差分與求根問題課件

12022/12/16

問題1：建模時碰到導數(shù)模型怎么辦？前提條件：12022/12/11問題1：建模時碰到導數(shù)模型怎么辦？22022/12/16初值問題數(shù)值解的提法22022/12/11初值問題數(shù)值解的提法32022/12/16對微分方程進行數(shù)值求解,首先要將微分方程離散化.一般采用以下幾種方法:(1)用差商近似導數(shù)32022/12/11對微分方程進行數(shù)值求解,首先要將微分方42022/12/16(2)用數(shù)值積分近似積分實際上是矩形法寬高42022/12/11(2)用數(shù)值積分近似積分實際上是矩形52022/12/16(3)用Taylor多項式近似并可估計誤差Taylor展開方法的處理手續(xù)繁瑣，演繹過程冗長繁雜。所以，現(xiàn)實中應用較少。52022/12/11(3)用Taylor多項式近似并可62022/12/16差分方法目標：將尋求微分方程的解y(x)的分析問題轉(zhuǎn)化為計算離散值{yn}的代數(shù)問題差分：相鄰函數(shù)值之差采用差分格式（步進方式），求解過程隨著節(jié)點排列的次序一步一步向前推進，即利用yn,yn-1,yn-2,…,計算yn+1的遞推公式由于計算模型僅含一個變元yn+1

，問題規(guī)模減小62022/12/11差分方法72022/12/16兩類差分格式單步法：直接利用上一步的信息yn設計某種嵌套結(jié)構(gòu)來提高差分格式的精度，如Runge-Kutta方法線性多步法：利用前面多步的老信息yn,yn-1,yn-2,…通過線性組合生成高精度的差分格式72022/12/11兩類差分格式82022/12/16用差商近似區(qū)間左端點的導數(shù)問題轉(zhuǎn)化為Euler格式1.Euler方法82022/12/11用差商近似區(qū)間左端點的導數(shù)問題轉(zhuǎn)化為E92022/12/16例解初值問題的迭代公式為:92022/12/11例解初值問題的迭代公式為:102022/12/16近似解精確解01.0.11.10.21.19180.31.27740.41.35820.51.43510.61.50900.71.58030.81.64980.91.71781.01.7848y[0]->1y[0.1]->1.0954y[0.2]->1.1832y[0.3]->1.2649y[0.4]->1.3416y[0.5]->1.4142y[0.6]->1.4832y[0.7]->1.5492y[0.8]->1.6125y[0.9]->1.6733y[1.0]->1.7321102022/12/11近似解精確解01112022/12/16112022/12/11122022/12/16Y=y(x)abEuler格式精度較低，僅為1階！注：這是“折線法”而非“切線法”，即除第一個點是曲線切線外，其余點則不是！122022/12/11Y=y(x)abEuler格式精度較132022/12/16則得隱式Euler格式：隱式Euler格式精度仍很低，還是1階！132022/12/11則得隱式Euler格式：隱式Eule142022/12/16則得Euler兩步格式：Euler兩步格式精度較前兩種有所提高！但：需借助于某種一步法另提供一個開始值y1。142022/12/11則得Euler兩步格式：Euler兩152022/12/16對上面第一個方程的兩端從xn到xn+1進行積分:是顯式Euler格式與隱式Euler格式的算術(shù)平均，比Euler精度高一些（2階），但計算量較大梯形格式152022/12/11對上面第一個方程的兩端從xn到xn+162022/12/16實際計算中只迭代一次，這樣建立的預報校正系統(tǒng)稱作改進的歐拉公式。改進的Euler方法將梯形格式與顯式Euler格式結(jié)合，形成預報校正系統(tǒng)：預報值校正值162022/12/11實際計算中只迭代一次，這樣建立的預報172022/12/16例解172022/12/11例解182022/12/16Euler近似解精確解01.0.11.09590.21.18410.31.26620.41.34340.51.41640.61.48600.71.55250.81.61650.91.67821.01.7379改進Euler近似解01.0.11.10.21.19180.31.27740.41.35820.51.43510.61.50900.71.58030.81.64980.91.71781.01.7848y[0]->1y[0.1]->1.0954y[0.2]->1.1832y[0.3]->1.2649y[0.4]->1.3416y[0.5]->1.4142y[0.6]->1.4832y[0.7]->1.5492y[0.8]->1.6125y[0.9]->1.6733y[1.0]->1.7321182022/12/11Euler近似解精確解0192022/12/16Euler方法的收斂性和精度分析Euler顯式、隱式格式與改進的Euler格式是收斂的稱某個差分格式具有m階精度，如果其對應的近似關(guān)系式對于次數(shù)≤m的多項式均能準確成立，而對于y=xm+1不準確顯式Euler格式：1階隱式Euler格式：1階梯形格式：2階192022/12/11Euler方法的收斂性和精度分析Eu202022/12/162.龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法理論上,公式階數(shù)越高，精確度越高，但計算量過大觀察只要對平均斜率提供一種算法，便可由上式導出一種計算格式平均斜率202022/12/112.龍格-庫塔(Runge-Kut212022/12/16共同的特點是:給我們的啟示：設法在[xn,xn+1]上多預報幾個點的斜率，對它們進行加權(quán)平均作為平均斜率212022/12/11共同的特點是:給我們的啟示：設法在[222022/12/16Euler中點格式特例2：當p=1/2,

λ=1時當r＝2時，二階R-K格式當r＝1時，一階R-K格式Euler格式改進的Euler格式特例1：當p=1,λ=1/2時222022/12/11Euler中點格式特例2：當p=1/232022/12/16三階R-K方法.四階經(jīng)典R-K格式232022/12/11三階R-K方法.四階經(jīng)典R-K格式242022/12/16例解242022/12/11例解252022/12/16精確解y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657改進Euler近似解01.0.11.095440.21.183220.31.264910.41.341650.51.414220.61.483263階R-K近似解252022/12/11精確解y[0]->10262022/12/16精確解y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.095440.21.183220.31.264910.41.341650.51.414220.61.483263階R-K近似解0.010.11.095450.21.183220.31.264910.41.341640.51.414220.61.483244階R-K近似解262022/12/11精確解y[0]->10272022/12/16問題：重點研究由于函數(shù)f(x)的復雜性，在絕大多數(shù)情況下沒有根的顯式表達式。出發(fā)點：數(shù)值方法求根的近似值272022/12/11問題：重點研究由于函282022/12/16一般提法與結(jié)論282022/12/11一般提法與結(jié)論292022/12/16搜索法：先求出使的點，然后將這些點放在定義域內(nèi)，從而將定義域分成幾部分，算出駐點處的函數(shù)值，即可知道方程的有根區(qū)間。1.根的搜索292022/12/11搜索法：先求出使的302022/12/16根的二分搜索法根存在，但未必好求，可用二分法。不妨假設f(a)<0，f(b)>0，取中點x0=(a+b)/2，302022/12/11根的二分搜索法根存在，但未必好求，可312022/12/16312022/12/11322022/12/16322022/12/11332022/12/16優(yōu)點：對函數(shù)要求低，計算簡單缺點：收斂慢且對有偶數(shù)重根的情況不適合二分法的特點：332022/12/11優(yōu)點：對函數(shù)要求低，計算簡單二分法的342022/12/16例

解：如此二分下去即可?，F(xiàn)估計二分次數(shù)所以，二分6次可達到要求。342022/12/11例解：如此二分下去即可?，F(xiàn)估計二分352022/12/16基本思想

構(gòu)造不動點方程，以求得近似根。即由方程f(x)=0變換為其等價形式x=(x)，然后建立迭代格式

當給定初值x0后,由迭代格式可求得數(shù)列{xk}。此數(shù)列可能收斂，也可能不收斂。如果{xk}收斂于x*，則它就是方程的根。因為：2.迭代法及其收斂性352022/12/11基本思想構(gòu)造不動362022/12/16

按上述方法構(gòu)造迭代格式來求解方程的方法稱為簡單迭代法或逐次迭代法。362022/12/11按上述方法構(gòu)造迭代格式來求372022/12/16求方程將方程改寫成下列形式

據(jù)此建立迭代公式例

解:372022/12/11求方程將方程改寫成下列形式據(jù)此建立382022/12/16求方程將方程分別改寫成下列形式

據(jù)此建立迭代公式例解382022/12/11求方程將方程分別改寫成下列形式據(jù)此392022/12/16定理392022/12/11定理402022/12/16提示402022/12/11提示412022/12/16迭代法的局部收斂性定義：對于方程定理412022/12/11迭代法的局部收斂性定義：對于方程定理422022/12/16求方程將方程分別改寫成下列形式。例解,所以迭代法發(fā)散.所以迭代法收斂.422022/12/11求方程將方程分別改寫成下列形式。例解432022/12/16求方程例432022/12/11求方程例442022/12/16迭代過程的收斂速度442022/12/11迭代過程的收斂速度452022/12/163.Newton法452022/12/113.Newton法462022/12/16牛頓法對應的迭代方程為，故其迭代函數(shù)為

假設x*

是方程f(x)=0的單根，即f(x*)=0,則462022/12/11牛頓法對應的迭代方程為472022/12/16例解迭代解1.0.571022.0.5671563.0.5671434.0.5671435.0.5671436.0.5671437.0.5671438.0.567143精確解{x->0.567143}472022/12/11例解迭代解482022/12/16牛頓法的特點優(yōu)點:

收斂快，邏輯結(jié)構(gòu)簡單!缺點:若初值選的不恰當，迭代法從一個根跳到另一個根的情形,即會導致迭代發(fā)散。482022/12/11牛頓法的特點優(yōu)點:收斂快，邏輯結(jié)構(gòu)492022/12/16

問題1：建模時碰到導數(shù)模型怎么辦？前提條件：12022/12/11問題1：建模時碰到導數(shù)模型怎么辦？502022/12/16初值問題數(shù)值解的提法22022/12/11初值問題數(shù)值解的提法512022/12/16對微分方程進行數(shù)值求解,首先要將微分方程離散化.一般采用以下幾種方法:(1)用差商近似導數(shù)32022/12/11對微分方程進行數(shù)值求解,首先要將微分方522022/12/16(2)用數(shù)值積分近似積分實際上是矩形法寬高42022/12/11(2)用數(shù)值積分近似積分實際上是矩形532022/12/16(3)用Taylor多項式近似并可估計誤差Taylor展開方法的處理手續(xù)繁瑣，演繹過程冗長繁雜。所以，現(xiàn)實中應用較少。52022/12/11(3)用Taylor多項式近似并可542022/12/16差分方法目標：將尋求微分方程的解y(x)的分析問題轉(zhuǎn)化為計算離散值{yn}的代數(shù)問題差分：相鄰函數(shù)值之差采用差分格式（步進方式），求解過程隨著節(jié)點排列的次序一步一步向前推進，即利用yn,yn-1,yn-2,…,計算yn+1的遞推公式由于計算模型僅含一個變元yn+1

，問題規(guī)模減小62022/12/11差分方法552022/12/16兩類差分格式單步法：直接利用上一步的信息yn設計某種嵌套結(jié)構(gòu)來提高差分格式的精度，如Runge-Kutta方法線性多步法：利用前面多步的老信息yn,yn-1,yn-2,…通過線性組合生成高精度的差分格式72022/12/11兩類差分格式562022/12/16用差商近似區(qū)間左端點的導數(shù)問題轉(zhuǎn)化為Euler格式1.Euler方法82022/12/11用差商近似區(qū)間左端點的導數(shù)問題轉(zhuǎn)化為E572022/12/16例解初值問題的迭代公式為:92022/12/11例解初值問題的迭代公式為:582022/12/16近似解精確解01.0.11.10.21.19180.31.27740.41.35820.51.43510.61.50900.71.58030.81.64980.91.71781.01.7848y[0]->1y[0.1]->1.0954y[0.2]->1.1832y[0.3]->1.2649y[0.4]->1.3416y[0.5]->1.4142y[0.6]->1.4832y[0.7]->1.5492y[0.8]->1.6125y[0.9]->1.6733y[1.0]->1.7321102022/12/11近似解精確解01592022/12/16112022/12/11602022/12/16Y=y(x)abEuler格式精度較低，僅為1階！注：這是“折線法”而非“切線法”，即除第一個點是曲線切線外，其余點則不是！122022/12/11Y=y(x)abEuler格式精度較612022/12/16則得隱式Euler格式：隱式Euler格式精度仍很低，還是1階！132022/12/11則得隱式Euler格式：隱式Eule622022/12/16則得Euler兩步格式：Euler兩步格式精度較前兩種有所提高！但：需借助于某種一步法另提供一個開始值y1。142022/12/11則得Euler兩步格式：Euler兩632022/12/16對上面第一個方程的兩端從xn到xn+1進行積分:是顯式Euler格式與隱式Euler格式的算術(shù)平均，比Euler精度高一些（2階），但計算量較大梯形格式152022/12/11對上面第一個方程的兩端從xn到xn+642022/12/16實際計算中只迭代一次，這樣建立的預報校正系統(tǒng)稱作改進的歐拉公式。改進的Euler方法將梯形格式與顯式Euler格式結(jié)合，形成預報校正系統(tǒng)：預報值校正值162022/12/11實際計算中只迭代一次，這樣建立的預報652022/12/16例解172022/12/11例解662022/12/16Euler近似解精確解01.0.11.09590.21.18410.31.26620.41.34340.51.41640.61.48600.71.55250.81.61650.91.67821.01.7379改進Euler近似解01.0.11.10.21.19180.31.27740.41.35820.51.43510.61.50900.71.58030.81.64980.91.71781.01.7848y[0]->1y[0.1]->1.0954y[0.2]->1.1832y[0.3]->1.2649y[0.4]->1.3416y[0.5]->1.4142y[0.6]->1.4832y[0.7]->1.5492y[0.8]->1.6125y[0.9]->1.6733y[1.0]->1.7321182022/12/11Euler近似解精確解0672022/12/16Euler方法的收斂性和精度分析Euler顯式、隱式格式與改進的Euler格式是收斂的稱某個差分格式具有m階精度，如果其對應的近似關(guān)系式對于次數(shù)≤m的多項式均能準確成立，而對于y=xm+1不準確顯式Euler格式：1階隱式Euler格式：1階梯形格式：2階192022/12/11Euler方法的收斂性和精度分析Eu682022/12/162.龍格-庫塔(Runge-Kutta)方法理論上,公式階數(shù)越高，精確度越高，但計算量過大觀察只要對平均斜率提供一種算法，便可由上式導出一種計算格式平均斜率202022/12/112.龍格-庫塔(Runge-Kut692022/12/16共同的特點是:給我們的啟示：設法在[xn,xn+1]上多預報幾個點的斜率，對它們進行加權(quán)平均作為平均斜率212022/12/11共同的特點是:給我們的啟示：設法在[702022/12/16Euler中點格式特例2：當p=1/2,

λ=1時當r＝2時，二階R-K格式當r＝1時，一階R-K格式Euler格式改進的Euler格式特例1：當p=1,λ=1/2時222022/12/11Euler中點格式特例2：當p=1/712022/12/16三階R-K方法.四階經(jīng)典R-K格式232022/12/11三階R-K方法.四階經(jīng)典R-K格式722022/12/16例解242022/12/11例解732022/12/16精確解y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.097740.21.187570.31.271290.41.350130.51.424990.61.49657改進Euler近似解01.0.11.095440.21.183220.31.264910.41.341650.51.414220.61.483263階R-K近似解252022/12/11精確解y[0]->10742022/12/16精確解y[0]->1y[0.1]->1.09545y[0.2]->1.18322y[0.3]->1.26491y[0.4]->1.34164y[0.5]->1.41421y[0.6]->1.4832401.0.11.095440.21.183220.31.264910.41.341650.51.414220.61.483263階R-K近似解0.010.11.095450.21.183220.31.264910.41.341640.51.414220.61.483244階R-K近似解262022/12/11精確解y[0]->10752022/12/16問題：重點研究由于函數(shù)f(x)的復雜性，在絕大多數(shù)情況下沒有根的顯式表達式。出發(fā)點：數(shù)值方法求根的近似值272022/12/11問題：重點研究由于函762022/12/16一般提法與結(jié)論282022/12/11一般提法與結(jié)論772022/12/16搜索法：先求出使的點，然后將這些點放在定義域內(nèi)，從而將定義域分成幾部分，算出駐點處的函數(shù)值，即可知道方程的有根區(qū)間。1.根的搜索292022/12/11搜索法：先求出使的782022/12/16根的二分搜索法根存在，但未必好求，可用二分法。不妨假設f(a)<0，f(b)>0，取中點x0=(a+b)/2，302022/12/11根的二分搜索法根存在，但未必好求，可792022/12/16312022/12/11802022/12/16322022/12/11812022/12/16優(yōu)點：對函數(shù)要求低，計算簡單缺點：收斂慢且對有偶數(shù)重根的情況不適合二分法的特點：332022/12/11優(yōu)點：對函數(shù)要求低，計算簡單二分法的822022/12/16例

解：如此二分下去即可?，F(xiàn)估計二分次數(shù)所以，二分6次可達到要求。342022/12/11例解：如此二分下去即可。現(xiàn)估計二分832022/12/16基本思想

構(gòu)造不動點方程，以求得近似根。即由方程f(