高三一輪數(shù)學(xué)（理）總復(fù)習(xí)-第4課時(shí) 隨機(jī)事件的概率【系列四】

2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺(tái)——教育因你我而變好教育云平臺(tái)——教育因你我而變第4課時(shí)隨機(jī)事件的概率1．將一個(gè)骰子拋擲一次，設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，事件C表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，則()A．A與B是對(duì)立事件 B．A與B是互斥而非對(duì)立事件C．B與C是互斥而非對(duì)立事件 D．B與C是對(duì)立事件答案A解析由題意知，事件A包含的基本事件為向上點(diǎn)數(shù)為1，2，3，事件B包含的基本事件為向上的點(diǎn)數(shù)為4，5，6.事件C包含的點(diǎn)數(shù)為1，3，5.A與B是對(duì)立事件，故選A.2．從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，下列事件是互斥事件但不是對(duì)立事件的是()A．恰好有1件次品和恰好有2件次品B．至少有1件次品和全是次品C．至少有1件正品和至少有1件次品D．至少有1件次品和全是正品答案A解析依據(jù)互斥和對(duì)立事件的定義知，B，C都不是互斥事件；D不但是互斥事件而且是對(duì)立事件；只有A是互斥事件但不是對(duì)立事件．3．(2018·廣東茂名模擬)在{1，3，5}和{2，4}兩個(gè)集合中各取一個(gè)數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)數(shù)能被4整除的概率是()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,4)答案D解析符合條件的所有兩位數(shù)為12，14，21，41，32，34，23，43，52，54，25，45，共12個(gè)，能被4整除的數(shù)為12，32，52，共3個(gè)，故所求概率P＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).4．4張卡片上分別寫有數(shù)字1，2，3，4，若從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,4)答案C解析從4張卡片中抽取2張的方法有6種，和為奇數(shù)的情況有4種，∴P＝eq\f(2,3).5．從存放的號(hào)碼分別為1，2，3，…，10的卡片的盒子中，有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號(hào)碼，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：卡片號(hào)碼12345678910取到次數(shù)138576131810119則取到號(hào)碼為奇數(shù)的卡片的頻率是()A．0.53 B．0.5C．0.47 D．0.37答案A解析取到號(hào)碼為奇數(shù)的卡片的次數(shù)為：13＋5＋6＋18＋11＝53，則所求的頻率為eq\f(53,100)＝0.53，故選A.6．(2016·天津改編)甲、乙兩人下棋，和棋的概率為eq\f(1,2)，乙獲勝的概率為eq\f(1,3)，則甲獲勝的概率和甲不輸?shù)母怕史謩e為()A.eq\f(1,6)，eq\f(1,6) B.eq\f(1,2)，eq\f(2,3)C.eq\f(1,6)，eq\f(2,3) D.eq\f(2,3)，eq\f(1,2)答案C解析“甲獲勝”是“和棋或乙勝”的對(duì)立事件，所以“甲獲勝”的概率P＝1－eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6).設(shè)事件A為“甲不輸”，則A可看作是“甲勝”與“和棋”這兩個(gè)互斥事件的并事件，所以P(A)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,2)＝eq\f(2,3).(或設(shè)事件A為“甲不輸”，則A可看作是“乙勝”的對(duì)立事件．所以P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3))7．(2013·陜西文)對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位：毫米)進(jìn)行抽樣檢測(cè)，如圖為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)，產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間[20，25)上為一等品，在區(qū)間[15，20)和[25，30)上為二等品，在區(qū)間[10，15)和[30，35]上為三等品．用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，則其為二等品的概率是()A．0.09 B．0.20C．0.25 D．0.45答案D解析由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知，樣本數(shù)據(jù)在區(qū)間[25，30)上的頻率為1－5×(0.02＋0.04＋0.06＋0.03)＝0.25，則二等品的頻率為0.25＋0.04×5＝0.45，故任取1件為二等品的概率為0.45.8．我國(guó)古代有著輝煌的數(shù)學(xué)研究成果．《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《海島算經(jīng)》、《孫子算經(jīng)》……《緝古算經(jīng)》等10部專著，有著豐富多彩的內(nèi)容，是了解我國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要文獻(xiàn)．這10部專著中有7部產(chǎn)生于魏晉南北朝時(shí)期．某中學(xué)擬從這10部名著中選擇的2部作為“數(shù)學(xué)文化”校本課程學(xué)習(xí)內(nèi)容，則所選的2部名著中至少有1部是魏晉南北朝時(shí)期的名著的概率為()A.eq\f(14,15) B.eq\f(13,15)C.eq\f(2,9) D.eq\f(7,9)答案A解析方法一：從10部名著中選擇2部名著的方法數(shù)為C102＝45，所選的2部都為魏晉南北朝時(shí)期的名著的方法數(shù)為C72＝21，只有1部為魏晉南北朝時(shí)期的名著的方法數(shù)為C71×C31＝21，于是事件“所選的2部名著中至少有1部是魏晉南北朝時(shí)期的名著”的概率P＝eq\f(42,45)＝eq\f(14,15).故選A.方法二：從10部名著中選擇2部名著的方法數(shù)為C102＝45，所選的2部都不是魏晉南北朝時(shí)期的名著的方法數(shù)為C32＝3，由對(duì)立事件的概率計(jì)算公式得P＝1－eq\f(3,45)＝eq\f(14,15).故選A.9．將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)分別為b，c，則方程x2＋bx＋c＝0有實(shí)根的概率為()A.eq\f(19,36) B.eq\f(1,2)C.eq\f(5,9) D.eq\f(17,36)答案A解析若方程有實(shí)根，則Δ＝b2－4c≥0，當(dāng)有序?qū)崝?shù)對(duì)(b，c)的取值為(6，6)，(6，5)，…，(6，1)，(5，6)，(5，5)，…，(5，1)，(4，4)，…，(4，1)，(3，2)，(3，1)，(2，1)時(shí)方程有實(shí)根，共19種情況，而(b，c)等可能的取值共有36種情況，所以，方程有實(shí)根的概率為P＝eq\f(19,36).10．若將一顆質(zhì)地均勻的骰子(一種各面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具)先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率是________．答案eq\f(1,12)解析本題基本事件共6×6個(gè)，點(diǎn)數(shù)和為4的有3個(gè)事件為(1，3)，(2，2)，(3，1)，故P＝eq\f(3,6×6)＝eq\f(1,12).11．據(jù)統(tǒng)計(jì)，某食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴次數(shù)為0，1，2的概率分別為0.4，0.5，0.1.則該企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴不超過(guò)1次的概率為________．答案0.9解析方法一：記“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)為0”為事件A，“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)為1”為事件B，“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)為2”為事件C，“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)不超過(guò)1”為事件D，而事件D包含事件A與B，所以P(D)＝P(A)＋P(B)＝0.4＋0.5＝0.9.方法二：記“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)為2”為事件C，“該食品企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴不超過(guò)一次”為事件D，由題意知C與D是對(duì)立事件，所以P(D)＝1－P(C)＝1－0.1＝0.9.12．(2018·江蘇蘇北四市調(diào)研)從1，2，3，4，5，6這六個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，則所取兩個(gè)數(shù)的和能被3整除的概率為________．答案eq\f(1,3)解析從六個(gè)數(shù)中一次隨機(jī)地取兩個(gè)數(shù)，有15種等可能的結(jié)果，而所取兩個(gè)數(shù)的和能被3整除包含5種結(jié)果，即(1，2)，(1，5)，(2，4)，(3，6)，(4，5)，∴所取兩個(gè)數(shù)的和能被3整除的概率為eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).13．某保險(xiǎn)公司利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，對(duì)投保車輛進(jìn)行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下：賠付金額/元01000200030004000車輛數(shù)/輛500130100150120(1)若每輛車的投保金額均為2800元，估計(jì)賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機(jī)的占20%，估計(jì)在已投保車輛中，新司機(jī)獲賠金額為4000元的概率．答案(1)0.27(2)0.24解析(1)設(shè)A表示事件“賠付金額為3000元”，B表示事件“賠付金額為4000元”，以頻率估計(jì)概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對(duì)應(yīng)的情形是3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設(shè)C表示事件“投保車輛中新司機(jī)獲賠4000元”，由已知，樣本車輛中車主為新司機(jī)的有0.1×1000＝100輛，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機(jī)的有0.2×120＝24輛．所以樣本車輛中新司機(jī)車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計(jì)概率得P(C)＝0.24.14．下表為某班的英語(yǔ)及數(shù)學(xué)成績(jī)，全班共有學(xué)生50人，成績(jī)分為1～5分五個(gè)檔次．例如表中所示英語(yǔ)成績(jī)?yōu)?分的學(xué)生共14人，數(shù)學(xué)成績(jī)?yōu)?分的共5人．設(shè)x，y分別表示英語(yǔ)成績(jī)和數(shù)學(xué)成績(jī).y/分人數(shù)x分5432151310141075132109321b60a100113(1)x＝4的概率是多少？x＝4且y＝3的概率是多少？x≥3的概率是多少？(2)x＝2的概率是多少？a＋b的值是多少？答案(1)eq\f(7,25)，eq\f(7,50)，eq\f(7,10)(2)eq\f(1,5)，3解析(1)P(x＝4)＝eq\f(1＋0＋7＋5＋1,50)＝eq\f(7,25)；P(x＝4且y＝3)＝eq\f(7,50)，P(x≥3)＝P(x＝3)＋P(x＝4)＋P(x＝5)＝eq\f(2＋1＋0＋9＋3,50)＋eq\f(7,25)＋eq\f(1＋3＋1＋0＋1,50)＝eq\f(7,10).(2)P(x＝2)＝1－P(x＝1)－P(x≥3)＝1－eq\f(1,10)－eq\f(7,10)＝eq\f(1,5).又∵P(x＝2)＝eq\f(1＋b＋6＋0＋a,50)＝eq\f(1,5)，∴a＋b＝3.15．(2018·遼寧六盤山高級(jí)中學(xué)一模)某中學(xué)有初中學(xué)生1800人，高中學(xué)生1200人．為了解學(xué)生本學(xué)期課外閱讀時(shí)間，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從中抽取了100名學(xué)生，先統(tǒng)計(jì)了他們課外閱讀時(shí)間，然后按“初中學(xué)生”和“高中學(xué)生”分為兩組，再將每組學(xué)生的閱讀時(shí)間(單位：小時(shí))分為5組：[0，10)，[10，20)，[20，30)，[30，40)，[40，50]，并分別加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)寫出a的值；(2)試估計(jì)該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間不少于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)；(3)從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率．答案(1)0.03(2)870(3)0.7解析(1)由題意得a＝0.03.(2)∵初中生中，閱讀時(shí)間不少于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為(0.020＋0.005)×10＝0.25.∴所有初中生中，閱讀時(shí)間不少于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生約有0.25×1800＝450人．同理，高中生中，閱讀時(shí)間不少于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為(0.03＋0.005)×10＝0.35，∴所有高中生中．閱讀時(shí)間不少于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生約有0.35×1200＝420人．∴該校所有學(xué)生中，閱讀時(shí)間不少于30個(gè)小時(shí)的學(xué)生人數(shù)約有450＋420＝870.(3)由分層抽樣知，抽取的初中生有60名，高中生有40名．記“從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，至少抽到1名高中生”為事件A.初中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為0.005×10＝0.05，樣本人數(shù)為0.05×60＝3.高中生中，閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的學(xué)生頻率為0.005×10＝0.05，樣本人數(shù)為0.05×40＝2.記這3名初中生為A1，A2，A3，這2名高中生為B1，B2.則從閱讀時(shí)間不足10個(gè)小時(shí)的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，所有可能的情況有C52＝10種其中至少有一名高中生的情況有C52－C32＝7種∴所求概率為eq\f(7,10)＝0.7.16．(2018·四川成都一診)已知國(guó)家某5A級(jí)大型景區(qū)對(duì)擁擠等級(jí)與每百游客數(shù)量n(單位：百人)的關(guān)系有如下規(guī)定：當(dāng)n∈[0，100)時(shí)，擁擠等級(jí)為“優(yōu)”；當(dāng)n∈[100，200)時(shí)，擁擠等級(jí)為“良”；當(dāng)n∈[200，300)時(shí)，擁擠等級(jí)為“擁擠”；當(dāng)n≥300時(shí)，擁擠等級(jí)為“嚴(yán)重?fù)頂D”．該景區(qū)對(duì)6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)．(1)下面是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到的頻率分布表，求出a，b的值，并估計(jì)該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；游客數(shù)量(單位：百人)[0，100)[100，200)[200，300)[300，400]天數(shù)a1041頻率beq\f(1,3)eq\f(2,15)eq\f(1,30)(2)某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩，求他這2天遇到的游客擁擠等級(jí)均為“優(yōu)”的概率．答案(1)15，eq\f(1,2)，120(百人)(2)eq\f(3,10)解析(1)由題圖知游客人數(shù)在[0，100)范圍內(nèi)共有15天，∴a＝15，b＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2).游客人數(shù)的平均數(shù)為50×eq\f(1,2)＋150×eq\f(1,3)＋250×eq\f(2,15)＋350×eq\f(1,30)＝120(百人)．(2)設(shè)A表示事件“2天遇到的游客擁擠等級(jí)均為‘優(yōu)’”．從5天中任選2天的選擇方法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10個(gè)基本事件，其中事件A包括(1，4)，(1，5)，(4，5)，共3個(gè)基本事件，∴P(A)＝eq\f(3,10).即他這2天遇到的游客擁擠等級(jí)均為“優(yōu)”的概率為eq\f(3,10).17．(2017·課標(biāo)全國(guó)Ⅲ，文)某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．答案(1)0.6(2)0.8解析(1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25℃.由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25℃的頻率為eq\f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，若最高氣溫不低于25℃，則Y＝6×450－4×450＝900；若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；若最高氣溫低于20℃，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.所以，Y的所有可能值為900，300，－100.Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20℃的頻率為eq\f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.1．從裝有紅球、白球和黑球各2個(gè)的口袋內(nèi)一次取出2個(gè)球，則與事件“兩球都為白球”互斥而非對(duì)立的事件是以下事件：①兩球都不是白球；②兩球恰有一個(gè)白球；③兩