高三一輪數(shù)學（文）總復習-1.1集合及其運算【系列一】

2017年高考“最后三十天”專題透析2017年高考“最后三十天”專題透析好教育云平臺——教育因你我而變好教育云平臺——教育因你我而變第一章集合與常用邏輯用語1．集合(1)集合的含義與表示①了解集合的含義，體會元素與集合的屬于關系．②能用自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題．(2)集合間的基本關系①理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集．②在具體情境中，了解全集與空集的含義．(3)集合的基本運算①理解兩個集合的并集與交集的含義，會求兩個簡單集合的并集與交集．②理解在給定集合中一個子集的補集的含義，會求給定子集的補集．③能使用韋恩(Venn)圖表達集合間的基本關系及集合的基本運算．2．常用邏輯用語(1)理解命題的概念．(2)了解“若p，則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系．(3)理解必要條件、充分條件與充要條件的含義．(4)了解邏輯聯(lián)結詞“或”“且”“非”的含義．(5)理解全稱量詞和存在量詞的意義．(6)能正確地對含一個量詞的命題進行否定．1．1集合及其運算1．集合的基本概念(1)我們把研究對象統(tǒng)稱為________，把一些元素組成的總體叫做________．(2)集合中元素的三個特性：__________，_________，___________.(3)集合常用的表示方法：________和________．2．常用數(shù)集的符號數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集復數(shù)集符號3.元素與集合、集合與集合之間的關系(1)元素與集合之間存在兩種關系：如果a是集合A中的元素，就說a________集合A，記作________；如果a不是集合A中的元素，就說a________集合A，記作________．(2)集合與集合之間的關系：表示關系文字語言符號語言相等集合A與集合B中的所有元素都相同__________?A＝B子集A中任意一個元素均為B中的元素________或________真子集A中任意一個元素均為B中的元素，且B中至少有一個元素不是A中的元素________或________空集空集是任何集合的子集，是任何______的真子集??A，?B(B≠?)結論：集合{a1，a2，…，an}的子集有______個，非空子集有________個，非空真子集有________個．4．兩個集合A與B之間的運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示若全集為U，則集合A的補集記為________Venn圖表示(陰影部分)意義5.集合運算中常用的結論(1)①A∩B________A；②A∩B________B；③A∩A＝________；④A∩?＝________；⑤A∩B________B∩A.(2)①A∪B________A;②A∪B________B；③A∪A＝________；④A∪?＝________；⑤A∪B________B∪A.(3)①?U(?UA)＝________；②?UU＝________；③?U?＝________；④A∩(?UA)＝________；⑤A∪(?UA)＝________.(4)①A∩B＝A?________?A∪B＝B；②A∩B＝A∪B?____________．(5)記有限集合A，B的元素個數(shù)為card(A)，card(B)，則：card(A∪B)＝_________________________；card[?U(A∪B)]＝_______________________.自查自糾：1．(1)元素集合(2)確定性互異性無序性(3)列舉法描述法2．NN*(N＋)ZQRC3．(1)屬于a∈A不屬于a?A(2)A?B且B?AA?BB?AABBA非空集合2n2n－12n－24．A∪BA∩B?UA{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A且x∈B}{x|x∈U且x?A}5．(1)①?②?③A④?⑤＝(2)①?②?③A④A⑤＝(3)①A②?③U④?⑤U(4)①A?B②A＝B(5)card(A)＋card(B)－card(A∩B)card(U)－card(A)－card(B)＋card(A∩B)(eq\a\vs4\al(2017·全國卷Ⅲ))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，則A∩B中元素的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解：由題意可得：A∩B＝{2，4}．故選B.(eq\a\vs4\al(2017·全國卷Ⅱ))設集合A＝{1，2，3}，B＝{2，3，4}，則A∪B＝()A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}C．{2，3，4} D．{1，3，4}解：由題意A∪B＝{1，2，3，4}．故選A.(eq\a\vs4\al(2017·全國卷Ⅰ))已知集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|3－2x＞0}，則()A．A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(3,2))) B．A∩B＝?C．A∪B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(3,2))) D．A∪B＝R解：由3－2x>0得x<eq\f(3,2)，所以A∩B＝{x|x<2}∩eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(3,2)))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<\f(3,2))).故選A.(eq\a\vs4\al(2017·全國卷Ⅲ))已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，則A∩B中元素的個數(shù)為________．解：A表示圓x2＋y2＝1上所有點的集合，B表示直線y＝x上所有點的集合，故A∩B表示直線與圓的交點，由圖可知交點的個數(shù)為2，即A∩B中元素的個數(shù)為2.故填2.(eq\a\vs4\al(2016·天津))已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A},則A∩B＝________.解：因為A＝{1，2，3，4}，所以B＝{1，4，7，10}，則A∩B＝{1，4}．故填{1，4}．類型一集合及相關概念(1)已知集合A＝{0，1，2}，則集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的個數(shù)是()A．1B．3C．5D．9(2)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個元素，則實數(shù)a＝()A.eq\f(9,2) B.eq\f(9,8) C．0 D．0或eq\f(9,8)解：(1)當x＝0，y＝0，1，2時，x－y＝0，－1，－2；當x＝1，y＝0，1，2時，x－y＝1，0，－1；當x＝2，y＝0，1，2時，x－y＝2，1，0.根據(jù)集合中元素的互異性可知，B的元素為－2，－1，0，1，2，共5個．故選C.(2)若集合A中只有一個元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個實根或有兩個相等實根．當a＝0時，x＝eq\f(2,3)，符合題意；當a≠0時，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值為0或eq\f(9,8).故選D.點撥：第(1)題易忽視集合中元素的互異性誤選D.第(2)題集合A中只有一個元素，要分a＝0與a≠0兩種情況進行討論，此題易忽視a＝0的情形．用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點集還是其他類型的集合．(1)設a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，則b－a＝________.(2)已知集合A＝{x∈R|ax2＋3x－2＝0}，若A＝?，則實數(shù)a的取值范圍為________．解：(1)因為{1，a＋b，a}＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(0，\f(b,a)，b))，a≠0，所以a＋b＝0，eq\f(b,a)＝－1，從而b＝1，所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.故填2.(2)由A＝?知方程ax2＋3x－2＝0無實根，當a＝0時，x＝eq\f(2,3)不合題意，舍去；當a≠0時，Δ＝9＋8a<0，所以a<－eq\f(9,8).故填eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(9,8))).類型二集合間的關系已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}．(1)若B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，A?B，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，B?A，求實數(shù)m的取值范圍．解：由A＝{x|x2－3x－10≤0}，得A＝{x|－2≤x≤5}．(1)若A?B，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＞m－6，,m－6≤－2，,2m－1≥5，))解得3≤m≤4.所以m的取值范圍為[3，4]．(2)若B?A，則①當B＝?，有m＋1＞2m－1，即m＜2，此時滿足B?A；②當B≠?，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤2m－1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5，))解得2≤m≤3.由①②得，m的取值范圍是(－∞，3]．點撥：本例主要考查了集合間的關系，“當B?A時，B可能為空集”很容易被忽視，要注意這一“陷阱”．(1)已知集合A＝{x|lgx>0}，B＝{x|x≤1}，則()A．A∩B≠? B．A∪B＝RC．B?A D．A?B解：由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lgx>0}＝(1，＋∞)，所以A∪B＝R.故選B.(2)已知集合A＝{x|x2－2018x－2019≤0}，B＝{x|x<m＋1}，若A?B，則實數(shù)m的取值范圍是________．解：由x2－2018x－2019≤0，得A＝[－1，2019]，又B＝{x|x<m＋1}，且A?B，所以m＋1>2019，則m>2018.故填(2018，＋∞)．類型三集合的運算(1)(eq\a\vs4\al(2015·全國卷Ⅰ))已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為()A．5B．4C．3D．2(2)(eq\a\vs4\al(2016·浙江))設集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，則P∪(?RQ)＝()A．[2，3] B．(－2，3]C．[1，2) D．(－∞，－2)∪[1，＋∞)解：(1)集合A中元素滿足x＝3n＋2，n∈N，即被3除余2，而集合B中滿足這一要求的元素只有8和14.共2個元素．故選D.(2)易知Q＝{x|x≥2或x≤－2}．所以?RQ＝{x|－2<x<2}，又P＝{x|1≤x≤3}，故P∪(?RQ)＝{x|－2<x≤3}．故選B.點撥：集合的運算問題，一般要先研究集合中元素的構成，能化簡的要先化簡，同時注意數(shù)形結合，即借助數(shù)軸、坐標系、韋恩(Venn)圖等進行運算．(1)如果S＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，3，4}，B＝{2，4，5}，那么(?SA)∩(?SB)等于()A．?B．{1，3}C．{4}D．{2，5}解：因為?SA＝{2，5}，?SB＝{1，3}，所以(?SA)∩(?SB)＝?．故選A.(2)設全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，P＝{1，2，3，4，5}，Q＝{3，4，5，6，7}，則P∩(?UQ)等于()A．{1，2}B．{3，4，5}C．{1，2，6，7}D．{1，2，3，4，5}解：因為?UQ＝{1，2}，所以P∩(?UQ)＝{1，2}．故選A.類型四韋恩(Venn)圖及其應用設全集為R，集合M＝{y|y＝2x＋1，－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)}，N＝{x|y＝lg(x2＋3x)}，則韋恩圖中陰影部分表示的集合在數(shù)軸上表示為()解：因為－eq\f(1,2)≤x≤eq\f(1,2)，y＝2x＋1，所以0≤y≤2，所以M＝{y|0≤y≤2}．因為x2＋3x>0，所以x>0或x<－3，所以N＝{x|x>0或x<－3}，韋恩圖中陰影部分表示的集合為(?RM)∩N，又?RM＝{x|x<0或x>2}，所以(?RM)∩N＝{x|x<－3或x>2}．故選C.點撥：韋恩(Venn)圖能更直觀地表示集合之間的關系，先化簡集合，再由韋恩(Venn)圖所表示的集合關系進行運算．如圖，全集I＝R，集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|1＜x＜3}，則圖中陰影部分所表示的集合為()A．{x|1＜x＜2} B．{x|0＜x＜3}C．{x|x＜3} D．{x|x＞0}解：由韋恩(Venn)圖可知，陰影部分表示的是集合A∪B＝{x|0＜x＜3}．故選B.1． 首先要弄清構成集合的元素是什么，如是數(shù)集還是點集，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．2．集合中的元素具有三性——確定性、互異性、無序性，特別是互異性，在判斷集合中元素的個數(shù)以及在含參的集合運算中，常因忽視互異性，疏于檢驗而出錯．3．數(shù)形結合常使集合間的運算更簡捷、直觀．對離散的數(shù)集間的運算或抽象集合間的運算，可借助韋恩(Venn)圖實施；對連續(xù)的數(shù)集間的運算，常利用數(shù)軸進行；對點集間的運算，則往往通過坐標平面內(nèi)的圖形求解．這在本質(zhì)上是數(shù)形結合思想的體現(xiàn)和運用．4．空集是不含任何元素的集合，在未明確說明一個集合非空的情況下，要考慮集合為空集的可能．另外，不可忽視空集是任何元素的子集．5．五個關系式A?B，A∩B＝A，A∪B＝B，?UB??UA以及A∩(?UB)＝?是兩兩等價的．對這五個式子的等價轉換，常使較復雜的集合運算變得簡單．6．正難則反原則對于一些比較復雜，比較抽象，條件和結論不明確，難以從正面入手的涉及集合的數(shù)學問題，在解題時要調(diào)整思路，考慮問題的反面，探求已知與未知的關系，化難為易，化隱為顯，從而解決問題．例如：已知A＝{x|x2＋x＋a≤0}，B＝{x|x2－x＋2a－1＜0}，C＝{x|a≤x≤4a－9}，且A，B，C中至少有一個不是空集，求a的取值范圍．這個問題的反面即是三個集合全為空集，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－4a＜0，,1－4（2a－1）≤0，,a＞4a－9，))解得eq\f(5,8)≤a＜3，從而所求a的取值范圍為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a|a＜\f(5,8)或a≥3)).1．(eq\a\vs4\al(2016·北京))已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，則A∩B＝()A．{x|2＜x＜5}B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3}D．{x|x＜2或x＞5}解：易知A∩B＝(2，3)．故選C.2．(eq\a\vs4\al(2016·四川))設集合A＝{x|－2≤x≤2}，Z為整數(shù)集，則集合A∩Z中元素的個數(shù)是()A．3B．4C．5D．6解：由題意，A∩Z＝{－2，－1，0，1，2}，則元素的個數(shù)為5.故選C.3．(eq\a\vs4\al(2015·浙江))已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<x≤2}，則(?RP)∩Q＝()A．[0，1) B．(0，2]C．(1，2) D．[1，2]解：由題意得?RP＝(0，2)，所以(?RP)∩Q＝(1，2)．故選C.4．(eq\a\vs4\al(2017·江蘇))已知集合A＝{1，2}，B＝{a，a2＋3}．若A∩B＝{1}，則實數(shù)a的值為()A．－eq\r(2)B．0C．1D．2解：a2＋3＞1，故只能有a＝1.故選C.5．已知方程x2－px＋15＝0與x2－5x＋q＝0的解集分別為S與M，且S∩M＝{3}，則p＋q的值是()A．2B．7C．11D．14解：由交集定義可知，3既是集合S中的元素，也是集合M中的元素．亦即是方程x2－px＋15＝0與x2－5x＋q＝0的公共解，把3代入兩方程，可知p＝8，q＝6，則p＋q的值為14.故選D.6．設全集U為整數(shù)集，集合A＝{x∈N|y＝eq\r(7x－x2－6)}，B＝{x∈Z|－1<x≤3}，則圖中陰影部分表示的集合的真子集的個數(shù)為()A．3B．4C．7D．8解：A＝{x∈N|y＝eq\r(7x－x2－6)}＝{x∈N|7x－x2－6≥0}＝{x∈N|1≤x≤6}，由題意知，圖中陰影部分表示的集合為A∩B＝{1，2，3}，其真子集有：?，{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，共7個．故選C.7．(eq\a\vs4\al(2017·天津))設集合A＝{1，2，6}，B＝{2，4}，C＝{1，2，3，4}，則(A∪B)∩C＝________.解：A∪B＝{1，2，4，6}，所以(A∪B)∩C＝{1，2，4}．故填{1，2，4}．8．已知集合A，B與集合A@B的對應關系如下表：A{1，2，3，4，5}{－1，0，1}{－4，8}B{2，4，6，8}{－2，－1，0，1}{－4，－2，0，2}A@B{1，3，5，6，8}{－2}{－2，0，2，8}若A＝{－2019，0，2018}，B＝{－2019，0，2017}，試根據(jù)圖表中的規(guī)律寫出A@B＝________.解：由規(guī)律知，A@B是由A∪B中元素去掉A∩B中元素構成的集合，故A@B＝{2017，2018}．故填{2017，2018}．9．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m，－3}，且3∈A，求m的值．解：因為3∈A，所以m＋2＝3或2m2＋m＝3，解得m＝1或m＝－eq\f(3,2).當m＝1時，m＋2＝2m2＋m＝3，不滿足集合元素的互異性，當m＝－eq\f(3,2)時，A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4