多元函數(shù)的極值及最值參考課件

一、最值應(yīng)用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值

最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、最值應(yīng)用問題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可達(dá)1求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.1、多元函數(shù)的最值求最值的一般方法：與一元函數(shù)相類似，我們可以2解如圖,解如圖,3多元函數(shù)的極值及最值參考課件4多元函數(shù)的極值及最值參考課件5解由解由6無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.7

例3：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要兩種原料A、B.單價(jià)分別為2萬元/噸和1萬元/噸。已知該產(chǎn)品產(chǎn)量Q（單位：噸）與A、B兩種原料的投入量x,y有如下關(guān)系：

且該產(chǎn)品的出售價(jià)為5萬元/噸，試確定兩種原料A、B的投入量，使獲得利潤(rùn)最大。解：設(shè)所獲得利潤(rùn)為L(zhǎng)，收入成本例3：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要兩種原料A、B.且該產(chǎn)品的8

有問題的實(shí)際意義可知最大值一定存在，又求的唯一駐點(diǎn)。所以函數(shù)在駐點(diǎn)處取得最大值。最大利潤(rùn)為：L（4.81.2）=229.6萬元有問題的實(shí)際意義可知最大值一定存在，又求的唯一9例3.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（無條件極值）例3.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym,則高為則水10例4.有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來做成解:

設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來做成解11令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有12三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的132．求條件極值的方法（1）代入法：將條件代入函數(shù)，化為無條件極值問題來解。

（這對(duì)于一類其條件的表達(dá)形式較簡(jiǎn)單的問題，是方便的）（2）Lagrange乘數(shù)法：構(gòu)造輔助函數(shù)，化為無條件極值問題。2．求條件極值的方法（1）代入法：將條件代入函數(shù)，化為無條件14Lagrange乘數(shù)法求z=f(x,y)在滿足條件(x,y)=0

時(shí)的極值，方法為：步驟Ⅰ構(gòu)造函數(shù)

（為待定常數(shù)）步驟Ⅱ解方程組

求出實(shí)數(shù)解(x0,y0)和;步驟Ⅲ判別求出的點(diǎn)(x0,y0)是否為極值點(diǎn)(通常由實(shí)際問題的實(shí)際意義判定)，并求出極值z(mì)0=f(x0,y0)Lagrange乘數(shù)法求z=f(x,y)在滿足條件(x,y15[注記]：以上方法步驟，也適用于三元以上的多元函數(shù)，以及多個(gè)條件的情形。[注記]：以上方法步驟，也適用于三元以上的16例5求表面積為a2，而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積，及長(zhǎng)、寬、高的尺寸。解：xyz例5求表面積為a2，而體積為最大的長(zhǎng)xyz17

解得唯一駐點(diǎn)，由題意，知矩形的長(zhǎng)寬高各為時(shí)，其體積最大。令解得唯一駐點(diǎn)，由題意，知18方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價(jià)于19引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F稱為拉格朗日(Lagrange)20推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.21例6.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最?。康拈L(zhǎng)方體開口水箱,試問機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例6.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問題為求x,y,令解方程組解:22得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍時(shí)，所用材料最省.因此,當(dāng)高為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束思考:1)當(dāng)水箱封閉時(shí),長(zhǎng)、寬、高的尺寸如何?提示:

利用對(duì)稱性可知,2)當(dāng)開口水箱底部的造價(jià)為側(cè)面的二倍時(shí),欲使造價(jià)最省,應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)?長(zhǎng)、寬、高尺寸如何?提示:長(zhǎng)、寬、高尺寸相等.得唯一駐點(diǎn)由題意可知合理的設(shè)計(jì)是存在的,長(zhǎng)、寬為高的2倍23解則解則24內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點(diǎn).即解方程組第二步利用充分條件判別駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn).2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡(jiǎn)單問題用代入法如對(duì)二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)25精品課件！精品課件！26精品課件！精品課件！27設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?比較駐點(diǎn)及邊界點(diǎn)上函數(shù)值的大小?根據(jù)問題的實(shí)際意義確定最值第一步找目標(biāo)函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點(diǎn).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步判別?28一、最值應(yīng)用問題函數(shù)f

在閉域上連續(xù)函數(shù)f

在閉域上可達(dá)到最值

最值可疑點(diǎn)駐點(diǎn)邊界上的最值點(diǎn)特別,當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個(gè)極值點(diǎn)P時(shí),為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、最值應(yīng)用問題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可達(dá)29求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.

與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值.1、多元函數(shù)的最值求最值的一般方法：與一元函數(shù)相類似，我們可以30解如圖,解如圖,31多元函數(shù)的極值及最值參考課件32多元函數(shù)的極值及最值參考課件33解由解由34無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.無條件極值：對(duì)自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.35

例3：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要兩種原料A、B.單價(jià)分別為2萬元/噸和1萬元/噸。已知該產(chǎn)品產(chǎn)量Q（單位：噸）與A、B兩種原料的投入量x,y有如下關(guān)系：

且該產(chǎn)品的出售價(jià)為5萬元/噸，試確定兩種原料A、B的投入量，使獲得利潤(rùn)最大。解：設(shè)所獲得利潤(rùn)為L(zhǎng)，收入成本例3：某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品需要兩種原料A、B.且該產(chǎn)品的36

有問題的實(shí)際意義可知最大值一定存在，又求的唯一駐點(diǎn)。所以函數(shù)在駐點(diǎn)處取得最大值。最大利潤(rùn)為：L（4.81.2）=229.6萬元有問題的實(shí)際意義可知最大值一定存在，又求的唯一37例3.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點(diǎn)某廠要用鐵板做一個(gè)體積為2根據(jù)實(shí)際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長(zhǎng)方體水箱問當(dāng)長(zhǎng)、寬、高各取怎樣的尺寸時(shí),才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點(diǎn)就是最小值點(diǎn).即當(dāng)長(zhǎng)、寬均為高為時(shí),水箱所用材料最省.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束（無條件極值）例3.解:設(shè)水箱長(zhǎng),寬分別為x,ym,則高為則水38例4.有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來做成解:

設(shè)折起來的邊長(zhǎng)為xcm,則斷面面積x24一個(gè)斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束例4.有一寬為24cm的長(zhǎng)方形鐵板,把它折起來做成解39令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn),故此點(diǎn)即為所求.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)達(dá)到,而在域D內(nèi)只有40三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對(duì)自變量只有定義域限制對(duì)自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的412．求條件極值的方法（1）代入法：將條件代入函數(shù)，化為無條件極值問題來解。

（這對(duì)于一類其條件的表達(dá)形式較簡(jiǎn)單的問題，是方便的）（2）Lagrange乘數(shù)法：構(gòu)造輔助函數(shù)，化為無條件極值問題。2．求條件極值的方法（1）代入法：將條件代入函數(shù)，化為無條件42Lagrange乘數(shù)法求z=f(x,y)在滿足條件(x,y)=0

時(shí)的極值，方法為：步驟Ⅰ構(gòu)造函數(shù)

（為待定常數(shù)）步驟Ⅱ解方程組

求出實(shí)數(shù)解(x0,y0)和;步驟Ⅲ判別求出的點(diǎn)(x0,y0)是否為極值點(diǎn)(通常由實(shí)際問題的實(shí)際意義判定)，并求出極值z(mì)0=f(x0,y0)Lagrange乘數(shù)法求z=f(x,y)在滿足條件(x,y43[注記]：以上方法步驟，也適用于三元以上的多元函數(shù)，以及多個(gè)條件的情形。[注記]：以上方法步驟，也適用于三元以上的44例5求表面積為a2，而體積為最大的長(zhǎng)方體的體積，及長(zhǎng)、寬、高的尺寸。解：xyz例5求表面積為a2，而體積為最大的長(zhǎng)xyz45

解得唯一駐點(diǎn)，由題意，知矩形的長(zhǎng)寬高各為時(shí)，其體積最大。令解得唯一駐點(diǎn)，由題意，知46方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價(jià)于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點(diǎn)必滿足設(shè)記例如,故故有機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價(jià)于47引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F

稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點(diǎn)必滿足則極值點(diǎn)滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F稱為拉格朗日(Lagrange)48推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點(diǎn).例如,

求函數(shù)下的極值.在條件機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個(gè)自變量和多個(gè)約束條件的情形.49例6.要設(shè)計(jì)一個(gè)容量為則問題為求x,y,令解方程組解:

設(shè)x,y,z分別表示長(zhǎng)、寬、高,下水箱表面積最小.z使在條件水箱長(zhǎng)、寬、高等于多少時(shí)所用材料最省？的長(zhǎng)方體開口水箱,試問機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁