六章平穩(wěn)時間序列Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式第六章平穩(wěn)時間序列模型時間序列的分析研究始終是計量經(jīng)濟學(xué)和統(tǒng)計學(xué)的一個熱點，對于制定精確定價和預(yù)測決策是至關(guān)重要的，近代計量經(jīng)濟學(xué)和金融市場的許多研究成果和市場決策理論愈來愈多是建立在時間序列分析的基礎(chǔ)上。Engle和Grange因為他們的時間序列模型在經(jīng)濟金融中的廣泛應(yīng)用而獲得2003年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎，就是時間序列分析方法的重要性在世界上被廣泛認(rèn)可的有力證明．近代計量經(jīng)濟和金融市場的許多研究成果都建立在時間序列分析的基礎(chǔ)之上。傳統(tǒng)應(yīng)用較廣的是Box和Jenkins（1970）提出的ARIMA（自回歸求和移動平均）方法；Engle(1982)提出了ARCH模型（一階自回歸條件異方差），用以研究非線性金融時間序列模型，由此開創(chuàng)了金融時序獨樹一幟的研究思路和方法。隨著時間序列分析理論和方法的發(fā)展，美國學(xué)者Schemas和Lebanon發(fā)現(xiàn)股票日收益序列與周收益序列中存在混沌現(xiàn)象，米爾斯也指出金融時間序列似乎通?？梢杂秒S機漫步來很好近似，非線性時間序列模型被廣泛應(yīng)用在金融時間序列分析中。就數(shù)學(xué)方法而言，平穩(wěn)隨機序列的統(tǒng)計分析，在理論上的發(fā)展比較成熟，從而構(gòu)成時間序列分析的基礎(chǔ)。因此，本章從基本的平穩(wěn)時間序列講起。第一節(jié)基本概念一、隨機過程在概率論和數(shù)理統(tǒng)計中，隨機變量是分析隨機現(xiàn)象的有力工具。對于一些簡單的隨機現(xiàn)象，一個隨機變量就足夠了，如候車人數(shù)，某單位一天的總用水量等。對于一些復(fù)雜的隨機現(xiàn)象，用一個隨機變量來描述就不夠了，而需要用若干個隨機變量來加以刻畫。例如平面上的隨機點，某企業(yè)一天的工作情況（產(chǎn)量、次品率、耗電量、出勤人數(shù)等）都需要用多個隨機變量來刻畫。 還有些隨機現(xiàn)象，要認(rèn)識它必須研究其發(fā)展變化過程，這一類隨機現(xiàn)象不能只用一個或多個隨機變量來描述，而必須考察其動態(tài)變化過程，隨機現(xiàn)象的這種動態(tài)變化過程就是隨機過程。例如，某一天電話的呼叫次數(shù)，它是一個隨機變量。若考察它隨時間變動的情況，則需要考察依賴于時間的隨機變量，｛｝就是一個隨機過程。又例如，某國某年的總量，是一個隨機變量，但若考查它隨時間變化的情形，則｛整理為word格式整理為word格式整理為word格式｝就是一個隨機過程。一般地，若對于每一特定的（），為一隨機變量，則稱這一族隨機變量｛｝為一個隨機過程。隨機過程的分類一般有兩種方法：（1）以參數(shù)集和的取值的特征來分類；（2）以統(tǒng)計特征或概率特征來分類。為了簡便，我們以參數(shù)集和的取值的特征來分類。以參數(shù)集的性質(zhì)，隨機過程可分為兩大類：為可數(shù)集合與不可數(shù)集合。以所取的值的特征，隨機過程也可以分為兩大類：離散狀態(tài)，即所取的值是離散的點；連續(xù)狀態(tài)，即所取的值是連續(xù)的。由此可將隨機過程分為以下四類：離散參數(shù)離散型隨機過程；連續(xù)參數(shù)離散型隨機過程；連續(xù)參數(shù)連續(xù)型隨機過程；離散參數(shù)連續(xù)型隨機過程。二、時間序列離散型時間指標(biāo)集的隨機過程通常稱為隨機型時間序列，簡稱為時間序列。經(jīng)濟分析中常用的時間序列數(shù)據(jù)都是經(jīng)濟變量隨機序列的一個實現(xiàn)。時間序列分析是一種根據(jù)動態(tài)數(shù)據(jù)揭示系統(tǒng)動態(tài)結(jié)構(gòu)和規(guī)律的統(tǒng)計方法，是統(tǒng)計學(xué)的一個分支。時間序列的特點是：序列中的數(shù)據(jù)依賴于時間順序；序列中每個數(shù)據(jù)的取值具有一定的隨機性；序列中前后的數(shù)值有一定的相關(guān)性--系統(tǒng)的動態(tài)規(guī)律；序列整體上呈現(xiàn)某種趨勢性或周期性。時間序列的統(tǒng)計特征通常用其分布及數(shù)字特征來刻畫。例如期望，方差和協(xié)方差。研究時間序列具有重要的現(xiàn)實意義，通過對時間序列的分析和研究，認(rèn)識系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征（如趨勢的類型，周期波動的周期、振幅，等等）；揭示系統(tǒng)的運行規(guī)律；進而預(yù)測或控制系統(tǒng)的未來行為，或修正和重新設(shè)計系統(tǒng)（如改變參數(shù)、周期等）按照新的結(jié)構(gòu)運行。三、時間序列的平穩(wěn)性與滯后算子所謂時間序列的平穩(wěn)性，是指時間序列的統(tǒng)計規(guī)律不會隨著時間的推移而發(fā)生變化。也就是說，生成變量時間序列數(shù)據(jù)的隨機過程的特征不隨時間變化而變化。以平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)作為計量經(jīng)濟模型變量的觀測值時，其估計方法、檢驗過程才可能采用前面幾章所介紹的方法。整理為word格式整理為word格式整理為word格式直觀上，一個平穩(wěn)的時間序列可以看做作一條圍繞其均值上下波動的曲線。從理論上，有兩種意義的平穩(wěn)性，一是嚴(yán)格平穩(wěn)，另一是弱平穩(wěn)。嚴(yán)格平穩(wěn)是指隨機過程｛｝的聯(lián)合分布函數(shù)與時間的位移無關(guān)。設(shè)｛｝為一隨機過程，為任意正整數(shù),為任意實數(shù)，若聯(lián)合分布函數(shù)滿足：(6.1)則稱｛｝為嚴(yán)格平穩(wěn)過程，它的分布結(jié)構(gòu)不隨時間推移而變化。弱平穩(wěn)是指隨機過程{}的期望、方差和協(xié)方差不隨時間推移而變化。若｛｝滿足以下三條件：，，(6.2)則稱｛｝為弱平穩(wěn)隨機過程。在以后的討論中，關(guān)于平穩(wěn)性的概念通常是指弱平穩(wěn)，弱平穩(wěn)通常也被稱作寬平穩(wěn)。需要注意的是嚴(yán)平穩(wěn)和弱平穩(wěn)之間的關(guān)系：只有具有有限二階矩的嚴(yán)平穩(wěn)過程，才是弱平穩(wěn)過程；弱平穩(wěn)過程只限定一階矩和二階矩，即它并沒有規(guī)定分布函數(shù)的性質(zhì)，所以弱平穩(wěn)并不一定屬于嚴(yán)平穩(wěn)。由于時間序列分析中經(jīng)常用到白噪聲過程，所以有必要對它介紹一下。對于一個隨機過程，如果；；，，則稱為白噪聲過程。白噪聲是平穩(wěn)的隨機過程，因其均值為零，方差不變，隨機變量之間非相關(guān)。顯然上述白噪聲是二階寬平穩(wěn)隨機過程。如果同時還服從正態(tài)分布，則它就是一個嚴(yán)平穩(wěn)的隨機過程。白噪聲源于物理學(xué)與電學(xué)，原指音頻和電信號在一定頻帶中的一種強度不變的干擾聲。下圖是由噪聲過程產(chǎn)生的時間序列。整理為word格式整理為word格式整理為word格式圖1由白噪聲過程產(chǎn)生的時間序列圖2日元對美元匯率的收益率序列在時間序列分析中，我們經(jīng)常要用到滯后算子，它的定義為這個滯后算子是把一個時間序列轉(zhuǎn)換成另一新的時間序列的映射。如果應(yīng)用兩次滯后算子，我們有記兩個滯后算子的乘積為，有。規(guī)定，即它是一個恒等映射。滯后算子的逆算子滿足。一般地，對于任意的整數(shù)，我們有滯后算子對于數(shù)量乘法和加法滿足交換律和分配律，即對于任意的常數(shù)和時間序列，，，我們有這樣如果，那么有另一個例子是像這樣的表達式我們稱之為滯后算子多項式。整理為word格式整理為word格式整理為word格式第二節(jié)移動平均（）過程在金融收益率序列的建模中有一類簡單模型是滑動平均模型(Moving-AverageModel,縮寫為MA模型)，它可以看作是白噪聲序列的簡單推廣。一．一階移動平均過程如果滿足白噪聲過程，定義過程(6.3)其中和為常數(shù)，這個序列稱為一階移動平均過程。期望為(6.4)方差為(6.5)一階自協(xié)方差為(6.6)高階自協(xié)方差為（）(6.7)上述均值和協(xié)方差都不是時間的函數(shù)，因此不管為何，過程都是協(xié)方差平穩(wěn)的。而一階自相關(guān)系數(shù)（6.8）高階自相關(guān)系數(shù)均為0。此時自相關(guān)函數(shù)在1階處截尾。[例1]，此時,此時這時MA(1)序列與具有相同的相關(guān)系數(shù)，那么選擇哪一個模型更為合適呢？對于MA(1)過程，還有幾點值得注意：(1)正的值得到正的自相關(guān)系數(shù)，一個大的后面通常是一個比平均值大的；(2)負(fù)的正的值得到負(fù)的自相關(guān)系數(shù)，一個大的后面通常是一個比平均值小的；(3)自相關(guān)系數(shù)的取值區(qū)間，并且對于每一個，都有和與之對應(yīng)；(4)某些金融時間序列可能是零均值，這時就應(yīng)當(dāng)是把這個常數(shù)均值從模型中移除整理為word格式整理為word格式整理為word格式，使得MA(1)模型變?yōu)?。二．階移動平均過程：階滑動平均過程的表達式為：(6.9)其中為白噪聲過程，為任何實數(shù)。其均值、方差、自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)分別為：(6.10)（6.11）（6.12）即自協(xié)方差函數(shù)在階處截尾。由(12)式立即可得階移動平均過程的自相關(guān)函數(shù)為(6.13)(13)式告訴我們，當(dāng)移動平均過程的階為時，間隔期大于的自相關(guān)函數(shù)值為零。這個性質(zhì)稱為的自相關(guān)函數(shù)的截尾性，意思是說，自相關(guān)函數(shù)的圖形隨著自變量k到達時突然被截去。的截尾性給我們一個重要啟示：如果某時間序列是來自一個移動平均過程，則當(dāng)該時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)，從某個間隔期開始，其值均為零時，我們就可以推測，原時間序列的階數(shù)為。[例2]過程容易算得，，，，；整理為word格式整理為word格式整理為word格式，，，。[例3]下式為一個一階移動平均過程其中是高斯白噪聲過程，表1是它容量為100的一個樣本。表1一階自回歸過程的一個實現(xiàn)tttt10.8855262.23351-0.1954761.370724.2934271.2258520.2623773.27483-0.1071281.0914532.6973784.64240.0796293.8662541.5055794.51452.8523303.6584551.8346806.337262.480131-1.2055562.371813.002572.300332-0.5732571.4937821.987781.0175331.2197581.2863831.874393.2323341.4091592.0144842.1319102.499935-0.844601.7401850.4165112.300736-1.031661-0.299386-1.1645123.1032371.1887621.3933871.3004133.1367381.7468630.366881.0471142.4248390.5279642.5341891.3628152.5574400.1392653.2576900.7714162.5946410.992661.0231913.2516171.1813422.8198672.6489923.1616180.230543-0.603682.1931.6074192.311544-0.4252692.183942.589320-0.0818450.1535701.6981952.321821-3.168846-1.1038712.3432960.8638220.5128471.0635723.7589972.582232.4507482.0526733.9677982.4109240.8341491.7068743.0588990.8723251.259550-0.8452751.63041003.4713(1)畫出的線圖；(2)求的總體自相關(guān)函數(shù)；(3)根據(jù)表中樣本求樣本自相關(guān)函數(shù)。在EViews中輸入命令Ploty,可得該樣本的線圖如下整理為word格式整理為word格式整理為word格式圖3過程的線圖根據(jù)公式(13)式，容易求得的總體自相關(guān)函數(shù)為在EViews中雙擊序列，然后點擊View\Correlograms,選擇水平序列可得AutocorrelationandPartialcorrelations函數(shù)圖如下，圖4過程的自相關(guān)與偏相關(guān)柱狀圖從上圖的樣本自相關(guān)函數(shù)值可以看出：滯后2期的自相關(guān)函數(shù)值與相比，大幅度減少，的樣本自相關(guān)函數(shù)值越來越小。三．無限階移動平均過程整理為word格式整理為word格式整理為word格式對于一個過程，如果讓，我們就得到如下的過程：(6.14)我們稱此過程為過程，這里。我們可以證明：如果過程的系數(shù)是平方可和的，即那么是一個平穩(wěn)的過程。一般地我們用一個更強的絕對可和條件來代替平方可和條件，絕對可和蘊涵平方可和。系數(shù)是絕對可和的過程的均值和自協(xié)方差分別為(6.15)(6.16)(6.17)四、移動平均過程的識別由(13)式可知，MA過程的階等于自相關(guān)函數(shù)值不為零的最大滯后階數(shù)k。我們怎么能夠由可得之時間序列來判斷MA過程的自相關(guān)函數(shù)在某處(即某間隔長度)的值為零呢？從例3可知，即使是MA過程的自相關(guān)函數(shù)在某處的真值為零，但由MA過程所產(chǎn)生的一個實現(xiàn)來計算的樣本自相關(guān)函數(shù)在同一處的值卻不等于零。這表明，我們不能因為樣本自相關(guān)函數(shù)在某處的值不為零來斷定總體自相關(guān)函數(shù)在同一處的值也不為零。幸而，我們可以知道樣本自相關(guān)函數(shù)值的分布。這樣，我們就可以根據(jù)樣本自相關(guān)函數(shù)值的分布來進行總體相應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)值是否為零的顯著性檢驗。根據(jù)GeorgeG.Judge(1982)等所述GeorgeG.Judge,R.CarterHill,WilliamE.Griffiths,HelmutLGeorgeG.Judge,R.CarterHill,WilliamE.Griffiths,HelmutLütkepohl,andTsoung-ChaoLee“IntroductiontotheTheoryandPracticeofEconometrics”,p.692,Copyright1982,1988byJohnWiley&Sons,Inc.整理為word格式整理為word格式整理為word格式的置信度為95%的置區(qū)間近似為(6.18)其中，為樣本自相關(guān)函數(shù)，n為樣本容量。于是我們有：如果自相關(guān)函數(shù)值，則在大樣本條件下，相應(yīng)的樣本自相關(guān)函數(shù)值以95%的概率落入?yún)^(qū)間。由此可得顯著性檢驗程序如下：第一步：根據(jù)所得隨機時間序列的一個樣本計算樣本自相關(guān)函數(shù)值。第二步：檢驗是否落入?yún)^(qū)間，或者檢驗的絕對值是否小于：如果落入?yún)^(qū)間或其絕對值小于，則在5%的顯著性水平下，不拒絕；如果在區(qū)間之外或其絕對值大于，則拒絕。[例4]設(shè)時間序列是來自MA過程，表2的數(shù)據(jù)是它的一個樣本容量為48的一個實現(xiàn)，試確定這個MA過程的階。表2移動平均過程的一個實現(xiàn)時期t時期t時期t11.542178172.255198334.2255622.477647182.892425345.46023整理為word格式整理為word格式整理為word格式34.423028192.715419354.06683244.964234202.453714362.42549555.452143212.433565373.36086161.856292224.120497383.02375971.455666233.7203393.52881783.954514242.762672402.0103892.570313252.375098411.286251101.657775264.664288420.970086110.895445275.049431.72418120.13883285.895059442.749795130.914224293.770486453.00863141.639915304.268512462.694154150.417965312.384476475.000872161.161316322.57151482.574218[解]由表2，根據(jù)樣本自相關(guān)系數(shù)，計算可得的一系列值：12345670.5760.2510.1340.1930.2190.092-0.124而，顯然有故在5%的顯著性水平下，拒絕，接受，當(dāng)。這表明表2的數(shù)據(jù)產(chǎn)生于一個MA(1)過程。整理為word格式整理為word格式整理為word格式五、移動平均過程的參數(shù)估計移動平均過程的參數(shù)據(jù)估計就是在已確定移動平均過程的階以后，根據(jù)它的一個現(xiàn)實或樣本，來估計移動平均過程的均值，諸移動平均系數(shù)(或稱權(quán)數(shù))，以及被假定為白噪聲過程或高斯白噪聲過程的的方差。由于不可逆的移動平均過程意義不大，所以我們只研究的可逆的移動平均過程，因為有限階移動平均過程是平穩(wěn)的，所以其均值為常數(shù)，而這個常數(shù)完全可以由樣本平均數(shù)來估計。因此，均值的估計也就不成為問題。正因為如此，不失一般性，我們假定的均值，以便于對其它參數(shù)的估計(若不然，只要將移動平均過程的每一項減去其均值，而均值的估計值是可得的)。故可設(shè)(6.19)其中是一白噪聲過程。估計(6.19)式中的參數(shù)的一個直接方法是將它化成的形式(因為它是可逆的，所以這種轉(zhuǎn)換是可行的)：即(6.20)求使上式所表示的計量經(jīng)濟學(xué)模型的殘差平方和最小的諸，即求諸，使(6.21)最小。但由于樣本容量是有限值n，所以上式可簡化為(6.22)即，我們的估計問題首先就是要求求諸，使最小()。當(dāng)我們估計出諸以后，再根據(jù)諸與諸的關(guān)系，求出諸的估計值，而的方差則可由下式估計：(6.23)整理為word格式整理為word格式整理為word格式或(6.24)上述過程所用的方法是最小二乘法，但是由于諸與諸的關(guān)系十分復(fù)雜，所以上述估計屬于非線性估計，往往要在一組初始值下進行迭代。有計量經(jīng)濟學(xué)軟件EViews中有相應(yīng)的程序?qū)^程進行參數(shù)估計。例如：如要估計MA(2)過程，則估計命令為LsycMA(1)MA(2)下圖是某MA(2)序列的EViews估計的輸出結(jié)果圖5MA(2)過程的EViews估計結(jié)果若假設(shè)(6.19)式中是一高斯白噪聲過程，則可用最大似然估計來估計模型中的參數(shù)。例如對于高斯過程（6.25）其中。表示要估計的總體參數(shù)。如果已知，則（6.26）其概率密度函數(shù)為：（6.27）如果已知，則整理為word格式整理為word格式整理為word格式（6.28）給定觀察值，則就是確定的（6.29）代入（6.27），得到（6.30）因為確知，可由下式求出：（6.31）通過迭代法由求出整個序列：（6.33），從開始。則第個觀測值的條件密度為：（6.34）則樣本似然函數(shù)為（6.35）條件對數(shù)似然函數(shù)為（6.36）其中，利用（6.33）和觀察值序列可以求出隱含的白噪聲序列。但是條件似然函數(shù)仍然是非線性函數(shù)。需要使用數(shù)值解法求參數(shù)。第三節(jié)自回歸（AR）過程另一類常用的模型是自回歸模型(AutoRegressiveModel，縮寫為AR模型)。自回歸模型之所以有吸引力是因為它與很傳統(tǒng)的線性回歸模型非常相像。美國芝加哥大學(xué)證券價格研究中心（CRSP）價值指數(shù)的月收益率具有統(tǒng)計顯著的間隔為1的自相關(guān)系數(shù)，這表明延遲的收益在預(yù)測時會有一定的作整理為word格式整理為word格式整理為word格式用，描述這樣的預(yù)測功能的模型就是所謂的一階自回歸模型。一．一階自回歸過程表達式為方程：（6.37）為白噪聲序列。如果，過程（6.37）中對的影響隨著時間累增而不是消失，過程不是有限方差的協(xié)方差平穩(wěn)過程。這個過程一般稱為爆炸性過程。當(dāng)時，過程為協(xié)方差平穩(wěn)過程，此時利用滯后算子過程變?yōu)椋海?.38）利用求逆，從而得到此過程的解為過程：（6.39）明顯，當(dāng)時，滿足絕對可加性：（6.40）此時過程的均值、方差、自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)分別為：(6.41)（6.42）(6.43)從自相關(guān)函數(shù)可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時，自相關(guān)函數(shù)按幾何方式衰減。增加一個單位對于整理為word格式整理為word格式整理為word格式的影響等于和之間的相關(guān)系數(shù)。正的值意味著和之間正相關(guān)。負(fù)的值意味著和之間負(fù)相關(guān)。此時自相關(guān)函數(shù)拖尾。如果假定過程是協(xié)方差平穩(wěn)的，可直接利用差分方程計算各階矩。對（6.37）式兩邊取期望：從而，（6.44）對（6.37）式變形，得到：或（6.45）兩邊平方求期望：將代入（25），可得從而得到協(xié)方差平穩(wěn)過程的方差：（6.46）根據(jù)同樣的道理，（6.37）兩側(cè)同時乘以，再求期望，可得自協(xié)方差函數(shù)：即（6.47）解自協(xié)方差函數(shù)的差分方程，得到（6.48）自相關(guān)函數(shù)為：（6.49）二．二階自回歸過程表達式為（6.50）整理為word格式整理為word格式整理為word格式或者寫成滯后算子形式：（6.51）差分方程（6.51）的平穩(wěn)條件是特征方程的根都落在單位圓外。此時自回歸算子的逆為：（6.52）這里的由矩陣的第個元素給出。將（6.51）兩邊同時乘以得到：顯然（6.53）也可直接對（6.50）兩邊取期望，從而有（6.54）再次得到（6.55）系統(tǒng)（6.50）變形為進一步變形（6.56）兩邊同時乘以，求期望，得到（6.57）兩邊同時除以，得到（6.58）可見，對于過程，其自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)仍然是差分方程。當(dāng)時，；當(dāng)時，；由此通過逐次求解迭代就可以求得自相關(guān)函數(shù)。自相關(guān)函數(shù)仍然具有拖尾特征。下面我們求二階自回歸過程的方差。（6.56）兩側(cè)同時乘以，再求期望得到：整理為word格式整理為word格式整理為word格式即整理一下，得到（6.59）三．階自回歸過程表達式為：（6.60）其平穩(wěn)性條件為特征方程的根都在單位圓外。假設(shè)過程協(xié)方差平穩(wěn)，則對（6.60）兩邊求期望，得到：從而可以得到均值：（6.61）表達式（6.60）可以寫成：（6.62）表達式兩側(cè)同時乘以，再取期望可得自協(xié)方差：（6.63）已知，因此得到結(jié)論：當(dāng)時，是的函數(shù)。（6.63）兩側(cè)同時除以，得到尤拉--沃克（Yule-Walker）方程：（6.64）因此表達式（6.63）和（6.64）表明，階自回歸過程的自協(xié)方差函數(shù)和自相關(guān)函數(shù)具有相同形式的階差分方程，其自相關(guān)函數(shù)的具有拖尾特征。也就是說隨著k的增大，的絕對值逐漸下降，但是不會到某一點以后被突然截斷，而是一直拖下去，我們稱自回歸模型的自相關(guān)函數(shù)的這種特性為自回歸模型的自相關(guān)函數(shù)的拖尾性。顯然自相關(guān)函數(shù)的拖尾性是AR模型的特征而自相關(guān)函數(shù)的截尾性則是MA模型的特征。但是用自相關(guān)函數(shù)的拖尾性并不足以說明時間序列是來自自回歸過程。自相關(guān)函數(shù)的拖尾性和偏自相關(guān)函數(shù)的截尾性往往就能說明時間序列是來自自回歸過程。下面引入偏自相關(guān)函數(shù)的概念。整理為word格式整理為word格式整理為word格式在(6.64)式中令，得到如下的Yule-Walker方程組(6.65)其中運用了和。當(dāng)為已知時，可從Yule-Walker方程組中解出諸。但用方程(6.65)求解諸需要先知道自回歸過程的階數(shù)p，但是我們并不知道。因此，我們可以分別求解。當(dāng)時，求解方程組(6.65)，并利用樣本自相關(guān)函數(shù)，得的估計值。如果顯著地不為零，則自回歸過程的階數(shù)至少為1。記為。當(dāng)時，求解方程組(6.65)，并利用樣本自相關(guān)函數(shù)，得和的估計值，設(shè)的估計值為。如果顯著地不為零，則自回歸過程的階數(shù)至少為2。記為。對p連續(xù)取值3，4，…，重復(fù)上述過程，如對，得到的估計值，記為，等等。我們稱序列，，，…，為偏相關(guān)函數(shù)。四、自回歸過程的識別從上述偏相關(guān)函數(shù)的概念中可知，我們可以從偏相關(guān)函數(shù)的特性來推測自回歸過程的階數(shù)：按上述求偏相關(guān)函數(shù)值的方法求得偏相關(guān)函數(shù)的值并作顯著性檢驗，如果在p的某一個取值m，顯著地不為零，而此后的不顯著，則自回歸過程的階數(shù)為m。所以當(dāng)自回歸過程的階數(shù)確實為p時，則為零而近似為零。為了進行顯著性檢驗需要知道偏相關(guān)函數(shù)的分布特征。好在我們有如是結(jié)果：近似地服從均值0，方差為的正態(tài)分布(整理為word格式整理為word格式整理為word格式n為樣本容量)。因此，可以在顯著性水平5%下，通過考察的絕對值是否大于檢驗是否顯著地不為0。[例5]由方程(為高斯白噪聲)產(chǎn)生一個樣本容量為100的時間序列。根據(jù)所產(chǎn)生的時間序列樣本求樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)并由此確定其階數(shù)，看一看結(jié)果是否與生成機制相吻合。顯然隨機過程是平穩(wěn)的AR(2)過程。因為它的特征多項式的根均在單位園之外。據(jù)此可計算出它的均值為，以均值作為初始值去生成時間序列即令根據(jù)生成機制，由隨機數(shù)發(fā)生器生成容量為100的時間序列如表3。整理為word格式整理為word格式整理為word格式表3二階自回歸過程的一個實現(xiàn)tttt119.699772616.97945116.258577621.44384218.512152719.306685218.563257719.84629319.142722819.776235316.966227818.62228420.378812922.080355416.935437919.71618521.292063020.756595518.005768020.16418622.713343122.607145618.457838122.26385719.974163220.363915719.396248223.06129820.29043321.315125819.864678323.89958921.293133421.895565918.412678423.454921019.876573523.508836017.746078523.200311119.482023622.750776118.798778623.38491217.92233722.103516219.030998722.983981316.59513822.697756318.141618821.711091416.22343921.92786418.264388920.019751515.901894022.646626518.544929021.184381614.258084120.794016619.192129121.277241714.593114220.23796719.282189221.748851814.662744318.803766818.424999321.693121915.317394418.847336920.638789420.508022015.289234518.921417020.619349521.932432115.438954619.042577120.633539621.143092215.494874718.791367221.397189720.346732317.276844821.156977321.966749819.65022417.107484918.825677421.019629919.395492517.244455018.672887520.1838910019.05352用計量經(jīng)濟學(xué)軟件EViews可得樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)如表4表4一個人造時間序列的樣本自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)kkk10.8730.87311-0.018-0.16921-0.2930.11920.7950.14112-0.104-0.11022-0.284-0.08230.679-0.17413-0.189-0.08723-0.2240.11940.5970.03114-0.2470.03224-0.1810.09650.479-0.15115-0.316-0.05725-0.129-0.06560.378-0.07116-0.364-0.03326-0.107-0.14070.276-0.03017-0.3510.23127-0.081-0.10880.2100.05718-0.365-0.15828-0.0570.013整理為word格式整理為word格式整理為word格式90.1450.00419-0.3410.02429-0.0160.080100.074-0.10720-0.345-0.06530-0.012-0.060從表4可知，樣本自相關(guān)函數(shù)是拖尾的。由于當(dāng)顯著性水平為5%時，偏自相關(guān)函數(shù)在處是顯著的(因為)，當(dāng)顯著性水平為16%時，偏相關(guān)函數(shù)在時的值才是顯著的，當(dāng)顯著性水平為10%時，偏相關(guān)函數(shù)在時的值是顯著的，當(dāng)時即使顯著性水平很低(即代表顯著性水平的很大)，偏相關(guān)函數(shù)的值也是不顯著的，這說明自相關(guān)函數(shù)至少在處斷尾，所以表3中的序列是來自AR過程，而偏相關(guān)函數(shù)在和處的值實際上是處在顯著與不顯著之間，因此，我們可以說表4所表示的時間序列可能來自AR(1)、AR(2)或者AR(3)，如果采用中庸之道，則可以認(rèn)為它來自AR(2)，這就與它的產(chǎn)生機制相吻合了。表3所代表的時間序列的圖形如圖6所示。圖6自回歸過程產(chǎn)生的典型序列五、有限階自回歸過程的估計1、過程的Yule-Walker估計模型的自回歸系數(shù)由模型的自協(xié)方差函數(shù)通過由拉沃克方程整理為word格式整理為word格式整理為word格式（6.66）確定。白噪聲的方差為（6.67）從樣本觀測值可以構(gòu)造出樣本自協(xié)方差函數(shù)的估計：（6.68）因此根據(jù)自協(xié)方差函數(shù)的估計，可以聯(lián)合求解除系數(shù)估計量。2、最小二乘估計在相異根的條件下，自協(xié)方差解：（6.69）其中特征根為特征方程的解。如果特征方程的根互不相同，那么我們有這里是由個初始值確定的待定系數(shù)。我們能夠證明這個初始值是矩陣的第一列的前面?zhèn)€元。這里我們可以利用最小二乘法來估計過程中的未知參數(shù)。把觀察值代入方程（6.60）中可得整理為word格式整理為word格式整理為word格式把它寫成矩陣的形式為這里，，參數(shù)向量的最小二乘估計量為如果服從正態(tài)分布，那么最小二乘法估計量是相合的和漸近正態(tài)的。第四節(jié)自回歸移動平均過程如果混合自回歸移動平均過程中自回歸部分的階數(shù)為零，則它就成為一個純移動平均過程；如果混合自回歸移動平均過程中移動平均部分的階數(shù)為零，則它就成為一個純自回歸過程。所以AR過程和MA過程均可看成是ARMA過程的特例。一、過程的性質(zhì)表達式為：（6.70）寫成滯后算子的形式為：（6.71）兩側(cè)同時除以，從而得到（6.72）其中整理為word格式整理為word格式整理為word格式從而可以發(fā)現(xiàn)，過程的平穩(wěn)性完全取決于回歸參數(shù)而與移動平均參數(shù)無關(guān)。即過程的平穩(wěn)性條件為特征方程：(6.73)的根在單位圓外。方程（6.70）變形可得（6.74）兩邊同時乘以，求期望得到自協(xié)方差。當(dāng)時，結(jié)果方程的形式階自協(xié)方差形式：（6.75）從而解為（6.76）時的自協(xié)方差函數(shù)比較復(fù)雜，并且不具有應(yīng)用意義。不過過程的自相關(guān)函數(shù)都具有拖尾特征。過程容易出現(xiàn)的兩個問題：(1)首先就是過度參數(shù)化問題。例如一個白噪聲過程也可以用表示。此時無論取何值，利用都能夠很好的擬合數(shù)據(jù)，因此造成估計的困難。(2)過程的表達式（6.71）的滯后多項式進行因式分解得到假設(shè)自回歸算子和移動平均算子存在共同根（公因子），同時除以公因子，得到的過程和原來的過程相同。整理為word格式整理為word格式整理為word格式二、過程的識別ARMA(p,q)過程既有自回歸的某些性質(zhì)又有移動平均的某些性質(zhì)，從其自相關(guān)函數(shù)來看，它與純自回歸過程一樣是拖尾的；從其偏自相關(guān)函數(shù)來看，它和移動純正平均過程一樣也是拖尾的。所以判斷一個平衡的線性時間序列過程是否為混合自回歸移動平均過程的方法是：如果其自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)都是拖尾的，則我們就可以斷定這個線性時間序列是一個ARMA過程。ARMA模型的階的確定是困難的。我們可直接借用Hannan與Rissanen所提出的程序來識別參見：E.J.Hannanand參見：E.J.HannanandJ.Rissanen,”RecursiveEstimationofMixedAutoregressive-MovingAverageOrder”,Biometrika,69,1982,p.81-94.第一步，用OLS對從AR(1)開始到一個相當(dāng)高階的純AR過程進行估計(因為一個未知的可逆ARMA過程等價于一個無限的AR過程，所以這樣估計是合理的)。第二步，利用赤池信息準(zhǔn)則(Akaike’sInformationcriterion)決定其最大滯后長度，即求使函數(shù)(6.77)最小的k作為自回歸部分的可能階中的最大者p。第三步，根據(jù)第二步的結(jié)果，作最小二乘回歸得殘差序列，利用殘差序列擬合若干個模型，其中j表示移動平均部分的階數(shù),根據(jù)施瓦茲準(zhǔn)則(Schwarzcriterion)求使函數(shù)(6.78)最小的與j分別作為自回歸過程的階p和移動平均過程的階q。其中為我們所擬合的模型的隨機擾動項的方差的最大似然估計。此外，還可直接從較低的階開始擬合混合自回歸移動平均過程，然后逐漸增加階數(shù)，分別檢驗不同階數(shù)的擬合狀況，選用擬合狀況最好的階作為所要識別的ARMA模型的階。整理為word格式整理為word格式整理為word格式[例6]ARMA模型的識別。表5是根據(jù)并利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機數(shù)據(jù)發(fā)生器生成的一個樣本容量為100的時間序列樣本。在不考慮這個樣本的形成機制條件下，根據(jù)這個樣本擬合一個ARMA模型。表5由ARMA過程生成的一個樣本tttt119.699772616.867715115.816697620.88992218.332022718.998765217.01677720.513318.376112820.959565317.834837817.90157420.525362922.599765416.167577918.78084522.057943022.181985517.613618020.59098623.432353122.214195618.912458122.6469721.014043221.360795719.676278224.3847818.980253320.347685820.389448324.76583921.152623422.218925918.770118424.237261020.533593524.050146016.922968523.268091118.833623.902126118.129338623.386071217.508183722.05286219.447398723.25621315.580843822.383476318.335198821.695781415.115263922.332896417.700488919.38695