連續(xù)型隨機變量知識講座課件

§2.3連續(xù)型隨機變量定義

設(shè)

X

是隨機變量,若存在一個非負可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型隨機變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度連續(xù)型隨機變量的概念§2.3連續(xù)48§2.3連續(xù)型隨機變量定義設(shè)X是隨機變量,若存xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義49xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)49p.d.f.

f(x)的性質(zhì)

常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，

在f(x)

的連續(xù)點處，f(x)描述了X在

x

附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率50p.d.f.f(x)的性質(zhì)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下的積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對連續(xù)的，因此幾乎處處可導(dǎo)線段質(zhì)量長度密度51積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下線注意:對于連續(xù)型隨機變量X,P(X=a)=0其中a

是隨機變量

X

的一個可能的取值命題

連續(xù)隨機變量取任一常數(shù)的概率為零強調(diào)概率為0(1)的事件未必不發(fā)生(發(fā)生)事實上52注意:對于連續(xù)型隨機變量X,P(X=a)=0其對于連續(xù)型隨機變量Xbxf(x)a53對于連續(xù)型隨機變量Xbxf(x)a53xf(x)a54xf(x)a54例1已知某型號電子管的使用壽命X為連續(xù)隨機變量,其密度函數(shù)為(1)求常數(shù)c(3)

已知一設(shè)備裝有3個這樣的電子管,每個電子管能否正常工作相互獨立,求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.(2)

計算例155例1已知某型號電子管的使用壽命X為連(1)求常數(shù)解(1)令c=1000(2)

56解(1)令c=1000(2)56(3)設(shè)A

表示一個電子管的壽命小于1500小時設(shè)在使用的最初1500小時三個電子管中損壞的個數(shù)為Y57(3)設(shè)A表示一個電子管的壽命小于1500小時設(shè)在使用的最例2

設(shè)為使f(x)成為某隨機變量X在解

由

上的密度函數(shù)，

系數(shù)a,b,c必須且只需滿足什么條件？當(dāng)有最小值58例2設(shè)為使f(x)成為某隨機變量X在解另外由當(dāng)且僅當(dāng)時得所以系數(shù)a,b,c必須且只需滿足下列條件59另外由當(dāng)且僅當(dāng)作業(yè)P83習(xí)題二1618習(xí)題60作業(yè)P83習(xí)題二1618習(xí)題60(1)均勻分布常見的連續(xù)性隨機變量的分布若X的密度函數(shù)為則稱X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱

X

服從參數(shù)為a,b的均勻分布.記作均勻分布61(1)均勻分布常見的連續(xù)性隨機變量的分布若X的密度函數(shù)X

的分布函數(shù)為62X的分布函數(shù)為62xf(x)abxF(x)ba63xf(x)abxF(x)ba63即X落在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān),只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.進行大量數(shù)值計算時,若在小數(shù)點后第k

位進行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從的隨機變量應(yīng)用場合64即X落在(a,b)內(nèi)任何長為d–c的小區(qū)間的例3

秒表最小刻度值為0.01秒.若計時精度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X的概率密度,并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率.解

X等可能地取得區(qū)間所以上的任一值，則65例3秒表最小刻度值為0.01秒.若計時精解X等(2)指數(shù)分布若X

的密度函數(shù)為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)指數(shù)分布66(2)指數(shù)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為1xF(x)0xf(x)0671xF(x)0xf(x)067對于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似68對于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實若X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上命題年輕69若X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指解(1)例4

假定一大型設(shè)備在任何長為

t

的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求相繼兩次故障的時間間隔T的概率分布;設(shè)備已正常運行８小時的情況下,再正常運行10小時的概率.例470解(1)例4假定一大型設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)相繼即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”71即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”71(3)正態(tài)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，正態(tài)分布亦稱高斯(Gauss)分布72(3)正態(tài)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為N(-3,1.2)73N(-3,1.2)73f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對稱,即在x=

時,f(x)取得最大值在x=±

時,曲線

y=f(x)在對應(yīng)的點處有拐點曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀f(+x)=f(-x)性質(zhì)74f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=對稱,即在7575

f(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對于不同的,對應(yīng)的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2則比x=2所對應(yīng)的拐點更靠近直線x=附近值的概率更大.x=1所對應(yīng)的拐點前者取76f(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,Show[fn1,fn3]大小幾何意義大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比77Show[fn1,fn3]大小幾何意義大正態(tài)變量的條件若隨機變量X①受眾多相互獨立的隨機因素影響②每一因素的影響都是微小的③且這些正、負影響可以疊加則稱X為正態(tài)隨機變量78正態(tài)變量的條件若隨機變量X①受眾多相互獨可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度；學(xué)生的考試成績；79可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；人體的生理特一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為標準正態(tài)其值有專門的表供查.——標準正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為標準正態(tài)其值有專門的8181-xx82-xx82對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換83對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函例5設(shè)X~N(1,4),求P(0X1.6)解P380附表3例584例5設(shè)X~N(1,4),求P(0X例6已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一例685例6已知且P(2<X<4)=0.3,求解二圖解法0.2由圖0.386解二圖解法0.2由圖0.386例

3原理設(shè)

X~N(,2),求解一次試驗中,X落入?yún)^(qū)間(-3,+3)的概率為0.9974,而超出此區(qū)間可能性很小由3原理知，當(dāng)3原理87例3原理設(shè)X~N(,2),求解一標準正態(tài)分布的上分位數(shù)z設(shè)X~N(0,1),0<<1,稱滿足的點z

為X的上分位數(shù)

z常用數(shù)據(jù)88標準正態(tài)分布的上分位數(shù)z設(shè)X~N(0,1)例7

設(shè)測量的誤差X~N(7.5,100)(單位:米)問要進行多少次獨立測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過10米的概率大于0.9?解例789例7設(shè)測量的誤差X~N(7.5,100)(單位:米)設(shè)A

表示進行n次獨立測量至少有一次誤差的絕對值不超過10米n>3故至少要進行4次獨立測量才能滿足要求.90設(shè)A表示進行n次獨立測量至少有一次n>3故至少要作業(yè)P84習(xí)題二2224

2627習(xí)題91作業(yè)P84習(xí)題二2224習(xí)每周一題6第6

周

問題上海某年有9萬名高中畢業(yè)生參加高考,結(jié)果有5.4萬名被各類高校錄取.考試滿分為600分，540分以上有2025人,360分以下有13500人.試估計高校錄取最低分.

92每周一題6第6周問題上海某年有9在高為h

的ABC中任取一點M,點M到AB

的距離為隨機變量附錄X,

如何求其密度函數(shù)

f(x)？

ABCh.M思考題附錄93在高為h的ABC中任取一點M,點M到9494§2.3連續(xù)型隨機變量定義

設(shè)

X

是隨機變量,若存在一個非負可積函數(shù)

f(x),使得其中F(x)是它的分布函數(shù)則稱X

是連續(xù)型隨機變量，f(x)是它的概率密度函數(shù)(p.d.f.)，簡稱為密度函數(shù)或概率密度連續(xù)型隨機變量的概念§2.3連續(xù)95§2.3連續(xù)型隨機變量定義設(shè)X是隨機變量,若存xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義96xf(x)xF(x)分布函數(shù)與密度函數(shù)49p.d.f.

f(x)的性質(zhì)

常利用這兩個性質(zhì)檢驗一個函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機變量的密度函數(shù)，

在f(x)

的連續(xù)點處，f(x)描述了X在

x

附近單位長度的區(qū)間內(nèi)取值的概率97p.d.f.f(x)的性質(zhì)常利用這兩個性質(zhì)檢驗一積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下的積分，所得的變上限的函數(shù)是絕對連續(xù)的，因此幾乎處處可導(dǎo)線段質(zhì)量長度密度98積分不是Cauchy積分，而是Lesbesgue意義下線注意:對于連續(xù)型隨機變量X,P(X=a)=0其中a

是隨機變量

X

的一個可能的取值命題

連續(xù)隨機變量取任一常數(shù)的概率為零強調(diào)概率為0(1)的事件未必不發(fā)生(發(fā)生)事實上99注意:對于連續(xù)型隨機變量X,P(X=a)=0其對于連續(xù)型隨機變量Xbxf(x)a100對于連續(xù)型隨機變量Xbxf(x)a53xf(x)a101xf(x)a54例1已知某型號電子管的使用壽命X為連續(xù)隨機變量,其密度函數(shù)為(1)求常數(shù)c(3)

已知一設(shè)備裝有3個這樣的電子管,每個電子管能否正常工作相互獨立,求在使用的最初1500小時只有一個損壞的概率.(2)

計算例1102例1已知某型號電子管的使用壽命X為連(1)求常數(shù)解(1)令c=1000(2)

103解(1)令c=1000(2)56(3)設(shè)A

表示一個電子管的壽命小于1500小時設(shè)在使用的最初1500小時三個電子管中損壞的個數(shù)為Y104(3)設(shè)A表示一個電子管的壽命小于1500小時設(shè)在使用的最例2

設(shè)為使f(x)成為某隨機變量X在解

由

上的密度函數(shù)，

系數(shù)a,b,c必須且只需滿足什么條件？當(dāng)有最小值105例2設(shè)為使f(x)成為某隨機變量X在解另外由當(dāng)且僅當(dāng)時得所以系數(shù)a,b,c必須且只需滿足下列條件106另外由當(dāng)且僅當(dāng)作業(yè)P83習(xí)題二1618習(xí)題107作業(yè)P83習(xí)題二1618習(xí)題60(1)均勻分布常見的連續(xù)性隨機變量的分布若X的密度函數(shù)為則稱X

服從區(qū)間(a,b)上的均勻分布或稱

X

服從參數(shù)為a,b的均勻分布.記作均勻分布108(1)均勻分布常見的連續(xù)性隨機變量的分布若X的密度函數(shù)X

的分布函數(shù)為109X的分布函數(shù)為62xf(x)abxF(x)ba110xf(x)abxF(x)ba63即X落在(a,b)內(nèi)任何長為

d–c的小區(qū)間的概率與小區(qū)間的位置無關(guān),只與其長度成正比.這正是幾何概型的情形.進行大量數(shù)值計算時,若在小數(shù)點后第k

位進行四舍五入,則產(chǎn)生的誤差可以看作服從的隨機變量應(yīng)用場合111即X落在(a,b)內(nèi)任何長為d–c的小區(qū)間的例3

秒表最小刻度值為0.01秒.若計時精度是取最近的刻度值,求使用該表計時產(chǎn)生的隨機誤差X的概率密度,并計算誤差的絕對值不超過0.004秒的概率.解

X等可能地取得區(qū)間所以上的任一值，則112例3秒表最小刻度值為0.01秒.若計時精解X等(2)指數(shù)分布若X

的密度函數(shù)為則稱X

服從

參數(shù)為的指數(shù)分布記作X

的分布函數(shù)為>0為常數(shù)指數(shù)分布113(2)指數(shù)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為1xF(x)0xf(x)01141xF(x)0xf(x)067對于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實例有：隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間電話問題中的通話時間無線電元件的壽命動物的壽命指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似115對于任意的0<a<b,應(yīng)用場合用指數(shù)分布描述的實若X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指數(shù)分布的“無記憶性”事實上命題年輕116若X~Ｅ(),則故又把指數(shù)分布稱為“永遠年輕”的分布指解(1)例4

假定一大型設(shè)備在任何長為

t

的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(t),求相繼兩次故障的時間間隔T的概率分布;設(shè)備已正常運行８小時的情況下,再正常運行10小時的概率.例4117解(1)例4假定一大型設(shè)備在任何長為t的時間內(nèi)相繼即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”118即(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”71(3)正態(tài)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為,2的正態(tài)分布記作X~N(,2)為常數(shù)，正態(tài)分布亦稱高斯(Gauss)分布119(3)正態(tài)分布若X的密度函數(shù)為則稱X服從參數(shù)為N(-3,1.2)120N(-3,1.2)73f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=

對稱,即在x=

時,f(x)取得最大值在x=±

時,曲線

y=f(x)在對應(yīng)的點處有拐點曲線

y=f(x)以x軸為漸近線曲線

y=f(x)的圖形呈單峰狀f(+x)=f(-x)性質(zhì)121f(x)的性質(zhì)：圖形關(guān)于直線x=對稱,即在12275

f(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,對于不同的,對應(yīng)的f(x)的形狀不變化，只是位置不同—形狀參數(shù)固定，對于不同的，f(x)的形狀不同.若1<2則比x=2所對應(yīng)的拐點更靠近直線x=附近值的概率更大.x=1所對應(yīng)的拐點前者取123f(x)的兩個參數(shù)：—位置參數(shù)即固定,Show[fn1,fn3]大小幾何意義大小與曲線陡峭程度成反比數(shù)據(jù)意義大小與數(shù)據(jù)分散程度成正比124Show[fn1,fn3]大小幾何意義大正態(tài)變量的條件若隨機變量X①受眾多相互獨立的隨機因素影響②每一因素的影響都是微小的③且這些正、負影響可以疊加則稱X為正態(tài)隨機變量125正態(tài)變量的條件若隨機變量X①受眾多相互獨可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；人體的生理特征；工廠產(chǎn)品的尺寸；農(nóng)作物的收獲量；海洋波浪的高度；金屬線抗拉強度；熱噪聲電流強度；學(xué)生的考試成績；126可用正態(tài)變量描述的實例極多：各種測量的誤差；人體的生理特一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為標準正態(tài)其值有專門的表供查.——標準正態(tài)分布N(0,1)密度函數(shù)一種重要的正態(tài)分布是偶函數(shù)，分布函數(shù)記為標準正態(tài)其值有專門的12881-xx129-xx82對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函數(shù)作變量代換130對一般的正態(tài)分布：X~N(,2)其分布函例5設(shè)X~N(1,4),求P(0X1.6)解P380附表3例5131例5設(shè)X~N(1,4),求P(0X例6已知且P(2<X<4)=0.3,求P(X<0).解一例6132例6已知且P(2<X<4