幾何體的面積問(wèn)題立體幾何第八章第第八章第60煉三視圖一一幾何體的面積問(wèn)題立體幾何第八章第第八章第60煉三視圖幾何體的面積問(wèn)題立體幾何C.D.2+思路：由正視圖與側(cè)視圖可判斷出幾何體為錐體，再由俯視圖能夠判定該幾何體為圓錐的一半，且底面向上放置。所以表面積由底面半圓，側(cè)面的一半，和軸截面的面積組成。由俯視r(shí)cl兀圖可得底面半圓半徑r二1，所以底面半圓面積S=—兀r2=122幾何體的側(cè)面為圓錐側(cè)面的一半，由正視圖可得圓錐的母線l=訂22+12=\.：5，所以側(cè)面1面積S=—兀rl=——兀，軸截面為三角形，底為2（側(cè)視圖），高為2（正視圖）所以可得面積S22面積S2X222=2，所以該幾何體的表面積為S=答案：A例7：如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則此三視圖所描述幾何體的表面積為（）A.B.2Ckc.Co+思路：從三視圖中可判斷出幾何體為一個(gè)圓錐和圓柱拼接而成，所圍成的表面積為圓錐的側(cè)面，圓柱的側(cè)面和圓柱的一個(gè)底面。圓錐的底面半徑為2A.B.2Ckc.Co+思路：從三視圖中可判斷出幾何體為一個(gè)圓錐和圓柱拼接而成，所圍成的表面積為圓錐的側(cè)面，圓柱的側(cè)面和圓柱的一個(gè)底面。圓錐的底面半徑為2，高為2\；3，可由軸截面求出母線的長(zhǎng)度為4，所以圓錐側(cè)面S=兀rl=8兀，圓柱的高h(yuǎn)=2，底面半徑r=2，所以圓柱的側(cè)面面積S=2兀rh=8兀，圓柱底面面積S=兀r2=4兀，所以幾23D.28兀何體的表面積為S=S+S+S=20兀123答案：B例8：某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的表面積工円圖「.円閽思路：由正視圖和側(cè)視圖可判斷出幾何體為錐體，結(jié)合俯視圖可得該幾何體為圓錐的一部分。其表面積由底面扇形，圓錐側(cè)面的一部分和兩個(gè)工円圖「.円閽2兀三角形截面組成，首先通過(guò)正視圖線段的長(zhǎng)度可得扇形的圓心角為三，c112^4所以扇形面積S1=尹r2=2-尹22=3兀，由側(cè)視圖可得圓錐的母

線長(zhǎng)l=J42+22=，由底面扇形所占底面圓形的1可得圓錐部分側(cè)面面積也是圓錐側(cè)面面積的1，即S二1?“心空TOC\o"1-5"\h\z3233所以幾由正視圖可得兩個(gè)三角形的底為2,高為4,所以三角形面積為S=-x2x4=4,所以幾2+4^5何體的表面積為S=S+S+2S=兀+8\o"CurrentDocument"1233答案:例9：一個(gè)多面體的三視圖如圖所示，則該多面體的表面積為「思路：由三視圖可知該幾何體為四棱錐，且頂點(diǎn)在底面的投影為底—邊的中點(diǎn)，可嘗試作出四棱錐的直觀圖。底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，所以面積S=22=4，厶PAB的底為2，高為膏3（正視圖的—ABCD左側(cè)直角邊），所以Spab=2-2?訂=啟。厶PAD,"EC的底為2，高為2（側(cè)視圖的左右邊），所以S=S=-2-2=2,PADPBC2所以棱錐的表△PDC的底為2，高h(yuǎn)=\￡運(yùn)>+22=<7,所以棱錐的表S=1-2?訂=\廳PDC2S=S+S+S+S+S=8+弋3++'7ABCDaPABaPADaPBCaPDC答案：8+f'3+\'7正視圖I小煉有話說(shuō)：在求棱錐的側(cè)面面積時(shí)，底可以考慮底面的邊長(zhǎng)，高則可從正視圖與側(cè)視圖三角形的左右兩邊尋找，其邊長(zhǎng)分別對(duì)應(yīng)側(cè)面三角形的高正視圖I例10：圓柱被過(guò)軸一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體,該幾何體三視圖中的正視圖與俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為16+20n，貝ijr=（）A.1B.2C.4D.8思路：總體想法是用r表示出幾何體的表面積，在結(jié)合已知列出方程求解。由條件可知該幾何體的表面積由一個(gè)半球，圓柱的半個(gè)底面，半球截面的一半（半圓），圓柱的半個(gè)側(cè)面和圓柱的軸截面的面積組成。半球的面積為S=—?4兀r2=2兀r2,半1211球截面的一半S2=2兀r2，圓柱半個(gè)底面面積為S3=2兀r2，圓柱半個(gè)側(cè)面面積為S=-2兀rh=2兀r2,軸截