現(xiàn)代電子測量技術(shù) 第二章 課件

第2章．測量誤差及數(shù)據(jù)處理

2.1測量誤差的基本概念2.2測量誤差的分類2.3隨機誤差

2.4系統(tǒng)誤差2.5粗大誤差12/15/20221第2章．測量誤差及數(shù)據(jù)處理2.1測量誤差的基本概念12/2.1測量誤差的基本概念

2.1.2測量誤差的定義測量的目的:獲得被測量的真值。真值:在一定的時間和空間環(huán)境條件下，被測量本身所具有的真實數(shù)值。測量誤差:所有測量結(jié)果都帶有誤差。12/15/202222.1測量誤差的基本概念

2.1.2測量誤差的定義12/2.1.2測量誤差的來源

（1）儀器誤差：由于測量儀器及其附件的設(shè)計、制造、檢定等不完善，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。（2）影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動、電源電壓、電磁場等）與測量要求的條件不一致而引起的誤差。（3）理論誤差和方法誤差：由于測量原理、近似公式、測量方法不合理而造成的誤差。（4）人身誤差：由于測量人員感官的分辨能力、反應(yīng)速度、視覺疲勞、固有習(xí)慣、缺乏責(zé)任心等原因，而在測量中使用操作不當、現(xiàn)象判斷出錯或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。（5）測量對象變化誤差：測量過程中由于測量對象變化而使得測量值不準確，如引起動態(tài)誤差等。12/15/202232.1.2測量誤差的來源（1）儀器誤差：由于測量儀器及其2.1.3測量誤差的表示方法測量誤差有絕對誤差和相對誤差兩種表示方法。1.絕對誤差（1）定義：由測量所得到的被測量值與其真值之差，稱為絕對誤差

實際應(yīng)用中常用實際值A(chǔ)（高一級以上的測量儀器或計量器具測量所得之值）來代替真值。絕對誤差：

有大小，又有符號和量綱12/15/202242.1.3測量誤差的表示方法測量誤差有絕對誤差和相對（2）修正值與絕對誤差的絕對值大小相等，但符號相反的量值，稱為修正值測量儀器的修正值可以通過上一級標準的檢定給出，修正值可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達式等形式。被測量的實際值12/15/20225（2）修正值12/12/202252.2測量誤差的分類

3.1.1測量誤差的分類根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。1.隨機誤差定義:在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術(shù)和測量儀器都相同的條件下），多次重復(fù)測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。12/15/202262.2測量誤差的分類

3.1.1測量誤差的分類12/12對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律?？赏ㄟ^數(shù)理統(tǒng)計的方法來處理,即求算術(shù)平均值隨機誤差定義：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差例:12/15/20227對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.2.相對誤差一個量的準確程度，不僅與它的絕對誤差的大小，而且與這個量本身的大小有關(guān)。例：測量兩個功率,一個功率為100mW,其絕對誤差為1mW,另一個功率為100W,其絕對誤差為10mW，測量的準確程度是否相同？（1）相對真誤差、實際相對誤差、示值相對誤差相對誤差：絕對誤差與被測量的真值之比相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值，只有大小和符號，沒有單位。12/15/202282.相對誤差一個量的準確程度，不僅與它的絕對誤差的大小，而且實際相對誤差：用實際值A(chǔ)代替真值A(chǔ)0

示值相對誤差：用測量值X代替實際值A(chǔ)12/15/20229實際相對誤差：用實際值A(chǔ)代替真（2）滿度相對誤差（引用相對誤差）用測量儀器在一個量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對誤差與該量程值（上限值－下限值）之比來表示的相對誤差，稱為滿度相對誤差（或稱引用相對誤差）儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值12/15/202210（2）滿度相對誤差（引用相對誤差）儀表各量程內(nèi)絕對誤差的12電工儀表就是按引用誤差之值進行分級的。是儀表在工作條件下不應(yīng)超過的最大引用相對誤差我國電工儀表共分七級：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級，則說明該儀表的最大引用誤差不超過S%測量點的最大相對誤差在使用這類儀表測量時，應(yīng)選擇適當?shù)牧砍?，使示值盡可能接近于滿度值，指針最好能偏轉(zhuǎn)在不小于滿度值2/3以上的區(qū)域。

12/15/202211電工儀表就是按引用誤差之值進行分級的。是儀表在工作條件例：某待測電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級量程為0～400mA和1.5級量程為0～100mA的兩個電流表，問用哪一個電流表測量較好？用1.5級量程為0～100mA電流表測量100mA時的最大相對誤差為解：用0.5級量程為0～400mA電流表測100mA時，最大相對誤差為12/15/202212例：某待測電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級量程為0～402.系統(tǒng)誤差定義：在同一測量條件下，多次測量重復(fù)同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。系統(tǒng)誤差表明了一個測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測量就越準確。系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。即12/15/2022132.系統(tǒng)誤差12/12/2022133粗大誤差

粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達到預(yù)定的要求而匆忙實驗等。②測量方法不當或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時，應(yīng)剔除掉。12/15/2022143粗大誤差粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差4.系差和隨差的表達式

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化12/15/2022154.系差和隨差的表達式

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和測量結(jié)果的表征

準確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。精密度表示隨機誤差的影響。精密度越高，表示隨機誤差越小。隨機因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響。精確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。射擊誤差示意圖12/15/202216測量結(jié)果的表征

準確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準測量結(jié)果的表征測量值是粗大誤差12/15/202217測量結(jié)果的表征測量值是粗大誤差12/12/2022172.3隨機誤差2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法在測量中，隨機誤差是不可避免的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機誤差對測量結(jié)果的影響。12/15/2022182.3隨機誤差2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法12/1隨機誤差的分布規(guī)律（1）隨機變量的數(shù)字特征①

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：

X為連續(xù)型隨機變量：

12/15/2022191隨機誤差的分布規(guī)律（1）隨機變量的數(shù)字特征12/12/2

②方差和標準偏差

方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為： D(X)=E(X－E(X))2

標準偏差定義為：

標準偏差同樣描述隨機變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機變量具有相同量綱。12/15/202220②方差和標準偏差

方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學(xué)期望的分(2)測量誤差的正態(tài)分布

測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？12/15/202221(2)測量誤差的正態(tài)分布

測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝12/15/202222

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機誤差的概率密度函數(shù)為：

正態(tài)分布時概率密度曲線

隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差隨機誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性

12/15/202223

正態(tài)分布時概率密度曲線隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形

標準偏差意義標準偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。12/15/202224

標準偏差意義標準偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的

2.

有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標準偏差的估計值

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當則令n個可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計為1,當時，則（1）有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計值——算術(shù)平均值被測量X的數(shù)學(xué)期望，就是當測量次數(shù)時，各次測量值的算術(shù)平均值12/15/202225

2.有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標準偏差的估計值

求被測規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計值，并作為最后的測量結(jié)果。即：

算術(shù)平均值是數(shù)學(xué)期望的無偏估計值、一致估計值和最大似然估計值。有限次測量值的算術(shù)平均值比測量值更接近真值？

12/15/202226規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計值，并作為最后的測量結(jié)果。

（2）算術(shù)平均值的標準偏差

故：算術(shù)平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍。原因是隨機誤差的抵償性。*12/15/202227

（2）算術(shù)平均值的標準偏差

故：*12/12/2算術(shù)平均值：

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值

殘差：實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標準偏差的估計值：12/15/202228算術(shù)平均值：

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值

殘差

【例】用溫度計重復(fù)測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標準偏差12/15/202229【例】用溫度計重復(fù)測量某個不變的溫度，得11個測量值的3.

測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積12/15/2022303.測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信概率是

（2）正態(tài)分布的置信概率

當分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大12/15/202231

（2）正態(tài)分布的置信概率

當分布和k值確定之后，則置信概

（3）t分布的置信限

t分布與測量次數(shù)有關(guān)。當n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-112/15/202232

（3）t分布的置信限

t分布與測量次數(shù)有關(guān)。當n>20以2.4系統(tǒng)誤差

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測量求平均不能減少系差。12/15/2022332.4系統(tǒng)誤差

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準、修正和實驗比對。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。

存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差12/15/202234

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法（1）不變的系統(tǒng)誤差：存在線②馬利科夫判據(jù)：若有累進性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當n為偶數(shù)時，

當n為奇數(shù)時，③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗周期性系差的存在。12/15/202235②馬利科夫判據(jù)：12/12/202235

3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴格。②

測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。④

盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進設(shè)備。（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差

修正值＝－誤差=－（測量值－真值） 實際值＝測量值＋修正值12/15/202236

3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法（1）從產(chǎn)生

（3）采用一些專門的測量方法

①替代法②交換法③對稱測量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法系統(tǒng)誤差可忽略不計的準則是： 系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。12/15/202237

（3）采用一些專門的測量方法

①替代法12/12/202.4粗大誤差大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對應(yīng)的測量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。12/15/2022382.4粗大誤差大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是

2.

粗大誤差的判別準則

統(tǒng)計學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗法格拉布斯檢驗法式中，G值按重復(fù)測量次數(shù)n及置信概率Pc確定12/15/202239

2.粗大誤差的判別準則

統(tǒng)計學(xué)的方法的基本思想是：給定

應(yīng)注意的問題①

所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時檢驗不一定可靠。②

若有多個可疑數(shù)據(jù)同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數(shù)據(jù)超出范圍時，應(yīng)逐個剔除。③在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。12/15/202240

應(yīng)注意的問題12/12/202240測量結(jié)果的處理步驟

①對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗證④按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值⑤按萊特準則，或格拉布斯準則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；⑦計算算術(shù)平均值的標準偏差；⑧寫出最后結(jié)果的表達式，即（單位）。12/15/202241測量結(jié)果的處理步驟①對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次例：對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達式。12/15/202242例：對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，解：12/15/202243解：12/12/20224312/15/20224412/12/202244

等精度測量與不等精度測量

等精度測量：即在相同地點、相同的測量方法和相同測量設(shè)備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時間內(nèi)進行的重復(fù)測量。不等精度測量：在測量條件不相同時進行的測量，測量結(jié)果的精密度將不相同。不等精度測量處理方法：權(quán)值與標準偏差的平方成反比。權(quán)值

測量結(jié)果為加權(quán)平均值

12/15/202245

等精度測量與不等精度測量等精度測量：即在相同地點、相同的12/15/20224612/12/2022462.6誤差的合成與分配問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？12/15/2022472.6誤差的合成與分配問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，例：12/15/202248例：12/12/202248在實際應(yīng)用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設(shè)計階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進行分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施。12/15/202249在實際應(yīng)用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用2.7測量數(shù)據(jù)處理

2.7.1有效數(shù)字的處理1.數(shù)字修約規(guī)則由于測量數(shù)據(jù)和測量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測量結(jié)果的表示準確唯一，計算簡便，在數(shù)據(jù)處理時，需對測量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進1——在末位增1。（3）等于5時，取偶數(shù)——當末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。12/15/2022502.7測量數(shù)據(jù)處理

2.7.1有效數(shù)字的處理12/12/例：

將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負誤差的概率近似相等。12/15/202251例：

將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12/12/2022512.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個單位，則該近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103 二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.005

12/15/2022522.有效數(shù)字12/12/202252中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字。測量數(shù)據(jù)的絕對值比較大（或比較?。?，而有效數(shù)字又比較少的測量數(shù)據(jù)，應(yīng)采用科學(xué)計數(shù)法，即a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。測量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測量的不確定度來確定，即測量結(jié)果的最末一位應(yīng)與不確定度的位數(shù)對齊。例如，某物理量的測量結(jié)果的值為63.44，且該量的測量不確定度u＝0.4，測量結(jié)果表示為63.4±0.4。12/15/202253中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有3.近似運算法則 保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準確度最差的那一項。（1）加法運算 以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準（各項無小數(shù)點則以有效位數(shù)最少者為準），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運算：當兩數(shù)相差甚遠時，原則同加法運算；當兩數(shù)很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測量方法，第二在運算中多一些有效數(shù)字。

12/15/2022543.近似運算法則12/12/202254（3）乘除法運算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準，其余參與運算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（4）乘方、開方運算：運算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×10412/15/202255（3）乘除法運算12/12/2022552.7.2測量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法根據(jù)測試的目的和內(nèi)容，設(shè)計出合理的表格。列表法簡單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對數(shù)據(jù)變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經(jīng)驗公式法的基礎(chǔ)。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.112/15/2022562.7.2測量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法x0246810122圖示法圖示法的最大優(yōu)點是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等。作圖時采用直角坐標或極座標。一般是先按成對數(shù)據(jù)（x，y）描點，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點接近，不強求通過各點，要使位于曲線兩邊的點數(shù)盡量相等12/15/2022572圖示法作圖時采用直角坐標或極座標。一般是先按成對數(shù)據(jù)（x經(jīng)驗公式法就是通過對實驗數(shù)據(jù)的計算，采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學(xué)表達式表示各變量之間關(guān)系。有時又把這種經(jīng)驗公式稱為數(shù)學(xué)模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來解。3.經(jīng)驗公式法一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個數(shù)11>1>1方次1>11>112/15/202258經(jīng)驗公式法就是通過對實驗數(shù)據(jù)的計算，采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，確定建立經(jīng)驗公式的步驟

已知測量數(shù)據(jù)列(xi,yi

i=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：（1)將輸入自變量xi,作為橫坐標，輸出量yi即測量值作為縱坐標，描繪在坐標紙上，并把數(shù)據(jù)點描繪成測量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的基本形式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。②某種類型曲線，則先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。③如果測量曲線很難判斷屬于何種類型，這可以按曲線多項式回歸處理。即：

（3）由測量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。12/15/202259建立經(jīng)驗公式的步驟已知測量數(shù)據(jù)列(xi,yii=1,2(4)檢驗所確定的方程的準確性。①用測量數(shù)據(jù)中的自變量代入擬合方程計算出函數(shù)值y′②計算擬合殘差③計算擬合曲線的標準偏差

式中：m為擬合曲線未知數(shù)個數(shù)，n為測量數(shù)據(jù)列長度。如果標準偏差很大，說明所確定的公式基本形式有錯誤，應(yīng)建立另外形式公式重做。12/15/202260(4)檢驗所確定的方程的準確性。12/12/202262.7.3一元線性回歸

用一個直線方程y=a+bx來表達測量數(shù)據(jù)(xi,yi

i=1,2,…,n)之間的相互關(guān)系，即求出a和b，此過程就是一元線性回歸。1.端點法此方法是將測量數(shù)據(jù)中兩個端點，起點和終點（即最大量程點）的測量值（x1,y1）和（xn,yn），代入y=a+bx，則a,b分別為12/15/2022612.7.3一元線性回歸用一個直線方程y=a+bx來表達測2.平均選點法此方法是將全部n個測量值(xi,yi

i=1,2,…,n)分成數(shù)目大致相同的兩組，前半部k個測量點為一組，其余的n-k個測量點為另一組，兩組測量點都有自己的“點系中心”，其坐標分別為

通過兩個“點系中心”的直線即是擬合直線y=a+bx，其中a，b分別為：12/15/2022622.平均選點法此方法是將全部n個測量值(xi,yii=3.最小二乘法最小二乘法的基本原理是在殘差平方和為最小的條件下求出最佳直線。測量數(shù)據(jù)中的任何一個數(shù)據(jù)yi與擬合直線上y=a+bx對應(yīng)的理想值yi‘之殘差(i=1,2,…n為測量點數(shù)） 即求a和b的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們?yōu)榱悖纯山獾胊和b的值。12/15/2022633.最小二乘法12/12/202263例：對量程為10Mpa的壓力傳感器，用活塞式壓力計進行測試，輸出由數(shù)字電壓表讀數(shù)，所得各測量點的輸出值列于下表中。試用端點法、平均選點法和最小二乘法擬合線性方程，并計算各種擬合方程的擬合精度。壓力（MPa）246810輸出（mV）10.04320.09330.13540.12850.07212/15/202264例：對量程為10Mpa的壓力傳感器，用活塞式壓力計進行測試壓力MPa輸出mV端點法平均選點法最小二乘法理想直線殘差理想直線殘差理想直線殘差210.04310.044－0.00110.95－0.05210.080－0.0337420.09320.0520.04120.097－0.00420.0900.003630.13530.0600.09330.0990.05430.1000.053840.12840.0680.06040.1010.02740.1100.0181050.07250.068－0.00450.103－0.03150.120－0.048擬合直線方程擬合誤差0.0680.0490.048最小二乘法精確度最高，平均選點次之，端點法較差

12/15/202265壓力MPa輸出mV端點法平均選點法最小二乘法理想直線殘差理想第2章總結(jié)1．隨機誤差隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，無法避免和控制，不能消除隨機誤差。但應(yīng)采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，減少隨機誤差。①

算術(shù)平均值②

殘差③實驗標準偏差（貝塞爾公式）④算術(shù)平均值標準偏差的估計值⑤根據(jù)概率分布和置信概率確定置信因子，得到測量結(jié)果的置信區(qū)間。正態(tài)分布或n>20時，k=2～3；n<20時，查t分布表得k；均勻分布時k＝。⑥測量結(jié)果為：12/15/202266第2章總結(jié)1．隨機誤差12/12/2022662．系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的特點是固定不變的或按確定規(guī)律變化，主要由測量儀器、測量方法、測量環(huán)境和測量人員等因素引起。多次測量不能減少系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法有：校準的方法、殘差觀察法、馬利科夫判據(jù)和阿貝－赫梅特判據(jù)。系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法：（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施；（2）修正方法；（3）采用專門的測量方法，如①替代法、②交換法、③對稱測量法、④半周期法。12/15/2022672．系統(tǒng)誤差12/12/2022673．粗大誤差粗大誤差是由于測量人員的偶然出錯和外界條件的改變、干擾和偶然失效等造成，應(yīng)采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。對測量中的可疑數(shù)據(jù)可采用萊特檢驗法或拉布斯檢驗法判斷是否是粗大誤差，若是，應(yīng)剔除不用。4．測量結(jié)果的處理應(yīng)區(qū)別對待等精度測量和不等精度測量，不等精度測量的測量結(jié)果用加權(quán)平均值表示，標準偏差越小，權(quán)值越大。對測量數(shù)據(jù)進行處理時，應(yīng)首先檢查和修正系統(tǒng)誤差，判別并剔除粗大誤差。12/15/2022683．粗大誤差12/12/2022685．有效數(shù)字處理和測量數(shù)據(jù)的表示方法（1）數(shù)據(jù)修約規(guī)則：“四舍五入，等于五取偶數(shù)”；（2）有效數(shù)字與數(shù)據(jù)的準確度密切相關(guān)，測量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測量的不確定度來確定；(3)把測量數(shù)據(jù)處理成一定的函數(shù)關(guān)系，通常采用方法有列表法、圖示法和經(jīng)驗公式12/15/2022695．有效數(shù)字處理和測量數(shù)據(jù)的表示方法12/12/2022696．建立公式的步驟和一元線性回歸（1）建立公式的步驟是：①列表畫曲線②分析曲線，確定曲線的基本形式，③由測量數(shù)據(jù)確定擬合方程中的系數(shù)④求擬合殘差和擬合曲線的標準偏差，并進行驗證。(2）一元線性回歸（直線擬合）是用一個直線方程來表示測量數(shù)據(jù)之間的相互關(guān)系，即求出方程中的兩個系數(shù)a和b。回歸方法通常有端點法、平均選點法和最小二乘法。12/15/2022706．建立公式的步驟和一元線性回歸12/12/202270第2章．測量誤差及數(shù)據(jù)處理

2.1測量誤差的基本概念2.2測量誤差的分類2.3隨機誤差

2.4系統(tǒng)誤差2.5粗大誤差12/15/202271第2章．測量誤差及數(shù)據(jù)處理2.1測量誤差的基本概念12/2.1測量誤差的基本概念

2.1.2測量誤差的定義測量的目的:獲得被測量的真值。真值:在一定的時間和空間環(huán)境條件下，被測量本身所具有的真實數(shù)值。測量誤差:所有測量結(jié)果都帶有誤差。12/15/2022722.1測量誤差的基本概念

2.1.2測量誤差的定義12/2.1.2測量誤差的來源

（1）儀器誤差：由于測量儀器及其附件的設(shè)計、制造、檢定等不完善，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。（2）影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動、電源電壓、電磁場等）與測量要求的條件不一致而引起的誤差。（3）理論誤差和方法誤差：由于測量原理、近似公式、測量方法不合理而造成的誤差。（4）人身誤差：由于測量人員感官的分辨能力、反應(yīng)速度、視覺疲勞、固有習(xí)慣、缺乏責(zé)任心等原因，而在測量中使用操作不當、現(xiàn)象判斷出錯或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。（5）測量對象變化誤差：測量過程中由于測量對象變化而使得測量值不準確，如引起動態(tài)誤差等。12/15/2022732.1.2測量誤差的來源（1）儀器誤差：由于測量儀器及其2.1.3測量誤差的表示方法測量誤差有絕對誤差和相對誤差兩種表示方法。1.絕對誤差（1）定義：由測量所得到的被測量值與其真值之差，稱為絕對誤差

實際應(yīng)用中常用實際值A(chǔ)（高一級以上的測量儀器或計量器具測量所得之值）來代替真值。絕對誤差：

有大小，又有符號和量綱12/15/2022742.1.3測量誤差的表示方法測量誤差有絕對誤差和相對（2）修正值與絕對誤差的絕對值大小相等，但符號相反的量值，稱為修正值測量儀器的修正值可以通過上一級標準的檢定給出，修正值可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達式等形式。被測量的實際值12/15/202275（2）修正值12/12/202252.2測量誤差的分類

3.1.1測量誤差的分類根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為隨機誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。1.隨機誤差定義:在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術(shù)和測量儀器都相同的條件下），多次重復(fù)測量同一量值時（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號都以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。12/15/2022762.2測量誤差的分類

3.1.1測量誤差的分類12/12對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計規(guī)律。可通過數(shù)理統(tǒng)計的方法來處理,即求算術(shù)平均值隨機誤差定義：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差例:12/15/202277對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.2.相對誤差一個量的準確程度，不僅與它的絕對誤差的大小，而且與這個量本身的大小有關(guān)。例：測量兩個功率,一個功率為100mW,其絕對誤差為1mW,另一個功率為100W,其絕對誤差為10mW，測量的準確程度是否相同？（1）相對真誤差、實際相對誤差、示值相對誤差相對誤差：絕對誤差與被測量的真值之比相對誤差是兩個有相同量綱的量的比值，只有大小和符號，沒有單位。12/15/2022782.相對誤差一個量的準確程度，不僅與它的絕對誤差的大小，而且實際相對誤差：用實際值A(chǔ)代替真值A(chǔ)0

示值相對誤差：用測量值X代替實際值A(chǔ)12/15/202279實際相對誤差：用實際值A(chǔ)代替真（2）滿度相對誤差（引用相對誤差）用測量儀器在一個量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對誤差與該量程值（上限值－下限值）之比來表示的相對誤差，稱為滿度相對誤差（或稱引用相對誤差）儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值12/15/202280（2）滿度相對誤差（引用相對誤差）儀表各量程內(nèi)絕對誤差的12電工儀表就是按引用誤差之值進行分級的。是儀表在工作條件下不應(yīng)超過的最大引用相對誤差我國電工儀表共分七級：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級，則說明該儀表的最大引用誤差不超過S%測量點的最大相對誤差在使用這類儀表測量時，應(yīng)選擇適當?shù)牧砍?，使示值盡可能接近于滿度值，指針最好能偏轉(zhuǎn)在不小于滿度值2/3以上的區(qū)域。

12/15/202281電工儀表就是按引用誤差之值進行分級的。是儀表在工作條件例：某待測電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級量程為0～400mA和1.5級量程為0～100mA的兩個電流表，問用哪一個電流表測量較好？用1.5級量程為0～100mA電流表測量100mA時的最大相對誤差為解：用0.5級量程為0～400mA電流表測100mA時，最大相對誤差為12/15/202282例：某待測電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級量程為0～402.系統(tǒng)誤差定義：在同一測量條件下，多次測量重復(fù)同一量時，測量誤差的絕對值和符號都保持不變，或在測量條件改變時按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產(chǎn)生的主要原因是儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計算公式，測量人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。系統(tǒng)誤差表明了一個測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測量就越準確。系統(tǒng)誤差的定量定義是：在重復(fù)性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。即12/15/2022832.系統(tǒng)誤差12/12/2022133粗大誤差

粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯、讀錯、記錯以及實驗條件未達到預(yù)定的要求而匆忙實驗等。②測量方法不當或錯誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時，應(yīng)剔除掉。12/15/2022843粗大誤差粗大誤差是一種顯然與實際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差4.系差和隨差的表達式

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機誤差的代數(shù)和。在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差一般都是同時存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化12/15/2022854.系差和隨差的表達式

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和測量結(jié)果的表征

準確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準確度越高，即測量值與實際值符合的程度越高。精密度表示隨機誤差的影響。精密度越高，表示隨機誤差越小。隨機因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合影響。精確度越高，表示正確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。射擊誤差示意圖12/15/202286測量結(jié)果的表征

準確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準測量結(jié)果的表征測量值是粗大誤差12/15/202287測量結(jié)果的表征測量值是粗大誤差12/12/2022172.3隨機誤差2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法在測量中，隨機誤差是不可避免的。隨機誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動，電磁場的干擾，大地輕微振動等。多次測量，測量值和隨機誤差服從概率統(tǒng)計規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機誤差對測量結(jié)果的影響。12/15/2022882.3隨機誤差2.3.1隨機誤差的統(tǒng)計特性及減少方法12/1隨機誤差的分布規(guī)律（1）隨機變量的數(shù)字特征①

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機變量：

X為連續(xù)型隨機變量：

12/15/2022891隨機誤差的分布規(guī)律（1）隨機變量的數(shù)字特征12/12/2

②方差和標準偏差

方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為： D(X)=E(X－E(X))2

標準偏差定義為：

標準偏差同樣描述隨機變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機變量具有相同量綱。12/15/202290②方差和標準偏差

方差是用來描述隨機變量與其數(shù)學(xué)期望的分(2)測量誤差的正態(tài)分布

測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機變量可以表示為大量獨立的隨機變量的和，其中每一個隨機變量對于總和只起微小作用，則可認為這個隨機變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機誤差大多接近正態(tài)分布？12/15/202291(2)測量誤差的正態(tài)分布

測量中的隨機誤差通常是多種相互獨立

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝12/15/202292

正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計特性隨機誤差的概率密度函數(shù)為：

正態(tài)分布時概率密度曲線

隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因為它們的標準偏差相同，只是橫坐標相差隨機誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性

12/15/202293

正態(tài)分布時概率密度曲線隨機誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形

標準偏差意義標準偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標準偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標準偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。12/15/202294

標準偏差意義標準偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的

2.

有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標準偏差的估計值

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實際測量中只能進行有限次測量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當則令n個可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計為1,當時，則（1）有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計值——算術(shù)平均值被測量X的數(shù)學(xué)期望，就是當測量次數(shù)時，各次測量值的算術(shù)平均值12/15/202295

2.有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標準偏差的估計值

求被測規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計值，并作為最后的測量結(jié)果。即：

算術(shù)平均值是數(shù)學(xué)期望的無偏估計值、一致估計值和最大似然估計值。有限次測量值的算術(shù)平均值比測量值更接近真值？

12/15/202296規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計值，并作為最后的測量結(jié)果。

（2）算術(shù)平均值的標準偏差

故：算術(shù)平均值的標準偏差比總體或單次測量值的標準偏差小倍。原因是隨機誤差的抵償性。*12/15/202297

（2）算術(shù)平均值的標準偏差

故：*12/12/2算術(shù)平均值：

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值

殘差：實驗標準偏差（標準偏差的估計值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標準偏差的估計值：12/15/202298算術(shù)平均值：

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標準偏差的估計值

殘差

【例】用溫度計重復(fù)測量某個不變的溫度，得11個測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標準偏差。解：①平均值

②用公式計算各測量值殘差列于上表中③實驗偏差④標準偏差12/15/202299【例】用溫度計重復(fù)測量某個不變的溫度，得11個測量值的3.

測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積12/15/20221003.測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信概率是

（2）正態(tài)分布的置信概率

當分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當k=3時置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大12/15/2022101

（2）正態(tài)分布的置信概率

當分布和k值確定之后，則置信概

（3）t分布的置信限

t分布與測量次數(shù)有關(guān)。當n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當n很小時，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-112/15/2022102

（3）t分布的置信限

t分布與測量次數(shù)有關(guān)。當n>20以2.4系統(tǒng)誤差

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件下，多次測量同一量值時，誤差的絕對值和符號保持不變，或者在條件改變時，誤差按一定的規(guī)律變化。

多次測量求平均不能減少系差。12/15/20221032.4系統(tǒng)誤差

1.系統(tǒng)誤差的特征：

在同一條件

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準、修正和實驗比對。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號的變化。

存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差12/15/2022104

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法（1）不變的系統(tǒng)誤差：存在線②馬利科夫判據(jù)：若有累進性系統(tǒng)誤差，D值應(yīng)明顯異于零。 當n為偶數(shù)時，

當n為奇數(shù)時，③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗周期性系差的存在。12/15/2022105②馬利科夫判據(jù)：12/12/202235

3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施減小系統(tǒng)誤差①

要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴格。②

測量儀器定期檢定和校準，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。④

盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進設(shè)備。（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差

修正值＝－誤差=－（測量值－真值） 實際值＝測量值＋修正值12/15/2022106

3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法（1）從產(chǎn)生

（3）采用一些專門的測量方法

①替代法②交換法③對稱測量法④減小周期性系統(tǒng)誤差的半周期法系統(tǒng)誤差可忽略不計的準則是： 系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果擴展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。12/15/2022107

（3）采用一些專門的測量方法

①替代法12/12/202.4粗大誤差大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對應(yīng)的測量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。12/15/20221082.4粗大誤差大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是

2.

粗大誤差的判別準則

統(tǒng)計學(xué)的方法的基本思想是：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗法格拉布斯檢驗法式中，G值按重復(fù)測量次數(shù)n及置信概率Pc確定12/15/2022109

2.粗大誤差的判別準則

統(tǒng)計學(xué)的方法的基本思想是：給定

應(yīng)注意的問題①

所有的檢驗法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時檢驗不一定可靠。②

若有多個可疑數(shù)據(jù)同時超過檢驗所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個剔除，重新計算，再行判別。若有兩個相同數(shù)據(jù)超出范圍時，應(yīng)逐個剔除。③在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。12/15/2022110

應(yīng)注意的問題12/12/202240測量結(jié)果的處理步驟

①對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗證④按貝塞爾公式計算標準偏差的估計值⑤按萊特準則，或格拉布斯準則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；⑦計算算術(shù)平均值的標準偏差；⑧寫出最后結(jié)果的表達式，即（單位）。12/15/2022111測量結(jié)果的處理步驟①對測量值進行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次例：對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達式。12/15/2022112例：對某電壓進行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，解：12/15/2022113解：12/12/20224312/15/202211412/12/202244

等精度測量與不等精度測量

等精度測量：即在相同地點、相同的測量方法和相同測量設(shè)備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時間內(nèi)進行的重復(fù)測量。不等精度測量：在測量條件不相同時進行的測量，測量結(jié)果的精密度將不相同。不等精度測量處理方法：權(quán)值與標準偏差的平方成反比。權(quán)值

測量結(jié)果為加權(quán)平均值

12/15/2022115

等精度測量與不等精度測量等精度測量：即在相同地點、相同的12/15/202211612/12/2022462.6誤差的合成與分配問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個量中的兩個量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？12/15/20221172.6誤差的合成與分配問題：用間接法測量電阻消耗的功率時，例：12/15/2022118例：12/12/202248在實際應(yīng)用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項取絕對值后再相加該公式常用于在設(shè)計階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進行分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施。12/15/2022119在實際應(yīng)用中，由于分項誤差符號不定而可同時取正負，有時就采用2.7測量數(shù)據(jù)處理

2.7.1有效數(shù)字的處理1.數(shù)字修約規(guī)則由于測量數(shù)據(jù)和測量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測量結(jié)果的表示準確唯一，計算簡便，在數(shù)據(jù)處理時，需對測量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進1——在末位增1。（3）等于5時，取偶數(shù)——當末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。12/15/20221202.7測量數(shù)據(jù)處理

2.7.1有效數(shù)字的處理12/12/例：

將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負誤差的概率近似相等。12/15/2022121例：

將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12/12/2022512.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個單位，則該近似數(shù)從左邊第一個非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103 二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.005

12/15/20221222.有效數(shù)字12/12/202252中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字。測量數(shù)據(jù)的絕對值比較大（或比較小），而有效數(shù)字又比較少的測量數(shù)據(jù)，應(yīng)采用科學(xué)計數(shù)法，即a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。測量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測量的不確定度來確定，即測量結(jié)果的最末一位應(yīng)與不確定度的位數(shù)對齊。例如，某物理量的測量結(jié)果的值為63.44，且該量的測量不確定度u＝0.4，測量結(jié)果表示為63.4±0.4。12/15/2022123中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有3.近似運算法則 保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準確度最差的那一項。（1）加法運算 以小數(shù)點后位數(shù)最少的為準（各項無小數(shù)點則以有效位數(shù)最少者為準），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運算：當兩數(shù)相差甚遠時，原則同加法運算；當兩數(shù)很接近時，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測量方法，第二在運算中多一些有效數(shù)字。

12/15/20221243.近似運算法則12/12/202254（3）乘除法運算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準，其余參與運算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（4）乘方、開方運算：運算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×10412/15/2022125（3）乘除法運算12/12/2022552.7.2測量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法根據(jù)測試的目的和內(nèi)容，設(shè)計出合理的表格。列表法簡單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對數(shù)據(jù)變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經(jīng)驗公式法的基礎(chǔ)。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.112/15/20221262.7.2測量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法x0246810122圖示法圖示法的最大優(yōu)點是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等。作圖時采用直角坐標或極座標。一般是先按成對數(shù)據(jù)（x，y）描點，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點接近，不強求通過各點，要使位于曲線兩邊的點數(shù)盡量相等12/15/20221272圖示法作圖時采用直角坐標或極座標。一般是先按成對數(shù)據(jù)（x經(jīng)驗公式法就是通過對實驗數(shù)據(jù)的計算，采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學(xué)表達式表示各變量之間關(guān)系。有時又把這種經(jīng)驗公式稱為數(shù)學(xué)模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來解。3.經(jīng)驗公式法一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個數(shù)11>1>1方次1>11>112/15/2022128經(jīng)驗公式法就是通過對實驗數(shù)據(jù)的計算，采用數(shù)理統(tǒng)計的方法，確定建立經(jīng)驗公式的步驟

已知測量數(shù)據(jù)列(xi,yi

i=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：（1)將輸入自變量xi,作為橫坐標，輸出量yi即測量值作為縱坐標，描繪在坐標紙上，并把數(shù)據(jù)點描繪成測量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的基本形式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。②某種類型曲線，則先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。③如果測量曲線很難判斷屬于何種類型，這可以按曲線多項式回歸處理。即：

（3）由測量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。12/15/2022129建立經(jīng)驗公式