四年級奧數-教師版-第三講-方陣問題

四年級奧數-教師版-第三講-方陣問題四年級奧數-教師版-第三講-方陣問題四年級奧數-教師版-第三講-方陣問題V:1.0精細整理，僅供參考四年級奧數-教師版-第三講-方陣問題日期：20xx年X月第三講方陣問題知識導航學生排隊，士兵列隊，橫著排叫做行，豎著排叫做列。如果行數與列數都相等，則正好排成一個正方形，這種圖形就叫方隊，也叫做方陣（亦叫乘方問題）。核心公式：1．方陣總人數=最外層每邊人數的平方（方陣問題的核心）2．方陣最外層每邊人數=（方陣最外層總人數÷4）＋13．方陣外一層總人數比內一層總人數多24．去掉一行、一列的總人數＝去掉的每邊人數×2－1例1:學校學生排成一個方陣，最外層的人數是60人，問這個方陣共有學生多少人?解析：方陣問題的核心是求最外層每邊人數。根據四周人數和每邊人數的關系可以知：每邊人數=四周人數÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數，那么整個方陣隊列的總人數就可以求了。方陣最外層每邊人數：60÷4+1=16（人）整個方陣共有學生人數：16×16=256（人）?！眷柟?】某校五年級學生排成一個方陣，最外一層的人數為60人.問方陣外層每邊有多少人這個方陣共有五年級學生多少人

解析：根據四周人數和每邊人數的關系可以知：每邊人數=四周人數÷4+1，可以求出方陣最外層每邊人數，那么整個方陣隊列的總人數就可以求了。解：方陣最外層每邊人數：60÷4＋1=16（人）整個方陣共有學生人數：16×16=256（人）答：方陣最外層每邊有16人，此方陣中共有256人。【鞏固2】晶晶用圍棋子擺成一個三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子14個.晶晶擺這個方陣共用圍棋子多少個？

解析：方陣每向里面一層，每邊的個數就減少2個.知道最外面一層每邊放14個，就可以求第二層及第三層每邊個數.知道各層每邊的個數，就可以求出各層總數。解法1：最外邊一層棋子個數：（14-1）×4=52（個）第二層棋子個數：（14-2-1）×4=44（個）第三層棋子個數：（14-2×2-1）×4=36（個）.擺這個方陣共用棋子：52+44＋36＝132（個）解法2：還可以這樣想：中空方陣總個數=（每邊個數一層數）×層數×4進行計算。（14-3）×3×4=132（個）答：擺這個方陣共需132個圍棋子?！眷柟?】一個正方形的隊列橫豎各減少一排共27人，求這個正方形隊列原來有多少人？解析：依據：去掉一行、一列的總人數＝去掉的每邊人數×2－1可知每邊的人數是：（人）原人數是：（人）答：略。【鞏固4】小紅用棋子擺成一個正方形實心方陣用棋子100枚，最外邊的一層共多少枚棋子？解析：這要用到方陣的公式逆運算，100必然是一個數的平方數因為（人），并且是實心的方陣，所以最外層有10人。例2：參加中學生運動會團體操比賽的運動員排成了一個正方形隊列。如果要使這個正方形隊列減少一行和一列，則要減少33人。問參加團體操表演的運動員有多少人？解析：如下圖表示的是一個五行五列的正方形隊列。從圖中可以看出正方形的每行、每列人數相等；最外層每邊人數是5，去一行、一列則一共要去9人，因而我們可以得到如下公式：去掉一行、一列的總人數＝去掉的每邊人數×2－1··························解：方陣問題的核心是求最外層每邊人數。原題中去掉一行、一列的人數是33，則去掉的一行（或一列）人數＝人方陣的總人數為最外層每邊人數的平方，所以總人數為（人）【鞏固】參加軍訓的學生進行隊列表演，他們排成了一個七行七列的正方形隊列，如果去掉一行一列，請問：要去掉多少名學生還剩下多少名學生解析：如上圖表示的是一個4行4列的實心正方形隊列，從圖中可以看出正方形隊列的特點：（1）正方形隊列每行、每列的人數相等，因此總人數＝每行人數×每列人數。（2）去掉橫豎各一排時，有且只有1人是同時屬于被減去的一行和一列的，如圖中點A所示。因此去掉的總人數＝原每行人數×2－1，或去掉的總人數＝減少后每行人數×2＋1。本題中所求，即去掉的人數＝7×2－1＝13（人）或去掉的人數＝（7－1）×2＋1＝13（人）還剩的人數＝（7－1）×（7－1）＝36（人）或還剩的人數＝7×7－13＝49－13＝36（人）答：如果去掉一行一列，要去掉13名學生，還剩下36名學生。例3：解放軍戰(zhàn)士排成一個每邊12人的中空方陣，共四層，求總人數？

解法1：這樣想：把中空方陣的總人數，看作中實方陣總人數減去空心方陣人數。（1）中實方陣總人數：12×12=144（人）（2）第四層每邊人數：12-2×（4-1）=6（人）（3）空心方陣人數：（6-2）×（6-2）=16（人）（4）中空方陣人數：144-16=128（人）答：總人數是128人。小結：中空方陣總人數=外邊人數×外邊人數-（內邊人數-2）×（內邊人數-2）解法2：這樣想：把中空方陣分成四個相等的長方形。（1）每個長方形的長=外邊人數-層數12-4=8（人）（2）每個長方形的寬是層數：4人（3）總人數：8×4×4=128（人）答：總人數是128人。小結：中空方陣總人數=（每邊人數-層數）×層數×4【鞏固】學校開展聯歡會，要在正方形操場四周插彩旗。四個角上都插一面，每邊插7面。一共要準備多少面旗子？解析：依據求外層個數的公式：（邊數-1）×4（面）答：略。例4：一個街心花園如右圖所示.它由四個大小相等的等邊三角形組成.已知從每個小三角形的頂點開始，到下一個頂點均勻栽有9棵花.問大三角形邊上栽有多少棵花整個花園中共栽多少棵花

解析：①從已知條件中可以知道大三角形的邊長是小三角形邊長的2倍.又知道每個小三角形的邊上均勻栽9株，則大三角形邊上栽的棵數為：（棵）。②又知道這個大三角形三個頂點上栽的一棵花是相鄰的兩條邊公有的，所以大三角形三條邊上共栽花：（棵）。③.再看圖中畫斜線的小三角形三個頂點正好在大三角形的邊上.再計算大三角形栽花棵數時已經計算過一次，所以小三角形每條邊上栽花棵數為（棵）解：大三角形三條邊上共栽花：（棵）中間畫斜線小三角形三條邊上栽花：（棵）整個花壇共栽花：（棵）答：大三角形邊上共栽花48棵，整個花壇共栽花69棵?！眷柟獭客瑢W們做早操，排成一個正方形的方陣，從前、后、左、右數，小明都是第5個，這個方陣共有多少人？解析：如圖，實心圓表示小明的位置，可以知道，這個隊列每行都是9人。解：每行每列數：（人）共有：（人）小明用圍棋子擺了一個五層中空方陣，一共用了200枚棋子，請問：最外邊一層每邊有多少枚棋子？解析1：利用“相鄰兩層之間，每層的總數相差8”的特點，可知最外層共有棋子數：（200+8+8×2+8×3+8×4）÷5＝56（個）最外層每邊的棋子數：56÷4+1＝15（個）解析2：如練習中的圖，把棋子分成相等的四部分。每一部分的棋子數：200÷4＝50（個）每一部分每排的棋子數：50÷5＝10（個）最外層每邊的棋子數：10＋5＝15（個）綜合列式為：200÷4÷5＋5＝15（個）答：最外邊一層每邊有15枚棋子。游行隊伍中，手持鮮花的少先隊員在一輛彩車的四周圍成每邊三層的方陣，最外邊一層每邊12人，請問：彩車周圍的少先隊員共有多少人？解析1：請同學們自己畫一個圖，下圖是一個三層中空方陣的示意圖，不難發(fā)現，有如下特點：（1）外層每邊點的個數都比相鄰內層的每邊點的個數多2；（2）每相鄰兩層之間，點的總數相差8個。最外層隊員的總數：（人）三層共有隊員的總數：==（人）解析2：如下圖可分成相等的四部分，每一部分的人數：（12－3）×3＝9×3＝27（人）三層共有隊員數：27×4＝108（人）答：彩車周圍的少先隊員共有108人。這個問題還有別的解法，請同學們自己試著做一下。課后作業(yè)1、若干名同學排成中實方陣則多12人，若要將這個方陣改擺成縱橫兩個方向各增加1人的方陣則還差9人排滿，請問：原有學生多少人？解析：由于縱橫兩個方向各增加1人，因此不但將剩余12人擺上，而且還差9人，說明一橫行與一豎行的人數總和是12＋9＝21人。又由于縱橫兩個方向各增加1人，因此只有1人同屬于橫行與縱行，在數每邊上的人數時，總被多數一次，因此可以用21人先加上被重復數過的1人，再除以2，也就得到每邊人數。列式為（21＋1）÷2＝11人。求出每邊人數，就可求出假設排滿后的人數，列式為11×11＝121人，用121人減去差的9人就是原來人數，列式為121－9＝112人。也可以根據原來的方陣再加上12，請你試一試。答：原有學生112人。有一隊士兵排成一個中實方陣，最外一層有100人，請問：方陣中一共有士兵多少人？解析：要想求出方陣中一共有多少士兵，就應先求出方陣的最外層每邊有多少人。已知方陣最外一層有100人，用100÷4＝25人，每邊是不是25人呢？不是的，因為平均分成4份后，還需要再加上1，才正好是每邊上的人數，列式應該為100÷4＋1＝26人。因此方陣中一共有26×26＝676人。答：一共有676人。說明：這道題關鍵是求出每邊人數。在求每邊人數時，不要認為和“知道了正方形周長，求邊長”一樣，還必須要加上1。小剛用若干枚棋子擺成一個中實方陣，最外層每邊擺6枚，請問：要擺成這樣一個中實方陣至少需要多少枚棋子最外一層的棋子總數是多少

解析：如圖，最外一層每邊擺6枚，根據方陣每行每列個數相等特點，因此一共有6×6＝36枚棋子。最外一層每邊有6枚，如果用6×4＝24枚，就認為是最外一層棋子數的答案的話，那就錯了。因為正方形每個頂點上的棋子分屬于一行一列，這樣棋子在計算總數時就被多數了一次，這樣的頂點一共有4個，需要把多數的減去，才能得到正確的結果。列式是6×4－4＝20枚。說明：這道題還可以這樣想：數每邊棋子時，可以按上圖先劃分成4個相等的塊，這樣每邊就有5枚了，因此用5×4＝20枚，也可以得到正確答案。按照劃分塊的方法不同，至少還有兩種方法，請同學們試一試。4、一隊學生站成20行20列方陣，如果去掉4行4列，那么要減少多少人

解析1：把去掉4行4列轉化為一行一列的去掉，就可用例6的結論：去掉一行一列的總人數＝原每行人數×2－1反復利用4次這個公式，只要注意“原每行人數”的變化，即可列式為：去掉4行4列的總人數＝20×2－1+（20－1）×2－1＋（20－2）×2－1+（20－3）×2－1＝40－1=38－1+36－1+34－1＝144（人）解析2：我們還可以這樣想：原來是一個7行7列的方陣，若去掉4行4列后，仍剩下一個小正方形方陣，因此去掉4行4列的總人數＝原正方形方陣每邊人數－4，即去掉的總人數＝20×20－（20－4）×（20－4）＝400－256＝144（人）答：去掉4行4列，要減少144人。5、正方形舞廳四周均勻的裝彩燈，如果四個角都裝一盞且每邊裝12盞，那么這個舞廳四周共裝彩燈多少盞？

解析（1）：自己畫圖可以看出，角上的四盞燈各屬于兩行，所以彩燈總數應為：12×4－4＝44（盞）（2）：還可以把彩燈分成相等的四部分，因此彩燈總數為：（12－1）×4＝44（盞）答：這個舞廳四周共裝彩燈44盞。6、“六一”兒童節(jié)前夕，在校園雕塑的周圍，用204盆鮮花圍成了一個每邊三層的方陣，請你求出最外面一層每邊有鮮花多少盆?

解析：分析思路參見例6，最外層每邊人數=總數÷4÷層數+層數204÷4÷3+3=20(盆)答：最外面一層每邊有鮮花20盆7、四年級一班參加運動會入場式，排成一個方陣，最外層一周的人數為20人，請問：方陣最外層每邊的人數是多少這個方陣共有多少人解析：根據四周人數與每邊人數的關系可知：每邊人數=四周人數÷4+1，可以求出這個方陣最外層每邊的人數，那么這個方陣隊列的總人數就可以求出來了。解：（1）方陣最外層每邊的人數：20÷4+1=5+1=6（人）（2）整個方陣共有學生人數：6×6=36（人）答：方陣最外層每邊的人數是6人，這個方陣共有36人。8、明明用圍棋子擺成一個三層中空方陣，如果最外層每邊有圍棋子15個，明明擺這個方陣最里層一周共有多少枚棋子擺這個三層空心方陣共用了多少枚棋子解析：（1）方陣每向里面一層，每邊的個數就減少2個，知道最外面一層，每邊放15個，可以求出最里層每邊的個數，就可以求出最里層一周放棋子的總數。（2）根據最外層每邊放棋子的個數減去這個中空方陣的層數，再乘以層數，再乘以4，計算出這個中空方陣共用棋子多少個。解：（1）最里層一周棋子的個數是：（15-2-2-1）×4=40（個）（2）這個空心方陣共用的棋子數是：（15-3）×3×4=144（個）答：這個方陣最里層一周有40個棋子;擺這個中空方陣共用144個棋子。9、若干戰(zhàn)士排成一個四層中空方陣，只知道最外一層每邊有12人，請你求出總人數。解析：我們可以采用先求出每層人數再求總人數的方法進行。解：由于最外層每邊有12人，因此最外層一共有（12－1）×4＝44人，又根據方陣相鄰兩層，外層比內層人數多8的特點，因此第二層有44－8＝36人，第三層有36－8＝28人，第四層有28－8＝20人。因此一共有44+36+28+20＝128人。還可以這樣想，把四層中空方陣劃分如例5的形狀，我們發(fā)現每個長方形可以看成四排戰(zhàn)士，每排有8人組成。因此一個長方形有8×4＝32人，一共有4個長方形，32×4＝128人。當然還可以先把中空方陣看成中實方陣，然后再減去補上的小中實方陣人數，也可以求出一共有多少人，看成中實方陣后，最外一層每邊12人，因此一共有12×12＝144人。又因為在方陣中相鄰兩個正方形每邊人數相差2，因此第二層每邊有12－2＝10人，第三層每邊有10－2＝8人，第四層每邊有8－2＝6人，第五層每邊有6－2＝4人。因此小的中實方陣有4×4＝16人。144－16＝128人就表示一共有戰(zhàn)士的人數。答：一共有128人。10、有若干盆鮮花擺成一個中空方陣，