選修二4.1數(shù)列的概念（1）教學(xué)設(shè)計

4.1數(shù)列的概念（1）

本節(jié)課選自《2019人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修二》第四章《數(shù)列》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)數(shù)列的概念與表示“數(shù)列的概念與簡單表示法”，主要涉及數(shù)列的概念、表示方法、分類、通項公式、數(shù)列和函數(shù)之間的關(guān)系等。數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，是一種離散型函數(shù)，在日常生活中有著重要的應(yīng)用.學(xué)習(xí)數(shù)列對深化函數(shù)的學(xué)習(xí)有著積極地意義，數(shù)列是以后學(xué)習(xí)極限的基礎(chǔ)，因此，數(shù)列在高中數(shù)學(xué)中占有重要位置。數(shù)列的概念是學(xué)習(xí)數(shù)列的起點與基礎(chǔ)，因而建立數(shù)列的概念是本章教學(xué)的重點，更是本節(jié)課教學(xué)的重點。學(xué)生主動自我建構(gòu)概念，需要經(jīng)歷辨析、抽象、概括等過程，影響概念學(xué)習(xí)過程的因素又是多樣的，所以，數(shù)列特征的感知和描述，函數(shù)意義的概括和理解，是教學(xué)的難點.課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法.B.掌握數(shù)列的分類.C.理解數(shù)列的函數(shù)特征,掌握判斷數(shù)列增減性的方法.D.掌握數(shù)列通項公式的概念及其應(yīng)用,能夠根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式.1.數(shù)學(xué)抽象：數(shù)列的概念及表示、數(shù)列的分類2.邏輯推理：求數(shù)列的通項公式3.數(shù)學(xué)運算：運用數(shù)列通項公式求特定項4.數(shù)學(xué)建模：數(shù)列的概念重點：數(shù)列的有關(guān)概念與數(shù)列的表示方法難點：數(shù)列的函數(shù)特征多媒體教學(xué)過程教學(xué)設(shè)計意圖核心素養(yǎng)目標(biāo)情景導(dǎo)學(xué)古語云:“勤學(xué)如春起之苗,不見其增,日有所長”如果對“春起之苗”每日用精密儀器度量,則每日的高度值按日期排在一起,可組成一個數(shù)列.那么什么叫數(shù)列呢?二、問題探究1.王芳從一歲到17歲，每年生日那天測量身高，將這些身高數(shù)據(jù)（單位：厘米）依次排成一列數(shù)：75,87,96,103,110,116,120,128,138，145,153,158,160,162,163,165,168①記王芳第i歲的身高為hi

，那么h1=75

,h2=87,

…，h17=168.我們發(fā)現(xiàn)hi中的i反映了身高按歲數(shù)從1到17的順序排列時的確定位置，即h1=75

是排在第1位的數(shù)，h2=872.在兩河流域發(fā)掘的一塊泥板（編號K90，約生產(chǎn)于公元前7世紀(jì)）上，有一列依次表示一個月中從第1天到第15天，每天月亮可見部分的數(shù)：5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240.②

記第i天月亮可見部分的數(shù)為si,那么s1=5

,s2=10,

…，s15=240.這里，si中的i反映了月亮可見部分的數(shù)按日期從1~15順序排列時的確定位置，即s1=5是排在第1位的數(shù)，s2=10是排在第23.-12的n次冪按1次冪，2次冪,3次冪,4-12，14，-18，思考：你能仿照上面的敘述，說明③也是具有確定順序的一列數(shù)嗎？一、數(shù)列1.定義:一般地,我們把按照確定的順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.2.項:數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列的第一個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第1項,常用符號a1表示;第二個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第2項,用a2表示……第n個位置上的數(shù)叫做這個數(shù)列的第n項,用an表示.其中第1項也叫做首項.3.表示:數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…,簡記為{an}.點睛：(1)數(shù)列是按一定的“順序”排列的一列數(shù),有序性是數(shù)列的基本屬性.數(shù)相同而順序不同的兩個數(shù)列是不相同的數(shù)列,例如1,2,3,…與3,2,1…就是不同的數(shù)列.(2)符號{an}和an是不同的概念,{an}表示一個數(shù)列,而an表示數(shù)列中的第n項.二、數(shù)列的分類

類別含義按項的個數(shù)有窮數(shù)列項數(shù)有限的數(shù)列無窮數(shù)列項數(shù)無限的數(shù)列按項的變化趨勢遞增數(shù)列從第2項起,每一項都大于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列從第2項起,每一項都小于它的前一項的數(shù)列常數(shù)列各項相等的數(shù)列擺動數(shù)列從第2項起,有些項大于它的前一項,有些項小于它的前一項的數(shù)列三、數(shù)列與函數(shù)數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是序號n，對應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項an，記為an＝f(n)．另一方面，對于函數(shù)y＝f(x)，如果f(n)(n∈N*)有意義，那么構(gòu)成了一個數(shù)列{f(n)}．f(1)，f(2)，…，f(n)，…1.下列敘述正確的是()A.所有數(shù)列可分為遞增數(shù)列和遞減數(shù)列兩類B.數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定C.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}D.同一個數(shù)在數(shù)列中不可能重復(fù)出現(xiàn)解析:按項的變化趨勢,數(shù)列可分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列等數(shù)列,A錯誤;數(shù)列1,3,5,7與由實數(shù)1,3,5,7組成的集合{1,3,5,7}是兩個不同的概念,C錯誤;同一個數(shù)在數(shù)列中可能重復(fù)出現(xiàn),如2,2,2,…表示由實數(shù)2構(gòu)成的常數(shù)列,D錯誤;對于給定的數(shù)列,數(shù)列中的數(shù)由它的位置序號唯一確定,B正確.答案:B四、數(shù)列的通項公式如果數(shù)列{an}的第n項an與它的序號n之間的對應(yīng)關(guān)系可以用一個式子來表示,那么這個式子叫做這個數(shù)列的通項公式.點睛：(1)數(shù)列的通項公式實際上是一個以正整數(shù)集N*(或它的有限子集){1,2,…,n}為定義域的函數(shù)表達(dá)式.(2)并不是所有的數(shù)列都有通項公式.(3)同一數(shù)列的通項公式,其表達(dá)形式可以是不唯一的,例如數(shù)列-1,1,-1,1,-1,1,…的通項公式可以寫成an=(-1)n,an=(-1)n+2,an=cosnπ等.1.若數(shù)列{an}的通項公式是an=n2-1,則該數(shù)列的第10項a10=,224是該數(shù)列的第項.

解析:a10=102-1=99.令an=n2-1=224,解得n=15,即224是該數(shù)列的第15項.答案:9915三、典例解析例1.根據(jù)下列數(shù)列{an}的通項公式，寫出數(shù)列的前5項,并畫出它們的圖像.

（1）an=n2+n2解:（1）當(dāng)通項公式中的n=1，2，3，4，5

時，數(shù)列{an}的前5項依次為1,3,6,10,15

如圖所示(1)（2）當(dāng)通項公式中的n=1，2，3，4，5

時，數(shù)列{an}的前5項依次為1,0,-1,0,1如圖所示(2)例2.根據(jù)數(shù)列的前4項,寫出下列數(shù)列的一個通項公式:(1)12,2,92,8,(2)1,-3,5,-7,9,…;(3)9,99,999,9999,…;(4)22(5)-11×2,12×3(6)4,0,4,0,4,0,….解:(1)數(shù)列的項有的是分?jǐn)?shù),有的是整數(shù),可先將各項都統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察,12,42,92,16(2)數(shù)列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,…是連續(xù)的正奇數(shù),其通項公式為2n-1;考慮(-1)n+1具有轉(zhuǎn)換符號的作用,所以數(shù)列的一個通項公式為an=(-1)n+1(2n-1).(3)各項加1后,分別變?yōu)?0,100,1000,10000,…,此數(shù)列的通項公式為10n,可得原數(shù)列的一個通項公式為an=10n-1.(4)數(shù)列中每一項均由三部分組成,分母是從1開始的奇數(shù)列,其通項公式為2n-1;分子的前一部分是從2開始的自然數(shù)的平方,其通項公式為(n+1)2,分子的后一部分是減去一個自然數(shù),其通項公式為n,綜合得原數(shù)列的一個通項公式為an=(n(5)這個數(shù)列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù),且奇數(shù)項為負(fù),偶數(shù)項為正,所以它的一個通項公式是an=(-1)n·1n(6)由于該數(shù)列中,奇數(shù)項全部都是4,偶數(shù)項全部都是0,因此可用分段函數(shù)的形式表示通項公式,即an=4,n為奇數(shù),0,n為偶數(shù).又因為數(shù)列可改寫為2+2,2-2,2+2,2-2,2+2,2-2,…,因此其通項公式又可表示為an=2根據(jù)數(shù)列的前幾項寫通項公式的具體思路為:(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu),如都化成分?jǐn)?shù)、根式等.(2)分析這一結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對應(yīng)序號間的關(guān)系.(3)對于符號交替出現(xiàn)的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)k處理符號.(4)對于周期出現(xiàn)的數(shù)列,考慮利用周期函數(shù)的知識解答.2.常見數(shù)列的通項公式(1)數(shù)列-1,1,-1,1,…的一個通項公式是an=(-1)n,數(shù)列1,-1,1,-1,…的一個通項公式是an=(-1)n+1或(-1)n-1.(2)數(shù)列1,2,3,4,…的一個通項公式是an=n.(3)數(shù)列1,3,5,7,…的一個通項公式是an=2n-1.(4)數(shù)列2,4,6,8,…的一個通項公式是an=2n.(5)數(shù)列1,2,4,8,…的一個通項公式是an=2n-1.(6)數(shù)列1,4,9,16,…的一個通項公式是an=n2.(7)數(shù)列1,3,6,10,…的一個通項公式是an=n((8)數(shù)列1,12,13,14跟蹤訓(xùn)練1.寫出下列數(shù)列的一個通項公式,使它的前4項分別是下列各數(shù):(1)1,13,15,17;(2)21(3)3,5,9,17;(4)23(5)7,77,777,7777.解:(1)an=12n-1;(2)an=2n+12n;(3)a(4)an=2n(2n)2-1;(5)a例3(1)已知數(shù)列{an}滿足an=n2-5n-6,n∈N*.①數(shù)列中有哪些項是負(fù)數(shù)?②當(dāng)n為何值時,an取得最小值?求出此最小值.(2)已知數(shù)列{an}的通項公式an=(n+1)1011n(n∈N*),試問數(shù)列{an}有沒有最大項?若有,求出最大項和最大項的項數(shù);若沒有,分析:(1)①根據(jù)數(shù)列的函數(shù)的特征,以及不等式的解法,即可求出;②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出.(2)數(shù)列{an}的通項計算an+1-an確定單調(diào)性求解最大(小)項(1)解:①an=n2-5n-6<0,解得0<n<6.∵n∈N*,∴數(shù)列中第1,2,3,4,5項為負(fù)數(shù),即-10,-12,-12,-10,-6.②an=n2-5n-6=n-522-494,當(dāng)n=2,3時,a(2)解法一:∵an+1-an=(n+2)1011n+1-(=1011∴當(dāng)n<9時,an+1-an>0,即an+1>an;當(dāng)n=9時,an+1-an=0,即an+1=an;當(dāng)n>9時,an+1-an<0,即an+1<an.故a1<a2<a3<…<a9=a10>a11>a12>…,∴數(shù)列中有最大項,最大項為第9,10項,即a9=a10=10解法二:設(shè)ak是數(shù)列{an}的最大項,則a整理,得10k+10≥11k,所以k=9或k=10.又a1=2011<a9=a10,即數(shù)列{an}中的最大項為a9=a10=1求數(shù)列的最大(小)項的兩種方法(1)由于數(shù)列是特殊的函數(shù),所以可以用研究函數(shù)的思想方法來研究數(shù)列的相關(guān)性質(zhì),如單調(diào)性、最大值、最小值等,此時要注意數(shù)列的定義域為正整數(shù)集或其有限子集{1,2,…,n}這一條件.(2)可以利用不等式組an-1≤a利用不等式組an-1≥a變式探究：在本例(2)中,若已知數(shù)列的通項公式an=1n+3·98n,n∈N*,試求該數(shù)列解:設(shè)第n項an最小,則a即1n+3所以5≤n≤6,所以n=5或n=6.又a1=932>a5=a6即a5與a6都是數(shù)列的最小項,且a5=a6=95通過古詩及生活中的情景，引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)學(xué)眼光，分析問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)分析。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過具體問題的思考和分析，幫助學(xué)生觀察、分析、歸納總結(jié)出數(shù)列的概念。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過數(shù)列概念的解讀，并與集合、函數(shù)概念的比較，深化對數(shù)列概念的理解。發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。通過典型例題，加深學(xué)生對數(shù)列概念的理解和運用，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素通過典型例題，幫助靈活運用數(shù)列的概念解決問題，發(fā)展學(xué)生邏輯推理，直觀想象、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng)。三、達(dá)標(biāo)檢測1.下列各項表示數(shù)列的是()A.△,○,☆,□B.2008,2009,2010,…,2017C.銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形D.a+b,a-b,ab,λa解析:數(shù)列是指按照一定次序排列的一列數(shù),而不能是圖形、文字、向量等,只有B項符合.答案:B2.下列數(shù)列既是遞增數(shù)列,又是無窮數(shù)列的是()A.1,2,3,…,20B.-1,-2,-3,…,-n,…C.1,2,3,2,5,6,…D.-1,0,1,2,…,100,…解析:由遞增數(shù)列和無窮數(shù)列的定義知D項正確.答案:D3.觀察圖中5個圖形的相應(yīng)小圓圈的個數(shù)的變化規(guī)律,猜想第n個圖中有小圓圈.

分析:仔細(xì)觀察每個圖形中圓圈的個數(shù)與對應(yīng)順序之間的關(guān)系,從而歸納出第n個圖形中小圓圈的個數(shù).解析:觀察圖中5個圖形小圓圈的個數(shù)分別為1,1×2+1,2×3+1,3×4+1,4×5+1,…,故第n個圖中小圓圈的個數(shù)為(n-1)·n+1=n2-n+1.答案:n2-n+14.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=log3(2n+1),則a3=.

解析:觀察可得數(shù)列的一個通項公式是an=4n-1,而53=75=4×19-答案:195.已知數(shù)列3,7,11,15,…,則解析:∵an=log3(2n+1),∴a3=log3(23+1)=log39=2.答案:26.在數(shù)列{an}中,已知an=n2+n-13((1)寫出a10,an+1.(2)7923是不是該數(shù)列中的項?如果是,是第幾項解:(1)a10=102+10-13=(2)令an=n2+n-13=7923,解得n=15(n=-16舍去),所以797.已知數(shù)列{an}的通項公式an=kn2n+3(k(1)當(dāng)k