任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式(教師版)

任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式(教師版)任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式(教師版)任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式(教師版)資料僅供參考文件編號：2022年4月任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式(教師版)版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：任意角的三角函數(shù)及誘導(dǎo)公式【知識梳理】1．任意角(1)角的分類：①按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角．②按終邊位置不同分為象限角和軸線角．(2)終邊相同的角：終邊與角相同的角可寫成．(3)弧度制：①1弧度的角：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．②規(guī)定：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零，,是以角作為圓心角時所對圓弧的長，為半徑．③用“弧度”做單位來度量角叫做弧度制．比值與所取的的大小無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)．④弧度與角度的換算：弧度；弧度．⑤弧長公式：，扇形面積公式：.2．任意角的三角函數(shù)(1)任意角的三角函數(shù)定義：設(shè)為角終邊上異于原點(diǎn)一點(diǎn)，則角的正弦、余弦、正切分別是：，，特別地，當(dāng)時，，(2)三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號口訣是：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．三角函數(shù)線設(shè)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交于點(diǎn)，過作垂直于軸于.由三角函數(shù)的定義知，點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，其中，，單位圓與軸的正半軸交于點(diǎn)，單位圓在點(diǎn)的切線與的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)，則.我們把有向線段叫做的余弦線、正弦線、正切線.三角函數(shù)線(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)(Ⅳ)有向線段MP為正弦線；有向線段OM為余弦線；有向線段AT為正切線4．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：．(2)商數(shù)關(guān)系：.5．九組誘導(dǎo)公式角函數(shù)對于角“”的三角函數(shù)記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，“奇變偶不變”是指“當(dāng)為奇數(shù)時，正弦變余弦，余弦變正弦；當(dāng)為偶數(shù)時，函數(shù)名不變”．“符號看象限”是指“在的三角函數(shù)值前面加上當(dāng)為銳角時，原函數(shù)值的符號”．【課前小練】1.已知角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為軸的正半軸，若是角終邊上一點(diǎn)，且，則_____________答案：2.若，，則A．B．C．D．答案：3.已知，那么（）A.B.C.D.答案：【例題解析】考點(diǎn)一任意角的三角函數(shù)值例1已知角的終邊過點(diǎn)，求這個角的三個三角函數(shù)值。解：∵，，∴，，變式1已知角的終邊在直線上，求的值．解∵角α的終邊在直線3x＋4y＝0上，∴在角α的終邊上任取一點(diǎn)P(4t，－3t)(t≠0)，則x＝4t，y＝－3t，r＝eq\r(x2＋y2)＝eq\r(4t2＋－3t2)＝5|t|，當(dāng)t>0時，r＝5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,5t)＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,5t)＝eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4)；當(dāng)t<0時，r＝－5t，sinα＝eq\f(y,r)＝eq\f(－3t,－5t)＝eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(x,r)＝eq\f(4t,－5t)＝－eq\f(4,5)，tanα＝eq\f(y,x)＝eq\f(－3t,4t)＝－eq\f(3,4).綜上可知，sinα＝－eq\f(3,5)，cosα＝eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4)或sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，tanα＝－eq\f(3,4).考點(diǎn)二三角函數(shù)線、三角函數(shù)值的符號例2已知，那么角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角答案：C例3函數(shù)的值域是（）A.{-1，1}B.{-1，1，3}C.{-1，3} D.{1，3}答案：C例4已知，則下列命題成立的是（）A．若、是第一象限角，則B．若、是第二象限角，則C．若、是第三象限角，則D．若、是第四象限角，則答案：D變式2的值A(chǔ)．大于 B．小于C．等于 D．不確定答案：B例5已知，求角的集合．思維啟迪：解三角不等式，可以利用三角函數(shù)線．解作直線x＝－eq\f(1,2)交單位圓于C、D兩點(diǎn)，連接OC、OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為{α|2kπ＋eq\f(2,3)π≤α≤2kπ＋eq\f(4,3)π，k∈Z}．探究提高(1)熟練掌握三角函數(shù)在各象限的符號．(2)利用單位圓解三角不等式(組)的一般步驟：①用邊界值定出角的終邊位置；②根據(jù)不等式(組)定出角的范圍；③求交集，找單位圓中公共的部分；④寫出角的表達(dá)式．變式3的定義域?yàn)開_______．答案{x|2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2,3)π，k∈Z}解析∵sinx≥eq\f(\r(3),2)，作直線y＝eq\f(\r(3),2)交單位圓于A、B兩點(diǎn)，連接OA、OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)即為角α的終邊的范圍，故滿足條件的角α的集合為{x|2kπ＋eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(2,3)π，k∈Z}．考點(diǎn)三扇形弧長、面積公式的應(yīng)用例6半徑為，圓心角為所對的弧長為（）. . . .答案：D(易錯題)?點(diǎn)評：強(qiáng)調(diào)角度換成弧度，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)變觀念和習(xí)慣。例7(1)一個半徑為的扇形，若它的周長等于弧所在的半圓的長，那么扇形的圓心角是多少弧度扇形的面積是多少

(2)一扇形的周長為；當(dāng)扇形的圓心角等于多少弧度時，這個扇形的面積最大？

解(1)設(shè)扇形的圓心角為θrad，則扇形的周長是2r＋rθ.依題意：2r＋rθ＝πr，∴θ＝(π－2)rad.∴扇形的面積S＝eq\f(1,2)r2θ＝eq\f(1,2)(π－2)r2.(2)設(shè)扇形的半徑為r，弧長為l，則l＋2r＝20，即l＝20－2r(0<r<10)．∴扇形的面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(20－2r)r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25.∴當(dāng)r＝5時，S有最大值25，此時l＝10，α＝eq\f(l,r)＝2rad.因此，當(dāng)α＝2rad時，扇形的面積取得最大值．變式4已知一扇形的圓心角為，所在圓的半徑為.(1)若，求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積；(2)若扇形的周長是一定值，當(dāng)為多少弧度時，該扇形有最大面積？

思維啟迪：(1)弓形面積可由扇形面積與三角形面積相減得到；(2)建立關(guān)于α的函數(shù)．解(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，則α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10，l＝eq\f(π,3)×10＝eq\f(10π,3)(cm)，S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－eq\f(1,2)×102×sineq\f(π,3)＝eq\f(50,3)π－eq\f(50\r(3),2)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))(cm2)．(2)扇形周長C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝eq\f(C,2＋α)，∴S扇＝eq\f(1,2)α·R2＝eq\f(1,2)α·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(C,2＋α)))2＝eq\f(C2,2)α·eq\f(1,4＋4α＋α2)＝eq\f(C2,2)·eq\f(1,4＋α＋\f(4,α))≤eq\f(C2,16).當(dāng)且僅當(dāng)α2＝4，即α＝2時，扇形面積有最大值eq\f(C2,16).探究提高(1)在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長比在角度制下更方便、簡捷．(2)從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值．(3)記住下列公式：①l＝αR；②S＝eq\f(1,2)lR；③S＝eq\f(1,2)αR2.其中R是扇形的半徑，l是弧長，α(0<α<2π)為圓心角，S是扇形面積．考點(diǎn)四同角三角函數(shù)的關(guān)系題型一:的相互轉(zhuǎn)化知一求二是基礎(chǔ)例8若，，則（）A．B．C．D．答案：B例9（1）已知，且為第三象限角，求的值；（2）已知，求的值；（3）已知，求值：①；②．答案：1）2）當(dāng)為第二象限角時，；當(dāng)為第三象限角時，3）1，變式5已知為某三角形的一內(nèi)角，且，求，，的值．答案：，，∴變式6已知，求下列各式的值：①；②；③答案：①②③（上下齊次是關(guān)鍵）變式7已知，那么的值為 （） A．－2 B．2 C． D．－答案：D題型二:的運(yùn)用常用思路1:構(gòu)建齊次式常用思路2：的轉(zhuǎn)化例10已知,則的值為（）A． B． C． D．答案：B變式8(1)若角是第二象限角，化簡；(2)化簡：.答案：(1)-1(2)1變式9（1）若，且，則_____（2）若是三角形的內(nèi)角，且，試判斷三角形的形狀；答案：（1）（2）鈍角三角形考點(diǎn)五誘導(dǎo)公式題型一利用誘導(dǎo)公式化簡求值例11已知（）A.B.C.D.答案：C變式10已知,則__________;答案：例12，，的值為（）A. B. C. D.—答案：A變式11，且是第四象限的角，那么______答案：（易錯題）變式12已知，則答案：變式13已知：，求值答案：18變式14化簡：；答案：1變式15若,則____________.答案：點(diǎn)評：在學(xué)習(xí)二倍角公式之前，這題可以用誘導(dǎo)公式做，考察函數(shù)解析式的基本概念，出題新穎題型二利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)負(fù)角變正，大角變小，小變銳角例13的值為（）A.B.C.D.答案：C變式16化簡的結(jié)果是()A.B.C.D.答案：C變式17的值為 （）A. B. C. D.答案：D變式18計(jì)算題：答案：【課后練習(xí)】1．已知cosθ·tanθ<0，那么角θ是 ()A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角答案C解析若cosθ>0，tanθ<0，則θ在第四象限；若cosθ<0，tanθ>0，則θ在第三象限，∴選C.2．已知扇形的周長是6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 ()A．1 B．4C．1或4 D．2或4答案C解析設(shè)此扇形的半徑為r，弧長為l，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝6，,\f(1,2)rl＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝2，,l＝2.))從而α＝eq\f(l,r)＝eq\f(4,1)＝4或α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,2)＝1.3．（吳家山中學(xué)·難度C）已知，則下列命題成立的是（）A．若、是第一象限角，則B．若、是第二象限角，則C．若、是第三象限角，則D．若、是第四象限角，則答案：D4．（課本改編題·難度C）若，則（）A.B.C.D.答案：B5．已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，點(diǎn)P(－4m，3m)(m>0)是α終邊上一點(diǎn)，則2sinα＋cosα＝________.答案eq\f(2,5)解析由條件可求得r＝5m，所以sinα＝eq\f(3,5)，cosα＝－eq\f(4,5)，所以2sinα＋cosα＝eq\f(2,5).6．函數(shù)y＝eq\r(2cosx－1)的定義域?yàn)開_______．答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3))