2017年高考數(shù)學考前回扣教材8 計數(shù)原理

回扣8計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，……，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種方法(也稱加法原理).2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種方法(也稱乘法原理).3.排列(1)排列的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列.(2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用Aeq\o\al(m,n)表示.(3)排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1).(4)全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，Aeq\o\al(n,n)＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,n－m！)，這里規(guī)定0！＝1.4.組合(1)組合的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用Ceq\o\al(m,n)表示.(3)組合數(shù)的計算公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)，由于0?。?，所以Ceq\o\al(0,n)＝1.(4)組合數(shù)的性質(zhì)：①Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；②Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n).5.二項式定理(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*).這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(a＋b)n的二項展開式，其中的系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0，1，2，…，n)叫做二項式系數(shù).式中的Ceq\o\al(k,n)an－kbk叫做二項展開式的通項，用Tk＋1表示，即展開式的第k＋1項：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk.6.二項展開式形式上的特點(1)項數(shù)為n＋1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).7.二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n).(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)，當k<eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是遞增的；當k>eq\f(n＋1,2)時，二項式系數(shù)是遞減的.當n是偶數(shù)時，那么其展開式中間一項的二項式系數(shù)最大.當n是奇數(shù)時，那么其展開式中間兩項和的二項式系數(shù)相等且最大.(3)各二項式系數(shù)的和(a＋b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(k,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝2n－1.1.關于兩個計數(shù)原理應用的注意事項(1)分類加法和分步乘法計數(shù)原理，都是關于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事.(2)混合問題一般是先分類再分步.(3)分類時標準要明確，做到不重復不遺漏.(4)要恰當畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律.2.對于有附加條件的排列、組合應用題，通常從三個途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù).3.排列、組合問題的求解方法與技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準確分步；(3)排列、組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團”排列問題先整體后局部；(9)構造模型；(10)正難則反，等價條件.4.對于二項式定理應用時要注意：(1)區(qū)別“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”，審題時要仔細.項的系數(shù)與a，b有關，可正可負，二項式系數(shù)只與n有關，恒為正.(2)運用通項求展開的一些特殊項，通常都是由題意列方程求出k，再求所需的某項；有時需先求n，計算時要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關系.(3)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，±1.(4)在化簡求值時，注意二項式定理的逆用，要用整體思想看待a、b.1.用1，2，3三個數(shù)字組成一個四位數(shù)，規(guī)定這三個數(shù)必須全部使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的四位數(shù)有()A.36個B.18個C.9個D.6個答案B解析利用樹狀圖考察四個數(shù)位上填充數(shù)字的情況，如：1eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2,3)),3\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,2)))),3\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2,3)),2\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1,3))))))，共可確定8個四位數(shù)，但其中不符合要求的有2個，所以所確定的四位數(shù)應有18個，故選B.2.某學習小組男女生共8人，現(xiàn)從男生中選2人，女生中選1人，分別去做3種不同的工作，共有90種不同的選法，則男，女生人數(shù)為()A.2，6B.3，5C.5，3D.6，2答案B解析設男生人數(shù)為n，則女生人數(shù)為8－n，由題意可知Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(1,8－n)Aeq\o\al(3,3)＝90，即Ceq\o\al(2,n)Ceq\o\al(1,8－n)＝15，解得n＝3，所以男，女生人數(shù)為3，5，故選B.3.將甲，乙等5位同學分別保送到北京大學，清華大學，浙江大學三所大學就讀，則每所大學至少保送一人的不同保送方法有()A.150種B.180種C.240種D.540種答案A解析先將5個人分成三組，(3，1，1)或(1，2，2)，分組方法有Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(1,5)eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),2)＝25(種)，再將三組全排列有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，故總的方法數(shù)有25×6＝150(種).4.從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔任班主任(每班1位班主任)，要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有()A.210種B.420種C.630種D.840種答案B解析因為要求3位班主任中男、女教師都要有，所以共有兩種情況，1男2女或2男1女.若選出的3位教師是1男2女則共有Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝180(種)不同的選派方法，若選出的3位教師是2男1女則共有Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,3)＝240(種)不同的選派方法，所以共有180＋240＝420(種)不同的方案，故選B.5.若二項式(2x＋eq\f(a,x))7的展開式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是84，則實數(shù)a等于()A.2B.eq\r(5,4)C.1D.eq\f(\r(2),4)答案C解析二項式(2x＋eq\f(a,x))7的通項公式為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,7)(2x)7－k(eq\f(a,x))k＝Ceq\o\al(k,7)27－kakx7－2k，令7－2k＝－3，得k＝5.故展開式中eq\f(1,x3)的系數(shù)是Ceq\o\al(5,7)22a5＝84，解得a＝1.6.(x－1)4－4x(x－1)3＋6x2(x－1)2－4x3(x－1)＋x4等于()A.－1B.1C.(2x－1)4D.(1－2x)5答案B解析(x－1)4－4x(x－1)3＋6x2(x－1)2－4x3(x－1)＋x4＝((x－1)－x)4＝1.7.某班準備從甲、乙等七人中選派四人發(fā)言，要求甲乙中兩人至少有一人參加，那么不同的發(fā)言順序有()A.30種B.600種C.720種D.840種答案C解析Aeq\o\al(4,7)－Aeq\o\al(4,5)＝720(種).8.如圖，花壇內(nèi)有5個花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內(nèi)只能種一種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案的種數(shù)為()A.180B.240C.360D.420答案D解析若5個花池栽了5種顏色的花卉，方法有Aeq\o\al(5,5)種，若5個花池栽了4種顏色的花卉，則2，4兩個花池栽同一種顏色的花，或3，5兩個花池栽同一種顏色的花，方法有2Aeq\o\al(4,5)種；若5個花池栽了3種顏色的花卉，方法有Aeq\o\al(3,5)種，所以最多有Aeq\o\al(5,5)＋2Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al(3,5)＝420(種).9.(x＋eq\f(1,ax))5的各項系數(shù)和是1024，則由曲線y＝x2和y＝xa圍成的封閉圖形的面積為______.答案eq\f(5,12)解析設x＝1，則各項系數(shù)和為(1＋eq\f(1,a))5＝1024＝45，所以a＝eq\f(1,3)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x2,y＝x))可得交點坐標分別為(0，0)，(1，1)，所以曲線y＝x2和y＝x圍成的封閉圖形的面積為eq\i\in(0,1,)(x－x2)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)x－\f(1,3)x3))eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\f(3,4)－eq\f(1,3)＝eq\f(5,12).10.圓上有10個點，過每三個點畫一個圓內(nèi)接三角形，則一共可以畫的三角形個數(shù)為______.答案120解析圓上任意三點都不共線，因此有三角形Ceq\o\al(3,10)＝120(個).11.一排共有9個座位，現(xiàn)有3人就坐，若他們每兩人都不能相鄰，每人左右都有空座，而且至多有兩個空座，則不同坐法共有________種.答案36解析可先考慮3人已經(jīng)就座，共有Aeq\o\al(3,3)＝6(種)，再考慮剩余的6個空位怎么排放，根據(jù)要求可產(chǎn)生把6個空位分為1，1，2，2，放置在由已經(jīng)坐定的3人產(chǎn)生的4個空中，共有Ceq\o\al(2,4)＝6，所以不同的坐法共有6×6＝36(種).12.我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有5架艦載機(甲、乙、丙、丁、戊)準備著艦，如果甲、乙兩機必須相鄰著艦，而丙、丁不能相鄰著艦，那么不同的著艦方法有________種.答案24解析先把甲、乙捆綁在一起有Aeq\o\al(2,2)種情況，然后對甲、乙整體和戊進行排列，有Aeq\o\al(2,2)種情況，這樣產(chǎn)生了三個空位，插入丙、丁，有Aeq\o\al(2,3)種情況，所以著艦方法共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,3)＝2×2×6＝24(種).13.實驗員進行一項實驗，先后要實施5個程序(A，B，C，D，E)，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，