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文檔簡介

§3.QR方法

一、基本QR方法60年代出現(xiàn)的QR算法是目前計算中小型矩陣的全部特征值與特征向量的最有效方法。實矩陣、非奇異。理論依據(jù)：任一非奇異實矩陣都可分解成一個正交矩陣Q和一個上三角矩陣R的乘積，而且當(dāng)R的對角元符號取定時，分解是唯一的。

可證，在一定條件下，基本QR方法產(chǎn)生的矩陣序列

“基本”收斂于一個上三角陣（或分塊上三角陣）。即主對角線（或主對角線子塊）及其以下元素均收斂，主對角線（或主對角線子塊）以上元素可以不收斂。特別的，如果A是實對稱陣，則“基本”收斂于對角矩陣。因為上三角陣的主對角元（或分塊上三角陣中，主對角線子塊的特征值）即為該矩陣的特征值，故當(dāng)k充分大時，

的主對角元（或主對角線子塊的特征值）就可以作為A的特征值的近似:基本的QR方法的主要運算是對矩陣QR分解，分解的方法有多種。介紹一種Schmit正交化方法。

基本QR方法每次迭代都需作一次QR分解與矩陣乘法，計算量大，而且收斂速度慢。因此實際使用的QR方法是先用一系列相似變換將A化成擬上三角矩陣（稱為上Hessenberg矩陣），然后對此矩陣用基本QR方法。因為擬上三角矩陣具有較多零元素，故可減少運算量。化A為相似的擬上三角陣的方法有多種。二、豪斯豪爾德(Householder)變換三、化一般矩陣為擬上

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