數(shù)列的綜合問題

＋2

＋1?

＋1

＋1－

4．錯位相減法－1 ＋1

＋11．公式法與分組轉(zhuǎn)化法：(1)公式法；(2)分組轉(zhuǎn)化法；2．倒序相加法與并項

n＝(－1)nn2222＋…＋22－12＝(100222－972)＋…＋(222)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5

．裂項相消法：(1)把數(shù)列的通項

.③

.② .③ [例

已知數(shù)列{n}，{n}滿足

1＝5，n＝2n－1＋3∈N*)，nn－3n*)．(1)求數(shù)列{n}的通項公式；(2)求數(shù)列{n

n[解] (1)∵n＝2n－1＋3∈N*n－3nn－1)，n＝2n－1*11n

n

＝2，n－1

(2)通項公式為

nn

nn∴{

(2)通項公式為

nn

nn(2)由(1)知

nnn＝2nn，∴n＝(2＋22＋…＋2n)＋(3＋32＋…＋3n)＝2

[方法技巧](1)若

nnnnn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組轉(zhuǎn)化法求{n}的

n(1)求數(shù)列{n}的通項公式；(2)令

n

，求數(shù)列{n}的前

n[例

(1)求數(shù)列{n}的通項公式；(2)令

n

，求數(shù)列{n}的前

n

nnn＋1n＋1?n＋2?n[解]

nnn－1

11＝11，11222112223

11＝211＝2117＝21＋3

n＝3＋1.(2)由(1)知

n

n

＝3(

n12n

n23＋…＋(n34＋…＋(]，

n2＋23＋24＋…＋2－(]＝－3

n＝3[方法技巧](1)如果數(shù)列{n}是等差數(shù)列，{n}是等比數(shù)列，求數(shù)列{nn}的前

nnnnn

(1)求數(shù)列{n}與{n

n

*n}的前＋1?n (1)求數(shù)列{n}與{n

n

*n}的前＋1?n

＋1

＋1?

＋1

＋1 ＋1

1 3 9＋1?n

n[解] (1)當

nnn－1＝2－2n＝2n

111＋1－2＝2＝21所以數(shù)列{n

n＝2n.則

11＝2.由

139＋22＝2×(2＋8

＝0(舍去)或

＝2，所以數(shù)列{n

n (2)由(1)得

n

，所以數(shù)列{n

n ＝1－

＝1－ 突破點(二)

項和公式、等差?比?中項、等差?比?數(shù)

題..考查方式主要有三種：?1?判斷關的不等式的證明問題.[例

在等差數(shù)列{n}中，10＝30，20求數(shù)列{n}的通項公式；(2)

nn－10，證明：數(shù)列{n}為等比數(shù)列；(3)求數(shù)列{n

n[解] (1)設數(shù)列{n

n1＋(10＝30，2011＝30，＝2.

n＝12＋(－1)×2＝2＋10.1＝12，1＝50，

nn

n(2)證明：由(1)，得

nn－10＝2nn

n

＋1

＝4.所以{n}是

(3)由

nn

n2n，①4n2＋…＋(n4?1－4n①－②，得－3n＝4＋42＋…＋4n －3 .所以

n

[方法技巧]

[例

設等差數(shù)列{n

，點(nn

)＝2x的圖象上(*)．(1)證明：數(shù)列{n}為等比數(shù)列；(2)若

1＝1，函數(shù)

)的圖象在點(22)處

2－

，求數(shù)列{n2n}的前

n[解]

n＝2an＞0.當

n＋1＝2an＋1－andn

(2)函數(shù)

)＝2x

－2

2 2 2 2 22

＝2－

2

2＝2.所以

21

n＝2－

＝2n

n2nn

n23＋…＋(nn23＋…＋(nn－4n＝4＋42＋…＋4nn－4n＝4＋42＋…＋4n－4 .所

n

＋4[方法技巧][例

(2016·鄭州質(zhì)量預測)已知數(shù)列{n}的前

n

nn(1)求數(shù)列{n(2)設

n＝log21＋log22＋…＋log2n，求使(n

∈N*

[解] (1)由

n＝2n－2

1＝2.因為

nn－2，

nnn

n－2n

nn

－1

＝2.所以

n＝2n∈N*)．(2)由(1)知

n＝2n

n21＋log22＋…＋log2n 要使(－8)n

∈N*

－8??＋1?

∈N*

n

＝3

n取得最小值，為－10，所以

－10.

的取值范圍為(－∞，－10]．[方法技巧]

＝30＋2×30＋

＝30＋2×30＋

×4＝1

1.(2012·新課標全國卷)數(shù)列{n

n＋1＋(－1)nn＝2－1，則{n

項和為( A．3

．1

＝2，

＝…＝1，

＝6，1 2 3 5 7 46

n＝1，當

2

30×?30－1?60 n為數(shù)列{n

n>0，2n＋2nn＋3.(1)求{n}的通項公式；(2)設

(1)求{n}的通項公式；(2)設

n

，求數(shù)列{n}的前

2 2解：(1)由

n＋2nn

n＋1＋2n＋1＝4n2 22

2n＋1n＋2(n＋1n)＝4n＋122

n＋1n)＝2n＋1n＝(n＋1nn＋1n)．由

n>0，得

n＋1n21

2＋211

1＝－1(舍去)或

1＝3.所以

n＝2＋1.1(2)由

n＝2＋1

n.則

n

＋3?

(2)由

n＝2＋1

n.則

n

＋3?

＋1 ＋3nn＋1

＋3?

(1)證明n

n

(1)證明n

n

解：(1)由

n

n＋1

n

＝3n

.又

n

n

n

n n

nnn－1.于是

n

1－ n

(1)求{n}的通項公式；(2)求數(shù)列

n

n

1 2 n ＋1 ＋1 1 n n

時，3n－1≥2×3 1 2 n

－1

4．(2013·新課標全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{n}的前

n

3＝0，5－5. 2

－1 2

＋1解：(1)設{n

n1

1＋3＝0，1＋10＝－5，

＝1，1

n

n

n

n

n

n

n?3－2??1－2

－3

－1 (2)由(1)知

2

－1 2

＋1 2

－1 2

＋11－2

1－2

[檢驗高考能力]n}中，

n

＝( A．3 ．4 D．6

n

n

n

n

1－ n1－ n

n

n

nnn

n

2．在數(shù)列{n1＝1，2＝2，n＋2n＝1＋(－1)n

100的值為( A．2

．2

D．2

n＋2nn＝1，當n＋2n＝2，所以

n＝2，所以

n

n

＝50＋

為偶數(shù)?，

100

3．已知數(shù)列{n}的前

n1

n＋2n－1

2

017的值為( A．2

．2

D．1

n＋2n－1n＋1＋2n

n＋1n＝1，

1＝1，所以2

017

＋(

)＋…＋(1

2

3

2

016

2

017

)＝1

009，nn

＝(

3 n ＋1

＋14．設

n

的等差數(shù)列{n

124 ＋1

＋1

.當

時，公差 3 1＝－1，

＋(－1)×(－1)＝－

1 11 n

n1 －1)，故選

n2n

15．已知數(shù)列{n}滿足

n2n

1等于________

nn2

2 3

nn2

2 31，n＝2k?k∈N

?，1，n＝2k?k∈N

?，

n*

2

016

1＋

＝1

答案：1

nn＋1n}為數(shù)列{n1n

n，則數(shù)列{n}的前

nn＋1n＝2nn＝(nn－1n－1n－2)＋…＋(21)＋12－2n 2－21－2＋2＝2n－2＋2＝2nn＝21－2＋2＝2n－2＋2＝2nn

＝2－2.答案：2n}滿足

1＝1，n＋1＝2n∈N*)，n

n

1143.(1)求數(shù)列{nn

n

n22n＋2

數(shù)列{n

nn解：(1)由題意知，{n

n1n－1

.∴nn－1.設等差數(shù)列{n

11＝1，4＝1＋3＝2，則

n＝1＋－1)×2＝2－1.(2)證明：∵log

n

＝log

(2)證明：∵log

n

＝log

2n＋1