概率論與數(shù)理統(tǒng)計老師-第二章

這一章我們要建立樣本點和實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系,即引進隨機變量,從而能用分析的知識解決概率問題.第二章隨機變量及其分布ReS離散型隨機變量的概率分布

隨機變量的分布函數(shù)

連續(xù)型隨機變量及其概率密度

隨機變量的函數(shù)的分布第二章隨機變量及其分布

隨機變量的概念返回主目錄§1隨機變量的概念第二章隨機變量及其分布例

1袋中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)．我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為§1隨機變量返回主目錄例

1（續(xù)）我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3．因此，X是一個變量．

X的取值情況可由下表給出：第二章隨機變量及其分布返回主目錄§1隨機變量例

1（續(xù)）第二章隨機變量及其分布返回主目錄§1隨機變量例

1（續(xù)）由于試驗結(jié)果具有隨機性，所以X的取值帶有隨機性。故，我們稱X為隨機變量．第二章隨機變量及其分布返回主目錄由上表可以看出，X取什么值依賴于試驗結(jié)果，即該隨機試驗的每一個結(jié)果都對應(yīng)著變量X的一個確定的取值，因此變量X是樣本空間上的實值單值函數(shù)：§1隨機變量我們定義了隨機變量后，就可以用隨機變量的取值情況來刻劃隨機事件．例如

表示至少取出2個黑球這一事件，等等．第二章隨機變量及其分布例

1（續(xù)）

所以，{X=2}

表示取出2個黑球這一事件。返回主目錄§1隨機變量隨機變量的定義設(shè)E是一個隨機試驗，S是其樣本空間．我們稱樣本空間S上的實值單值函數(shù)為一個隨機變量，如果對于任意的實數(shù)，集合都是隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量ReS(){}{}xXxeXe￡=￡：說明第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例

2擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù),S={1,2,3,4,5,6}令X=出現(xiàn)的點數(shù)

,則X就是一個隨機變量．它的可能取值為1，2，3，4，5，6．

表示擲出的點數(shù)不超過4這一隨機事件；

表示擲出的點數(shù)為偶數(shù)這一隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄即例

3一批產(chǎn)品有50件，其中有8件次品，42件正品．現(xiàn)從中取出6件，令：

X：取出6件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X就是一個隨機變量．它的取值為0，1，2，…，6．

表示取出的產(chǎn)品全是正品這一隨機事件；

表示取出的產(chǎn)品至少有一件這一隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例

4上午8:00～9:00在某路口觀察通過的汽車數(shù)，令：

Y：該時間間隔內(nèi)通過的汽車數(shù)．則Y就是一個隨機變量．它的取值為0，1，…．

表示通過的汽車數(shù)小于100輛這一隨機事件；

表示通過的汽車數(shù)大于50輛但不超過100輛這一隨機事件．注意

Y的取值是可列無窮個！第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例

5觀察某生物的壽命（單位：小時），令：

Z：該生物的壽命．則Z就是一個隨機變量．它的取值為所有非負實數(shù)．表示該生物的壽命大于3000小時這一隨機事件．表示該生物的壽命不超過1500小時這一隨機事件．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量注意

Z的取值是不可列無窮個！返回主目錄例

6擲一枚硬幣，觀察正面，反面出現(xiàn)的情況.令：則X是一個隨機變量．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量說明在同一個樣本空間上可以定義不同的隨機變量．返回主目錄例

7擲一枚骰子，在例2中，我們定義了隨機變量X表示出現(xiàn)的點數(shù)．我們還可以定義其它的隨機變量，例如我們可以定義：等等．第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄一.離散型隨機變量的概念與分布律第二章隨機變量及其分布離散型隨機變量的定義如果隨機變量X的取值是有限個或可列無窮個，則稱X為離散型隨機變量．§2離散型隨機變量的概率分布返回主目錄

如：上節(jié)例1，2，3，4，6定義的隨機變量均為離散型隨機變量．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量離散型隨機變量的分布律設(shè)離散型隨機變量X的所有可能取值為并設(shè)則稱上式為離散型隨機變量X的分布律．離散型隨機變量X的分布律還可寫成矩陣的形式．返回主目錄上節(jié)例

2擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù),令X=出現(xiàn)的點數(shù)

,則X就是一個離散型隨機變量．它的所有可能取為1，2，3，4，5，6.第二章隨機變量及其分布返回主目錄X的分布率為說明1.離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃．即離散型隨機變量可完全由它的可能取值以及取這些值的概率唯一確定．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量離散型隨機變量分布律的性質(zhì):返回主目錄例

1從1～10這10個數(shù)字中隨機取出5個數(shù)字，令：X：取出的5個數(shù)字中的最大值．試求X的分布律．解：

X的取值為5，6，7，8，9，10．并且第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量具體寫出，即可得X的分布律：返回主目錄(求隨機變量的分布律)例

2將1枚硬幣擲3次，令：

X：出現(xiàn)的正面次數(shù)與反面次數(shù)之差．試求X的分布律．解：X的取值為-3，-1，1，3．并且第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例

3設(shè)離散型隨機變量X的分布律為

則第二章隨機變量及其分布返回主目錄（已知分布律，求隨機變量落在某區(qū)間上的概率）例

3（續(xù)）第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例

4設(shè)隨機變量X的分布律為解：由隨機變量的性質(zhì)，得第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量該級數(shù)為等比級數(shù)，故有所以返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量常用冪級數(shù)的和:返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量

設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈，每盞信號燈以1/2的概率允許或禁止汽車通過.以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)，求X的分布律.(信號燈的工作是相互獨立的).P{X=3}=(1-p)3p例5第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量解：

以p

表示每盞信號燈禁止汽車通過的概率，則 X的分布律為：Xpk

01234p(1-p)p(1-p)2p(1-p)3p(1-p)4

或?qū)懗蒔{X=k}=(1-p)kp，k=0,1,2,3P{X=4}=(1-p)4

例5(續(xù))返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量以p=1/2代入得：Xpk

012340.50.250.1250.06250.0625例5(續(xù))返回主目錄二、幾種常見的離散型隨機變量的概率分布第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量(一)Bernoulli(0-1)分布如果隨機變量X的分布律為或則稱隨機變量X服從參數(shù)為p的Bernoulli分布．返回主目錄1)定義第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量Bernoulli(0-1)分布要掌握的四個要點：（1）隨機變量X的取值；0，1.（3）參數(shù)p的意義及其取值范圍:返回主目錄（2）隨機變量X的分布律：Bernoulli分布也稱作0-1分布或二點分布．貝努里（Bernoulli）試驗

如果隨機試驗E只考慮兩個可能結(jié)果，則稱E為Bernoulli試驗.Bernoulli試驗的例子擲一枚硬幣，只有“出現(xiàn)正面”與“出現(xiàn)反面”兩種結(jié)果，因此“擲一枚硬幣”可看作是一次Bernoulli試驗．返回主目錄第二章隨機變量及其分布2)Bernoulli分布的概率背景對同一目標進行一次射擊，若只考慮“擊中目標”與“未擊中目標”兩種情況，則“同一目標進行一次射擊”是Bernoulli試驗．在某一時間間隔內(nèi)觀察通過某路口的汽車數(shù)，若只考慮“至少通過100輛車”與“至多通過99輛車”這兩種情況，這也是Bernoulli試驗．Bernoulli試驗的例子返回主目錄擲一顆骰子，有六種可能結(jié)果．但如果我們只關(guān)心“出現(xiàn)六點”與“不出現(xiàn)六點”這兩種情況，故“擲一顆骰子”也可以看作是Bernoulli試驗．第二章隨機變量及其分布第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量Bernoulli分布的概率背景:進行一次Bernoulli試驗，設(shè)：令：X=“在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)”．或者說：令返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量Bernoulli分布的概率背景要掌握的要點：（1）進行什么試驗：進行一次Bernoulli試驗；（3）X的意義：X=“在這次Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)”．返回主目錄例

5擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).我們定義隨機變量：第二章隨機變量及其分布§1隨機變量返回主目錄例615件產(chǎn)品中有4件次品，11件正品．從中取出1件令X：取出的一件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的取值為0或者1，并且第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄{}{}154115110====XPXP，．，即：÷???è?1541~bX(二）二項分布如果隨機變量X的分布律為第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄1)定義第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量二項分布要掌握的四個要點：（1）隨機變量X的取值；0，1，...，n;（3）參數(shù)n,p的意義及其取值范圍:返回主目錄（2）隨機變量X的分布律：說明顯然，當n=1時第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄2)二項分布的概率背景n重Bernoulli試驗若獨立重復(fù)地進行n次Bernoulli試驗，這里“重復(fù)”是指每次試驗中事件A發(fā)生的概率不變，“獨立”是指各次試驗的結(jié)果相互獨立，則稱該試驗為n重Bernoulli試驗．返回主目錄第二章隨機變量及其分布n重Bernoulli試驗的例子擲n次硬幣，可看作是一n重Bernoulli試驗．擲n顆骰子，如果我們對每顆骰子只關(guān)心“出現(xiàn)六點”與“不出現(xiàn)六點”這兩種情況，故“擲n顆骰子”也可以看作是一n重Bernoulli試驗．對同一目標進行n次射擊，若每次射擊只考慮“擊中目標”與“未擊中目標”兩種情況，則“同一目標進行n次射擊”是一n重Bernoulli試驗．在某一時間間隔內(nèi)觀察通過某路口的汽車數(shù)，若只考慮“至少通過100輛車”與“至多通過99輛車”這兩種情況，這是一次Bernoulli試驗．若獨立重復(fù)地做該試驗n次，則它是一n重Bernoulli試驗．n重Bernoulli試驗的例子返回主目錄第二章隨機變量及其分布n重Bernoulli試驗中的基本事件及其概率在n重Bernoulli試驗中的基本事件為返回主目錄第二章隨機變量及其分布n重Bernoulli試驗中的基本事件及其概率返回主目錄第二章隨機變量及其分布()()，則，，且qpAPpAP=-==1n重Bernoulli試驗中的基本事件及其概率返回主目錄第二章隨機變量及其分布例：將一枚硬幣拋擲三次，觀察正面、反面出現(xiàn)

的情況,就是一3重Bernoulli試驗.樣本空間中的每一個樣本點就是一個基本事件.{HHH,HHT,HTH,THH, HTT,THT,TTH,TTT}n重Bernoulli試驗中A恰好發(fā)生k次的概率設(shè)在一次Bernoulli試驗中，返回主目錄第二章隨機變量及其分布返回主目錄n重Bernoulli試驗中A恰好發(fā)生k次的概率二項分布的分布律第二章隨機變量及其分布第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄二項分布的概率背景進行n重Bernoulli試驗，設(shè)在每次試驗中令X：在這n重Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量二項分布的概率背景要掌握的要點：（1）進行什么試驗：（3）X的意義：返回主目錄進行n重Bernoulli試驗；X=“在這n重Bernoulli試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)”．

{X=k}=“n重Bernoulli試驗中事件A發(fā)生k次”注意由二項式定理，我們有返回主目錄二項分布的分布律第二章隨機變量及其分布例7一大批產(chǎn)品的次品率為0.05，現(xiàn)從中取出10件．試求下列事件的概率：

B={取出的10件產(chǎn)品中恰有4件次品}C={取出的10件產(chǎn)品中至少有2件次品}D={取出的10件產(chǎn)品中沒有次品}返回主目錄因此，取10件產(chǎn)品可看作是10重Bernoulli試驗．分析：取1件產(chǎn)品可看作是一次Bernoulli試驗．第二章隨機變量及其分布由于產(chǎn)品是一大批，所以，從中取出10件，雖然是不放回抽樣，但是，可以認為每次抽取的次品率不變。例7一大批產(chǎn)品的次品率為0.05，現(xiàn)從中取出10件．返回主目錄X：取出的10件產(chǎn)品中的次品數(shù)．解：第二章隨機變量及其分布例7（續(xù)）返回主目錄第二章隨機變量及其分布例8一張考卷上有5道選擇題，每道題列出4個可能答案，其中只有一個答案是正確的．某學生靠猜測至少能答對4道題的概率是多少？則答5道題相當于做5重Bernoulli試驗．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄解：每答一道題相當于做一次Bernoulli試驗，例

8（續(xù)）所以第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例9

對同一目標進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率均為0.23，問至少需進行多少次射擊，才能使至少命中一次目標的概率不少于0.95？返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量分析：設(shè)需進行n次射擊，才能使至少命中一次目標的概率不少于0.95．每次射擊只關(guān)心命中還是不命中目標，進行n次射擊，可看成是一n重Bernoulli試驗．例9

對同一目標進行射擊，設(shè)每次射擊的命中率均為0.23，問至少需進行多少次射擊，才能使至少命中一次目標的概率不少于0.95？返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量{n次射擊至少命中一次目標}=B解：設(shè)需進行n次射擊，才能使至少命中一次目標的概率不少于0.95．設(shè)X={n次射擊中的命中次數(shù)}，例9（續(xù)）則有返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2-2離散型隨機變量例9（續(xù)）取對數(shù)，得所以，有

即至少需進行12次射擊，才能使至少命中一次目標的概率不少于0.95．返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2-2離散型隨機變量二項分布的分布形態(tài)下面我們研究的問題是：第二章隨機變量及其分布§2-2離散型隨機變量返回主目錄隨k的變化規(guī)律。二項分布的分布形態(tài)第二章隨機變量及其分布§2-2離散型隨機變量返回主目錄書中第26頁倒數(shù)第14行二項分布的分布形態(tài)由此可知，二項分布的分布先是隨著k的增大而增大，達到其最大值后再隨著k的增大而減少．這個使得第二章隨機變量及其分布§2-2離散型隨機變量返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2-2離散型隨機變量返回主目錄例10

對同一目標進行400次獨立射擊，設(shè)每次射擊時的命中率均為0.02，（1）試求400次射擊最可能命中幾次？

則第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄解：（2）求至少命中兩次目標的概率。令例10（續(xù)）因此，最可能射擊的命中次數(shù)為第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄2)P{至少命中兩次目標}[]802.80==k{}23=XP{}}1{01=-=-=XPXP3991400400)98.0)(02.0(98.01C--=.9972.0=例10（續(xù)）第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄2)P{至少命中兩次目標}.9972.0=如果某人在400次獨立射擊中，最多命中1次,能否相信此人的命中率為0.02?P{最多命中1次目標}=1-0.9972=0.0028答:此人的命中率為0.02是不可信的.3）泊松(Poisson)分布如果隨機變量X的分布律為

則稱隨機變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量泊松分布要掌握的四個要點：（1）隨機變量X的取值；0，1，…,可列個取值。（3）參數(shù)λ

的意義及其取值范圍:返回主目錄（2）隨機變量X的分布律：分布律的驗證⑴由于可知對任意的自然數(shù)k，有第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量⑵又由冪級數(shù)的展開式，可知所以是分布律．返回主目錄0>lPoisson分布中的意義

*考慮“要求服務(wù)的顧客到達服務(wù)站”第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄

我們把顧客看作時間軸上的質(zhì)點，顧客到達服務(wù)站認為是質(zhì)點出現(xiàn)。Poisson分布中的意義第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄即X服從參數(shù)為的Poisson分布．Poisson分布的應(yīng)用Poisson分布是概率論中重要的分布之一．自然界及工程技術(shù)中的許多隨機指標都服從Poisson分布．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄*例如，可以證明，電話總機在某一時間間隔內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，放射物在某一時間間隔內(nèi)發(fā)射的粒子數(shù)，容器在某一時間間隔內(nèi)產(chǎn)生的細菌數(shù)，某一時間間隔內(nèi)來到某服務(wù)臺要求服務(wù)的人數(shù)，等等，在一定條件下，都是服從Poisson分布的．第二章隨機變量及其分布返回主目錄例11（29頁例6）實驗器皿中產(chǎn)生甲,乙兩種細菌的機會是相等的,并且產(chǎn)生的細菌數(shù)X服從泊松分布,試求:(1)產(chǎn)生了甲類細菌但沒有乙類細菌的概率;(2)在已知產(chǎn)生了細菌且沒有甲類細菌的條件下,有兩個乙類細菌的概率.分析:實驗器皿中產(chǎn)生幾個細菌是隨機的;每個細菌是甲類細菌還是乙類細菌也是隨機的.(原因)(結(jié)果)(全概)(逆概)解:(1)B表示產(chǎn)生了甲類細菌但沒有乙類細菌,第二章隨機變量及其分布返回主目錄例11(續(xù))由全概率公式,知書中第29頁倒數(shù)第13行第二章隨機變量及其分布返回主目錄例11(續(xù))由逆概公式,知(2)C表示產(chǎn)生了細菌且沒有甲類細菌,書中第29頁倒數(shù)第10行書中第29頁倒數(shù)第7行例12設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為λ的Poisson分布，且已知解：隨機變量X的分布律為由已知第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例12（續(xù)）得由此得方程得解所以，第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理證明：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量Poisson定理的證明(續(xù))對于固定的k，第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的證明(續(xù))第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的應(yīng)用第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄Poisson定理的應(yīng)用第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例13設(shè)每次射擊命中目標的概率為0.01，現(xiàn)射擊600次，求至少命中3次目標的概率（用Poisson分布近似計算）．解：設(shè)B={600次射擊至少命中3次目標}

進行600次射擊可看作是一600重Bernoulli試驗.A={1次射擊命中目標}，則P(A)=0.01.第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例13（續(xù)）所以第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄例14.第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量收保費-賠償費=賺錢例14.解：

第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量例14.解：

第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量4）幾何分布若隨機變量X的分布律為第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量幾何分布要掌握的四個要點：（1）隨機變量X的取值；1，2，…,可列個取值。（3）參數(shù)p

的意義及其取值范圍:返回主目錄（2）隨機變量X的分布律：分布律的驗證⑴由條件⑵由條件可知綜上所述，可知是一分布律．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄幾何分布的概率背景在Bernoulli試驗中，獨立重復(fù)地進行Bernoulli試驗,進行到A首次出現(xiàn)為止．第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量即返回主目錄例

14對同一目標進行射擊，設(shè)每次射擊時的命中率為0.64，射擊進行到擊中目標時為止，令：

X：所需射擊次數(shù)．試求隨機變量X的分布律，并求至少進行2次射擊才能擊中目標的概率．解：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量例

14（續(xù)）故，X的分布律為：第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄P{至少進行2次射擊才能擊中目標}例15返回主目錄n重貝努里概型三個朋友去喝咖啡，他們決定用如下的方式付賬：每人各擲一枚均勻的硬幣，如果某人擲出的結(jié)果與其余兩人的不一樣，則由該人付賬；如果三人擲出的結(jié)果都一樣，則重新擲下去，直到確定了由誰付賬時為止．（2）進行了3次還沒確定付賬人的概率．求：⑴拋擲硬幣次數(shù)X的分布律；A={三人擲出的結(jié)果不一樣}，解：例15（續(xù)）返回主目錄幾何分布

故，X的分布律為：

5）超幾何分布如果隨機變量X的分布律為第二章隨機變量及其分布§2離散型隨機變量返回主目錄超幾何分布的概率背景一批產(chǎn)品有N件，其中有M件次品，其余N-M件為正品．現(xiàn)從中取出n件．令：X：取出n件產(chǎn)品中的次品數(shù)．則X的分布律為§2離散型隨機變量第二章隨機變量及其分布返回主目錄一.分布函數(shù)的定義及其性質(zhì)

定義設(shè)X是一個隨機變量，是任意實數(shù)，稱為

X

的分布函數(shù)．0xxX§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄說明函數(shù)

分布函數(shù)的性質(zhì)10

是一個不減的函數(shù)

,

§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄事實上，§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄2030§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄對于任意的實數(shù)，有：40§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄上述四條性質(zhì)是一維隨機變量分布函數(shù)的最基本的性質(zhì)，即任何一維隨機變量的分布函數(shù)都具有這四條性質(zhì)；更進一步地，我們還可以證明：如果某一一元函數(shù)具有這四條性質(zhì)，那么，它一定是某一一維隨機變量的分布函數(shù)（證明略）．應(yīng)用：1。用分布函數(shù)計算某些事件的概率§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄對于任意的實數(shù),有(){}的分布函數(shù)，則是隨機變量設(shè)XxXPxF￡={})(aFaXP=￡{}()0-=<aFaXP§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄{}{}{}aXPaXPaXP<-￡==()()0--=aFaF{}{}{}aXPbXPbXaP￡-￡=￡<()()aFbF-=用分布函數(shù)計算某些事件的概率§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄用分布函數(shù)計算某些事件的概率§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄{}bXP>{}bXP￡-=1()bF-=1{}{}bXPbXP<-=31()01--=bF例1§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄的分布函數(shù)為設(shè)隨機變量X()?????????íì￡<￡<￡<￡<=xxxxxxxF31321211213210200{}3￡XP⑴．()3F=1={}3<XP⑵．()03-=F1211={}1=XP⑶．()()011--=FF612132=-==tyü?íì>21XP⑷．÷???è?-211F43411=-={}()()20442FFXP--=<<⑸．12112111=-={}()()010331---=<￡FFXP⑹．125211211=-=由分布函數(shù)的極限性質(zhì)，有§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄2。用分布函數(shù)的極限性質(zhì)確定中的待定常數(shù))(xF例2設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為解:(1)由分布函數(shù)的性質(zhì)，我們有§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄()()+￥<<￥-+=xBarctgxAxF()()BarctgxAxFxx+==-￥?-￥?limlim0BA2p-=()()BarctgxAxFxx+==+￥?+￥?limlim1BA2p+=求（1）常數(shù)A,B;例2（續(xù)）X的分布函數(shù)為§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄例3§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為解：由分布函數(shù)的右連續(xù)性，我們有?=A則例4

設(shè)隨機變量X

的分布律為：求X的分布函數(shù).Xpk

-123當

時，３0２xX-1x§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄二離散型隨機變量的分布函數(shù)解：當當X２x３-1xXpk

-123§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄同理當1§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄-10123

x-1

0123

x1

且在(k=1,2,…)處有跳躍，其跳躍值為

Xpk

-123§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄小結(jié)：設(shè)離散型隨機變量X的分布律為為階梯函數(shù)，例5§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為解：X的可能取值為0，1，2。求X的分布律。

例6

一個靶子是半徑為2

米的圓盤，設(shè)擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比，并設(shè)射擊都能中靶，以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量X的分布函數(shù).解：（1）若,則是不可能事件，（2）X§3隨機變量的分布函數(shù)于是（3）若,則是必然事件，于是§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄01231F(x)x§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄作業(yè)：補充題1設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄并求X的分布律。Xp

-11

2補充題2

在區(qū)間[0,a]上任意投擲一個質(zhì)點，以X表示這個質(zhì)點的坐標。設(shè)這個質(zhì)點落在[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比例。試求X的分布函數(shù).§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄補充題1解：§3隨機變量的分布函數(shù)返回主目錄X的可能取值為-1，1，2。補充題1解：§4

連續(xù)型隨機變量及其概率密度

概率密度及其性質(zhì)

指數(shù)分布

均勻分布

正態(tài)分布與標準正態(tài)分布返回主目錄一.連續(xù)型隨機變量的概念與性質(zhì)§4

連續(xù)型隨機變量定義2.4.1如果對于隨機變量X的分布函數(shù)， 存在非負實函數(shù)，使得對于任意實數(shù)，有則稱X為連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)稱為X的概率密度函數(shù),簡稱概率密度.連續(xù)型隨機變量X由其密度函數(shù)唯一確定．返回主目錄§4

連續(xù)型隨機變量f(x)0x返回主目錄說明(1)密度函數(shù)唯一確定連續(xù)型隨機變量X

．但連續(xù)型隨機變量X不能唯一確定密度函數(shù)．密度函數(shù)在個別點處的函數(shù)值不影響積分值．§4

連續(xù)型隨機變量

概率密度具有以下性質(zhì)：f(x)0x1返回主目錄f(x)x0§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄連續(xù)型隨機變量X具有以下性質(zhì)：§4

連續(xù)型隨機變量證明：返回主目錄連續(xù)型隨機變量的一個重要特點：(3)注意1密度函數(shù)不是概率！§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄f(x)x0§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄密度函數(shù)的概率涵義：注意2§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄f(x)x0由前面討論可知，對于連續(xù)型隨機變量，我們關(guān)心它在某一點取值的問題沒有太大的意義；我們所關(guān)心的是它在某一區(qū)間上取值的問題．§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄連續(xù)型隨機變量常用的公式：例1設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為解：⑴．由密度函數(shù)的性質(zhì)§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄例1（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄例1（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄例1（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄§4

連續(xù)型隨機變量例2返回主目錄例3§4

連續(xù)型隨機變量§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄由分布函數(shù)的性質(zhì)有解得例4§4

連續(xù)型隨機變量例4（續(xù)）返回主目錄例5某電子元件的壽命X（單位：小時）是以為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機變量．求5個同類型的元件在使用的前150小時內(nèi)恰有2個需要更換的概率.§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄分析：某元件在使用的前150小時內(nèi)是否需要更換是一次Bernoulli試驗，檢驗5個元件的使用壽命可以看作是在做5重Bernoulli試驗．所以，關(guān)鍵是求一個元件在使用的前150小時內(nèi)需要更換的概率。例5某電子元件的壽命X（單位：小時）是以為密度函數(shù)的連續(xù)型隨機變量．求5個同類型的元件在使用的前150小時內(nèi)恰有2個需要更換的概率.§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄解：設(shè)A={任一元件在使用的前150小時內(nèi)需要更換}例5（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄B={5個元件中恰有2個的使用壽命不超過150小時}={5重Bernoulli試驗中A恰好發(fā)生兩次}令：Y=“5個元件中使用壽命不超過150小時的元件數(shù)”

（2）已知概率密度，會求事件的概率；返回主目錄

連續(xù)型隨機變量常見的問題小結(jié):§4

連續(xù)型隨機變量（3）已知概率密度,會求分布函數(shù);（1）會確定概率密度中的常數(shù)；（4）已知分布函數(shù),會求概率密度.二.一些常用的連續(xù)型隨機變量§4

連續(xù)型隨機變量1．均勻分布(uniform)定義2.4.2若隨機變量的密度函數(shù)為記作X~U[a,b]返回主目錄均勻分布的概率背景：XXabxll0返回主目錄

重要的連續(xù)分布返回主目錄

重要的連續(xù)分布均勻分布的概率背景

均勻分布的應(yīng)用：數(shù)值計算中的舍入誤差，某一時間間隔內(nèi)汽車站上乘客到站的時間，等均認為服從均勻分布。均勻分布的分布函數(shù)abxF(x)01返回主目錄

重要的連續(xù)分布[]的分布函數(shù)為則上的均勻分布，，服從區(qū)間若隨機變量XbaX例6

設(shè)公共汽車站從上午7時起每隔15分鐘來一班車,如果乘客到達此站的時間是7:00到7:30之間的均勻隨機變量．試求乘客候車時間不超過5分鐘的概率．§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄[]上的均勻分布．，服從區(qū)間則300X分析：設(shè)乘客于7時X分到達此站．{候車時間不超過5分鐘}例6（解）B={候車時間不超過5分鐘}§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄設(shè)乘客于7時X分到達此站．[]上的均勻分布．，服從區(qū)間則300X例7§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄分析：例7§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄例7（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄2．指數(shù)分布（exponentialdistribution)定義2.4.3如果隨機變量X的密度函數(shù)為§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄指數(shù)分布的分布函數(shù)§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄指數(shù)分布的應(yīng)用：指數(shù)分布常作為各種“壽命”分布的近似分布，如：“燈泡的壽命”，“動物的壽命”，“電話問題中的通話時間”，“隨機服務(wù)系統(tǒng)中的服務(wù)時間”都常假定服從指數(shù)分布。注意:§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄指數(shù)分布的重要性質(zhì)--------無記憶性:設(shè)X服從指數(shù)分布，則上式說明:§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄設(shè)X服從指數(shù)分布，則

若把X解釋為人的壽命，從群體角度講:{X>s}表示s歲以上的人群,{X>s+t}表示s+t歲以上的人群.上結(jié)果表明：s歲以上的人群中,s+t歲以上的人所占的比例與s無關(guān).

從個人角度講:如果已知某人活了s年，則他至少再活t年的概率與年齡s無關(guān).§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄設(shè)X服從指數(shù)分布，則

從個人角度講:某人已5歲了，，他至少再活10年的概率與另一人已50歲了，，他至少再活10年的概率一樣。所以人們風趣地稱指數(shù)分布的這一性質(zhì)為“永遠年輕”，又稱“無記憶性”----即把過去的年齡忘記了。例8§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄例8（續(xù)）令：B={等待時間為10~20分鐘}§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄例9§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄“無記憶性”例9（續(xù)）§4

連續(xù)型隨機變量返回主目錄解:3．正態(tài)分布

重要的連續(xù)分布xf(x)0的密度函數(shù)為如果連續(xù)型隨機變量X()()()+￥<<￥-=--xexfx22221smsp()，為參數(shù)，其中0>+￥<<￥-sm()正態(tài)分布．記作的，服從參數(shù)為則稱隨機變量2smX()2~sm，NX定義2.4.4

重要的連續(xù)分布x0標準正態(tài)分布密度函數(shù)的驗證

重要的連續(xù)分布返回主目錄密度函數(shù)的驗證(續(xù))

重要的連續(xù)分布返回主目錄密度函數(shù)的驗證(續(xù))

重要的連續(xù)分布返回主目錄為此，我們只需證明：密度函數(shù)的驗證(續(xù))

重要的連續(xù)分布返回主目錄則有，，作極坐標變換：qqsincosryrx==密度函數(shù)的驗證(續(xù))

重要的連續(xù)分布返回主目錄ssmdxduxu=-=則，作變換：

重要的連續(xù)分布返回主目錄

重要的連續(xù)分布返回主目錄221dudxux==-則，令

重要的連續(xù)分布返回主目錄正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)

重要的連續(xù)分布x0正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)

重要的連續(xù)分布x0正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)

重要的連續(xù)分布x0正態(tài)分布密度函數(shù)的圖形性質(zhì)（續(xù)）

重要的連續(xù)分布x0返回主目錄正態(tài)分布的重要性質(zhì)：

重要的連續(xù)分布xf(x)0返回主目錄正態(tài)分布的重要性正態(tài)分布是概率論中最重要的分布，這可以由以下情形加以說明：

⑴．正態(tài)分布是自然界及工程技術(shù)中最常見的分布之一，大量的隨機現(xiàn)象都是服從或近似服從正態(tài)分布的．可以證明，如果一個隨機指標受到諸多因素的影響，但其中任何一個因素都不起決定性作用，則該隨機指標一定服從或近似服從正態(tài)分布．

⑵．正態(tài)分布有許多良好的性質(zhì)，這些性質(zhì)是其它許多分布所不具備的．

⑶．正態(tài)分布可以作為許多分布的近似分布．返回主目錄

重要的連續(xù)分布標準正態(tài)分布的計算

重要的連續(xù)分布標準正態(tài)分布的計算（續(xù)）

重要的連續(xù)分布x0-xx(){}xXPxx￡=F3我們可直接查表求出對于0:0，我們有公式如果<x一般正態(tài)分布的計算

重要的連續(xù)分布一般正態(tài)分布的分布函數(shù)與標準正態(tài)分布的分布

函數(shù)之間的關(guān)系：

重要的連續(xù)分布返回主目錄正態(tài)分布的原則:返回主目錄

重要的連續(xù)分布返回主目錄上述原則稱為正態(tài)分布的原則.

重要的連續(xù)分布例10

重要的連續(xù)分布返回主目錄例11

重要的連續(xù)分布返回主目錄

重要的連續(xù)分布例11(續(xù))返回主目錄

重要的連續(xù)分布例11(續(xù))返回主目錄例12

重要的連續(xù)分布返回主目錄例11(續(xù))

重要的連續(xù)分布返回主目錄例12

重要的連續(xù)分布返回主目錄例13

重要的連續(xù)分布返回主目錄例13（續(xù)）

返回主目錄

重要的連續(xù)分布例14（書中第40頁例5）

重要的連續(xù)分布返回主目錄例14（續(xù)）

重要的連續(xù)分布返回主目錄

重要的連續(xù)分布0

重要的連續(xù)分布0

重要的連續(xù)分布4.-分布.返回主目錄Γ-函數(shù)

重要的連續(xù)分布返回主目錄

重要的連續(xù)分布說明：

重要的連續(xù)分布說明：返回主目錄作業(yè)：§2.5隨機變量的函數(shù)的分布

離散型

連續(xù)型

定理及其應(yīng)用返回主目錄隨機變量的函數(shù)§2.5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄例1§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄一、離散型隨機變量的函數(shù)的分布例1（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄

設(shè)隨機變量

X

具有以下的分布律，試求

Y=X2

的分布律.pkX-10120.20.30.10.4

解:Y有可能取的值為0，1，4.P{Y=0}=P{X=0}=0.3,§5隨機變量的函數(shù)的分布例2返回主目錄P{Y=1}=P{X=-1}+P{X=1}=0.2+0.1=0.3,P{Y=4}=P{X=2}=0.4,pkY0140.30.30.4所以，Y=X2的分布律為：pkX-10120.20.30.10.4§5隨機變量的函數(shù)的分布例2（續(xù)）返回主目錄例3§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄

解:Y有可能取的值為0，1，-1.例3（續(xù)）§5隨機變量的函數(shù)的分布補充題3返回主目錄已知X的分布函數(shù)為

§5隨機變量的函數(shù)的分布返回主目錄補充題3答案§5隨機變量的函數(shù)的分布離散型