數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性

第四章函數(shù)的連續(xù)性4.1連續(xù)性概念

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

4.3初等函數(shù)的連續(xù)性

4.2第四章函數(shù)的連續(xù)性4.1連續(xù)性概念連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)14.1連續(xù)性概念一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量4.1連續(xù)性概念一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量22.連續(xù)的定義2.連續(xù)的定義3數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性4特點(diǎn):極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)值計(jì)算函數(shù)值表示轉(zhuǎn)化為極限表示在x0有定義1.在x0附近定義;2.極限存在特點(diǎn):極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)值計(jì)算函數(shù)值表示轉(zhuǎn)化為極限表示在x05例1證由定義2知例1證由定義2知63.單側(cè)連續(xù)定理3.單側(cè)連續(xù)定理7例2解右連續(xù)但不左連續(xù),例2解右連續(xù)但不左連續(xù),84.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)9例3證例3證10例4證明證只須證明例4證明證只須證明11二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)12間斷=不連續(xù)1.在x0及其附近定義;2.極限存在間斷=不連續(xù)1.在x0及其附近定義;131.跳躍間斷點(diǎn)例5解1.跳躍間斷點(diǎn)例5解142.可去間斷點(diǎn)例62.可去間斷點(diǎn)例615解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).解注意可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則16如例6中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)如例6中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)173.第二類間斷點(diǎn)例7解3.第二類間斷點(diǎn)例7解18間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)19間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)無(wú)定義、值太高、值太低跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)20間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒(méi)有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).G間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒(méi)有支撐，我掉下去21間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒(méi)有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好，連上了，我和其他的點(diǎn)連上了！G間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒(méi)有支撐，我掉下去22間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著，又有個(gè)洞,我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好，連上了，我和其他的點(diǎn)連上了！G間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著，又有個(gè)洞,我還是掉下23間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了!!!●●注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好，連上了，我和其他的點(diǎn)連上了！G間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了24間斷的演示●●哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也靠不住啊，我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn).

這點(diǎn)放哪兒能接上呢？●G間斷的演示●●哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也25間斷的演示●●哎，小紅點(diǎn)，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！這種間斷點(diǎn)稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)G間斷的演示●●哎，小紅點(diǎn)，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知26間斷的演示●：Hi,小紅點(diǎn)，你能不能停??？我怎么也停不住，那可怎么連上?。俊瘢篐i,小藍(lán)點(diǎn)，你停不住，我也停不住啊。還想連上，你可真逗！●●●●這種間斷點(diǎn)稱為震蕩間斷點(diǎn)。G間斷的演示●：Hi,小紅點(diǎn)，你能不能停住？我怎么也停不住，27例8解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).例8解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).28★狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).★僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn)29★在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).判斷下列間斷點(diǎn)類型:★在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).判斷30例9解例9解31例10討論若有間斷點(diǎn)判別其類型，并作出圖形解例10討論若有間斷點(diǎn)判別其類型，并作出圖形解32數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性33三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);3.間斷點(diǎn)的分類與判別;間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.(見(jiàn)下圖)三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;2.區(qū)間上的連34第一類間斷點(diǎn)oyx可去型oyx跳躍型第二類間斷點(diǎn)oyx無(wú)窮型oyx振蕩型第一類間斷點(diǎn)oyx可去型oyx跳躍型第二類間斷點(diǎn)oyx無(wú)窮型35思考題思考題36思考題解答且思考題解答且37但反之不成立.例但但反之不成立.例但384.2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)三反函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而有關(guān)函數(shù)極限的諸多性質(zhì)，都可以移到連續(xù)函數(shù)中來(lái)。二閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)四一致連續(xù)性4.2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)三反39一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)Th4.2（局部有界性）若在連續(xù)。則在某有界.Th4.3（局部保號(hào)性）若在連續(xù)，且則對(duì)任何正數(shù)，存在某有.注①在具體應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，若

可取，

②與極限相應(yīng)的性質(zhì)做比較

這里只是把“極限存在”，改為改為其余一致?！斑B續(xù)”，把一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)Th4.2（局部有界性）若在連續(xù)。則在40證明連續(xù)函數(shù)的局部有界性——若處連續(xù)，則和，使得．[證]據(jù)在連續(xù)的定義，滿足．現(xiàn)取相應(yīng)存在，就有

[證畢]

證明連續(xù)函數(shù)的局部有界性——若處連續(xù)，則和，使得．在連續(xù)41四則運(yùn)算的連續(xù)性Th4.4例如,連續(xù)是用極限定義的，本定理是極限四則運(yùn)算定理的直接結(jié)果，不證自明。四則運(yùn)算的連續(xù)性Th4.4例如,連續(xù)是用極限定42Th4.5證Th4.5證43將上兩步合起來(lái):意義1.在定理的條件下，極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換，即極限號(hào)可以穿過(guò)外層函數(shù)符號(hào)直接取在內(nèi)層，將上兩步合起來(lái):意義1.在定理的條件下，極限符號(hào)可以與函數(shù)符44注1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù)在極限值點(diǎn)處連續(xù)例1解注1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù)例1解45例2解同理可得例2解同理可得46注意定理是定理4.5的特殊情況.例如,注意定理是定理4.5的特殊情47二、最大值和最小值定理定義:例如,二、最大值和最小值定理定義:例如,48一般而言，在其定義域上不一定在Ｄ上有界.無(wú)最大（?。┲?；在［０，１］上也無(wú)最大（?。┲?。有最大（?。┲?，即使例如：一般而言，在其定義域上不一定在Ｄ上有界.無(wú)最大（?。┲?；在49定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大50定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界51定義:定義:52幾何解釋:幾何解釋:53證由零點(diǎn)定理,abABMmC幾何解釋:證由零點(diǎn)定理,abABMmC幾何解釋:54例3證由零點(diǎn)定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例3證由零點(diǎn)定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大55例4證由零點(diǎn)定理,例4證由零點(diǎn)定理,56例5證由零點(diǎn)定理知總之例5證由零點(diǎn)定理知總之57注①方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點(diǎn)②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)，再利用零點(diǎn)定理輔助函數(shù)的作法（1）將結(jié)論中的ξ(或x0或c)改寫成x（2）移項(xiàng)使右邊為0，令左邊的式子為F(x)則F(x)即為所求注①方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點(diǎn)②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)58區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗(yàn)證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余59三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單60Th4.8若函數(shù)上嚴(yán)格遞增(或減)且在相應(yīng)的定義域（或上連續(xù).連續(xù),則其反函數(shù)證明不妨設(shè)上嚴(yán)格遞增.此時(shí)的值域即反函數(shù)任?。?，異于＜＜使它們與的距離Th4.8若函數(shù)上嚴(yán)格遞增(或減)且在相應(yīng)的定義域（61

設(shè)與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為由的嚴(yán)格增性知＜＜令則當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值都落在與之間，故有＜這就證明了在點(diǎn)連續(xù)，從而在內(nèi)連續(xù).類似地可證在其定義區(qū)間的端點(diǎn)與分別為右連續(xù)與左連續(xù).所以在上連續(xù).設(shè)與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為由的嚴(yán)格增性知＜＜令則當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的的62四函數(shù)的整體連續(xù)性-——一致連續(xù)：設(shè)在某一區(qū)間Ｉ連續(xù)，按照定義，也就是在區(qū)間Ｉ內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。即對(duì)時(shí)，就有在一致連續(xù)定義中與無(wú)關(guān)，是在區(qū)間放在何處而皆準(zhǔn)的普適常數(shù)。四函數(shù)的整體連續(xù)性-——一致連續(xù)：設(shè)在某一區(qū)間Ｉ63數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性64{

{

{{65數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性66１．一致連續(xù)的定義定義2設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。若對(duì)任給的，存在一個(gè)，使得對(duì)任何，只要，就有則稱函數(shù)在區(qū)間Ｉ上一致連續(xù)。在一致連續(xù)定義中與無(wú)關(guān)，是在區(qū)間放在何處而皆準(zhǔn)的普適常數(shù)。１．一致連續(xù)的定義定義2設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。若對(duì)任給67數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性68數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性69數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性70五、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)反函數(shù)的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.一致連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.五、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)反函數(shù)的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性71思考題思考題72思考題解答是它的可去間斷點(diǎn)思考題解答是它的可去間斷點(diǎn)734.3初等函數(shù)的連續(xù)性

4.3初等函數(shù)的連續(xù)性74一初等函數(shù)的連續(xù)性★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★一初等函數(shù)的連續(xù)性★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是75★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))Th4.12基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.Th4.13一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))Th4.12基本初等函數(shù)在定義76注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)77例1求解它的一個(gè)定義區(qū)間是例1求解它的一個(gè)定義區(qū)間是78例2解例2解79例3求解不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形——先分子有理化，然后再求極限例3求解不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形80數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性81習(xí)題課習(xí)題課82一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念83函數(shù)的定義函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)（一）函數(shù)函數(shù)函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接基本初等函數(shù)復(fù)合函841.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期3.反函數(shù)4.隱函數(shù)5.基本初等函數(shù)冪、指、反、對(duì)、三6.復(fù)合函數(shù)7.初等函數(shù)8.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期85數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的充要條件無(wú)窮大兩者的關(guān)系無(wú)窮小的性質(zhì)極限的性質(zhì)求極限的常用方法無(wú)窮小判定極限存在的準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限無(wú)窮小的比較等價(jià)無(wú)窮小及其性質(zhì)唯一性（二）極限數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的無(wú)窮大兩861、極限的定義：?jiǎn)蝹?cè)極限2、無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮??；無(wú)窮大；無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)3、極限的性質(zhì)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限極限存在的條件1、極限的定義：?jiǎn)蝹?cè)極限2、無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮??；無(wú)窮大；無(wú)874、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.5、判定極限存在的準(zhǔn)則夾逼定理、單調(diào)有界原理4、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;5、判886、兩個(gè)重要極限7、無(wú)窮小的比較8、等價(jià)無(wú)窮小的替換性質(zhì)9、極限的唯一性、局部有界性、保號(hào)性6、兩個(gè)重要極限7、無(wú)窮小的比較8、等價(jià)無(wú)窮小的替換性質(zhì)9、89（三）連續(xù)左右連續(xù)連續(xù)的充要條件間斷點(diǎn)定義振蕩間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性非初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（三）連續(xù)左右連續(xù)連續(xù)的間斷點(diǎn)定義振蕩間斷點(diǎn)第一類901、連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)連續(xù)的充要條件閉區(qū)間的連續(xù)性2、間斷點(diǎn)的定義間斷點(diǎn)的分類第一類、第二類3、初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性4、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最值定理、有界性定理、介值定理、零點(diǎn)定理1、連續(xù)的定義單側(cè)連續(xù)連續(xù)的充要條件閉區(qū)間的連續(xù)性2、間斷點(diǎn)91二、典型例題例1解利用函數(shù)表示法的無(wú)關(guān)特性代入原方程得代入上式得二、典型例題例1解利用函數(shù)表示法的無(wú)關(guān)特性代入原方程得代入上92解聯(lián)立方程組解聯(lián)立方程組93例2求下列極限①②例2求下列極限①②94③④③④95⑤⑤96例3解一例3解一97解二例4解二例498解解法討論解解法討論99例5證明①②例5證明①②100證①（整體和大于部分和）由夾逼定理知證①（整體和大于部分和）由夾逼定理知101②由夾逼定理知例6求極限②由夾逼定理知例6求極限102[分析]要用夾逼定理，須進(jìn)行放縮不能這樣用夾逼定理，解注意到分子成等差數(shù)列[分析]要用夾逼定理，須進(jìn)行放縮不能這樣用夾逼定理，解注意到103例7證例7證104即xn單調(diào)減，有下界故由單調(diào)有界原理得即xn單調(diào)減，有下界故由單調(diào)有界原理得105例8解例8解106例9解例9解107數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性108例10求下列極限①②例10求下列極限①②109③只記住了重要極限的形式，而沒(méi)有掌握其實(shí)質(zhì)例11③只記住了重要極限的形式，而沒(méi)有掌握其實(shí)質(zhì)例11110解因f(x)在x=0處為無(wú)窮間斷，即又x=1為可去間斷，解因f(x)在x=0處為無(wú)窮間斷，即又x=1為可去間斷，111例12①例12①112②②113例13解例13解114從而由等價(jià)無(wú)窮小的代換性質(zhì)得從而由等價(jià)無(wú)窮小的代換性質(zhì)得115例14解例14解116數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性117例15證明若f(x)和g(x)連續(xù)，則函數(shù)證由于f(x)和g(x)連續(xù)，故f(x)+g(x)連續(xù)例15證明若f(x)和g(x)連續(xù)，則函數(shù)證由于f(x)和118例16利用介值定理證明，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程至少有一實(shí)根證例16利用介值定理證明，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，方程至少有一實(shí)根證119故由函數(shù)極限的保號(hào)性質(zhì)可知又n是奇數(shù)，所以故由零點(diǎn)定理知故由函數(shù)極限的保號(hào)性質(zhì)可知又n是奇數(shù)，所以故由零點(diǎn)定理知120例17證由題設(shè)知故在上必存在最大值M和最小值m例17證由題設(shè)知故在上必存在最大值M和最小值m121由介值定理可得由介值定理可得122第四章函數(shù)的連續(xù)性4.1連續(xù)性概念

連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

4.3初等函數(shù)的連續(xù)性

4.2第四章函數(shù)的連續(xù)性4.1連續(xù)性概念連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)1234.1連續(xù)性概念一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量4.1連續(xù)性概念一、函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性1.函數(shù)的增量1242.連續(xù)的定義2.連續(xù)的定義125數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性126特點(diǎn):極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)值計(jì)算函數(shù)值表示轉(zhuǎn)化為極限表示在x0有定義1.在x0附近定義;2.極限存在特點(diǎn):極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)值計(jì)算函數(shù)值表示轉(zhuǎn)化為極限表示在x0127例1證由定義2知例1證由定義2知1283.單側(cè)連續(xù)定理3.單側(cè)連續(xù)定理129例2解右連續(xù)但不左連續(xù),例2解右連續(xù)但不左連續(xù),1304.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.例如,4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)131例3證例3證132例4證明證只須證明例4證明證只須證明133二、函數(shù)的間斷點(diǎn)二、函數(shù)的間斷點(diǎn)134間斷=不連續(xù)1.在x0及其附近定義;2.極限存在間斷=不連續(xù)1.在x0及其附近定義;1351.跳躍間斷點(diǎn)例5解1.跳躍間斷點(diǎn)例5解1362.可去間斷點(diǎn)例62.可去間斷點(diǎn)例6137解注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).解注意可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則138如例6中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)如例6中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)1393.第二類間斷點(diǎn)例7解3.第二類間斷點(diǎn)例7解140間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)141間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)無(wú)定義、值太高、值太低跳躍間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)間斷的演示第一類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn)142間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒(méi)有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).G間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒(méi)有支撐，我掉下去143間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒(méi)有支撐，我掉下去了!!!注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好，連上了，我和其他的點(diǎn)連上了！G間斷的演示●●●哎呀,不好!有個(gè)洞,還沒(méi)有支撐，我掉下去144間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著，又有個(gè)洞,我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好，連上了，我和其他的點(diǎn)連上了！G間斷的演示●●●哎呀,太高了!夠不著，又有個(gè)洞,我還是掉下145間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了!!!●●注意到：這種間斷點(diǎn)稱為可去間斷點(diǎn).正好，連上了，我和其他的點(diǎn)連上了！G間斷的演示●●●哎呀,太低了!跳不上去，唉，只能在下面呆著了146間斷的演示●●哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也靠不住啊，我還是掉下去了!!!●注意到：這種間斷點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn).

這點(diǎn)放哪兒能接上呢？●G間斷的演示●●哎呀,前不著村，后不著店的，就是能單邊撐著，也147間斷的演示●●哎，小紅點(diǎn)，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知世界去了！這種間斷點(diǎn)稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)G間斷的演示●●哎，小紅點(diǎn)，你跑哪去了？快救救我，我要跑到未知148間斷的演示●：Hi,小紅點(diǎn)，你能不能停??？我怎么也停不住，那可怎么連上?。俊瘢篐i,小藍(lán)點(diǎn)，你停不住，我也停不住啊。還想連上，你可真逗！●●●●這種間斷點(diǎn)稱為震蕩間斷點(diǎn)。G間斷的演示●：Hi,小紅點(diǎn)，你能不能停住？我怎么也停不住，149例8解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).例8解注意不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).150★狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn).★僅在x=0處連續(xù),其余各點(diǎn)處處間斷.★狄利克雷函數(shù)在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,且都是第二類間斷點(diǎn)151★在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).判斷下列間斷點(diǎn)類型:★在定義域R內(nèi)每一點(diǎn)處都間斷,但其絕對(duì)值處處連續(xù).判斷152例9解例9解153例10討論若有間斷點(diǎn)判別其類型，并作出圖形解例10討論若有間斷點(diǎn)判別其類型，并作出圖形解154數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性155三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);3.間斷點(diǎn)的分類與判別;間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型,跳躍型.第二類間斷點(diǎn):無(wú)窮型,振蕩型.(見(jiàn)下圖)三、小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;2.區(qū)間上的連156第一類間斷點(diǎn)oyx可去型oyx跳躍型第二類間斷點(diǎn)oyx無(wú)窮型oyx振蕩型第一類間斷點(diǎn)oyx可去型oyx跳躍型第二類間斷點(diǎn)oyx無(wú)窮型157思考題思考題158思考題解答且思考題解答且159但反之不成立.例但但反之不成立.例但1604.2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)三反函數(shù)的連續(xù)性

函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而有關(guān)函數(shù)極限的諸多性質(zhì)，都可以移到連續(xù)函數(shù)中來(lái)。二閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)四一致連續(xù)性4.2連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)三反161一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)Th4.2（局部有界性）若在連續(xù)。則在某有界.Th4.3（局部保號(hào)性）若在連續(xù)，且則對(duì)任何正數(shù)，存在某有.注①在具體應(yīng)用局部保號(hào)性時(shí)，若

可取，

②與極限相應(yīng)的性質(zhì)做比較

這里只是把“極限存在”，改為改為其余一致?！斑B續(xù)”，把一連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)Th4.2（局部有界性）若在連續(xù)。則在162證明連續(xù)函數(shù)的局部有界性——若處連續(xù)，則和，使得．[證]據(jù)在連續(xù)的定義，滿足．現(xiàn)取相應(yīng)存在，就有

[證畢]

證明連續(xù)函數(shù)的局部有界性——若處連續(xù)，則和，使得．在連續(xù)163四則運(yùn)算的連續(xù)性Th4.4例如,連續(xù)是用極限定義的，本定理是極限四則運(yùn)算定理的直接結(jié)果，不證自明。四則運(yùn)算的連續(xù)性Th4.4例如,連續(xù)是用極限定164Th4.5證Th4.5證165將上兩步合起來(lái):意義1.在定理的條件下，極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)互換，即極限號(hào)可以穿過(guò)外層函數(shù)符號(hào)直接取在內(nèi)層，將上兩步合起來(lái):意義1.在定理的條件下，極限符號(hào)可以與函數(shù)符166注1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù)在極限值點(diǎn)處連續(xù)例1解注1.定理的條件：內(nèi)層函數(shù)有極限，外層函數(shù)例1解167例2解同理可得例2解同理可得168注意定理是定理4.5的特殊情況.例如,注意定理是定理4.5的特殊情169二、最大值和最小值定理定義:例如,二、最大值和最小值定理定義:例如,170一般而言，在其定義域上不一定在Ｄ上有界.無(wú)最大（?。┲?；在［０，１］上也無(wú)最大（?。┲?。有最大（?。┲担词估纾阂话愣?，在其定義域上不一定在Ｄ上有界.無(wú)最大（小）值；在171定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.注意:1.若區(qū)間是開(kāi)區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大172定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.證定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界173定義:定義:174幾何解釋:幾何解釋:175證由零點(diǎn)定理,abABMmC幾何解釋:證由零點(diǎn)定理,abABMmC幾何解釋:176例3證由零點(diǎn)定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值與最小值之間的任何值.例3證由零點(diǎn)定理,推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大177例4證由零點(diǎn)定理,例4證由零點(diǎn)定理,178例5證由零點(diǎn)定理知總之例5證由零點(diǎn)定理知總之179注①方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點(diǎn)②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)命題的證明方法10直接法：先利用最值定理，再利用介值定理20間接法（輔助函數(shù)法）：先作輔助函數(shù)，再利用零點(diǎn)定理輔助函數(shù)的作法（1）將結(jié)論中的ξ(或x0或c)改寫成x（2）移項(xiàng)使右邊為0，令左邊的式子為F(x)則F(x)即為所求注①方程f(x)=0的根函數(shù)f(x)的零點(diǎn)②有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)180區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余下只須驗(yàn)證F(x)在所討論的區(qū)間上連續(xù)，再比較一下兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)，或指出要證的值介于F(x)在所論閉區(qū)間上的最大值與最小值之間。區(qū)間一般在題設(shè)中或要證明的結(jié)論中已經(jīng)給出，余181三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).三反函數(shù)的連續(xù)性定理4.8嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單182Th4.8若函數(shù)上嚴(yán)格遞增(或減)且在相應(yīng)的定義域（或上連續(xù).連續(xù),則其反函數(shù)證明不妨設(shè)上嚴(yán)格遞增.此時(shí)的值域即反函數(shù)任?。?，異于＜＜使它們與的距離Th4.8若函數(shù)上嚴(yán)格遞增(或減)且在相應(yīng)的定義域（183

設(shè)與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為由的嚴(yán)格增性知＜＜令則當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的的值都落在與之間，故有＜這就證明了在點(diǎn)連續(xù)，從而在內(nèi)連續(xù).類似地可證在其定義區(qū)間的端點(diǎn)與分別為右連續(xù)與左連續(xù).所以在上連續(xù).設(shè)與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為由的嚴(yán)格增性知＜＜令則當(dāng)時(shí)，對(duì)應(yīng)的的184四函數(shù)的整體連續(xù)性-——一致連續(xù)：設(shè)在某一區(qū)間Ｉ連續(xù)，按照定義，也就是在區(qū)間Ｉ內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)。即對(duì)時(shí)，就有在一致連續(xù)定義中與無(wú)關(guān)，是在區(qū)間放在何處而皆準(zhǔn)的普適常數(shù)。四函數(shù)的整體連續(xù)性-——一致連續(xù)：設(shè)在某一區(qū)間Ｉ185數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性186{

{

{{187數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性188１．一致連續(xù)的定義定義2設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。若對(duì)任給的，存在一個(gè)，使得對(duì)任何，只要，就有則稱函數(shù)在區(qū)間Ｉ上一致連續(xù)。在一致連續(xù)定義中與無(wú)關(guān)，是在區(qū)間放在何處而皆準(zhǔn)的普適常數(shù)。１．一致連續(xù)的定義定義2設(shè)為定義在區(qū)間Ｉ上的函數(shù)。若對(duì)任給189數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性190數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性191數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性192五、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)反函數(shù)的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性.一致連續(xù)性.定義區(qū)間與定義域的區(qū)別;求極限的又一種方法.五、小結(jié)連續(xù)函數(shù)的局部性質(zhì)反函數(shù)的連續(xù)性.復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性193思考題思考題194思考題解答是它的可去間斷點(diǎn)思考題解答是它的可去間斷點(diǎn)1954.3初等函數(shù)的連續(xù)性

4.3初等函數(shù)的連續(xù)性196一初等函數(shù)的連續(xù)性★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★一初等函數(shù)的連續(xù)性★三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是197★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))Th4.12基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.Th4.13一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.★(均在其定義域內(nèi)連續(xù))Th4.12基本初等函數(shù)在定義198注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例如,這些孤立點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.在0點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義.注意2.初等函數(shù)求極限的方法代入法.注意1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)199例1求解它的一個(gè)定義區(qū)間是例1求解它的一個(gè)定義區(qū)間是200例2解例2解201例3求解不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形——先分子有理化，然后再求極限例3求解不能應(yīng)用差的極限運(yùn)算法則，須變形202數(shù)學(xué)分析課件之第四章函數(shù)的連續(xù)性203習(xí)題課習(xí)題課204一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念一、主要內(nèi)容（一）函數(shù)的定義（二）極限的概念（三）連續(xù)的概念205函數(shù)的定義函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)（一）函數(shù)函數(shù)函數(shù)反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接基本初等函數(shù)復(fù)合函2061.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期3.反函數(shù)4.隱函數(shù)5.基本初等函數(shù)冪、指、反、對(duì)、三6.復(fù)合函數(shù)7.初等函數(shù)8.雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)1.函數(shù)的定義函數(shù)的分類2.函數(shù)的性質(zhì)有界、單調(diào)、奇偶、周期207數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的充要條件無(wú)窮大兩者的關(guān)系無(wú)窮小的性質(zhì)極限的性質(zhì)求極限的常用方法無(wú)窮小判定極限存在的準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限無(wú)窮小的比較等價(jià)無(wú)窮小及其性質(zhì)唯一性（二）極限數(shù)列極限函數(shù)極限左右極限極限存在的無(wú)窮大兩2081、極限的定義：?jiǎn)蝹?cè)極限2、無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮??；無(wú)窮大；無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)3、極限的性質(zhì)四則運(yùn)算、復(fù)合函數(shù)的極限極限存在的條件1、極限的定義：?jiǎn)蝹?cè)極限2、無(wú)窮小與無(wú)窮大無(wú)窮??；無(wú)窮大；無(wú)2094、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無(wú)窮小因子分出法求極限;d.利用無(wú)