數(shù)學建模思想方法大全及方法適用范圍

數(shù)學建模思想方法大全及方法適用范圍數(shù)學建模思想方法大全及方法適用范圍數(shù)學建模思想方法大全及方法適用范圍資料僅供參考文件編號：2022年4月數(shù)學建模思想方法大全及方法適用范圍版本號：A修改號：1頁次：1.0審核：批準:發(fā)布日期：《數(shù)學建模思想方法大全及方法適用范圍》主講人：厚積薄發(fā)（冰強，BruceJan）數(shù)學中國社區(qū)-專業(yè)的數(shù)學建模網(wǎng)站第一篇：方法適用范圍_0n*p.Q5l

一、統(tǒng)計學方法*t(u*Q0B4R

多元回歸

1、方法概述：

在研究變量之間的相互影響關系模型時候，用到這類方法，具體地說：其可以定量地描

h7W5述某一現(xiàn)象和某些因素之間的函數(shù)關系，將各變量的已知值帶入回歸方程可以求出因變量的估計值，從而可以進行預測等相關研究。3j8N6J-(

T

2、分類7F#C;q%k9N(t4M8|;M

分為兩類：多元線性回歸和非線性線性回歸；其中非線性回歸可以通過一定的變化轉%@(^-化為線性回歸，比如：y=lnx可以轉化為y=uu=lnx來解決；所以這里主要說明多元線性(M1L'回歸應該注意的問題。

3、注意事項

在做回歸的時候，一定要注意兩件事：

（1）回歸方程的顯著性檢驗（可以通過sas和spss來解決）

（2）回歸系數(shù)的顯著性檢驗（可以通過sas和spss來解決）3u4F:i.d

T7a0]9E*f(U,@2j0w

檢驗是很多學生在建模中不注意的地方，好的檢驗結果可以體現(xiàn)出你模型的優(yōu)劣，是完

整論文的體現(xiàn)，所以這點大家一定要注意。$b-~.l)p#F+o'\)f

u

4、使用步驟：.i:L!U6W!v8w5g

（1）根據(jù)已知條件的數(shù)據(jù)，通過預處理得出圖像的大致趨勢或者數(shù)據(jù)之間的大致關系；

（2）選取適當?shù)幕貧w方程；

（3）擬合回歸參數(shù)；

（4）回歸方程顯著性檢驗及回歸系數(shù)顯著性檢驗7n/C+u#y-q

（5）進行后繼研究（如：預測等）4M7j2W%T'\$a9a

聚類分析

1、方法概述:F'e5r%V5S,S0T!s

該方法說的通俗一點就是，將n個樣本，通過適當?shù)姆椒ǎㄟx取方法很多，大家可以自

行查找，可以在數(shù)據(jù)挖掘類的書籍中查找到，這里不再闡述）選取m聚類中心，通過研究-各樣本和各個聚類中心的距離Xij，選擇適當?shù)木垲悩藴?，通常利用最小距離法（一個樣本歸于一個類也就意味著，該樣本距離該類對應的中心距離最近）來聚類，從而可以得到聚類.結果，如果利用sas軟件或者spss軟件來做聚類分析，就可以得到相應的動態(tài)聚類圖。

這種模型的的特點是直觀，容易理解。$u%\+f0F'x&u9R+x)s%T

2、分類!n*i.a;!

T;y3B

聚類有兩種類型：

（1）Q型聚類：即對樣本聚類；/q/e"^0s7r3C.a*M2\

（2）R型聚類：即對變量聚類；'U)w+Q0D*J6N&y'H通常聚類中衡量標準的選取有兩種：9W9|8m0q$Y

（1）相似系數(shù)法-e(p

f'^!f0B;|)~

（2）距離法

聚類方法：*D)v*s-e:V&m

（1）最短距離法1l(R!Z!H9_*y

（2）最長距離法

（3）中間距離法&i*T8z

X)b.e9p

（4）重心法7T(`2D

J!B)p&

（5）類平均法

（6）可變類平均法7T$S-X:G(r/v'm

（7）可變法"B&M'j

l%q"W;P

（8）利差平均和法

在具體做題中，適當選區(qū)方法；

3、注意事項+V%T;!

_)U3R:X0h

在樣本量比較大時，要得到聚類結果就顯得不是很容易，這時需要根據(jù)背景知識和相關(G的其他方法輔助處理。

4、方法步驟

（1）首先把每個樣本自成一類；

（2）選取適當?shù)暮饬繕藴?，得到衡量矩陣，比如說：距離矩陣或相似性矩陣，找到矩/G!A.]"i!'

G.p"k陣中最小的元素，將該元素對應的兩個類歸為一類，9T!K.F-v"Z&M-n

（3）重新計算類間距離，得到衡量矩陣

（4）重復第2步，直到只剩下一個類；

補充：聚類分析是一種無監(jiān)督的分類，下面將介紹有監(jiān)督的分類。

數(shù)據(jù)分類.K5C

z&m2F*V"

3n!x)a

1、方法概述

數(shù)據(jù)分類是一種典型的有監(jiān)督的機器學習方法，其目的是從一組已知類別的數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)0r3v,分類模型，以預測新數(shù)據(jù)的未知類別。這里需要說明的是：預測和分類是有區(qū)別的，預測是

對數(shù)據(jù)的預測，而分類是類別的預測。

2、分類

方法：&{3]#k0C7y'G:L0|.L&H8{

（1）神經(jīng)網(wǎng)路7V)z3L2[$l:G7t.r5{

（2）決策樹（這里不再闡述，有興趣的同學，可以參考數(shù)據(jù)挖掘和數(shù)據(jù)倉庫相關書籍）

3、注意事項

神經(jīng)網(wǎng)路適用于下列情況的分類：

（1）數(shù)據(jù)量比較小，缺少足夠的樣本建立數(shù)學模型；1g9}+o3\!E+`#a

（2）數(shù)據(jù)的結構難以用傳統(tǒng)的統(tǒng)計方法來描述

（3）分類模型難以表示為傳統(tǒng)的統(tǒng)計模型

神經(jīng)網(wǎng)路的優(yōu)點：

分類準確度高，并行分布處理能力強，對噪聲數(shù)據(jù)有較強的魯棒性和容錯能力，能#s$h-s$s.d+U&|#Q,Z

夠充分逼近復雜的非線性關系，具備聯(lián)想記憶的功能等。

神經(jīng)網(wǎng)路缺點：

需要大量的參數(shù)，不能觀察中間學習過程，輸出結果較難解釋，會影響到結果的可'E'L"i7Y(r7Y5H0K$G(}信度，需要較長的學習時間，當數(shù)據(jù)量較大的時候，學習速度會制約其應用。

4、步驟

（1）初始化全系數(shù)

（2）輸入訓練樣本;W#u9C#X+`1]-V(k+w

（3）計算實際輸出值

（4）計算實際輸出值和期望輸出值之間的誤差)i2I0r1!

{#G3S

（5）用誤差去修改權系數(shù)3r+U6G3M%X$K

k(b3l.{7L

（6）判斷是否滿足終止條件，如果滿足終止，否則進入第二步'j3\*F!Q*K5f5X!O$U1y#q

判別分析

1、概述1{'p*N1L#O6H9T7[7

其是基于已知類別的訓練樣本，對未知類別的樣本判別的一種統(tǒng)計方法，也是一種有監(jiān)0d1v3N6P7X督的學習方法，是分類的一個子方法！

具體是：在研究已經(jīng)過分類的樣本基礎上，根據(jù)某些判別分析方法建立判別式，然后對未知分類的樣本進行分類！

2、分類*D!o:G(N6o,\3`5m

根據(jù)判別分析方法的不同，可分為下面幾類：$D0I*E$j/H%[

（1）距離判別法

（2）Fisher判別法

（3）Bayes判別法,U(m)P3e$M.X.S+b"X

（4）逐步判別法

關于這幾類的方法的介紹，大家可以參考《多元統(tǒng)計學》，其中比較常用的是bayes判2R$R/別法和逐步判別法

3、注意事項：

判別分析主要針對的是有監(jiān)督學習的分類問題。共有四種方法，這里重點注意其優(yōu)缺點：0`7（1）距離判別方法簡單容易理解，但是它將總體等概率看待，沒有差異性；2H-A;V/}&K#g

（2）Bayes判別法有效地解決了距離判別法的不足，即：其考慮了先驗概率—

—所以通常這種方法在實際中應用比較多！

（3）在進行判別分析之前，應首先檢驗各類均值是不是有差異（因為判別分析

要求給定的樣本數(shù)據(jù)必須有明顯的差異），如果檢驗后某兩個總體的差異不

明顯，應將這兩個總體合為一個總體，再由剩下的互不相同的總體重現(xiàn)建

立判別分析函數(shù)。

（4）這里說明下Fisher判別法和bayes判別法的使用要求：兩者對總體的數(shù)據(jù)

的分布要求不同，具體的，F(xiàn)ishe要求對數(shù)據(jù)分布沒有特殊要求，而bayes

則要求數(shù)據(jù)分布是多元正態(tài)分布，但實際中卻沒有這么嚴格！

（5）可以利用spss，sas等軟件來輕松實現(xiàn)

4、方法步驟

這里以bayes判別法為例講述

（1）計算各類中變量的均值xj及均值向量xh，各變量的總均值xi及均值向量x(H:^:o"n-\*）（）2）計算類內(nèi)協(xié)方差及其逆矩陣

（3）計算bayes判別函數(shù)中，各個變量的系數(shù)及常數(shù)項并寫出判別函數(shù)#

9g-](b$o-r6l1U#g3V（4）計算類內(nèi)協(xié)方差矩陣及各總協(xié)方差矩陣做多個變量的全體判別效果的檢驗%s0k.y5r1b!_:k&g5）做各個變量的判別能力檢驗7B([8_&v9e:c#e/X

（6）判別樣本應屬于的類別)|-L6S7P

o.q4i1^

^

主成分分析

1、概述&T6X.S2l;U$b!{;o:Z,o

主成分分析是一種降維數(shù)的數(shù)學方法，具體就是，通過降維技術獎多個變量化為少數(shù)幾

個主成分的統(tǒng)計分析方法。在建模中，主要用于降維，系統(tǒng)評估，回歸分析，加權分析等等。"J1Y$D;C&e8W+q$e;T9B&l

2、分類（無）

3、注意事項5i/R$s!b-b&d

在應用主成分分析時候，應該注意：8V3d:U%R._

J,|.}7^

（1）綜合指標彼此獨立或者不想關

（2）每個綜合指標所反映的各個樣本的總信息量等于對應特征向量的特征值。

通常要選取的綜合指標的特征值貢獻率之和應為80%以上

（3）其在應用上側重于信息貢獻影響力的綜合評價6h

[2^3L&c

（4）當主成分因子負荷的符號有正也有負的時候，綜合評價的函數(shù)意義就不明

確！

4、方法步驟-y;L0b+@&Y4l

大家可以參考《多元統(tǒng)計學》這本書籍，在這里就不做闡述/`:{$O7l

y5c0T7Z%L$t

因子分析*u3W3P.b(j0L3t8~

1、概述%U*M'

Y7p7r:i&q

其是也是將變量總和為數(shù)量較少的幾個因子，是降維的一種數(shù)學技術！它和主成分分析,`)u&的最大區(qū)別是：其是一種探索性分析方法，即：通過用最少個數(shù)的幾個不可觀察的變量來說(v!k(I1];O(D6t,F

明出現(xiàn)在可觀察變量中的相關模型（有點類似于前面講述的分類和聚類的區(qū)別）9j3m'q2L7q3]"提供了一種有效的利用數(shù)學模型來解釋事物之間的關系，體現(xiàn)出數(shù)據(jù)挖掘的一點精

神！他可以用來解決降維，系統(tǒng)評估，加權分析等方法。

2、分類

因子分析是R型，即對變量研究"*

u.L,n4Q$q$y

d-R!^

3、注意事項(c9r9J;f"E3f&B.f1\"|

（1）其不是對研究總體的變量的降維，而是根據(jù)原始變量信息構造新的變量，作為共"L5w:e&F9a

同因子)y"P!t)_3g

O0q#l:v/X

（2）它通過旋轉可以使得因子變量具有可解釋性&R/i+t4K,`5v9Y,w8l'I3I

（3）因子分析和主成分分析的區(qū)別和聯(lián)系

<1>兩者都是降維數(shù)學技術，前者是后者的推廣和發(fā)展&O1U2`%@9Z,\5o6~4S

<2>主成分分析只是一般的變量替換，其始終是基于原始變量研究數(shù)據(jù)的模型'a!Y+e$V+R#h,I

規(guī)律；而因子分析則是通過挖掘出新的少數(shù)變量，來研究的一種方法，有點像

數(shù)據(jù)挖掘中的關聯(lián)關則發(fā)現(xiàn)！6j$O4n1['w-@*q

4、方法步驟

（略）大家可以去論壇上下載相關電子資源，也可以參考《多元統(tǒng)計學》(j2u'^8l)`,[

殘差分析4^0X/Z3n8f#{

F2u9L5];b

1、概述

在實際問題中，由于觀察人員的粗心或偶然因素的干擾。常會使我們所得到的數(shù)據(jù)不完"C7p;全可靠,即出現(xiàn)異常數(shù)據(jù)。有時即使通過相關系數(shù)或F檢驗證實回歸方程可靠，也不能排除

數(shù)據(jù)存在上述問題。殘差分析的目的就在于解決這一問題。所謂殘差是指實際觀察值與回歸

估計值的差。

2、分類

無

3、應用

（1）通過殘差分析來排除異常數(shù)據(jù)

（2）通過殘差分析來檢驗模型的可靠性5a$R&F9[-}#c7K

i

還有很多應用，大家在使用過程中據(jù)情況選取，靈活應用！&f$m"z2s2MR:`#h;_-D&d0e&e

1．8典型相關分析

1、概述

前面介紹的方法主要是一個變量和多個變量之間的關系，而典型相關分析研究的是多個1M變量和多個變量之間的關系，或者是一組變量和一組變量之間關系！其可以揭示兩組變量之

間的關系，從而供大家研究兩個現(xiàn)象之間的關系，例如：蔬菜的產(chǎn)出水平和影響產(chǎn)出水平的:變量之間的關系！5D0l!X(l-|$V;w

2、分類&h8h%a(a,A5K3M#t6q

多對多的變量關系研究！

3、注意事項

（1）其可以很好地解決組合相關性的問題(C/M+\8D'O

（2）其還局限于兩組變量的研究，而且要求這兩組變量都是連續(xù)變量且需服從多元正"S+E&g"y7}5態(tài)分布

時間序列

1、概述7o6@'}7x'n'I

時間序列預測法是一種定量分析方法，它是在時間序列變量分析的基礎上，運用一定的

數(shù)學方法建立預測模型，使時間趨勢向外延伸，從而預測未來市場的發(fā)展變化趨勢，確

定變量預測值。

其基本特點是：假定事物的過去趨勢會延伸到未來；預測所依據(jù)的數(shù)據(jù)具有不規(guī)則性；

撇開市場發(fā)展之間的因果關系。9_;V3L#L.M4X

2、分類%|4[4{/_;~0@&u

時間序列的變動形態(tài)一般分為四種：長期趨勢變動，季節(jié)變動，循環(huán)變動，不規(guī)則變動。9u7n*]

K8

7]&Y#C;方法分類：)k#W5O$q5V*V+e

j

（1）平均數(shù)預測（簡單算術平均法，加權算術平均法，幾何平均數(shù)法）.

L

i$C#x

（2）移動平均數(shù)預測（一次移動平均法，二次移動平均法）:k%E1q&~-F6\

|

（3）指數(shù)平滑法預測（一次，二次，三次指數(shù)平滑法）

（4）趨勢法預測（分割平均法，最小二乘法，三點法）%g-\!e*r-C)^1k;X0y

（5）季節(jié)變動法（簡單平均法，季節(jié)比例法）-L.h:u3m8{

3．注意事項

（1）季節(jié)變動法預測需要籌集至少三年以上的資料+X!\)`9E:Q-P9v:\)j

（2）移動平均法在短期預測中較準確，長期預測中效果較差；

（3）移動平均可以消除或減少時間序列數(shù)據(jù)受偶然性因素干擾而產(chǎn)生的隨機變動影響。-U;X;X'L4h-j!|

（4）一次移動平均法適用于具有明顯線性趨勢的時間序列數(shù)據(jù)的預測；一次移動平均

法只能用來對下一期進行預測，不能用于長期預測，必須選擇合理的移動跨期，跨期越*r!J4d3W

u1Q9Z4`$k

大對預測的平滑影響也越大，移動平均數(shù)滯后于實際數(shù)據(jù)的偏差也越大?？缙谔t又

不能有效消除偶然因素的影響?？缙谌≈悼稍?~20間選取。

（5）二次移動平均法與一次移動平均法相比，其優(yōu)點是大大減少了滯后偏差，使預測8s;{8P*f&o+[)L

準確性提高；二次移動平均只適用于短期預測。而且只用于的情形。0\7R7d:x;y.C1M

（6）最小二乘法即適用于直線趨勢的預測，也適用于曲線趨勢的預測。

還有一些注意事項，這里就不在意義羅列

4．方法步驟$o

F4^6_6U,c;E*@(F4v

（略）-Z2k/E,U%p4t,|

統(tǒng)計學的分析方法到這先告一段落！

Q8A5q7v:N(W

下面進入優(yōu)化的方法介紹：

二、優(yōu)化方法5c&z1h5H7f!^&`

Q3m

1、概述*m6I/C8r,`:U

N

在一系列的條件限制下，尋求最優(yōu)方案，使得目標達到最優(yōu)的問題統(tǒng)稱為優(yōu)化問題。解%s6J3m)z4o)N

決這類問題的方法，自然就稱之為優(yōu)化方法，又成為數(shù)學規(guī)劃！其是運籌學的一個重要分支！

2、分類*G&q7x,s,Z(u5i1c)N

優(yōu)化問題可以歸結為優(yōu)化模型，按照優(yōu)化模型求解方法的不同，可以分為以下類別：

（1）按照有無約束條件：無約束和約束最優(yōu)化問題

（2）按照決策變量是否取之連續(xù)分為：

a)數(shù)學規(guī)劃或連續(xù)規(guī)劃：LP,NLP,QP*@&H6a5o7k&z'L&\

b)離散優(yōu)化或組合優(yōu)化：IP3E4{*o4g

^2L

（3）單目標規(guī)劃和多目標規(guī)劃

X7Q*s1[#e

]-Q2}1h

（4）確定性規(guī)劃和不確定性規(guī)劃

（5）目標規(guī)劃，動態(tài)規(guī)劃，非線性規(guī)劃，多目標規(guī)劃等&|*x!S9I0r4t'Z8Y+n

3、注意事項(V9a0h

b5U'c'L

（1）約束優(yōu)化問題可以轉化為無約束優(yōu)化問題來解決:]0k(B;O-S3~%G!I1E-S#D#O

（2）多目標規(guī)劃可以通過適當?shù)姆椒ㄞD化為但目標規(guī)劃來解決

（3）非線性規(guī)劃，在一定的條件下，可以近似為線性規(guī)劃來解決3c#|-\'r$y)d)k1w.G:O+h

（4）不確定性規(guī)劃可以通過適當?shù)募记赊D化為確定性方法解決*n1A(x2q.N8P9a1E

這些轉化，大家可以參閱優(yōu)秀論文，注意學取人家的經(jīng)驗，從而建立自己的能力提升！

也可以參考相關優(yōu)化書籍和運籌學書籍來學習，書上都有介紹！,],_

[8[:q

4、步驟8l'd4{%k4S6`/g%k.e#@

簡要概括-N4S$O:{0y!^-s;a0K$m%Y

（1）建立規(guī)劃模型

（2）選擇方法2i-s!O,U3z"h0f

W'n

（3）結果解釋2S6U;{3t1@4y,U

@;S:M

三、排隊論

1.概述7{(k

o0v;T-l(N8]4`.|

在我們的生活中，經(jīng)常會做和排隊想關的事情，比如：銀行等待取錢，醫(yī)院掛號排隊，

理發(fā)排隊等等，都會涉及到排隊問題，并且2009年國賽B題第五小題就考了和排隊論相關

的問題。

排隊論是一門研究擁擠現(xiàn)象的學科，具體就是研究各種排隊系統(tǒng)概率基礎上，解決相應3|%d"I7的排隊系統(tǒng)的最優(yōu)設計和最優(yōu)控制問題（注意：其實解決排隊最優(yōu)設計和最優(yōu)控制的問題）

2、分類/G-g9e(p;H)D2}

（1）泊松輸入-指數(shù)服務排隊模型3C3K+a%~/U5l7C

（2）M/M/1等待排隊模型9N'y'a(Z5L)C-U&u"~

（3）M/M/S/inf模型（2009年B題的排隊就是一個這種模型）

3、注意事項:h)A%|/c,G4d;x

（1）排隊系統(tǒng)常見的優(yōu)化問題在于

A）確定最優(yōu)服務率/D/\;N3n9Z'~

b)確定最佳服務臺數(shù)量

c）選擇最為合適的服務規(guī)則

d）確定上述幾個量的最優(yōu)組合

（2）在使用時候，應該注意模型的選擇，模型選擇好后，注意顧客到達和服務時間分

布的選擇和檢驗

4、步驟

（略）

四：智能算法的優(yōu)化應用*P7H%o({.m(u#i(o1~

遺傳算法，蟻群算法，貪婪算法，模擬退火算法，回溯法，分支定界法，禁忌搜索算法，:n;粒子群算法等啟發(fā)式算法

這類算法在實際中應謹慎使用，固然這類算法有其好處，但是其不確定遠遠大于其確定

性，所以大家在比賽中慎重使用，最好使用成熟的算法！

五、微分建模

|+V"`0b

L6h7_!c%H

1、使用背景介紹

我們通常會在研究一些問題時候，涉及到某些變量的變化率或導數(shù)，這樣所得到的變量

之間的關系就是微分方程模型，其反映的是變量之間的間接關系，通過求解方程，就可以得2t#q$c*S&f,^&m-y8r

到直接關系！

2、分類"N4`,X

@0u

按照求解方法的不同分為：精確求解，求數(shù)值解，定性分析方法

3、注意事項

（1）微分方程的集中建立方法：

A、根據(jù)規(guī)律建立方程9H8{8_&q%A'b,P9}

B、微元法,V2s%n;~2}8p4I#\+s

C、模擬近似

（2）幾種常見的微分方程模型：

人口增長模型，傳染病模型，捕魚模型等

4、步驟

（略）2r+q

a;F1\4B-z.x3#

`1B:\

六、差分方程

1、使用背景的介紹

它是研究離散變量的變化規(guī)律，具體就是：根據(jù)實際的規(guī)律性質(zhì)，平衡關系等，建立離

散變量所滿足的平很關系式，從而建立差分方程模型。通過求出和分析解，研究方程解的性2O9p6g2w7}'o

E5@-A

質(zhì)，比如，平穩(wěn)性，漸進性，振動性，周期性等等

2、分類

幾個重要的差分方程模型：1c)a/m'Y5e7I

商業(yè)貸款，離散形式的人口模型，汽車租賃，動物養(yǎng)殖問題等經(jīng)典模型，大家可以+@-c

S;h2n,參考，然后對差分方程模型有個全面的認識%`+^!t9C0_![

七、圖論7Z%`)Z+S8w1P6i0Z

由于圖論設計的內(nèi)容比較多，系統(tǒng)龐雜，而且模型比較靈活，所以在這里不做介紹，大家可

以自行研究。;W%c9g,L0}$\

八、其他方法介紹)k+{1N.a!O6U,S3@!w7t

灰色系統(tǒng)主要用來解決少數(shù)據(jù)的預測問題；層次分析法主要用來解決綜合分析類的問

題；模糊數(shù)學可以用來做模糊綜合評判，模糊聚類分析和模糊線性規(guī)劃；蒙特卡洛方法主要:]9w9p#j.s#m4F*_!r:w5Q

是一種計算機仿真方法，通常在排隊論問題使用；神經(jīng)網(wǎng)路可以用來分類，預測，建立模型

等等；還有一些其他的方法，這里就不一一介紹了。'O)b!/

t2c#j

這里我再補充一點：

預測方法的比較：

一般小樣本內(nèi)部預測用插值和擬合，大樣本內(nèi)部預測用回歸模型。

移動平均法屬于時間序列分析的內(nèi)容，時間序列分析一般用作大樣本外部預測，就是對未來

的預測，灰色理論用于小樣本的外部預測，神經(jīng)網(wǎng)絡用于超大樣本的未來預測。

可以把這些預測方法歸納一下，對于建模，主要考慮這些方法的適用性。

上面主要是對《建模方法的使用范圍》做了一定的介紹，關于《數(shù)學建模中的思想方法大全》，

大家可以參考《數(shù)學建模中的思想方法大全》

l-z1s-P/T

第二篇《數(shù)學建模思想方法大全》

在數(shù)學建模中常用的方法：類比法、二分法、量綱分析法、差分法、變分法、圖論法、層次"分析法、數(shù)據(jù)擬合法、回歸分析法、數(shù)學規(guī)劃（線性規(guī)劃，非線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，動態(tài)規(guī)劃，目標規(guī)劃）、機理分析、排隊方法、對策方法、決策方法、模糊評判方法、時間序列方法、灰色理論方法、現(xiàn)代優(yōu)化算法（禁忌搜索算法，模擬退火算法，遺傳算法，神經(jīng)網(wǎng)絡）。*用這些方法可以解下列一些模型：優(yōu)化模型、微分方程模型、統(tǒng)計模型、概率模型、圖論

模型、決策模型。擬合與插值方法（給出一批數(shù)據(jù)點，確定滿足特定要求的曲線或者曲面，從而反映對象整體的變化趨勢）：matlab可以實現(xiàn)一元函數(shù)，包括多項式和非線性函數(shù)的擬合以及多元函數(shù)的;l'l擬合，即回歸分析，從而確定函數(shù)；同時也可以用matlab實現(xiàn)分段線性、多項式、樣條以及多維插值。.k;h%M:Q)g0C/G,{

在優(yōu)化方法中，決策變量、目標函數(shù)（盡量簡單、光滑）、約束條件、求解方法是四個關鍵

因素。其中包括無約束規(guī)則（用fminserch、fminbnd實現(xiàn)）線性規(guī)則（用linprog實現(xiàn)）非

線性規(guī)則、（用fmincon實現(xiàn)）多目標規(guī)劃（有目標加權、效用函數(shù)）動態(tài)規(guī)劃（倒向和正向）整數(shù)規(guī)劃。

回歸分析：對具有相關關系的現(xiàn)象，根據(jù)其關系形態(tài)，選擇一個合適的數(shù)學模型，用來近似'地表示變量間的平均變化關系的一種統(tǒng)計方法（一元線性回歸、多元線性回歸、非線性回

歸），回歸分析在一組數(shù)據(jù)的基礎上研究這樣幾個問題：建立因變量與自變量之間的回歸模

型（經(jīng)驗公式）；對回歸模型的可信度進行檢驗；判斷每個自變量對因變量的影響是否顯著；

判斷回歸模型是否適合這組數(shù)據(jù)；利用回歸模型對進行預報或控制。相對應的有線性回歸多元二項式回歸、非線性回歸。

逐步回歸分析：從一個自變量開始，視自變量作用的顯著程度，從大到地依次逐個引入回歸(方程：當引入的自變量由于后面變量的引入而變得不顯著時，要將其剔除掉；引入一個自變

量或從回歸方程中剔除一個自變量，為逐步回歸的一步；對于每一步都要進行值檢驗，以確

保每次引入新的顯著性變量前回歸方程中只包含對作用顯著的變量；這個過程反復進行，直

至既無不顯著的變量從回歸方程中剔除，又無顯著變量可引入回歸方程時為止。（主要用SAS

來實現(xiàn)，也可以用matlab軟件來實現(xiàn)）。4j8N2\"c-q

U$J+e

聚類分析：所研究的樣本或者變量之間存在程度不同的相似性，要求設法找出一些能夠度量

它們之間相似程度的統(tǒng)計量作為分類的依據(jù)，再利用這些量將樣本或者變量進行分類。

系統(tǒng)聚類分析—將n個樣本或者n個指標看成n類，一類包括一個樣本或者指標，然后將性質(zhì)最接近的兩類合并成為一個新類，依此類推。最終可以按照需要來決定分多少類，每類有多少樣本（指標）。8O-c3o3C"h3Q*c$\4D

系統(tǒng)聚類方法步驟：

1.計算n個樣本兩兩之間的距離

2.構成n個類，每類只包含一個樣品5|5v*]6x:Z"k*f

3.合并距離最近的兩類為一個新類,x!Z)_

T;z3s#i5X8N7I

4.計算新類與當前各類的距離（新類與當前類的距離等于當前類與組合類中包含的類!`*X&[;p2A.m

的距離最小值），若類的個數(shù)等于1，轉5，否則轉3:A,w0D3Z(Q5&

_"[!E+d2y

5.畫聚類圖7o!b5|1`'y

6.決定類的個數(shù)和類。9c8"

N;f0T0P;d:K+M#v

判別分析：在已知研究對象分成若干類型，并已取得各種類型的一批已知樣品的觀測數(shù)據(jù)，

在此基礎上根據(jù)某些準則建立判別式，然后對未知類型的樣品進行判別分類。

距離判別法—首先根據(jù)已知分類的數(shù)據(jù)，分別計算各類的重心，計算新個體到每類的距離，

確定最短的距離（歐氏距離、馬氏距離）7n*d!x3F'L(K

Fisher判別法—利用已知類別個體的指標構造判別式（同類差別較小、不同類差別較大），

按照判別式的值判斷新個體的類別

Bayes判別法—計算新給樣品屬于各總體的條件概率，比較概率的大小，然后將新樣品判歸+I.^5j2c6{;Y&Y,M8w

為來自概率最大的總體*l#B1c+V%v"z

模糊數(shù)學：研究和處理模糊性現(xiàn)象的數(shù)學（概念與其對立面之間沒有一條明確的分界線）

與模糊數(shù)學相關的問題：模糊分類問題—已知若干個相互之間不分明的模糊概念，需要判斷

某個確定事物用哪一個模糊概念來反映更合理準確；模糊相似選擇—按某種性質(zhì)對一組事5W1~.Q*^5p

物或對象排序是一類常見的問題，但是用來比較的性質(zhì)具有邊界不分明的模糊性；模糊聚類#`/~3i

^;m){

Q9]

分析—根據(jù)研究對象本身的屬性構造模糊矩陣，在此基礎上根據(jù)一定的隸屬度來確定其分類%[5B9H%l#^5j

關系；模糊層次分析法—兩兩比較指標的確定；模糊綜合評判—綜合評判就是對受到多個

因素制約的事物或對象作出一個總的評價，如產(chǎn)品質(zhì)量評定、科技成果鑒定、某種作物種植

適應性的評價等，都屬于綜合評判問題。由于從多方面對事物進行評價難免帶有模糊性和主

觀性，采用模糊數(shù)學的方法進行綜合評判將使結果盡量客觀從而取得更好的實際效果。8o-f(D7d5n.D/b:R

時間序列是按時間順序排列的、隨時間變化且相互關聯(lián)的數(shù)據(jù)序列—通過對預測目標自身時:D;N0A

D9A2@

j

間序列的處理，來研究其變化趨勢（長期趨勢變動、季節(jié)變動、循環(huán)變動、不規(guī)則變動）

自回歸模型：一般自回歸模型AR(n)—系統(tǒng)在時刻t的響應X(t)僅與其以前時刻的響應

X(t-1),…，X(t-n)有關，而與其以前時刻進入系統(tǒng)的擾動無關；移動平均模型MA(m)—系統(tǒng)1z4i!v%l8y(b2a3a

在時刻t的響應X(t)，與其以前任何時刻的響應無關，而與其以前時刻進入系統(tǒng)的擾動

a(t-1),…,a(t-m)存在著一定的相關關系；自回歸移動平均模型ARMA(n,m)—系統(tǒng)在時刻t的

響應X(t)，不僅與其前n個時刻的自身值有關，而且還與其前m個時刻進入系統(tǒng)的擾動存在

`/Z*\

x'd7c

一定的依存關系。.G+|9]&f,l

時間序列建模的基本步驟

1.數(shù)據(jù)的預處理：數(shù)據(jù)的剔取及提取趨勢項

2.取n=1，擬合ARMA(2n,2n-1)（即ARMA(2,1)）模型4R%B0X8M'i*t9Q7]0g(O

3.n=n+1，擬合A