十種題型搞定多面體的外接球,內切球問題

十種題型搞定多面體的外接球，內切球問題題型一直角四面體的外接球補成長方體，長方體對角線長為球的直徑三棱錐尸-ABC中，AABC為等邊三角形，PA=PB=PC=2，PA1PB，三棱錐P-ABC的外TOC\o"1-5"\h\z接球的表面積為（）A.48兀B.12兀C.4*3兀D.32、.；3冗在正三棱錐A-BCD中，E,F分別是AB,BC的中點，EF1DE，若BC=12，則A-BCD外接球的表面積為A兀B2兀C3兀D4兀在正三棱錐S—ABC中，M,N分別是SC,BC的中點，且MN1AM，若側棱SA=2拓，則正三棱錐S-ABC外接球的表面積為A12兀B32兀C36兀D48兀（2019全國1理12）.已知三棱錐PABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，A^的中點，匕CEF=90°，則球O的體積為_A.8\，''6兀B.4/6兀C.2寸6兀D.寸6兀設A，B，C，D是半徑為2的球面上的四個不同點，且滿足場.AC=0，AD-AC=0，AB?AD=0，用S1>S2、S3分別表示^ABC.AACD.AABD的面積，則S]+S2+S3的最大值是.題型二等腰四面體的外接球補成長方體，長方體相對面的對角線為等腰四面體的相對棱1.在四面體ABCD中，若AB=CD=點,AC=BD=2,AD=BC=云，則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A.2兀B.4兀C.6兀D.8兀.一…5互A，B，C，D四點在半徑為歹一的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=寸41，AB=CD，則三棱錐D-ABC的體積是.3.在三棱錐S-ABC中，底面^AB^的每個頂點處的三條棱兩兩所成的角之和均為180°，△ABC的三條邊長分別為AB-.3，AC-..5，BCf'6，則三棱錐S-ABC的體積（）A.2、2B.v10C.2<2D.4,/2\o"CurrentDocument"33題型三有公共斜邊的兩個直角三角形組成的三棱錐，球心在公共斜邊的中點處1.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3體ABCD題型三有公共斜邊的兩個直角三角形組成的三棱錐，球心在公共斜邊的中點處1.在矩形ABCD中，AB=4，BC=3體ABCD的外接球的體積為125125A.——兀B.——兀129沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D，則四面125C.—兀6125

D.——兀

3三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，且SA=AC=SB=BC=2\：2，SC=4，則該球的體積為25632A——兀B—兀33C16兀D64兀在四面體S-ABC中，AB1BC,AB=BC=*2,SA=SC=2，二面角S-AC-B的余弦值是乎則該四面體外接球的表面積是（）A.8偵6兀B.6兀C.24兀D.瑚6兀

4.在平面四邊形ABCD中，AB=AD=CD=1,BD=\-2,BD±CD，將其沿對角線BD折成四面體A'-BCD，使平面ABD±平面BCDA.8偵6兀B.6兀C.24兀D.瑚6兀A兀B3兀C兀235.平行四邊形ABCD中，AB-BD=0,沿BD將四邊形折起成直二面角A一BD-C，且^AB|2+|BD|2=4，則三棱錐A-BCD的外接球的表面積為（）兀A.—2兀兀A.—2兀B.—4C.4兀D.6已知直角梯形ABCD，AB上6已知直角梯形ABCD，AB上AD，CD上AD，AB=2AD=2CD=2，沿AC折疊成三棱錐，當三棱錐體積最大時，三棱錐外接球的體積為.題型四側棱垂直于地面或側面垂直于地面過底面外心做垂線，球心有垂線上1.已知四面體P-ABC,其中AABC是邊長為6的等邊三角形,PA1平面ABC,PA=4測四面體P-ABC外接球的表面積為.2.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖是一個正三角形，則這個幾何體的()倜視圖外接球的半徑為%-b.表面積為、‘7+、百+1c.體積為板3d.外接球的表面積為4兀.題型五其中一條側棱滿足某個特殊的條件,―兀1.已知三棱錐A-BCD中，AB=AC=BD=CD=2,BC=2AD，直線AD底面如所成的角是］，)_4巨C兀38里D——兀3則此時三棱錐外接球的體積是、?弓B——兀3答案。D2.（太原2016屆高三上學期考試）在四面體ABCD中，已知ZADB=ZBDC=ZCDA=600，AD=BD=3，CD=2，則四面體ABCD的外接球的半徑為（）A.巨B.2C.3D'3解：設四面體ABCD的外接球球心為0,則。在過△ABD的外心N且垂直于平面ABD的垂線上.由題設知，^ABD是正三角形，則點N^△ABD的中心.設P，M分別為AB，CD的中點，J則N在DP上，且ON±DP，OM1CD.因為/CDA=/CDB=/ADB=60°，設CD與平面ABD所成角為0，

2-DN=—DP=-,-33.?.cose=4，sine=M.在△DMN中，DM=§CD=1，一、、一一:■-由余弦定理得MN=,1+3-2xlxHx十=<23D..??四邊形DMON的外接圓的半徑OD=MN=容.故球O的半徑R=.*故選:)_4巨C兀38里D——兀32-DN=—DP=-,-33D.CA題型六一般棱錐的外接球問題1.（2017宜賓模擬）已知點A是以BC為直徑的圓OJ異于B,C的動點，P為平面ABC外一點，且平面PBC±平面ABC,BC=3,PB=2^2,PC=、&，則三棱錐P-ABC外接球的表面積為10n.解：因為O^AABC外接圓的圓心，且平面PBC±平面ABC,過O作面ABC的垂線Z,則垂線l一定在面PBC內，根據(jù)球的性質，球心一定在垂線l,V球心O1一定在面PBC內，即球心O1也是APBC外接PB2+BC2-PC2氣2克2BP?BC圓的圓心，在APBC中，由余弦定理得cosB==—廠，與sinB="-，PC102BP?BC由正弦定理得：=2R，解得R=—,.?.三棱錐P-ABC外接球的表面積為s=4nR2=10n,sinB2故答案為：10n故答案為：10n2.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=v3，側棱PA與底面ABC所成的角為600,則該三棱錐外接球的體積為（）接球的體積為（）A.兀C.A.兀解.加圖7所示，過？點作房面如2的垂建.垂是為。，設R為外拷球的核心，隹接職LAQ因/PAO二宙，F(xiàn)A=B板工。二史,P0=-t又△劇Q為真量三第形，22圈二AH=FX=r,“AH2=AO^十0燈七..r2=馬、十弓一r）七n=L：./=?ttkF=?汗3.（2017-龍泉驛區(qū)一模）已知球O是某幾何體的外接球，而該幾何體是由一個側棱長為2t5的正四棱錐TOC\o"1-5"\h\zS-ABCD與一個高為6的正四棱柱ABCD-ABCD拼接而成，則球O的表面積為（）iiii100k500兀A^B.64nC.100nD.——33—AC=Vix解：設球的半徑為R,AB=2x，~一、一、，則球心到平面A1B1C1D1的距離為3,幾何體是由一個側棱I長為2蕓的正四棱錐S-ABCD。S到平面ABCD的距離為尸*-v2：J"」，則：—：C-3=R,又勾股定理可得R2=32+2x2,.?.R=5,x=2二.?球的表面積為4nR2=100n.故選：C.題型七圓錐的外接球題型七圓錐的外接球4.（2018屆四川瀘州一中一診）已知圓錐的高為5,底面圓的半徑為偵5，它的頂點和底面的圓周都在同一個球的球面上，則該球的表面積為（）A.4kB.36kC.48kD.24k【解析】設球的半徑為R，由于圓錐的高為5,底面圓的半徑為偵5,所以R2=（5-R）2+C5），解得R=3所以該球的表面積為4kR2=36k.故選b.【試題點評】本題是兩個旋轉體的組合，其中圓錐的軸線所在直線垂直于其底面圓，結合球與圓錐的有關性質，球心必在圓錐的高所在的直線上，應用數(shù)學建模的素養(yǎng)，建立“心有所依”模型，將有關信息嫁接到如圖所示的R^OO1A中，利用勾股定理求解.題型八棱柱的外接球.漢堡模型

5.（2018屆湖北襄陽一模）已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZBAC=900,則直三棱柱ABC-AM夕卜接球的半徑的最小值為—【解析】由于直三棱柱ABC-ABC中，ZBAC=90。，所以111ABAC,ABAC的外接圓的圓心分別是BC,BC的中點D,D，外接球的球111111心。就是DD1的中點，設直三棱柱的高為們由于側面BCC15面積為4，側面5的面積為4，A1A>2，當且僅當h=2時取等號故直三—4則BC=—，h棱柱ABC-ABC外接球的半徑的最小值為\：'2.111四球與棱柱的各棱相切問題6.已知正方體的棱長為。，則與其各棱都相切的球的半徑為7?已知正四面體的的棱長為。，則與其各棱都相切的球的半徑為8.已知三棱柱ABC-ABC的底面是正三角形，側棱AA1底面ABC，若有一半徑為2的球與三棱柱1111的各條棱均相切，則AA1的長度為.側面5的面積為4，A1A>2，當且僅當h=2時取等號故直三由題意，"二的外接圓即為球的大圓設底面''0二外接圓圓心：■■-'"■L'招?'，從而正三角形二W邊長為*'，設圓心七由題意「I在球面上，"1F、、de、>、JOFIDE，OF-GD=-GC=1在…"中，—?'，：」-，則卜?.：，—'..：，則、左V故答案為9.把一個皮球放入如圖所示的由8根長均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點，則皮球的半徑為（）D.30cmA.103cmB.10cmC.10%2cm圖14解=如囹11所示，由題食土制WiArr.土制..，*!□,"白作頃的垂矣口囚垂異為皿UN-H,UM-H,因為?客"卜榛吉8為：JU,MrL'AAM-m.D.30cm圖14解=如囹11所示，由題食土制WiArr.土制..，*!□,"白作頃的垂矣口囚垂異為皿UN-H,UM-H,因為?客"卜榛吉8為：JU,MrL'AAM-m.np-2^riw-m.ap-1/.'/'?!-<t.中，_AM2i』次，卅以在AJMg中，2I—卅以—M_1".在兇、rAT,TPA.—10-7^2.任R.ti\AbPL|J,cin—'—,任Rt江UPJF中,sinCd————,所L^,心'w1oror—-—,H|12AOF-^2R.在ff/A。碩中,OP2DM7'-AO2+HA/七網(wǎng)以，*-(10^2--J2R)3+100,藤得，占=1口或成）（臺）.所以，A=乩詵掃.題型九折疊問題10.（2018年四川省成都市二模）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，ZBAD=600，沿對角BD將^ABD折起使A位于新位置A'，且AC=\.百，則三棱錐A'-BCD的外接球的表面積為（）5250A.——兀.B.—兀.99_解：如圖，由題意可知，A'B=A'D=BD=BC=CD=2,A'C=T3，取BD的中點E，連接EC，設球心為O，連接EO,CO,O,為底面BCD的中心，連接OO，OO±底面BCD，可得OO'±CE，且CE=AE32^3=AC=i3，即有OEXA'C，且直角三角形OEO中，匕OEC=30°，O,E=5，O'C=廠，C.6nD.25nOO=1…-=3,即有R=OC=3）2+（-）2—'3，則A'-BCD的外接球的表面積為4nR2=虧兀.OEtan30°，半徑為6cm，該紙片上的正方形ABCD的中心為O.E,F,G,H)解：連接OE交AB與I,E)解：連接OE交AB與I,E,=（2扃-R）2+（2、；切2.解得R=該四棱錐的外接球的表面積S=4兀故選：D.53.為圓O上的點，AABE,ABCF,\CDG,AADH分別是以AB,BC,CD,DA為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以AB,BC,CD,DA為折痕折起AABE,ABCF,ACDG,AADH，使得E,F,G,H重合得到一個四棱錐.當該四棱錐的側面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為（100^.F,G,H重合為P，得到一個正四棱錐，設正方形ABCD的邊長為x.則OI=-,IE=6-X.由四棱錐的側面積是底面積的2倍，可得4xxx（6--）=2"2222解得x=4.設外接球的球心為Q，半徑為R，可得OC=茶,OP=*42-22=澆，12.已知正方形ABCD的邊長為2,CD邊的中點為E,現(xiàn)將AADE,ABCE分別沿AE,BE折起，使得TOC\o"1-5"\h\zC,D兩點重合為一點記為P，則四面體P-ABE外接球的表面積是（）a17兀19兀19兀17兀A.~2^B.12C.D.解：如圖，PE±PA,PE±PB,PE=1,APAB是邊長為2的等邊三角形，設H是APAB的中心，OH1平面PAB,O是外接球的球心，12\319貝9OH=1PE=-,PH=——，則R2=OP2=OH2+PH2=—.\o"CurrentDocument"231219兀故四面體P-ABE外接球的表面積是S=4兀R2=——.故選：C.

13.在梯形ABCD中，AB//CD,AD±AB,AB=4,AD=CD=2，將梯形ABCD沿對角線AC折疊成三棱錐D-ABC,當二面角D-AC-B是直二面角時，三棱錐D-ABC的外接球的表面積為13.在梯形ABCD中，A.4兀B.8兀C.12兀D.16兀解：如圖：AB=4,AD=CD=2,AC=2<2,BC=2寸2,取AC的中點E,AB的中點O,連結DE,OE，平面DCA1平面ACB,DE1AC,：.DE±平面ACB，?/DE=還,OE=、2,OD=2,題型十多面體的內球問題14.正方體的棱長為a，求它內切球的半徑15.正四面體的棱長為a，求它內切球的半徑16.2018屆湖南常德二模）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱之為鱉孺.若三棱錐P-ABC為鱉孺，側棱PA1底面ABC，AC1BC，且PA=2,AC=3,BC=4，題型十多面體的內球問題14.正方體的棱長為a，求它內切球的半徑15.正四面體的棱長為a，求它內切球的半徑16.2018屆湖南常德二模）在《九章算術》中，將四個面都是直角三角形的三棱錐稱之為鱉孺.若三棱錐P-ABC為鱉孺，側棱PA1底面ABC，AC1BC，且PA=2,AC=3,BC=4，則該鱉孺的內切球的半徑為.【解析】由鱉孺的性質可知，PC1CB,PC=^13,AB=5,BP=429，匕-ABC=3SABCPA=4,S^BC=&^PAB='"=2①,'"=3所以，故r=1214+2①【試題點評】求解三棱錐的內切球的半徑也可以應用等體積法：先求出四個表面的面積和整個三棱錐的體積，再設出內切球的半徑r，建立等式VopAB+VopBC+VopcA+Voabc=VPABC所以，故r=1214+2①‘△pab+SPCA+^ABC最值問題:17.已知三棱錐P-ABC的四個頂點都在半徑為3的球面上，AB1AC,則該三棱錐體積的最大值是解：設AB=m，AC=如則S^=2mn,AABC的外接圓直徑BC=Jm2+n2取BC的中點M，則當PM1平面ABC時，三棱錐的體積最大11m2+n2/1m2+n2m2+n2?TOC\o"1-5"\h\z此時球心O在PM上，V=-x—mnx(,,9一+3)W-xx(*9一+3)max324"34I4令.=號2，則/（，）=3心商+3），球）=3（柘-晶+3）由f（t）=0，解得t=0（舍），t=8，f（t）在（0,8）遞增，在（8,9）遞減故f（8）最大，為3，所以三棱錐P-ABC的最大體積為323-，,一兀18.已知P,A,B,C是半徑為2的球面上的點，PA=PB=PC=2，/ABC=—，點B在AC上的射影為D，則三棱錐P-ABD體積的最大值為.【分析】P在平面上的射影G^AABC的外心，即G為AC中點，球的球心在PG的延長線上，設PG="，則OG=2-h，求出h=1，則AG=CG=,.?「§，過B作BD±AC于D，設AD=x，則CD=2；3-%，設BD=y，由ABDC?AADB，%一右；虧，從而y=.U（2；l：-K），貝肖"=+\.：_>+23『，令f（x）=-%4+2,3K立則F⑴二-4尸+6/3如利用導數(shù)性質能求出三棱錐p-abd體積的最大值.解：如圖，根據(jù)題意得PA=PB=PC=2,ZABC=90°,yp,A,B,C是半徑為2的球面上的點，PA=PB=PC=2,ZABC=?，點B在解：如圖，根據(jù)題意得PA=PB=PC=2,ZABC=90°,yp,A,B,C是半徑為2的球面上的點，PA=PB=PC=2,ZABC=?，點B在AC上的射影為D，：.P在平面上的射影G^AABC的外心，即G為AC中點，則球的球心在PG的延長線上，設PG=h，則OG=2OB2-OG2=PB2-PG2，即4-（2-h）2=4-h2，解得h=1，則=<3，過B作BDLAC于D，設AD=x，則CD=2<3-x，設BD=y，由AADB，得解得y=；'&3-'如則§"=+「-乂丈+23x3,令f(x)=-x4+2,3m3,則F(x)二-4e’+6*q出,，r、八徊3扼5243由/(x)=0,得x=^—，..當x=時，f(x)max=T~，?.?AABD面積的最大值為土X、3=蘭3，24S三棱錐P-ABD體積的最大值為§X—X]_~.故答案為:球的半徑為R，求它的內接長方體體積的最大值球的半徑為R，求它的內接圓柱體積的最大值球的半徑為R，求它的內接圓錐體積的最大值歷年高考題：22.（2012-新課標）已知三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的表面SC為球O的直徑，且SC=2，則此三棱錐的體積為（）A.1B.巨C.乜446上，AABC是邊長為1的正三角形，D.巨12解：根據(jù)題意作出圖形：設球心