多元函數(shù)微分學(xué)與應(yīng)用課件

一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué)二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)四、微分學(xué)應(yīng)用一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué)二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)1一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.一元函數(shù)顯函數(shù)定義域：使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)全體或由實(shí)際意義確定。隱函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.一元函數(shù)顯函數(shù)定義域：使表達(dá)式有2函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性

復(fù)合函數(shù)(構(gòu)造新函數(shù)的重要方法)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與有限次復(fù)合而成且能用一個(gè)式子表示的函數(shù).例如.函數(shù)基本初等函數(shù):常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性復(fù)合函數(shù)(構(gòu)32極限

極限定義的等價(jià)形式

(以為例)極限運(yùn)算法則2極限極限定義的等價(jià)形式(以4無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì);無(wú)窮小的比較;常用等價(jià)無(wú)窮小:

兩個(gè)重要極限～～～～～～～～～等價(jià)無(wú)窮小代換無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì);無(wú)窮小的比較;常用等價(jià)無(wú)窮小:5存在(或?yàn)?定理(洛必達(dá)法則)說(shuō)明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.洛必達(dá)法則存在(或?yàn)?定理(洛必達(dá)法則)說(shuō)明:定理中63.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點(diǎn)第一類(lèi)（左右極限存在）第二類(lèi)（左右極限至少有一個(gè)不存在）可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)重要結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)3.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點(diǎn)第一類(lèi)（左右極限存在7例1.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:例1.設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=8例2.

若，求a與b的值。例2.若，求a與b的值。9二、導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)定義:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)

微分

:

關(guān)系

:可導(dǎo)可微導(dǎo)數(shù)幾何意義:切線斜率1.有關(guān)概念二、導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)定義:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)微10例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:112.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則（要求記?。。└唠A導(dǎo)數(shù)的求法(逐次求一階導(dǎo)數(shù)）2.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則（要求記住12例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例5.求函數(shù)在x處的微分解：例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例5.求函數(shù)在x處的微分解：13三、多元函數(shù)微分法1.多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2.復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3.隱函數(shù)求偏導(dǎo)將其余變量固定，對(duì)該變量求導(dǎo)。三、多元函數(shù)微分法1.多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2.復(fù)合144.全微分5.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)4.全微分5.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連15例6.

已知解:為正常數(shù)），求例6.已知解:為正常數(shù)），求16解：設(shè)則例7.設(shè)解：設(shè)則例7.設(shè)17四、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例8.求曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)。解：由解得得代入所求點(diǎn)為：四、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例8.求曲線上切線平18函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).在開(kāi)區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),2.函數(shù)的性態(tài):注意:1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn).函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理1.設(shè)函數(shù)則19極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,20極值第二判別法二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.極值第二判別法二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)21例9.

求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.例9.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得22定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)凹弧凸弧的分界點(diǎn)為拐點(diǎn)定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則23例9.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸例9.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑24的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例10.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點(diǎn)為

;極大值點(diǎn)為

.提示:的正負(fù)作f(x)的示意圖.單調(diào)增區(qū)間為

;的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例10.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖25說(shuō)明:

使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn)

.極值必要條件函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),

但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).且在該點(diǎn)取得極值,則有存在多元函數(shù)極值與最值問(wèn)題極值的必要條件與充分條件說(shuō)明:使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點(diǎn)稱(chēng)為駐點(diǎn).極值必要條件函數(shù)26時(shí),具有極值

極值充分條件的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且令則:1)當(dāng)A<0時(shí)取極大值;A>0時(shí)取極小值.2)當(dāng)3)當(dāng)時(shí),沒(méi)有極值.時(shí),不能確定,需另行討論.若函數(shù)時(shí),具有極值極值充分條件的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)27極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無(wú)條件極值問(wèn)題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化極值問(wèn)題無(wú)條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法28引入輔助函數(shù)則極值點(diǎn)滿足:方法2拉格朗日乘數(shù)法.解該方程組，得極值點(diǎn)。引入輔助函數(shù)則極值點(diǎn)滿足:方法2拉格朗日乘數(shù)法.解該方29一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué)二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)四、微分學(xué)應(yīng)用一、函數(shù)、極限、連續(xù)三、多元函數(shù)微分學(xué)二、導(dǎo)數(shù)與微分微分學(xué)30一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.一元函數(shù)顯函數(shù)定義域：使表達(dá)式有意義的實(shí)數(shù)全體或由實(shí)際意義確定。隱函數(shù)參數(shù)方程所表示的函數(shù)一、函數(shù)、極限、連續(xù)1.一元函數(shù)顯函數(shù)定義域：使表達(dá)式有31函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性

復(fù)合函數(shù)(構(gòu)造新函數(shù)的重要方法)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運(yùn)算與有限次復(fù)合而成且能用一個(gè)式子表示的函數(shù).例如.函數(shù)基本初等函數(shù):常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)函數(shù)的特性有界性,單調(diào)性,奇偶性,周期性復(fù)合函數(shù)(構(gòu)322極限

極限定義的等價(jià)形式

(以為例)極限運(yùn)算法則2極限極限定義的等價(jià)形式(以33無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì);無(wú)窮小的比較;常用等價(jià)無(wú)窮小:

兩個(gè)重要極限～～～～～～～～～等價(jià)無(wú)窮小代換無(wú)窮小無(wú)窮小的性質(zhì);無(wú)窮小的比較;常用等價(jià)無(wú)窮小:34存在(或?yàn)?定理(洛必達(dá)法則)說(shuō)明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.洛必達(dá)法則存在(或?yàn)?定理(洛必達(dá)法則)說(shuō)明:定理中353.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點(diǎn)第一類(lèi)（左右極限存在）第二類(lèi)（左右極限至少有一個(gè)不存在）可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)重要結(jié)論：初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)3.連續(xù)與間斷函數(shù)連續(xù)的定義函數(shù)間斷點(diǎn)第一類(lèi)（左右極限存在36例1.

設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則

a=

,b=

.提示:例1.設(shè)函數(shù)在x=0連續(xù),則a=37例2.

若，求a與b的值。例2.若，求a與b的值。38二、導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)定義:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)

微分

:

關(guān)系

:可導(dǎo)可微導(dǎo)數(shù)幾何意義:切線斜率1.有關(guān)概念二、導(dǎo)數(shù)和微分導(dǎo)數(shù)定義:當(dāng)時(shí),為右導(dǎo)數(shù)當(dāng)時(shí),為左導(dǎo)數(shù)微39例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:例3.設(shè)在處連續(xù),且求解:402.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則（要求記住?。└唠A導(dǎo)數(shù)的求法(逐次求一階導(dǎo)數(shù)）2.導(dǎo)數(shù)和微分的求法正確使用導(dǎo)數(shù)及微分公式和法則（要求記住41例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例5.求函數(shù)在x處的微分解：例4.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解：例5.求函數(shù)在x處的微分解：42三、多元函數(shù)微分法1.多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2.復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)注意正確使用求導(dǎo)符號(hào)3.隱函數(shù)求偏導(dǎo)將其余變量固定，對(duì)該變量求導(dǎo)。三、多元函數(shù)微分法1.多元顯函數(shù)求偏導(dǎo)和高階偏導(dǎo)2.復(fù)合434.全微分5.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)4.全微分5.重要關(guān)系:函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可微偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)連44例6.

已知解:為正常數(shù)），求例6.已知解:為正常數(shù)），求45解：設(shè)則例7.設(shè)解：設(shè)則例7.設(shè)46四、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例8.求曲線上切線平行于x軸的點(diǎn)。解：由解得得代入所求點(diǎn)為：四、導(dǎo)數(shù)與微分的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義例8.求曲線上切線平47函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理1.

設(shè)函數(shù)則在I

內(nèi)單調(diào)遞增(遞減).在開(kāi)區(qū)間I

內(nèi)可導(dǎo),2.函數(shù)的性態(tài):注意:1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).2)對(duì)常見(jiàn)函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點(diǎn).函數(shù)單調(diào)性的判定及極值求法若定理1.設(shè)函數(shù)則48極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,極值第一判別法且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,49極值第二判別法二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)取極大值;則在點(diǎn)取極小值.極值第二判別法二階導(dǎo)數(shù),且則在點(diǎn)50例9.

求函數(shù)的極值.解:

1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得駐點(diǎn)3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.例9.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點(diǎn)令得51定理2.(凹凸判定法)(1)在

I內(nèi)則在I

內(nèi)圖形是凹的;(2)在

I內(nèi)則在

I

內(nèi)圖形是凸的.設(shè)函數(shù)在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)凹弧凸弧的分界點(diǎn)為拐點(diǎn)定理2.(凹凸判定法)(1)在I內(nèi)則52例9.

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑點(diǎn)坐標(biāo)令得對(duì)應(yīng)3)列表判別故該曲線在及上向上凹,向上凸,點(diǎn)(0,1)

及均為拐點(diǎn).凹凹凸例9.求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).解:1)求2)求拐點(diǎn)可疑53的連續(xù)性及導(dǎo)函數(shù)例10.填空題(1)設(shè)函數(shù)其導(dǎo)數(shù)圖形如圖所示,單調(diào)減區(qū)間為

;極小值點(diǎn)為

;極大值點(diǎn)為