三角函數(shù)知識點總結(jié)與高考試題庫(學(xué)生版)

.22-.三角函數(shù)任意角的概念任意角的概念弧長與扇形面積公式角度制與弧度制同角三函數(shù)的基本關(guān)系任意角的三角函數(shù)誘導(dǎo)公式三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)計算與化簡證明恒等式已知三角函數(shù)值求角和角公式倍角公式差角公式應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用應(yīng)用三角函數(shù)知識框架圖知識要點:定義1角,一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)得到的圖形叫做角。若旋轉(zhuǎn)方向為逆時針方向,則角為正角,若旋轉(zhuǎn)方向為順時針方向,則角為負角,若不旋轉(zhuǎn)則為零角。角的大小是任意的。定義2角度制,把一周角360等分,每一等分為一度,弧度制：把等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圓心角的弧長為l,則其弧度數(shù)的絕對值|α|=,其中r是圓的半徑。定義3三角函數(shù),在直角坐標平面內(nèi),把角α的頂點放在原點,始邊與x軸的非負半軸重合,在角的終邊上任意取一個不同于原點的點P,設(shè)它的坐標為〔x,y,到原點的距離為r,則正弦函數(shù)sinα=,余弦函數(shù)cosα=,正切函數(shù)tanα=,2、角的頂點與原點重合,角的始邊與軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為=第二象限角的集合為=第三象限角的集合為=_________________PvxyPvxyAOMT終邊在軸上的角的集合為=____________________終邊在軸上的角的集合為=_________________終邊在坐標軸上的角的集合為=__________________3、與角終邊相同的角的集合為=__________________4、已知是第幾象限角,確定所在象限的方法：先把各象限均分等份,再從軸的正半軸的上方起,依次將各區(qū)域標上一、二、三、四,則原來是第幾象限對應(yīng)的標號即為終邊所落在的區(qū)域．5、弧度制與角度制的換算公式：,,．6、若扇形的圓心角為,半徑為,弧長為,周長為,面積為,則,,．7、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正．<口訣：一全正、二正弦、三正切、四余弦>8、三角函數(shù)線：,,．若,則sinx<x<tanx.9、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：；;．10、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式：〔把角寫成形式,利用口訣：奇變偶不變,符號看象限,,．,,．,,．,,．,．,．11、兩角和與差的三角函數(shù)公式：=1\*GB2⑴；=2\*GB2⑵；=3\*GB2⑶；=4\*GB2⑷；=5\*GB2⑸〔；=6\*GB2⑹〔．12、和差化積與積化和差公式:sinα+sinβ=2sincos,sinα-sinβ=2cossin,cosα+cosβ=2coscos,cosα-cosβ=-2sinsin,sinαcosβ=[sin<α+β>+sin<α-β>],cosαsinβ=[sin<α+β>-sin<α-β>],cosαcosβ=[cos<α+β>+cos<α-β>],sinαsinβ=-[cos<α+β>-cos<α-β>].13、二倍角的正弦、余弦和正切公式：=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵〔,．=3\*GB2⑶．14、半角公式:sin=；15、輔助角公式:,其中．16、萬能公式,,17、函數(shù)的圖象上所有點向左〔右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長〔縮短到原來的||倍〔縱坐標不變,得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長〔縮短到原來的倍〔橫坐標不變,得到函數(shù)的圖象．函數(shù)的圖象上所有點的橫坐標伸長〔縮短到原來的倍〔縱坐標不變,得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點向左〔右平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點的縱坐標伸長〔縮短到原來的倍〔橫坐標不變,得到函數(shù)的圖象．例：以變換到為例向左平移個單位〔左加右減橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋丁部v坐標不變縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍〔橫坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋丁部v坐標不變向左平移個單位〔左加右減縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍〔橫坐標不變注意：在變換中改變的始終是x。函數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①振幅：；=2\*GB3②周期：；=3\*GB3③頻率：；=4\*GB3④相位：；=5\*GB3⑤初相：．函數(shù),當時,取得最小值為；當時,取得最大值為,則,,．15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函函數(shù)性質(zhì)圖象定義域值域最值當時,；當時,．當時,；當時,．既無最大值也無最小值周期性奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)；在上是減函數(shù)．在上是增函數(shù)．對稱性對稱中心對稱軸對稱中心對稱軸對稱中心無對稱軸三角函數(shù)題型分類總結(jié)三角函數(shù)的求值、化簡、證明問題常用的方法技巧有：常數(shù)代換法：如：配角方法：,,,1、===2、〔1<10全國Ⅰ>是第四象限角,,則__________〔2〔11北京文若,則.<3>是第三象限角,,則==3、<1><09XX>已知則=.<2>〔12全國文設(shè),若,則=.〔3〔08XX已知則=4.<1><10XX>=<2>〔11XX=?！?。5.<1>若sinθ＋cosθ＝,則sin2θ=〔2已知,則的值為<3>若,則=6.〔10北京若角的終邊經(jīng)過點,則==7．〔09XX已知,且,則tan＝8.若,則=9.〔09XX文下列關(guān)系式中正確的是〔A． B．C． D．10．已知,則的值為〔A．B．C．D．11．已知sinθ=－,θ∈〔－,0,則cos〔θ－的值為〔A．－B．C．－D．12．已知f〔cosx=cos3x,則f〔sin30°的值是〔A．1 B．C．0 D．－113．已知sinx－siny=－,cosx－cosy=,且x,y為銳角,則tan<x－y>的值是<>A．B．－C．±D．14．已知tan160o＝a,則sin2000o的值是<>A.eq\f<a,EQ\r<1＋a2>>B.－eq\f<a,EQ\r<1＋a2>>C.eq\f<1,EQ\r<1＋a2>>D.－eq\f<1,EQ\r<1＋a2>>15.若,則的取值范圍是：<>〔Ａ〔Ｂ〔Ｃ〔Ｄ16.已知cos〔α-+sinα=<>〔A-〔B<C>-<D>17.若則=〔〔A〔B2〔C〔D二.最值1.〔09XX函數(shù)最小值是=。2.①〔08全國二．函數(shù)的最大值為。②〔08上海函數(shù)f<x>＝eq\r<3>sinx+sin<eq\f<,2>+x>的最大值是③〔12XX若函數(shù),,則的最大值為3.〔08XX函數(shù)的最小值為最大值為。4.〔12上海函數(shù)的最小值是.5．〔11年XX已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是,則的最小值等于6.〔12XX設(shè),則函數(shù)的最小值為．7．將函數(shù)的圖像向右平移了n個單位,所得圖像關(guān)于y軸對稱,則n的最小正值是A．B．C．D．8.若動直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點,則的最大值為〔A．1 B． C． D．29．函數(shù)y=sin〔x+θcos〔x+θ在x=2時有最大值,則θ的一個值是〔A．B．C．D．10.函數(shù)在區(qū)間上的最大值是<>A.1 B. C. D.1+11.求函數(shù)的最大值與最小值。三.單調(diào)性1.〔09天津函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是〔.A.B.C.D.2.函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是〔A． B． C． D．3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是〔A．B．C．D．4．〔07天津卷設(shè)函數(shù),則〔A．在區(qū)間上是增函數(shù) B．在區(qū)間上是減函數(shù)C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù)5.函數(shù)的一個單調(diào)增區(qū)間是<>A．B．C．D．6．若函數(shù)f<x>同時具有以下兩個性質(zhì)：①f<x>是偶函數(shù),②對任意實數(shù)x,都有f<>=f<>,則f<x>的解析式可以是〔 A．f<x>=cosxB．f<x>=cos<2x>C．f<x>=sin<4x>D．f<x>=cos6x四.周期性1．〔07XX卷下列函數(shù)中,周期為的是〔A．B．C．D．2.〔08XX的最小正周期為,其中,則=3.〔04全國函數(shù)的最小正周期是〔.4.〔1〔04北京函數(shù)的最小正周期是.〔2〔09XX函數(shù)的最小正周期為〔.5.〔1函數(shù)的最小正周期是<2>〔09XX文函數(shù)的最小正周期為<3>.〔08XX函數(shù)的最小正周期是．<4>〔12年北京卷.理9函數(shù)的最小正周期是.6.<09年XX文>函數(shù)是<>A．最小正周期為的奇函數(shù)B.最小正周期為的偶函數(shù)C.最小正周期為的奇函數(shù)D.最小正周期為的偶函數(shù)7.〔XX卷2函數(shù)的最小正周期是.8．函數(shù)的周期與函數(shù)的周期相等,則等于〔<A>2<B>1<C><D>五.對稱性1.〔08XX函數(shù)圖像的對稱軸方程可能是〔A． B． C． D．2．下列函數(shù)中,圖象關(guān)于直線對稱的是〔 ABC D3．〔11XX函數(shù)的圖象〔Ａ．關(guān)于點對稱 Ｂ．關(guān)于直線對稱Ｃ．關(guān)于點對稱 Ｄ．關(guān)于直線對稱〔09全國如果函數(shù)的圖像關(guān)于點中心對稱,那么的最小值為〔<A><B><C><D>六.圖象平移與變換1.〔08XX函數(shù)y=cosx<x∈R>的圖象向左平移個單位后,得到函數(shù)y=g<x>的圖象,則g<x>的解析式為2.〔08天津把函數(shù)〔的圖象上所有點向左平行移動個單位長度,再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍〔縱坐標不變,得到的圖象所表示的函數(shù)是3.<09XX>將函數(shù)的圖象向左平移個單位,再向上平移1個單位,所得圖象的函數(shù)解析式是4.<09XX>將函數(shù)y=sinx的圖象向左平移0＜2的單位后,得到函數(shù)y=sin的圖象,則等于5．要得到函數(shù)的圖象,需將函數(shù)的圖象向平移個單位6〔1〔12XX要得到函數(shù)的圖象,只需將函數(shù)的圖象向平移個單位〔2為得到函數(shù)的圖像,只需將函數(shù)的圖像向平移個單位〔3為了得到函數(shù)的圖象,可以將函數(shù)的圖象向平移個單位長度7.〔2009天津卷文已知函數(shù)的最小正周期為,將的圖像向左平移個單位長度,所得圖像關(guān)于y軸對稱,則的一個值是〔ABCD8.將函數(shù)y=EQ\R<3>cosx－sinx的圖象向左平移m〔m>0個單位,所得到的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小正值是〔DA.EQ\F<,6>B.EQ\F<,3> C.EQ\F<2,3>D.EQ\F<5,6>9.函數(shù)f<x>=cosx<x><xR>的圖象按向量<m,0>平移后,得到函數(shù)y=-f′<x>的圖象,則m的值可以為<>A. B. C.－ D.－ 10.若函數(shù)y=sin〔x++2的圖象按向量a平移后得到函數(shù)y=sinx的圖象,則a等于〔A．〔－,－2B．〔,2C．〔－,2D．〔,－211．將函數(shù)y=f〔xsinx的圖象向右平移個單位,再作關(guān)于x軸的對稱曲線,得到函數(shù)y=1－2sin2x的圖象,則f〔x是〔A．cosxB．2cosxC．sinxD．2sinx12．若函數(shù)的圖象按向量平移后,它的一條對稱軸是,則的一個可能的值是A．B．C．D．13.將函數(shù)的圖象按向量平移后所得的圖象關(guān)于點中心對稱,則向量的坐標可能為A． B． C． D．圖象1．〔07XX、XX卷Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．函數(shù)在區(qū)間Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．2〔XX卷7在同一平面直角坐標系中,函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是〔A0〔B1〔C2〔D43.已知函數(shù)y=2sin<ωx+φ><ω>0>在區(qū)間[0,2π]的圖像如下：那么ω=〔A.1 B.2 C.1/2 D.1/34．〔20XXXX卷下列函數(shù)中,圖象的一部分如右圖所示的是〔〔A〔B〔C〔D5.〔2009XXXX卷文已知函數(shù)的圖像如圖所示,則。6．為了得到函數(shù)y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x－\f<π,3>>>的圖象,只需把函數(shù)y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<2x＋\f<π,6>>>的圖象<>A．向左平移eq\f<π,4>個長度單位B．向右平移eq\f<π,4>個長度單位C．向左平移eq\f<π,2>個長度單位D．向右平移eq\f<π,2>個長度單位7．已知函數(shù)y＝sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<π,12>>>coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x－\f<π,12>>>,則下列判斷正確的是<>A．此函數(shù)的最小正周期為2π,其圖象的一個對稱中心是eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,12>,0>>B．此函數(shù)的最小正周期為π,其圖象的一個對稱中心是eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,12>,0>>C．此函數(shù)的最小正周期為2π,其圖象的一個對稱中心是eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>,0>>D．此函數(shù)的最小正周期為π,其圖象的一個對稱中心是eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>,0>>8．如果函數(shù)y＝sin2x＋acos2x的圖象關(guān)于直線x＝－eq\f<π,8>對稱,則實數(shù)a的值為<>A.eq\r<2>B．－eq\r<2>C．1D．－19．<2010·XX>已知函數(shù)f<x>＝3sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<ωx－\f<π,6>>><ω>0>和g<x>＝2cos<2x＋φ>＋1的圖象的對稱軸完全相同．若x∈eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<π,2>>>,則f<x>的取值范圍是________．10．設(shè)函數(shù)y＝coseq\f<1,2>πx的圖象位于y軸右側(cè)所有的對稱中心從左依次為A1,A2,…,An,….則A50的坐標是________．11．把函數(shù)y＝coseq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<π,3>>>的圖象向左平移m個單位<m>0>,所得圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值是________．12．已知函數(shù)f<x>＝Asin<x＋φ><A＞0,0＜φ＜π>,x∈R的最大值是1,其圖象經(jīng)過點Meq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,3>,\f<1,2>>>.<1>求f<x>的解析式；<2>已知α,β∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<π,2>>>,且f<α>＝eq\f<3,5>,f<β>＝eq\f<12,13>,求f<α－β>的值．14．<2010·XX>已知函數(shù)f<x>＝eq\f<1,2>sin2xsinφ＋cos2xcosφ－eq\f<1,2>sineq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,2>＋φ>><0<φ<π>,其圖象過點eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<π,6>,\f<1,2>>>.<1>求φ的值；<2>將函數(shù)y＝f<x>的圖象上各點的橫坐標縮短到原來的eq\f<1,2>,縱坐標不變,得到函數(shù)y＝g<x>的圖象,求函數(shù)g<x>在eq\b\lc\[\rc\]<\a\vs4\al\co1<0,\f<π,4>>>上的最大值和最小值．八.解三角形1.<20XXXX卷文>已知中,的對邊分別為若且,則2.〔2009XX卷文在銳角中,則的值等于2,的取值范圍為.3.〔09XX已知銳角的面積為,,則角的大小為4、在△ABC中,等于。5．已知△ABC中,,則的值為6.在中,,．〔Ⅰ求的值；〔Ⅱ設(shè)的面積,求的長．7.在中,角所對應(yīng)的邊分別為,,,求及8.已知向量m=<sinA,cosA>,n=,m·n＝1,且A為銳角.〔Ⅰ求角A的大小；〔Ⅱ求函數(shù)的值域.9.在中,內(nèi)角對邊的邊長分別是,已知,．〔Ⅰ若的面積等于,求；〔Ⅱ若,求的面積．九..綜合1.〔11年天津定義在R上的函數(shù)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù),若的最小正周期是,且當時,,則的值為2．<11年XX>函數(shù)f<x>是〔 A．周期為的偶函數(shù) B．周期為的奇函數(shù)C．周期為2的偶函數(shù) D．.周期為2的奇函數(shù)3．〔09XX已知函數(shù),下面結(jié)論錯誤的是<>A.函數(shù)的最小正周期為2B.函數(shù)在區(qū)間［0,］上是增函數(shù)C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線＝0對稱D.函數(shù)是奇函數(shù)4．<07XX卷>函數(shù)的圖象為C,如下結(jié)論中正確的是①圖象C關(guān)于直線對稱;②圖象C關(guān)于點對稱;③函數(shù)>內(nèi)是增函數(shù);④由的圖象向右平移個單位長度可以得到圖象C.5.〔08XX卷已知函數(shù),則是〔A、最小正周期為的奇函數(shù)B、最小正周期為的奇函數(shù)C、最小正周期為的偶函數(shù)D、最小正周期為的偶函數(shù)6.在同一平面直角坐標系中,函數(shù)的圖象和直線的交點個數(shù)是C〔A0〔B1〔C2〔D47．若α是第三象限角,且cos<0,則是〔A．第一象限角B．第二象限角C．第