六章平穩(wěn)時(shí)間序列Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式第六章平穩(wěn)時(shí)間序列模型時(shí)間序列的分析研究始終是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)熱點(diǎn)，對(duì)于制定精確定價(jià)和預(yù)測(cè)決策是至關(guān)重要的，近代計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和金融市場(chǎng)的許多研究成果和市場(chǎng)決策理論愈來(lái)愈多是建立在時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)上。Engle和Grange因?yàn)樗麄兊臅r(shí)間序列模型在經(jīng)濟(jì)金融中的廣泛應(yīng)用而獲得2003年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，就是時(shí)間序列分析方法的重要性在世界上被廣泛認(rèn)可的有力證明．近代計(jì)量經(jīng)濟(jì)和金融市場(chǎng)的許多研究成果都建立在時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)之上。傳統(tǒng)應(yīng)用較廣的是Box和Jenkins（1970）提出的ARIMA（自回歸求和移動(dòng)平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH模型（一階自回歸條件異方差），用以研究非線性金融時(shí)間序列模型，由此開(kāi)創(chuàng)了金融時(shí)序獨(dú)樹(shù)一幟的研究思路和方法。隨著時(shí)間序列分析理論和方法的發(fā)展，美國(guó)學(xué)者Schemas和Lebanon發(fā)現(xiàn)股票日收益序列與周收益序列中存在混沌現(xiàn)象，米爾斯也指出金融時(shí)間序列似乎通?？梢杂秒S機(jī)漫步來(lái)很好近似，非線性時(shí)間序列模型被廣泛應(yīng)用在金融時(shí)間序列分析中。就數(shù)學(xué)方法而言，平穩(wěn)隨機(jī)序列的統(tǒng)計(jì)分析，在理論上的發(fā)展比較成熟，從而構(gòu)成時(shí)間序列分析的基礎(chǔ)。因此，本章從基本的平穩(wěn)時(shí)間序列講起。第一節(jié)基本概念一、隨機(jī)過(guò)程在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，隨機(jī)變量是分析隨機(jī)現(xiàn)象的有力工具。對(duì)于一些簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象，一個(gè)隨機(jī)變量就足夠了，如候車人數(shù)，某單位一天的總用水量等。對(duì)于一些復(fù)雜的隨機(jī)現(xiàn)象，用一個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述就不夠了，而需要用若干個(gè)隨機(jī)變量來(lái)加以刻畫。例如平面上的隨機(jī)點(diǎn)，某企業(yè)一天的工作情況（產(chǎn)量、次品率、耗電量、出勤人數(shù)等）都需要用多個(gè)隨機(jī)變量來(lái)刻畫。 還有些隨機(jī)現(xiàn)象，要認(rèn)識(shí)它必須研究其發(fā)展變化過(guò)程，這一類隨機(jī)現(xiàn)象不能只用一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量來(lái)描述，而必須考察其動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，隨機(jī)現(xiàn)象的這種動(dòng)態(tài)變化過(guò)程就是隨機(jī)過(guò)程。例如，某一天電話的呼叫次數(shù)，它是一個(gè)隨機(jī)變量。若考察它隨時(shí)間變動(dòng)的情況，則需要考察依賴于時(shí)間的隨機(jī)變量，｛｝就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。又例如，某國(guó)某年的總量，是一個(gè)隨機(jī)變量，但若考查它隨時(shí)間變化的情形，則｛整理為word格式整理為word格式整理為word格式｝就是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。一般地，若對(duì)于每一特定的（），為一隨機(jī)變量，則稱這一族隨機(jī)變量｛｝為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。隨機(jī)過(guò)程的分類一般有兩種方法：（1）以參數(shù)集和的取值的特征來(lái)分類；（2）以統(tǒng)計(jì)特征或概率特征來(lái)分類。為了簡(jiǎn)便，我們以參數(shù)集和的取值的特征來(lái)分類。以參數(shù)集的性質(zhì)，隨機(jī)過(guò)程可分為兩大類：為可數(shù)集合與不可數(shù)集合。以所取的值的特征，隨機(jī)過(guò)程也可以分為兩大類：離散狀態(tài)，即所取的值是離散的點(diǎn)；連續(xù)狀態(tài)，即所取的值是連續(xù)的。由此可將隨機(jī)過(guò)程分為以下四類：離散參數(shù)離散型隨機(jī)過(guò)程；連續(xù)參數(shù)離散型隨機(jī)過(guò)程；連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程；離散參數(shù)連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。二、時(shí)間序列離散型時(shí)間指標(biāo)集的隨機(jī)過(guò)程通常稱為隨機(jī)型時(shí)間序列，簡(jiǎn)稱為時(shí)間序列。經(jīng)濟(jì)分析中常用的時(shí)間序列數(shù)據(jù)都是經(jīng)濟(jì)變量隨機(jī)序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。時(shí)間序列分析是一種根據(jù)動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng)計(jì)方法，是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)分支。時(shí)間序列的特點(diǎn)是：序列中的數(shù)據(jù)依賴于時(shí)間順序；序列中每個(gè)數(shù)據(jù)的取值具有一定的隨機(jī)性；序列中前后的數(shù)值有一定的相關(guān)性--系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)規(guī)律；序列整體上呈現(xiàn)某種趨勢(shì)性或周期性。時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)特征通常用其分布及數(shù)字特征來(lái)刻畫。例如期望，方差和協(xié)方差。研究時(shí)間序列具有重要的現(xiàn)實(shí)意義，通過(guò)對(duì)時(shí)間序列的分析和研究，認(rèn)識(shí)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征（如趨勢(shì)的類型，周期波動(dòng)的周期、振幅，等等）；揭示系統(tǒng)的運(yùn)行規(guī)律；進(jìn)而預(yù)測(cè)或控制系統(tǒng)的未來(lái)行為，或修正和重新設(shè)計(jì)系統(tǒng)（如改變參數(shù)、周期等）按照新的結(jié)構(gòu)運(yùn)行。三、時(shí)間序列的平穩(wěn)性與滯后算子所謂時(shí)間序列的平穩(wěn)性，是指時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化。也就是說(shuō)，生成變量時(shí)間序列數(shù)據(jù)的隨機(jī)過(guò)程的特征不隨時(shí)間變化而變化。以平穩(wěn)時(shí)間序列數(shù)據(jù)作為計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型變量的觀測(cè)值時(shí)，其估計(jì)方法、檢驗(yàn)過(guò)程才可能采用前面幾章所介紹的方法。整理為word格式整理為word格式整理為word格式直觀上，一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列可以看做作一條圍繞其均值上下波動(dòng)的曲線。從理論上，有兩種意義的平穩(wěn)性，一是嚴(yán)格平穩(wěn)，另一是弱平穩(wěn)。嚴(yán)格平穩(wěn)是指隨機(jī)過(guò)程｛｝的聯(lián)合分布函數(shù)與時(shí)間的位移無(wú)關(guān)。設(shè)｛｝為一隨機(jī)過(guò)程，為任意正整數(shù),為任意實(shí)數(shù)，若聯(lián)合分布函數(shù)滿足：(6.1)則稱｛｝為嚴(yán)格平穩(wěn)過(guò)程，它的分布結(jié)構(gòu)不隨時(shí)間推移而變化。弱平穩(wěn)是指隨機(jī)過(guò)程{}的期望、方差和協(xié)方差不隨時(shí)間推移而變化。若｛｝滿足以下三條件：，，(6.2)則稱｛｝為弱平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。在以后的討論中，關(guān)于平穩(wěn)性的概念通常是指弱平穩(wěn)，弱平穩(wěn)通常也被稱作寬平穩(wěn)。需要注意的是嚴(yán)平穩(wěn)和弱平穩(wěn)之間的關(guān)系：只有具有有限二階矩的嚴(yán)平穩(wěn)過(guò)程，才是弱平穩(wěn)過(guò)程；弱平穩(wěn)過(guò)程只限定一階矩和二階矩，即它并沒(méi)有規(guī)定分布函數(shù)的性質(zhì)，所以弱平穩(wěn)并不一定屬于嚴(yán)平穩(wěn)。由于時(shí)間序列分析中經(jīng)常用到白噪聲過(guò)程，所以有必要對(duì)它介紹一下。對(duì)于一個(gè)隨機(jī)過(guò)程，如果；；，，則稱為白噪聲過(guò)程。白噪聲是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，因其均值為零，方差不變，隨機(jī)變量之間非相關(guān)。顯然上述白噪聲是二階寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。如果同時(shí)還服從正態(tài)分布，則它就是一個(gè)嚴(yán)平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程。白噪聲源于物理學(xué)與電學(xué)，原指音頻和電信號(hào)在一定頻帶中的一種強(qiáng)度不變的干擾聲。下圖是由噪聲過(guò)程產(chǎn)生的時(shí)間序列。整理為word格式整理為word格式整理為word格式圖1由白噪聲過(guò)程產(chǎn)生的時(shí)間序列圖2日元對(duì)美元匯率的收益率序列在時(shí)間序列分析中，我們經(jīng)常要用到滯后算子，它的定義為這個(gè)滯后算子是把一個(gè)時(shí)間序列轉(zhuǎn)換成另一新的時(shí)間序列的映射。如果應(yīng)用兩次滯后算子，我們有記兩個(gè)滯后算子的乘積為，有。規(guī)定，即它是一個(gè)恒等映射。滯后算子的逆算子滿足。一般地，對(duì)于任意的整數(shù)，我們有滯后算子對(duì)于數(shù)量乘法和加法滿足交換律和分配律，即對(duì)于任意的常數(shù)和時(shí)間序列，，，我們有這樣如果，那么有另一個(gè)例子是像這樣的表達(dá)式我們稱之為滯后算子多項(xiàng)式。整理為word格式整理為word格式整理為word格式第二節(jié)移動(dòng)平均（）過(guò)程在金融收益率序列的建模中有一類簡(jiǎn)單模型是滑動(dòng)平均模型(Moving-AverageModel,縮寫為MA模型)，它可以看作是白噪聲序列的簡(jiǎn)單推廣。一．一階移動(dòng)平均過(guò)程如果滿足白噪聲過(guò)程，定義過(guò)程(6.3)其中和為常數(shù)，這個(gè)序列稱為一階移動(dòng)平均過(guò)程。期望為(6.4)方差為(6.5)一階自協(xié)方差為(6.6)高階自協(xié)方差為（）(6.7)上述均值和協(xié)方差都不是時(shí)間的函數(shù)，因此不管為何，過(guò)程都是協(xié)方差平穩(wěn)的。而一階自相關(guān)系數(shù)（6.8）高階自相關(guān)系數(shù)均為0。此時(shí)自相關(guān)函數(shù)在1階處截尾。[例1]，此時(shí),此時(shí)這時(shí)MA(1)序列與具有相同的相關(guān)系數(shù)，那么選擇哪一個(gè)模型更為合適呢？對(duì)于MA(1)過(guò)程，還有幾點(diǎn)值得注意：(1)正的值得到正的自相關(guān)系數(shù)，一個(gè)大的后面通常是一個(gè)比平均值大的；(2)負(fù)的正的值得到負(fù)的自相關(guān)系數(shù)，一個(gè)大的后面通常是一個(gè)比平均值小的；(3)自相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間，并且對(duì)于每一個(gè)，都有和與之對(duì)應(yīng)；(4)某些金融時(shí)間序列可能是零均值，這時(shí)就應(yīng)當(dāng)是把這個(gè)常數(shù)均值從模型中移除整理為word格式整理為word格式整理為word格式，使得MA(1)模型變?yōu)?。二．階移動(dòng)平均過(guò)程：階滑動(dòng)平均過(guò)程的表達(dá)式為：(6.9)其中為白噪聲過(guò)程，為任何實(shí)數(shù)。其均值、方差、自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)分別為：(6.10)（6.11）（6.12）即自協(xié)方差函數(shù)在階處截尾。由(12)式立即可得階移動(dòng)平均過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為(6.13)(13)式告訴我們，當(dāng)移動(dòng)平均過(guò)程的階為時(shí)，間隔期大于的自相關(guān)函數(shù)值為零。這個(gè)性質(zhì)稱為的自相關(guān)函數(shù)的截尾性，意思是說(shuō)，自相關(guān)函數(shù)的圖形隨著自變量k到達(dá)時(shí)突然被截去。的截尾性給我們一個(gè)重要啟示：如果某時(shí)間序列是來(lái)自一個(gè)移動(dòng)平均過(guò)程，則當(dāng)該時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)，從某個(gè)間隔期開(kāi)始，其值均為零時(shí)，我們就可以推測(cè)，原時(shí)間序列的階數(shù)為。[例2]過(guò)程容易算得，，，，；整理為word格式整理為word格式整理為word格式，，，。[例3]下式為一個(gè)一階移動(dòng)平均過(guò)程其中是高斯白噪聲過(guò)程，表1是它容量為100的一個(gè)樣本。表1一階自回歸過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)tttt10.8855262.23351-0.1954761.370724.2934271.2258520.2623773.27483-0.1071281.0914532.6973784.64240.0796293.8662541.5055794.51452.8523303.6584551.8346806.337262.480131-1.2055562.371813.002572.300332-0.5732571.4937821.987781.0175331.2197581.2863831.874393.2323341.4091592.0144842.1319102.499935-0.844601.7401850.4165112.300736-1.031661-0.299386-1.1645123.1032371.1887621.3933871.3004133.1367381.7468630.366881.0471142.4248390.5279642.5341891.3628152.5574400.1392653.2576900.7714162.5946410.992661.0231913.2516171.1813422.8198672.6489923.1616180.230543-0.603682.1931.6074192.311544-0.4252692.183942.589320-0.0818450.1535701.6981952.321821-3.168846-1.1038712.3432960.8638220.5128471.0635723.7589972.582232.4507482.0526733.9677982.4109240.8341491.7068743.0588990.8723251.259550-0.8452751.63041003.4713(1)畫出的線圖；(2)求的總體自相關(guān)函數(shù)；(3)根據(jù)表中樣本求樣本自相關(guān)函數(shù)。在EViews中輸入命令Ploty,可得該樣本的線圖如下整理為word格式整理為word格式整理為word格式圖3過(guò)程的線圖根據(jù)公式(13)式，容易求得的總體自相關(guān)函數(shù)為在EViews中雙擊序列，然后點(diǎn)擊View\Correlograms,選擇水平序列可得AutocorrelationandPartialcorrelations函數(shù)圖如下，圖4過(guò)程的自相關(guān)與偏相關(guān)柱狀圖從上圖的樣本自相關(guān)函數(shù)值可以看出：滯后2期的自相關(guān)函數(shù)值與相比，大幅度減少，的樣本自相關(guān)函數(shù)值越來(lái)越小。三．無(wú)限階移動(dòng)平均過(guò)程整理為word格式整理為word格式整理為word格式對(duì)于一個(gè)過(guò)程，如果讓，我們就得到如下的過(guò)程：(6.14)我們稱此過(guò)程為過(guò)程，這里。我們可以證明：如果過(guò)程的系數(shù)是平方可和的，即那么是一個(gè)平穩(wěn)的過(guò)程。一般地我們用一個(gè)更強(qiáng)的絕對(duì)可和條件來(lái)代替平方可和條件，絕對(duì)可和蘊(yùn)涵平方可和。系數(shù)是絕對(duì)可和的過(guò)程的均值和自協(xié)方差分別為(6.15)(6.16)(6.17)四、移動(dòng)平均過(guò)程的識(shí)別由(13)式可知，MA過(guò)程的階等于自相關(guān)函數(shù)值不為零的最大滯后階數(shù)k。我們?cè)趺茨軌蛴煽傻弥畷r(shí)間序列來(lái)判斷MA過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)在某處(即某間隔長(zhǎng)度)的值為零呢？從例3可知，即使是MA過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)在某處的真值為零，但由MA過(guò)程所產(chǎn)生的一個(gè)實(shí)現(xiàn)來(lái)計(jì)算的樣本自相關(guān)函數(shù)在同一處的值卻不等于零。這表明，我們不能因?yàn)闃颖咀韵嚓P(guān)函數(shù)在某處的值不為零來(lái)斷定總體自相關(guān)函數(shù)在同一處的值也不為零。幸而，我們可以知道樣本自相關(guān)函數(shù)值的分布。這樣，我們就可以根據(jù)樣本自相關(guān)函數(shù)值的分布來(lái)進(jìn)行總體相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)值是否為零的顯著性檢驗(yàn)。根據(jù)GeorgeG.Judge(1982)等所述GeorgeG.Judge,R.CarterHill,WilliamE.Griffiths,HelmutLGeorgeG.Judge,R.CarterHill,WilliamE.Griffiths,HelmutLütkepohl,andTsoung-ChaoLee“IntroductiontotheTheoryandPracticeofEconometrics”,p.692,Copyright1982,1988byJohnWiley&Sons,Inc.整理為word格式整理為word格式整理為word格式的置信度為95%的置區(qū)間近似為(6.18)其中，為樣本自相關(guān)函數(shù)，n為樣本容量。于是我們有：如果自相關(guān)函數(shù)值，則在大樣本條件下，相應(yīng)的樣本自相關(guān)函數(shù)值以95%的概率落入?yún)^(qū)間。由此可得顯著性檢驗(yàn)程序如下：第一步：根據(jù)所得隨機(jī)時(shí)間序列的一個(gè)樣本計(jì)算樣本自相關(guān)函數(shù)值。第二步：檢驗(yàn)是否落入?yún)^(qū)間，或者檢驗(yàn)的絕對(duì)值是否小于：如果落入?yún)^(qū)間或其絕對(duì)值小于，則在5%的顯著性水平下，不拒絕；如果在區(qū)間之外或其絕對(duì)值大于，則拒絕。[例4]設(shè)時(shí)間序列是來(lái)自MA過(guò)程，表2的數(shù)據(jù)是它的一個(gè)樣本容量為48的一個(gè)實(shí)現(xiàn)，試確定這個(gè)MA過(guò)程的階。表2移動(dòng)平均過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)時(shí)期t時(shí)期t時(shí)期t11.542178172.255198334.2255622.477647182.892425345.46023整理為word格式整理為word格式整理為word格式34.423028192.715419354.06683244.964234202.453714362.42549555.452143212.433565373.36086161.856292224.120497383.02375971.455666233.7203393.52881783.954514242.762672402.0103892.570313252.375098411.286251101.657775264.664288420.970086110.895445275.049431.72418120.13883285.895059442.749795130.914224293.770486453.00863141.639915304.268512462.694154150.417965312.384476475.000872161.161316322.57151482.574218[解]由表2，根據(jù)樣本自相關(guān)系數(shù)，計(jì)算可得的一系列值：12345670.5760.2510.1340.1930.2190.092-0.124而，顯然有故在5%的顯著性水平下，拒絕，接受，當(dāng)。這表明表2的數(shù)據(jù)產(chǎn)生于一個(gè)MA(1)過(guò)程。整理為word格式整理為word格式整理為word格式五、移動(dòng)平均過(guò)程的參數(shù)估計(jì)移動(dòng)平均過(guò)程的參數(shù)據(jù)估計(jì)就是在已確定移動(dòng)平均過(guò)程的階以后，根據(jù)它的一個(gè)現(xiàn)實(shí)或樣本，來(lái)估計(jì)移動(dòng)平均過(guò)程的均值，諸移動(dòng)平均系數(shù)(或稱權(quán)數(shù))，以及被假定為白噪聲過(guò)程或高斯白噪聲過(guò)程的的方差。由于不可逆的移動(dòng)平均過(guò)程意義不大，所以我們只研究的可逆的移動(dòng)平均過(guò)程，因?yàn)橛邢揠A移動(dòng)平均過(guò)程是平穩(wěn)的，所以其均值為常數(shù)，而這個(gè)常數(shù)完全可以由樣本平均數(shù)來(lái)估計(jì)。因此，均值的估計(jì)也就不成為問(wèn)題。正因?yàn)槿绱?，不失一般性，我們假定的均值，以便于?duì)其它參數(shù)的估計(jì)(若不然，只要將移動(dòng)平均過(guò)程的每一項(xiàng)減去其均值，而均值的估計(jì)值是可得的)。故可設(shè)(6.19)其中是一白噪聲過(guò)程。估計(jì)(6.19)式中的參數(shù)的一個(gè)直接方法是將它化成的形式(因?yàn)樗强赡娴?，所以這種轉(zhuǎn)換是可行的)：即(6.20)求使上式所表示的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的殘差平方和最小的諸，即求諸，使(6.21)最小。但由于樣本容量是有限值n，所以上式可簡(jiǎn)化為(6.22)即，我們的估計(jì)問(wèn)題首先就是要求求諸，使最小()。當(dāng)我們估計(jì)出諸以后，再根據(jù)諸與諸的關(guān)系，求出諸的估計(jì)值，而的方差則可由下式估計(jì)：(6.23)整理為word格式整理為word格式整理為word格式或(6.24)上述過(guò)程所用的方法是最小二乘法，但是由于諸與諸的關(guān)系十分復(fù)雜，所以上述估計(jì)屬于非線性估計(jì)，往往要在一組初始值下進(jìn)行迭代。有計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件EViews中有相應(yīng)的程序?qū)^(guò)程進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。例如：如要估計(jì)MA(2)過(guò)程，則估計(jì)命令為L(zhǎng)sycMA(1)MA(2)下圖是某MA(2)序列的EViews估計(jì)的輸出結(jié)果圖5MA(2)過(guò)程的EViews估計(jì)結(jié)果若假設(shè)(6.19)式中是一高斯白噪聲過(guò)程，則可用最大似然估計(jì)來(lái)估計(jì)模型中的參數(shù)。例如對(duì)于高斯過(guò)程（6.25）其中。表示要估計(jì)的總體參數(shù)。如果已知，則（6.26）其概率密度函數(shù)為：（6.27）如果已知，則整理為word格式整理為word格式整理為word格式（6.28）給定觀察值，則就是確定的（6.29）代入（6.27），得到（6.30）因?yàn)榇_知，可由下式求出：（6.31）通過(guò)迭代法由求出整個(gè)序列：（6.33），從開(kāi)始。則第個(gè)觀測(cè)值的條件密度為：（6.34）則樣本似然函數(shù)為（6.35）條件對(duì)數(shù)似然函數(shù)為（6.36）其中，利用（6.33）和觀察值序列可以求出隱含的白噪聲序列。但是條件似然函數(shù)仍然是非線性函數(shù)。需要使用數(shù)值解法求參數(shù)。第三節(jié)自回歸（AR）過(guò)程另一類常用的模型是自回歸模型(AutoRegressiveModel，縮寫為AR模型)。自回歸模型之所以有吸引力是因?yàn)樗c很傳統(tǒng)的線性回歸模型非常相像。美國(guó)芝加哥大學(xué)證券價(jià)格研究中心（CRSP）價(jià)值指數(shù)的月收益率具有統(tǒng)計(jì)顯著的間隔為1的自相關(guān)系數(shù)，這表明延遲的收益在預(yù)測(cè)時(shí)會(huì)有一定的作整理為word格式整理為word格式整理為word格式用，描述這樣的預(yù)測(cè)功能的模型就是所謂的一階自回歸模型。一．一階自回歸過(guò)程表達(dá)式為方程：（6.37）為白噪聲序列。如果，過(guò)程（6.37）中對(duì)的影響隨著時(shí)間累增而不是消失，過(guò)程不是有限方差的協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程。這個(gè)過(guò)程一般稱為爆炸性過(guò)程。當(dāng)時(shí)，過(guò)程為協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程，此時(shí)利用滯后算子過(guò)程變?yōu)椋海?.38）利用求逆，從而得到此過(guò)程的解為過(guò)程：（6.39）明顯，當(dāng)時(shí)，滿足絕對(duì)可加性：（6.40）此時(shí)過(guò)程的均值、方差、自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為：(6.41)（6.42）(6.43)從自相關(guān)函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)按幾何方式衰減。增加一個(gè)單位對(duì)于整理為word格式整理為word格式整理為word格式的影響等于和之間的相關(guān)系數(shù)。正的值意味著和之間正相關(guān)。負(fù)的值意味著和之間負(fù)相關(guān)。此時(shí)自相關(guān)函數(shù)拖尾。如果假定過(guò)程是協(xié)方差平穩(wěn)的，可直接利用差分方程計(jì)算各階矩。對(duì)（6.37）式兩邊取期望：從而，（6.44）對(duì)（6.37）式變形，得到：或（6.45）兩邊平方求期望：將代入（25），可得從而得到協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程的方差：（6.46）根據(jù)同樣的道理，（6.37）兩側(cè)同時(shí)乘以，再求期望，可得自協(xié)方差函數(shù)：即（6.47）解自協(xié)方差函數(shù)的差分方程，得到（6.48）自相關(guān)函數(shù)為：（6.49）二．二階自回歸過(guò)程表達(dá)式為（6.50）整理為word格式整理為word格式整理為word格式或者寫成滯后算子形式：（6.51）差分方程（6.51）的平穩(wěn)條件是特征方程的根都落在單位圓外。此時(shí)自回歸算子的逆為：（6.52）這里的由矩陣的第個(gè)元素給出。將（6.51）兩邊同時(shí)乘以得到：顯然（6.53）也可直接對(duì)（6.50）兩邊取期望，從而有（6.54）再次得到（6.55）系統(tǒng)（6.50）變形為進(jìn)一步變形（6.56）兩邊同時(shí)乘以，求期望，得到（6.57）兩邊同時(shí)除以，得到（6.58）可見(jiàn)，對(duì)于過(guò)程，其自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)仍然是差分方程。當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；由此通過(guò)逐次求解迭代就可以求得自相關(guān)函數(shù)。自相關(guān)函數(shù)仍然具有拖尾特征。下面我們求二階自回歸過(guò)程的方差。（6.56）兩側(cè)同時(shí)乘以，再求期望得到：整理為word格式整理為word格式整理為word格式即整理一下，得到（6.59）三．階自回歸過(guò)程表達(dá)式為：（6.60）其平穩(wěn)性條件為特征方程的根都在單位圓外。假設(shè)過(guò)程協(xié)方差平穩(wěn)，則對(duì)（6.60）兩邊求期望，得到：從而可以得到均值：（6.61）表達(dá)式（6.60）可以寫成：（6.62）表達(dá)式兩側(cè)同時(shí)乘以，再取期望可得自協(xié)方差：（6.63）已知，因此得到結(jié)論：當(dāng)時(shí)，是的函數(shù)。（6.63）兩側(cè)同時(shí)除以，得到尤拉--沃克（Yule-Walker）方程：（6.64）因此表達(dá)式（6.63）和（6.64）表明，階自回歸過(guò)程的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)具有相同形式的階差分方程，其自相關(guān)函數(shù)的具有拖尾特征。也就是說(shuō)隨著k的增大，的絕對(duì)值逐漸下降，但是不會(huì)到某一點(diǎn)以后被突然截?cái)?，而是一直拖下去，我們稱自回歸模型的自相關(guān)函數(shù)的這種特性為自回歸模型的自相關(guān)函數(shù)的拖尾性。顯然自相關(guān)函數(shù)的拖尾性是AR模型的特征而自相關(guān)函數(shù)的截尾性則是MA模型的特征。但是用自相關(guān)函數(shù)的拖尾性并不足以說(shuō)明時(shí)間序列是來(lái)自自回歸過(guò)程。自相關(guān)函數(shù)的拖尾性和偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性往往就能說(shuō)明時(shí)間序列是來(lái)自自回歸過(guò)程。下面引入偏自相關(guān)函數(shù)的概念。整理為word格式整理為word格式整理為word格式在(6.64)式中令，得到如下的Yule-Walker方程組(6.65)其中運(yùn)用了和。當(dāng)為已知時(shí)，可從Yule-Walker方程組中解出諸。但用方程(6.65)求解諸需要先知道自回歸過(guò)程的階數(shù)p，但是我們并不知道。因此，我們可以分別求解。當(dāng)時(shí)，求解方程組(6.65)，并利用樣本自相關(guān)函數(shù)，得的估計(jì)值。如果顯著地不為零，則自回歸過(guò)程的階數(shù)至少為1。記為。當(dāng)時(shí)，求解方程組(6.65)，并利用樣本自相關(guān)函數(shù)，得和的估計(jì)值，設(shè)的估計(jì)值為。如果顯著地不為零，則自回歸過(guò)程的階數(shù)至少為2。記為。對(duì)p連續(xù)取值3，4，…，重復(fù)上述過(guò)程，如對(duì)，得到的估計(jì)值，記為，等等。我們稱序列，，，…，為偏相關(guān)函數(shù)。四、自回歸過(guò)程的識(shí)別從上述偏相關(guān)函數(shù)的概念中可知，我們可以從偏相關(guān)函數(shù)的特性來(lái)推測(cè)自回歸過(guò)程的階數(shù)：按上述求偏相關(guān)函數(shù)值的方法求得偏相關(guān)函數(shù)的值并作顯著性檢驗(yàn)，如果在p的某一個(gè)取值m，顯著地不為零，而此后的不顯著，則自回歸過(guò)程的階數(shù)為m。所以當(dāng)自回歸過(guò)程的階數(shù)確實(shí)為p時(shí)，則為零而近似為零。為了進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)需要知道偏相關(guān)函數(shù)的分布特征。好在我們有如是結(jié)果：近似地服從均值0，方差為的正態(tài)分布(整理為word格式整理為word格式整理為word格式n為樣本容量)。因此，可以在顯著性水平5%下，通過(guò)考察的絕對(duì)值是否大于檢驗(yàn)是否顯著地不為0。[例5]由方程(為高斯白噪聲)產(chǎn)生一個(gè)樣本容量為100的時(shí)間序列。根據(jù)所產(chǎn)生的時(shí)間序列樣本求樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)并由此確定其階數(shù)，看一看結(jié)果是否與生成機(jī)制相吻合。顯然隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的AR(2)過(guò)程。因?yàn)樗奶卣鞫囗?xiàng)式的根均在單位園之外。據(jù)此可計(jì)算出它的均值為，以均值作為初始值去生成時(shí)間序列即令根據(jù)生成機(jī)制，由隨機(jī)數(shù)發(fā)生器生成容量為100的時(shí)間序列如表3。整理為word格式整理為word格式整理為word格式表3二階自回歸過(guò)程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)tttt119.699772616.97945116.258577621.44384218.512152719.306685218.563257719.84629319.142722819.776235316.966227818.62228420.378812922.080355416.935437919.71618521.292063020.756595518.005768020.16418622.713343122.607145618.457838122.26385719.974163220.363915719.396248223.06129820.29043321.315125819.864678323.89958921.293133421.895565918.412678423.454921019.876573523.508836017.746078523.200311119.482023622.750776118.798778623.38491217.92233722.103516219.030998722.983981316.59513822.697756318.141618821.711091416.22343921.92786418.264388920.019751515.901894022.646626518.544929021.184381614.258084120.794016619.192129121.277241714.593114220.23796719.282189221.748851814.662744318.803766818.424999321.693121915.317394418.847336920.638789420.508022015.289234518.921417020.619349521.932432115.438954619.042577120.633539621.143092215.494874718.791367221.397189720.346732317.276844821.156977321.966749819.65022417.107484918.825677421.019629919.395492517.244455018.672887520.1838910019.05352用計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)軟件EViews可得樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)如表4表4一個(gè)人造時(shí)間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)kkk10.8730.87311-0.018-0.16921-0.2930.11920.7950.14112-0.104-0.11022-0.284-0.08230.679-0.17413-0.189-0.08723-0.2240.11940.5970.03114-0.2470.03224-0.1810.09650.479-0.15115-0.316-0.05725-0.129-0.06560.378-0.07116-0.364-0.03326-0.107-0.14070.276-0.03017-0.3510.23127-0.081-0.10880.2100.05718-0.365-0.15828-0.0570.013整理為word格式整理為word格式整理為word格式90.1450.00419-0.3410.02429-0.0160.080100.074-0.10720-0.345-0.06530-0.012-0.060從表4可知，樣本自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。由于當(dāng)顯著性水平為5%時(shí)，偏自相關(guān)函數(shù)在處是顯著的(因?yàn)?，當(dāng)顯著性水平為16%時(shí)，偏相關(guān)函數(shù)在時(shí)的值才是顯著的，當(dāng)顯著性水平為10%時(shí)，偏相關(guān)函數(shù)在時(shí)的值是顯著的，當(dāng)時(shí)即使顯著性水平很低(即代表顯著性水平的很大)，偏相關(guān)函數(shù)的值也是不顯著的，這說(shuō)明自相關(guān)函數(shù)至少在處斷尾，所以表3中的序列是來(lái)自AR過(guò)程，而偏相關(guān)函數(shù)在和處的值實(shí)際上是處在顯著與不顯著之間，因此，我們可以說(shuō)表4所表示的時(shí)間序列可能來(lái)自AR(1)、AR(2)或者AR(3)，如果采用中庸之道，則可以認(rèn)為它來(lái)自AR(2)，這就與它的產(chǎn)生機(jī)制相吻合了。表3所代表的時(shí)間序列的圖形如圖6所示。圖6自回歸過(guò)程產(chǎn)生的典型序列五、有限階自回歸過(guò)程的估計(jì)1、過(guò)程的Yule-Walker估計(jì)模型的自回歸系數(shù)由模型的自協(xié)方差函數(shù)通過(guò)由拉沃克方程整理為word格式整理為word格式整理為word格式（6.66）確定。白噪聲的方差為（6.67）從樣本觀測(cè)值可以構(gòu)造出樣本自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)：（6.68）因此根據(jù)自協(xié)方差函數(shù)的估計(jì)，可以聯(lián)合求解除系數(shù)估計(jì)量。2、最小二乘估計(jì)在相異根的條件下，自協(xié)方差解：（6.69）其中特征根為特征方程的解。如果特征方程的根互不相同，那么我們有這里是由個(gè)初始值確定的待定系數(shù)。我們能夠證明這個(gè)初始值是矩陣的第一列的前面?zhèn)€元。這里我們可以利用最小二乘法來(lái)估計(jì)過(guò)程中的未知參數(shù)。把觀察值代入方程（6.60）中可得整理為word格式整理為word格式整理為word格式把它寫成矩陣的形式為這里，，參數(shù)向量的最小二乘估計(jì)量為如果服從正態(tài)分布，那么最小二乘法估計(jì)量是相合的和漸近正態(tài)的。第四節(jié)自回歸移動(dòng)平均過(guò)程如果混合自回歸移動(dòng)平均過(guò)程中自回歸部分的階數(shù)為零，則它就成為一個(gè)純移動(dòng)平均過(guò)程；如果混合自回歸移動(dòng)平均過(guò)程中移動(dòng)平均部分的階數(shù)為零，則它就成為一個(gè)純自回歸過(guò)程。所以AR過(guò)程和MA過(guò)程均可看成是ARMA過(guò)程的特例。一、過(guò)程的性質(zhì)表達(dá)式為：（6.70）寫成滯后算子的形式為：（6.71）兩側(cè)同時(shí)除以，從而得到（6.72）其中整理為word格式整理為word格式整理為word格式從而可以發(fā)現(xiàn)，過(guò)程的平穩(wěn)性完全取決于回歸參數(shù)而與移動(dòng)平均參數(shù)無(wú)關(guān)。即過(guò)程的平穩(wěn)性條件為特征方程：(6.73)的根在單位圓外。方程（6.70）變形可得（6.74）兩邊同時(shí)乘以，求期望得到自協(xié)方差。當(dāng)時(shí)，結(jié)果方程的形式階自協(xié)方差形式：（6.75）從而解為（6.76）時(shí)的自協(xié)方差函數(shù)比較復(fù)雜，并且不具有應(yīng)用意義。不過(guò)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)都具有拖尾特征。過(guò)程容易出現(xiàn)的兩個(gè)問(wèn)題：(1)首先就是過(guò)度參數(shù)化問(wèn)題。例如一個(gè)白噪聲過(guò)程也可以用表示。此時(shí)無(wú)論取何值，利用都能夠很好的擬合數(shù)據(jù)，因此造成估計(jì)的困難。(2)過(guò)程的表達(dá)式（6.71）的滯后多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解得到假設(shè)自回歸算子和移動(dòng)平均算子存在共同根（公因子），同時(shí)除以公因子，得到的過(guò)程和原來(lái)的過(guò)程相同。整理為word格式整理為word格式整理為word格式二、過(guò)程的識(shí)別ARMA(p,q)過(guò)程既有自回歸的某些性質(zhì)又有移動(dòng)平均的某些性質(zhì)，從其自相關(guān)函數(shù)來(lái)看，它與純自回歸過(guò)程一樣是拖尾的；從其偏自相關(guān)函數(shù)來(lái)看，它和移動(dòng)純正平均過(guò)程一樣也是拖尾的。所以判斷一個(gè)平衡的線性時(shí)間序列過(guò)程是否為混合自回歸移動(dòng)平均過(guò)程的方法是：如果其自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則我們就可以斷定這個(gè)線性時(shí)間序列是一個(gè)ARMA過(guò)程。ARMA模型的階的確定是困難的。我們可直接借用Hannan與Rissanen所提出的程序來(lái)識(shí)別參見(jiàn)：E.J.Hannanand參見(jiàn)：E.J.HannanandJ.Rissanen,”RecursiveEstimationofMixedAutoregressive-MovingAverageOrder”,Biometrika,69,1982,p.81-94.第一步，用OLS對(duì)從AR(1)開(kāi)始到一個(gè)相當(dāng)高階的純AR過(guò)程進(jìn)行估計(jì)(因?yàn)橐粋€(gè)未知的可逆ARMA過(guò)程等價(jià)于一個(gè)無(wú)限的AR過(guò)程，所以這樣估計(jì)是合理的)。第二步，利用赤池信息準(zhǔn)則(Akaike’sInformationcriterion)決定其最大滯后長(zhǎng)度，即求使函數(shù)(6.77)最小的k作為自回歸部分的可能階中的最大者p。第三步，根據(jù)第二步的結(jié)果，作最小二乘回歸得殘差序列，利用殘差序列擬合若干個(gè)模型，其中j表示移動(dòng)平均部分的階數(shù),根據(jù)施瓦茲準(zhǔn)則(Schwarzcriterion)求使函數(shù)(6.78)最小的與j分別作為自回歸過(guò)程的階p和移動(dòng)平均過(guò)程的階q。其中為我們所擬合的模型的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)的方差的最大似然估計(jì)。此外，還可直接從較低的階開(kāi)始擬合混合自回歸移動(dòng)平均過(guò)程，然后逐漸增加階數(shù)，分別檢驗(yàn)不同階數(shù)的擬合狀況，選用擬合狀況最好的階作為所要識(shí)別的ARMA模型的階。整理為word格式整理為word格式整理為word格式[例6]ARMA模型的識(shí)別。表5是根據(jù)并利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)據(jù)發(fā)生器生成的一個(gè)樣本容量為100的時(shí)間序列樣本。在不考慮這個(gè)樣本的形成機(jī)制條件下，根據(jù)這個(gè)樣本擬合一個(gè)ARMA模型。表5由ARMA過(guò)程生成的一個(gè)樣本tttt119.699772616.867715115.816697620.88992218.332022718.998765217.01677720.513318.376112820.959565317.834837817.90157420.525362922.599765416.167577918.78084522.057943022.181985517.613618020.59098623.432353122.214195618.912458122.6469721.014043221.360795719.676278224.3847818.980253320.347685820.389448324.76583921.152623422.218925918.770118424.237261020.533593524.050146016.922968523.268091118.833623.902126118.129338623.386071217.508183722.05286219.447398723.25621315.580843822.383476318.335198821.695781415.115263922.332896417.700488919.38695