幾何學(xué)：第五公設(shè)-公理化方法課件

幾何學(xué)：第5公設(shè)——公理化方法?歐幾里得與《原本》?第五公設(shè)——從歐幾里得到蘭伯特?非歐幾何學(xué)的創(chuàng)立?羅氏幾何學(xué)與黎氏幾何學(xué)?公理化方法的發(fā)展幾何學(xué)：第5公設(shè)——公理化方法?歐幾里得與《原本?歐幾里得與《原本》一．歐幾里得二．《原本》?歐幾里得與《原本》一．歐幾里得二．《原本》?歐幾里得與《原本》

一．歐幾里得：

Euclid

（約B．C．330~B．C．275）生于雅典，曾為柏拉圖的門(mén)徒，B.C.300年左右來(lái)到亞歷山大里亞，后來(lái)成為當(dāng)時(shí)“藝術(shù)宮”的主持。兩則傳說(shuō)：“國(guó)王在幾何學(xué)的國(guó)度里無(wú)專(zhuān)道”；“給他三個(gè)錢(qián)幣，他要的就是這！”十部著作：《原本》，《數(shù)據(jù)》，《二次曲線》，

《辯偽術(shù)》，《論剖分》，《衍論》，《曲面軌跡》，

《光學(xué)》，《鏡面反射》，《現(xiàn)象》。二．《原本》：（Elements）版本：888年希臘文抄本，1294年拉丁文手抄本，1350年阿拉伯文手抄本，1480年最早拉丁文印刷本，1570年英譯本，1607年、1857年、1990年中譯本，1655年Barrow拉丁文譯本，1925年T.LHeath英譯本。?歐幾里得與《原本》內(nèi)容：巴比倫古埃及

泰勒斯

畢達(dá)哥拉斯

厄利亞學(xué)派

———

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派———

希波克拉底歐多克索西艾泰德斯

[1][3][4][6][5][7][12][10][11][13][2][8][9]

內(nèi)容：巴比倫

卷內(nèi)容定義公設(shè)公理命題

[1]直線形235548[2]幾何代數(shù)法214[3]圓1137[4]多邊形716[5]比例論1825[6]相似形433[7]數(shù)論2239[8]數(shù)論027[9]數(shù)論036[10]不可公度比447637631[11]立體圖形2839[12]求積術(shù)018[13]正多面體018卷內(nèi)容

特征：1．大量引用古希臘古典時(shí)期數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)成就；

2．采用獨(dú)特的編寫(xiě)方式：先給出定義，公設(shè)，公理，再由簡(jiǎn)到繁，由易到難地證明一系列命題；首次用公理化方法建立數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯演繹體系，成為后世西方數(shù)學(xué)的典范。公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。

2．等量加等量，其和相等。

3．等量減等量，其差相等。

4．彼此能重合的物體（thing）是全等的。

5．整體大于部分。公設(shè)：1．由任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作直線。

2．一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng)。

3．以任意點(diǎn)為心任意距離可以畫(huà)圓。

4．凡直角都相等。

5．平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，若在某側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角和小于二直角，則這二直線延長(zhǎng)后在該側(cè)相交。

特征：1．大量引用古希臘古典時(shí)期數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)成就；?第五公設(shè)——從歐幾里得到蘭伯特用現(xiàn)代數(shù)學(xué)公理化方法的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量，《原本》的公理體系存在嚴(yán)重缺陷。例如：

《原本》第1卷命題16：在任意三角形中，若延長(zhǎng)一邊，則外角大于任何一個(gè)內(nèi)對(duì)角。

鑒于此，有人把第5公設(shè)也作為一個(gè)缺陷，試圖用其他公理，公設(shè)或定理證明它，以至將它取消。?第五公設(shè)——從歐幾里得到蘭伯特鑒于此，例1．Proclus（4世紀(jì)）證明第5公設(shè)。已知：直線c與直線a、b相交，且直線c右側(cè)內(nèi)角和小于兩直角。求證：直線a、b在直線c的右側(cè)必然相交。證明：過(guò)P作

a′使

=

，可以證明a′∥b

，在直線a上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M無(wú)限遠(yuǎn)離P，M

到直線a′

的距離h無(wú)限增大；若兩平行線間距離有限；則當(dāng)

h

等于兩平行線間距離時(shí)，a與b必然相交。例1．Proclus（4世紀(jì)）證明第5公設(shè)。設(shè)a，b與

c相交，且

c右側(cè)有：

2+32d1+42d

2`+3=2d1`+4=2d3+4=2d

1`=3

2`=4

假設(shè)

a`與

b

相交于

c的右側(cè)或左側(cè),均與以上等式矛盾,a`∥b，由

Playfair

公理，過(guò)直線外一點(diǎn)，只能做一條直線與已知直線平行。所以,a與

b

相交；假設(shè)a，b

相交于c的左側(cè)，則31與

31矛盾，故a，b

相交于c

的右側(cè)。例2．Playfair(1795)公理第5公設(shè)設(shè)a，b與c相交，且c右側(cè)有：例2．Playfa例3．Legendre(1752~1833)的工作：定義：對(duì)于三角形ABC，內(nèi)角和

()=A+B+C，偏差()ˉ=

-

()；證明：

（）=

Playfair公理第5公設(shè)。

Pash公理：設(shè)直線

a

不通過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)A，B，C

，當(dāng)a與

AB相交時(shí)；a與AC或BC相交，二者必居其一。引理：

1°任意

ABC的兩個(gè)內(nèi)角和小于．

2°對(duì)于

ABC的B，DBC，能使(ABC)=

(DBC)，且存在一個(gè)內(nèi)角(1/2)B.3°

()

，()ˉ0．

4°若

ABC=ABD+BDC,則(ABC)ˉ=(

ABD)ˉ+(

BDC)ˉ.

5°若

ABC=

AB`C`+B`C`CB，則(AB`C`)ˉ(

ABC)ˉ．

6°若

RtABC,RtA`B`C`,滿(mǎn)足AB

A`B`,ACA`C`,且

(RtABC)=

，則

(RtA`B`C`)=

．例3．Legendre(1752~1833)的工作：

思路：1°若Rt*，

(Rt*)=

，則Rt，

(Rt)=

．

2°若

Rt，

(Rt)=

，則

*，

(*)=

．

3°若

*，

(*)=

，則

，

()=

．

4°若，

()=

，則第5公設(shè)成立。

任取銳角AOB，在OA上任取一點(diǎn)A1，作A1B1OA，交OB

于B1；再取A1A2=OA1，作A2B2OA，交OB于B2；．．．最后取An-1An=OAn-1，作AnBnOA，交OB

于Bn；

由引理3°(RtA1OB1)ˉ0，假設(shè)(RtA1OB1)ˉ=

0，則(A2A1B1)ˉ=

0，由引理4°

(A2OB2)ˉ2

，(A3OB3)ˉ22

．．．

(AnOBn)ˉ2n-1

，當(dāng)n充分大，(AnOBn)ˉ

，而(AnOBn)ˉ=

-

(AnOBn)

，矛盾。故

=0，即(RtA1OB1)ˉ==0，

(RtA1OB1)=

。

思路：1°若Rt*，(Rt*)=Playfair公理：過(guò)直線外一點(diǎn)，只能做一條直線與已知直線平行。設(shè)A是直線a外任一點(diǎn)，作ABa，過(guò)A作a`

AB，則a`∥a，過(guò)A作ba`，不妨設(shè)(?)。以下欲證b與a不平行：Playfair公理：

作AB=BB1，AB1=B1B2

，AB2=B2B3，．．．．．．．．．ABn-1=Bn-1Bn

，

()=，BB1A=

/4,，B1B2A=(1/2)2

/2，

B2B3A=(1/2)3/2

．．．．．．．

Bn-1BnA=(1/2)n

/2

故

BABn=/2-(1/2)n

/2作AB=BB1，AB1=B1B2，AB2

由于/2，0，使=/2-

，而

n

充分大時(shí)(1/2)n

/2

。

BABn，即b夾在BABn的兩邊AB，Abn之間。假設(shè)在AA`Bn中，DAB=BABn+BnAD

BABn

。在BA`Bn中，b過(guò)A`B上的A，但不會(huì)過(guò)A`Bn上的點(diǎn)。否則，b交A`Bn于D`點(diǎn)，=BAD`=BABn+BnAD`BABn，與BABn矛盾。由Pasch公理，b不過(guò)A`Bn，必過(guò)BBn，即b與a交于AB右側(cè)。由于/2，0，例4．Saccheri（1667~1733）

Lambert（1728~1777）結(jié)論：1）Sa

/2La

/22）Sa=/2

第5公設(shè)La=/2第5公設(shè)

3）Sa/2()La

/2

()

4）若

Sa□使Sa

/2若

La□使La

/2

則

Sa□有Sa

/2則

Sa□有La

/2例4．Saccheri（1667~1733）?非歐幾里得幾何的創(chuàng)立一、先兆二、創(chuàng)立?非歐幾里得幾何的創(chuàng)立一、先兆二、創(chuàng)立?非歐幾里得幾何的創(chuàng)立一．先兆：受Saccheri，Lambert

的影響；

Schawikart，F(xiàn)erdinadKarl(1780~1859)1818年給Gauss征求意見(jiàn)備忘錄提出：星空幾何(())，非歐幾何；

Taurinus，F(xiàn)ranzAdolf(1794~1874)研究星空幾何學(xué),著有《平行線論》（1825），《幾何學(xué)原理初階》（1826）；承認(rèn)第5公設(shè)不可以被證明，只能建立起邏輯上相容的幾何學(xué)，但是不敢否定“空間幾何學(xué)唯有歐幾里得幾何學(xué)”的觀點(diǎn)，只是為了完善歐幾里得幾何學(xué)。?非歐幾里得幾何的創(chuàng)立二．創(chuàng)立：

Gauss，CarlFriedrich（1777~1855）德國(guó)哥廷根大學(xué)

1799年12月17日給Bolyai，Wolfgang（1775~1856）寫(xiě)信認(rèn)為第5公設(shè)不能被證明；

1813年稱(chēng)自己研究的幾何學(xué)為非歐幾里德幾何學(xué)；

1817年給Olbers，H．W．M

寫(xiě)信：我越來(lái)越深信，我們不能證明當(dāng)前的幾何學(xué)具有必然性，至少不能用人類(lèi)理智，也不能給予人類(lèi)理智以這種證明?；蛟S在另一個(gè)世界中我們可以洞察空間的性質(zhì)，而現(xiàn)在這是不能達(dá)到的。直到那時(shí)我們決不能把幾何與算術(shù)相提并論，因?yàn)樗阈g(shù)是純粹先驗(yàn)的。但可以把幾何與力學(xué)相提并論，幾何公理、公設(shè)與力學(xué)定律一樣，是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。二．創(chuàng)立：1824年給

Taurinus

的信：三角形內(nèi)角和小于，這個(gè)假定引向一種特殊的與我們的幾何學(xué)是完全不同的幾何學(xué)。但是這種幾何學(xué)是完全相容的，當(dāng)我發(fā)展它的時(shí)候，結(jié)果完全令人滿(mǎn)意。除了某個(gè)常數(shù)的值不能先驗(yàn)地定義而外，在這種幾何學(xué)中我能解決任何問(wèn)題。這個(gè)常數(shù)值越大，則越接近歐幾里得幾何學(xué)，而它的無(wú)窮大值會(huì)使雙方系統(tǒng)合而為一。

Bolyai，Johann（1802~1860）匈牙利人，維也納工學(xué)院學(xué)習(xí)。

1823年11月23日給父親的信：“我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)烏有的世界”

1825年《關(guān)于一個(gè)與歐幾里得第5公設(shè)無(wú)關(guān)的空間和絕對(duì)真實(shí)的學(xué)說(shuō)》（26頁(yè)）；

1832年作為其父親著作的附錄發(fā)表。1824年給Taurinus的信：

Lobaceviskii，NikolaiIvanovic(1792~1856)

俄國(guó)喀山大學(xué)

1816~1817年證明第5公設(shè)不成，致力于新幾何學(xué)創(chuàng)立；

1826年2月12日宣讀論文《平行線理論和幾何學(xué)原理概論及證明》的概要，但未公開(kāi)發(fā)表；

1829年第一次公開(kāi)發(fā)表《幾何學(xué)原理》載《喀山通報(bào)》；

1835年發(fā)表《平行線理論的幾何學(xué)探討》——虛幾何學(xué)；

1855年發(fā)表《泛幾何學(xué)》。

Beltrami，Eugenio(1835~1900)

意大利羅馬大學(xué)

1868(一說(shuō)1863)年《非歐幾里得幾何學(xué)解釋嘗試》：

0球面黎氏幾何學(xué)常曲率曲面

0偽球面羅氏幾何學(xué)

=0平面歐氏幾何學(xué)Lobaceviskii，Nikolai

高斯，1777年4月30日出生在德國(guó)布倫斯威克的一個(gè)貧窮的自來(lái)水工人家庭。高斯的舅舅很有才能，經(jīng)常盡其所能地教高斯各種知識(shí)，對(duì)幼年的高斯影響很大。高斯的父親原本不打算讓高斯上學(xué)，由于童年的高斯表現(xiàn)出非凡的數(shù)學(xué)才華，在高斯7歲時(shí)還是上了小學(xué)。1787年高斯上四年級(jí)，有一次數(shù)學(xué)老師要求全班學(xué)生計(jì)算從1到100的正整數(shù)的和。當(dāng)老師剛剛解釋完題目，年僅10歲，班上年齡最小的高斯就把寫(xiě)有答案5050的石板交給老師。其他學(xué)生雖然陸續(xù)交了卷，但是全都錯(cuò)了。這個(gè)故事被廣泛流傳著。

1791年經(jīng)校長(zhǎng)推薦，14歲的高斯得到一位公爵的賞識(shí)和資助，被送到布魯林學(xué)院學(xué)習(xí)。這個(gè)學(xué)院的教師巴爾特斯發(fā)現(xiàn)了高斯的數(shù)學(xué)天才，就與高斯一起研讀牛頓、拉格朗日、歐拉等著名數(shù)學(xué)家的著作。高斯的發(fā)展勢(shì)頭很好，那位公爵又資助高斯于1795年進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)，1798年轉(zhuǎn)入赫爾姆什塔特大學(xué)，在那里受到老師帕夫的器重，后來(lái)他們成了好朋友。1807年起，高斯成為哥廷根大學(xué)常任教授和天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，直到1855年2月23日去世。高斯，1777年4月30日出生在德國(guó)布倫斯威克的一個(gè)

高斯是一位科學(xué)天才，他勤奮努力，刻苦鉆研，治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，所以他的成果涉及幾乎所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，并且他還是許多數(shù)學(xué)分支學(xué)科的開(kāi)創(chuàng)者和奠基人。比如，他證明的代數(shù)基本定理，奠定了方程論的理論基礎(chǔ)；1801年出版的《算術(shù)研究》，開(kāi)啟了數(shù)論研究的新時(shí)代；1827年著述的《曲面的一般研究》，是近代微分幾何學(xué)的開(kāi)端；他建立的正態(tài)分布曲線和最小二乘法，統(tǒng)計(jì)學(xué)廣為應(yīng)用；他是非歐幾何學(xué)的創(chuàng)立者之一。在天文學(xué)、測(cè)地學(xué)、電磁學(xué)領(lǐng)域也作出不朽貢獻(xiàn)。高斯對(duì)人類(lèi)科學(xué)事業(yè)的貢獻(xiàn)，不僅在于他的論著數(shù)量之多，更重要的是他的工作為19世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。他既是一位卓越的古典數(shù)學(xué)家，又是一位杰出的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家。

1796年3月30日，19歲的高斯發(fā)現(xiàn)用直尺和圓規(guī)作正17邊形的可能性，非常得意，從此堅(jiān)定了他研究數(shù)學(xué)的信心。

1799年高斯給出代數(shù)學(xué)基本定理的第一個(gè)證明，因此而獲得博士學(xué)位。但他并不滿(mǎn)足，又于1815、1816和1850年相繼給出更漂亮的證明。可見(jiàn)高斯的科學(xué)態(tài)度和執(zhí)著精神。高斯是一位科學(xué)天才，他勤奮努力，刻苦鉆研，治?羅氏幾何學(xué)與黎氏幾何學(xué)一、羅氏幾何學(xué)舉例二、黎氏幾何學(xué)模型?羅氏幾何學(xué)與黎氏幾何學(xué)一、羅氏幾何學(xué)舉例二、黎氏幾何?羅氏幾何學(xué)與黎氏幾何學(xué)一．羅氏幾何學(xué)舉例：

公理：過(guò)直線外一點(diǎn)至少可以引兩條直線與已知直線不相交。1．AE

與a

沒(méi)有公共點(diǎn)。否則，假設(shè)交于

P，可在a上

P的右邊再取一點(diǎn)M*，連AM*：*=DAPDAM*=

，矛盾。2．*

/2

。否則，假設(shè)*=

/2

，AEAD，AE是AD上過(guò)A唯一垂線，除

AE

之外過(guò)A

的任意一條射線與AD

構(gòu)成的角

*都不是

極限值，AE成為過(guò)A唯一與a不相交直線，矛盾。

單調(diào)遞增有界，/2，當(dāng)DM時(shí)，

*

AE

為割線AM的極限位置。?羅氏幾何學(xué)與黎氏幾何學(xué)1．AE與a沒(méi)有公共點(diǎn)。

二．黎氏幾何學(xué)模型：

1854年Riemann，GeogFriedrich(1826~1866)在高斯的安排下，向哥廷根大學(xué)全體教授作了題為《關(guān)于作為幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)》的講演，1868年正式出版成書(shū)。假設(shè)球半徑無(wú)限大，則球面成平面，球面上的大圓為直線：1．同一平面內(nèi)兩條直線必相交；

2．直線無(wú)限但長(zhǎng)度有界；

3．

()。

二．黎氏幾何學(xué)模型：?公理化方法的發(fā)展一、公理化方法二、歷史發(fā)展三、歐幾里得幾何學(xué)的希爾伯特公理體系?公理化方法的發(fā)展一、公理化方法二、歷史發(fā)展三、歐幾里?公理化方法的發(fā)展一．公理化方法：選取少數(shù)不加定義的原始概念和無(wú)條件承認(rèn)的相互制約的規(guī)定，再以嚴(yán)格的邏輯演繹，使某一個(gè)數(shù)學(xué)分支成為一個(gè)邏輯整體。基本概念——本質(zhì)內(nèi)涵和相互關(guān)系；公理體系——相容，獨(dú)立，完備。二．歷史發(fā)展：

1．實(shí)體公理體系的產(chǎn)生：公元前3世紀(jì)，以亞里士多德邏輯為基礎(chǔ)，按三段論式的演繹方法，歐幾里得在《原本》中，建立了第一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)的公理體系。歐幾里得的公理，是建立在直觀經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上而自明的，其研究的對(duì)象及其性質(zhì)和相互關(guān)系是唯一的，并且先于公理而具體給定的，所以稱(chēng)之為實(shí)體公理體系。?公理化方法的發(fā)展

2．抽象公理體系的完善：19世紀(jì)中葉，非歐幾里得幾何學(xué)的創(chuàng)立，動(dòng)搖了公理是自明的傳統(tǒng)觀念。人們認(rèn)識(shí)到，直觀經(jīng)驗(yàn)并不能作為數(shù)學(xué)的依據(jù)，只有合乎邏輯的正確思維的結(jié)論就是可信的。人們還認(rèn)識(shí)到，在一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)中一定存在不可判斷真?zhèn)蔚拿}。

3．形式公理體系的形成：形式公理體系的研究對(duì)象及其性質(zhì)和相互關(guān)系不是唯一的，其公理系統(tǒng)要滿(mǎn)足相容性，獨(dú)立性，完備性，而且它們表述的也是研究對(duì)象及其性質(zhì)和相互關(guān)系。希爾伯特的《幾何基礎(chǔ)》（1899年），給出歐幾里得幾何學(xué)的公理體系，是第一個(gè)形式公理體系的代表作。

4．純粹形式系統(tǒng)的發(fā)展：形式公理體系的進(jìn)一步發(fā)展是形式系統(tǒng)，這是希爾伯特首先提出并建立起來(lái)的。所謂純粹形式系統(tǒng)，是由初始的邏輯符號(hào)、函數(shù)符號(hào)以及個(gè)體變項(xiàng)，形成項(xiàng)和公式的規(guī)則，公理規(guī)則和變形規(guī)則，即用形式語(yǔ)言和公式集合構(gòu)成完全符號(hào)化、抽象化的公理體系。20世紀(jì)，“元數(shù)學(xué)”的產(chǎn)生就是純粹形式系統(tǒng)發(fā)展的標(biāo)志。

2．抽象公理體系的完善：19世紀(jì)中葉，非

三．歐幾里得幾何學(xué)的希爾伯特公理體系：希爾伯特公理體系基本概念基本元素（點(diǎn)，直線，平面）基本關(guān)系（結(jié)合，順序，合同）公理結(jié)合公理（1~8）順序公理（1~4）合同公理（1~5）平行公理（1）連續(xù)公理（1~2）三．歐幾里得幾何學(xué)的希爾伯特公理體系：希爾伯特公理體系

幾何學(xué)：第5公設(shè)——公理化方法?歐幾里得與《原本》?第五公設(shè)——從歐幾里得到蘭伯特?非歐幾何學(xué)的創(chuàng)立?羅氏幾何學(xué)與黎氏幾何學(xué)?公理化方法的發(fā)展幾何學(xué)：第5公設(shè)——公理化方法?歐幾里得與《原本?歐幾里得與《原本》一．歐幾里得二．《原本》?歐幾里得與《原本》一．歐幾里得二．《原本》?歐幾里得與《原本》

一．歐幾里得：

Euclid

（約B．C．330~B．C．275）生于雅典，曾為柏拉圖的門(mén)徒，B.C.300年左右來(lái)到亞歷山大里亞，后來(lái)成為當(dāng)時(shí)“藝術(shù)宮”的主持。兩則傳說(shuō)：“國(guó)王在幾何學(xué)的國(guó)度里無(wú)專(zhuān)道”；“給他三個(gè)錢(qián)幣，他要的就是這！”十部著作：《原本》，《數(shù)據(jù)》，《二次曲線》，

《辯偽術(shù)》，《論剖分》，《衍論》，《曲面軌跡》，

《光學(xué)》，《鏡面反射》，《現(xiàn)象》。二．《原本》：（Elements）版本：888年希臘文抄本，1294年拉丁文手抄本，1350年阿拉伯文手抄本，1480年最早拉丁文印刷本，1570年英譯本，1607年、1857年、1990年中譯本，1655年Barrow拉丁文譯本，1925年T.LHeath英譯本。?歐幾里得與《原本》內(nèi)容：巴比倫古埃及

泰勒斯

畢達(dá)哥拉斯

厄利亞學(xué)派

———

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派———

希波克拉底歐多克索西艾泰德斯

[1][3][4][6][5][7][12][10][11][13][2][8][9]

內(nèi)容：巴比倫

卷內(nèi)容定義公設(shè)公理命題

[1]直線形235548[2]幾何代數(shù)法214[3]圓1137[4]多邊形716[5]比例論1825[6]相似形433[7]數(shù)論2239[8]數(shù)論027[9]數(shù)論036[10]不可公度比447637631[11]立體圖形2839[12]求積術(shù)018[13]正多面體018卷內(nèi)容

特征：1．大量引用古希臘古典時(shí)期數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)成就；

2．采用獨(dú)特的編寫(xiě)方式：先給出定義，公設(shè)，公理，再由簡(jiǎn)到繁，由易到難地證明一系列命題；首次用公理化方法建立數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯演繹體系，成為后世西方數(shù)學(xué)的典范。公理：1．等于同量（thing）的量彼此相等。

2．等量加等量，其和相等。

3．等量減等量，其差相等。

4．彼此能重合的物體（thing）是全等的。

5．整體大于部分。公設(shè)：1．由任意一點(diǎn)到任意一點(diǎn)可作直線。

2．一條有限直線可以繼續(xù)延長(zhǎng)。

3．以任意點(diǎn)為心任意距離可以畫(huà)圓。

4．凡直角都相等。

5．平面內(nèi)一條直線與另外兩條直線相交，若在某側(cè)的兩個(gè)內(nèi)角和小于二直角，則這二直線延長(zhǎng)后在該側(cè)相交。

特征：1．大量引用古希臘古典時(shí)期數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)成就；?第五公設(shè)——從歐幾里得到蘭伯特用現(xiàn)代數(shù)學(xué)公理化方法的標(biāo)準(zhǔn)來(lái)衡量，《原本》的公理體系存在嚴(yán)重缺陷。例如：

《原本》第1卷命題16：在任意三角形中，若延長(zhǎng)一邊，則外角大于任何一個(gè)內(nèi)對(duì)角。

鑒于此，有人把第5公設(shè)也作為一個(gè)缺陷，試圖用其他公理，公設(shè)或定理證明它，以至將它取消。?第五公設(shè)——從歐幾里得到蘭伯特鑒于此，例1．Proclus（4世紀(jì)）證明第5公設(shè)。已知：直線c與直線a、b相交，且直線c右側(cè)內(nèi)角和小于兩直角。求證：直線a、b在直線c的右側(cè)必然相交。證明：過(guò)P作

a′使

=

，可以證明a′∥b

，在直線a上任取一點(diǎn)M，當(dāng)M無(wú)限遠(yuǎn)離P，M

到直線a′

的距離h無(wú)限增大；若兩平行線間距離有限；則當(dāng)

h

等于兩平行線間距離時(shí)，a與b必然相交。例1．Proclus（4世紀(jì)）證明第5公設(shè)。設(shè)a，b與

c相交，且

c右側(cè)有：

2+32d1+42d

2`+3=2d1`+4=2d3+4=2d

1`=3

2`=4

假設(shè)

a`與

b

相交于

c的右側(cè)或左側(cè),均與以上等式矛盾,a`∥b，由

Playfair

公理，過(guò)直線外一點(diǎn)，只能做一條直線與已知直線平行。所以,a與

b

相交；假設(shè)a，b

相交于c的左側(cè)，則31與

31矛盾，故a，b

相交于c

的右側(cè)。例2．Playfair(1795)公理第5公設(shè)設(shè)a，b與c相交，且c右側(cè)有：例2．Playfa例3．Legendre(1752~1833)的工作：定義：對(duì)于三角形ABC，內(nèi)角和

()=A+B+C，偏差()ˉ=

-

()；證明：

（）=

Playfair公理第5公設(shè)。

Pash公理：設(shè)直線

a

不通過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)A，B，C

，當(dāng)a與

AB相交時(shí)；a與AC或BC相交，二者必居其一。引理：

1°任意

ABC的兩個(gè)內(nèi)角和小于．

2°對(duì)于

ABC的B，DBC，能使(ABC)=

(DBC)，且存在一個(gè)內(nèi)角(1/2)B.3°

()

，()ˉ0．

4°若

ABC=ABD+BDC,則(ABC)ˉ=(

ABD)ˉ+(

BDC)ˉ.

5°若

ABC=

AB`C`+B`C`CB，則(AB`C`)ˉ(

ABC)ˉ．

6°若

RtABC,RtA`B`C`,滿(mǎn)足AB

A`B`,ACA`C`,且

(RtABC)=

，則

(RtA`B`C`)=

．例3．Legendre(1752~1833)的工作：

思路：1°若Rt*，

(Rt*)=

，則Rt，

(Rt)=

．

2°若

Rt，

(Rt)=

，則

*，

(*)=

．

3°若

*，

(*)=

，則

，

()=

．

4°若，

()=

，則第5公設(shè)成立。

任取銳角AOB，在OA上任取一點(diǎn)A1，作A1B1OA，交OB

于B1；再取A1A2=OA1，作A2B2OA，交OB于B2；．．．最后取An-1An=OAn-1，作AnBnOA，交OB

于Bn；

由引理3°(RtA1OB1)ˉ0，假設(shè)(RtA1OB1)ˉ=

0，則(A2A1B1)ˉ=

0，由引理4°

(A2OB2)ˉ2

，(A3OB3)ˉ22

．．．

(AnOBn)ˉ2n-1

，當(dāng)n充分大，(AnOBn)ˉ

，而(AnOBn)ˉ=

-

(AnOBn)

，矛盾。故

=0，即(RtA1OB1)ˉ==0，

(RtA1OB1)=

。

思路：1°若Rt*，(Rt*)=Playfair公理：過(guò)直線外一點(diǎn)，只能做一條直線與已知直線平行。設(shè)A是直線a外任一點(diǎn)，作ABa，過(guò)A作a`

AB，則a`∥a，過(guò)A作ba`，不妨設(shè)(?)。以下欲證b與a不平行：Playfair公理：

作AB=BB1，AB1=B1B2

，AB2=B2B3，．．．．．．．．．ABn-1=Bn-1Bn

，

()=，BB1A=

/4,，B1B2A=(1/2)2

/2，

B2B3A=(1/2)3/2

．．．．．．．

Bn-1BnA=(1/2)n

/2

故

BABn=/2-(1/2)n

/2作AB=BB1，AB1=B1B2，AB2

由于/2，0，使=/2-

，而

n

充分大時(shí)(1/2)n

/2

。

BABn，即b夾在BABn的兩邊AB，Abn之間。假設(shè)在AA`Bn中，DAB=BABn+BnAD

BABn

。在BA`Bn中，b過(guò)A`B上的A，但不會(huì)過(guò)A`Bn上的點(diǎn)。否則，b交A`Bn于D`點(diǎn)，=BAD`=BABn+BnAD`BABn，與BABn矛盾。由Pasch公理，b不過(guò)A`Bn，必過(guò)BBn，即b與a交于AB右側(cè)。由于/2，0，例4．Saccheri（1667~1733）

Lambert（1728~1777）結(jié)論：1）Sa

/2La

/22）Sa=/2

第5公設(shè)La=/2第5公設(shè)

3）Sa/2()La

/2

()

4）若

Sa□使Sa

/2若

La□使La

/2

則

Sa□有Sa

/2則

Sa□有La

/2例4．Saccheri（1667~1733）?非歐幾里得幾何的創(chuàng)立一、先兆二、創(chuàng)立?非歐幾里得幾何的創(chuàng)立一、先兆二、創(chuàng)立?非歐幾里得幾何的創(chuàng)立一．先兆：受Saccheri，Lambert

的影響；

Schawikart，F(xiàn)erdinadKarl(1780~1859)1818年給Gauss征求意見(jiàn)備忘錄提出：星空幾何(())，非歐幾何；

Taurinus，F(xiàn)ranzAdolf(1794~1874)研究星空幾何學(xué),著有《平行線論》（1825），《幾何學(xué)原理初階》（1826）；承認(rèn)第5公設(shè)不可以被證明，只能建立起邏輯上相容的幾何學(xué)，但是不敢否定“空間幾何學(xué)唯有歐幾里得幾何學(xué)”的觀點(diǎn)，只是為了完善歐幾里得幾何學(xué)。?非歐幾里得幾何的創(chuàng)立二．創(chuàng)立：

Gauss，CarlFriedrich（1777~1855）德國(guó)哥廷根大學(xué)

1799年12月17日給Bolyai，Wolfgang（1775~1856）寫(xiě)信認(rèn)為第5公設(shè)不能被證明；

1813年稱(chēng)自己研究的幾何學(xué)為非歐幾里德幾何學(xué)；

1817年給Olbers，H．W．M

寫(xiě)信：我越來(lái)越深信，我們不能證明當(dāng)前的幾何學(xué)具有必然性，至少不能用人類(lèi)理智，也不能給予人類(lèi)理智以這種證明。或許在另一個(gè)世界中我們可以洞察空間的性質(zhì)，而現(xiàn)在這是不能達(dá)到的。直到那時(shí)我們決不能把幾何與算術(shù)相提并論，因?yàn)樗阈g(shù)是純粹先驗(yàn)的。但可以把幾何與力學(xué)相提并論，幾何公理、公設(shè)與力學(xué)定律一樣，是經(jīng)驗(yàn)的總結(jié)。二．創(chuàng)立：1824年給

Taurinus

的信：三角形內(nèi)角和小于，這個(gè)假定引向一種特殊的與我們的幾何學(xué)是完全不同的幾何學(xué)。但是這種幾何學(xué)是完全相容的，當(dāng)我發(fā)展它的時(shí)候，結(jié)果完全令人滿(mǎn)意。除了某個(gè)常數(shù)的值不能先驗(yàn)地定義而外，在這種幾何學(xué)中我能解決任何問(wèn)題。這個(gè)常數(shù)值越大，則越接近歐幾里得幾何學(xué)，而它的無(wú)窮大值會(huì)使雙方系統(tǒng)合而為一。

Bolyai，Johann（1802~1860）匈牙利人，維也納工學(xué)院學(xué)習(xí)。

1823年11月23日給父親的信：“我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)烏有的世界”

1825年《關(guān)于一個(gè)與歐幾里得第5公設(shè)無(wú)關(guān)的空間和絕對(duì)真實(shí)的學(xué)說(shuō)》（26頁(yè)）；

1832年作為其父親著作的附錄發(fā)表。1824年給Taurinus的信：

Lobaceviskii，NikolaiIvanovic(1792~1856)

俄國(guó)喀山大學(xué)

1816~1817年證明第5公設(shè)不成，致力于新幾何學(xué)創(chuàng)立；

1826年2月12日宣讀論文《平行線理論和幾何學(xué)原理概論及證明》的概要，但未公開(kāi)發(fā)表；

1829年第一次公開(kāi)發(fā)表《幾何學(xué)原理》載《喀山通報(bào)》；

1835年發(fā)表《平行線理論的幾何學(xué)探討》——虛幾何學(xué)；

1855年發(fā)表《泛幾何學(xué)》。

Beltrami，Eugenio(1835~1900)

意大利羅馬大學(xué)

1868(一說(shuō)1863)年《非歐幾里得幾何學(xué)解釋嘗試》：

0球面黎氏幾何學(xué)常曲率曲面

0偽球面羅氏幾何學(xué)

=0平面歐氏幾何學(xué)Lobaceviskii，Nikolai

高斯，1777年4月30日出生在德國(guó)布倫斯威克的一個(gè)貧窮的自來(lái)水工人家庭。高斯的舅舅很有才能，經(jīng)常盡其所能地教高斯各種知識(shí)，對(duì)幼年的高斯影響很大。高斯的父親原本不打算讓高斯上學(xué)，由于童年的高斯表現(xiàn)出非凡的數(shù)學(xué)才華，在高斯7歲時(shí)還是上了小學(xué)。1787年高斯上四年級(jí)，有一次數(shù)學(xué)老師要求全班學(xué)生計(jì)算從1到100的正整數(shù)的和。當(dāng)老師剛剛解釋完題目，年僅10歲，班上年齡最小的高斯就把寫(xiě)有答案5050的石板交給老師。其他學(xué)生雖然陸續(xù)交了卷，但是全都錯(cuò)了。這個(gè)故事被廣泛流傳著。

1791年經(jīng)校長(zhǎng)推薦，14歲的高斯得到一位公爵的賞識(shí)和資助，被送到布魯林學(xué)院學(xué)習(xí)。這個(gè)學(xué)院的教師巴爾特斯發(fā)現(xiàn)了高斯的數(shù)學(xué)天才，就與高斯一起研讀牛頓、拉格朗日、歐拉等著名數(shù)學(xué)家的著作。高斯的發(fā)展勢(shì)頭很好，那位公爵又資助高斯于1795年進(jìn)入哥廷根大學(xué)學(xué)習(xí)，1798年轉(zhuǎn)入赫爾姆什塔特大學(xué)，在那里受