學案曲線與方程

4/4曲線與方程【學習目標】1．通過曲線與方程概念學習，培養(yǎng)數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．借助數(shù)形結(jié)合理解曲線的方程和方程的曲線，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．3．通過由方程研究曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．4．借助由曲線求它的方程，提升邏輯推理、數(shù)學運算素養(yǎng)．5．了解曲線上的點與方程的解之間的一一對應關系．6．初步學會通過曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)．【學習重難點】1．掌握求軌跡方程的幾種常用方法．（重點、難點）2．理解曲線的方程和方程的曲線的概念．（重點、易混點）【學習過程】一、新知初探1．曲線與方程的概念一般地，一條曲線可以看成動點依某種條件運動的軌跡，所以曲線的方程又常稱為滿足某種條件的點的軌跡方程．一個二元方程總可以通過移項寫成F（x，y）＝0的形式，其中F（x，y）是關于x，y的解析式．在平面直角坐標系中，如果曲線C與方程F（x，y）＝0之間具有如下關系：①曲線C上點的坐標都是方程F（x，y）＝0的解；②以方程F（x，y）＝0的解為坐標的點都在曲線C上．那么，方程F（x，y）＝0叫做曲線的方程；曲線C叫做方程的曲線．2．兩條曲線的交點坐標曲線C1：F（x，y）＝0和曲線C2：G（x，y）＝0的交點坐標為方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Fx，y＝0，,Gx，y＝0))的實數(shù)解．3．解析幾何研究的主要問題（1）由曲線求它的方程．（2）利用方程研究曲線的性質(zhì)．4．求曲線的方程的步驟5．利用曲線的方程研究曲線的對稱性及畫法（1）由已知曲線的方程討論曲線的對稱性設曲線C的方程為：f（x，y）＝0，一般有如下規(guī)律：①如果以－y代替y，方程保持不變，那么曲線關于x軸對稱；②如果以－x代替x，方程保持不變，那么曲線關于y軸對稱；③如果同時以－x代替x，以－y代替y，方程保持不變，那么曲線關于原點對稱．（2）根據(jù)曲線的方程畫曲線①對于這類問題，往往要把方程進行同解變形．注意方程的附加條件和x，y的取值范圍，有時要把它看作y＝f（x）的函數(shù)關系，利用作函數(shù)圖像的方法畫出圖形．②對于變形過程一定要注意其等價性，否則作出的曲線與方程不符．③注意方程隱含的對稱性特征，并充分予以運用，從而減少描點量．二、初試身手1．思考辨析（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）若以方程f（x，y）＝0的解為坐標的點都在曲線上，則方程f（x，y）＝0，即為曲線C的方程．（）（2）方程x＋y－2＝0是以A（2,0），B（0,2）為端點的線段的方程．（）（3）在求曲線方程時，對于同一條曲線，坐標系的建立不同，所得的曲線方程也不一樣．（）（4）求軌跡方程就是求軌跡．（）2．點P（a＋1，a＋4）在曲線y＝x2＋5x＋3上，則a的值為（）A．1或－5 B．－1或－5C．－2或3 D．2或－33．方程xy2－x2y＝2x所表示的曲線（）A．關于x軸對稱 B．關于y軸對稱C．關于原點對稱 D．關于直線x－y＝0對稱4．平面上有三點A（－2，y），Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(y,2)))，C（x，y）若eq\o(AB,\s\up7(→))⊥eq\o(BC,\s\up7(→))，則動點C的軌跡方程為_________．三、合作探究類型1：曲線與方程關系的應用【例1】已知方程x2＋（y－1）2＝10．（1）判斷點P（1，－2），Q（eq\r(2)，3）是否在此方程表示的曲線上；（2）若點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，－m))在此方程表示的曲線上，求m的值．類型2：由方程研究曲線的性質(zhì)【例2】已知曲線C的方程是x4＋y2＝1．關于曲線C的幾何性質(zhì)，給出下列三個結(jié)論：①曲線C關于原點對稱；②曲線C關于直線y＝x對稱；③曲線C所圍成的區(qū)域的面積大于π．其中，所有正確結(jié)論的序號是．類型3：直接法求曲線方程【例3】一個動點到直線x＝8的距離是它到點A（2，0）的距離的2倍，求動點的軌跡方程．類型4：代入法求曲線方程【例4】已知動點M在曲線x2＋y2＝1上移動，M和定點B（3,0）連線的中點為P，求P點的軌跡方程．【學習小結(jié)】1．曲線的方程和方程的曲線必須滿足兩個條件：曲線上點的坐標都是方程的解，以方程的解為坐標的點都在曲線上．2．點（x0，y0）在曲線C上的充要條件是點（x0，y0）適合曲線C的方程．坐標系建立的不同，同一曲線的方程也不相同．3．一般地，求哪個點的軌跡方程，就設哪個點的坐標是（x，y），而不要設成（x1，y1）或（x′，y′）等．4．方程化簡到什么程度，課本上沒有給出明確的規(guī)定，一般指將方程f（x，y）＝0化成x，y的整式．如果化簡過程破壞了同解性，就需要剔除不屬于軌跡上的點，找回屬于軌跡而遺漏的點．求軌跡時需要說明所表示的是什么曲線，求軌跡方程則不必說明．5．“軌跡”與“軌跡方程”是兩個不同的概念：求軌跡方程只要求出方程即可；而求軌跡則應先求出軌跡方程，再說明軌跡的形狀．【精煉反饋】1．若M（1,2）在曲線x2＋ay2＝2上，則a的值為（）A．eq\f(1,4) B．4C．eq\f(1,3) D．32．方程（x2－4）2＋（y2－4）2＝0表示的圖形是_________．3．曲線y＝eq\r(1－x