3道經(jīng)典例題沖激函數(shù)匹配法

經(jīng)典例題1教材第65頁例題2-9的姐妹題d2r(t)dr(t)設描述系統(tǒng)的微分方程式為d2r(t)dr(t)設描述系統(tǒng)的微分方程式為*€4于€3r(t)二d2e(t)€dt2de(t)

dt+2e(t)，試求其沖激響應。用第三版教材65頁的解法，不能解答此題解：0，至0+期間系統(tǒng)的微分方程是：d2r(t)”dr(t)d28(t)d5(t)TOC\o"1-5"\h\z+4+3r(t)二++28(t)(1)dt2dtdt2dt根據(jù)方程兩邊奇異信號平衡的原則，可以假設：d2r(t)d28(t)d8(t)=a+b+co(t)+d?u(t)dt2dt2dtdr(t)d8(t)=a+bo(t)+c?u(t)dtdtr(t)=a8(t)+b?u(t)(2)將上述3式代入(1)式，可得a=1,b=—3,c=11,d=—32系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，也就是r(0)=0,r'(0)=0，所以r(0+)=-3，r(0+)=110+時刻以后系統(tǒng)處于零輸入狀態(tài)，系統(tǒng)的微分方程是：嗎+4蟻+3r(t)=0dt2dt設系統(tǒng)的齊次解(特解為零)為：r(t)=Ae-3tu(t)+Be-必t)則：A+B=，3,—3A—B=11，從而可以知道A=，4，B=1r(t)=，4e，3tu(t)+e，tu(t)在考慮2式可以知道系統(tǒng)的沖激響應包含奇異函數(shù)，所以系統(tǒng)的沖激響應為：r(t)=，4e，3tu(t)+e，tu(t)+8(t)

經(jīng)典例題2給定系統(tǒng)的微分方程r(t)€3r(t)€2r(t)=e(t)+e(t)€3e(t)，若激勵TOC\o"1-5"\h\zdt2dtdt2dt信號為e(t)二u(t),起始狀態(tài)為r(0)=1,r，(0)=2,在初始狀態(tài)不為零、輸入為階躍信號的情況下，求系統(tǒng)的響應r(t)解：(一)將e(t)=u(t)代入方程式，求得t=0-到0+期間系統(tǒng)的微分方程為d2d1)r(t)+3r(t)+2r(t)二…'(t)+5(t)+3?1)dt2dt?u(t)為0-到0+相對單位跳變函數(shù)，方程(2)右端自由項中含有…(t),故從0到0+狀態(tài)發(fā)生跳變。方程(1)右端的沖激函數(shù)項最高階次是…'(t)，因而可以設r(t)=a…'(t)+b…(t)+c?u(t)dtr(t)=dtr(t)=a…(t)+b?u(t)(0-vtv0+)(2)r(t)=a?u(t)代入式(1)得：a…'(t)+b…(t)+c?u(t)+3a…(t)+3b?u(t)+2a?u(t)=5'(t)+5(t)+3?u(t)可以得到：a=可以得到：a=1b+3a=1a=1

b=-2r(0)-r(0)=1+—TOC\o"1-5"\h\z因而有］ddr(0)—〒r(0)=、dt+dt-0+狀態(tài)為'r(0)=r(0)+1=2d+—ddtdt<#r(0)=—2+—r(0)=0

dtdt二)0+之后系統(tǒng)的微分方程為d2dr(t)+3r(t)+2r(t)=3u(t)dt2dt3r(t)€Ae-tu(t)+Be-2tu(t)+u(t)2(三)考慮(2)式中沒有沖激函數(shù)，也沒有沖激函數(shù)的高階導數(shù)，所以系統(tǒng)的完全響應是13r(t)€e，tu(t)一e一2tu(t)+u(t)22d2e(t)

d2e(t)

dt2+讐+2e(t)，試求其沖d2r(t)dr(t)設描述系統(tǒng)的微分方程式為+3+2r(t)€dt2dt激響應。用第三版教材65頁的解法，不能解答此題0-至0+時刻系統(tǒng)的微分方程是：d2r(td2r(t)

dt2+3凹

dt+2r(t)€也+如+25(t)dt2dt1)根據(jù)方程兩邊奇異信號平衡的原則，可以假設：血=。凹+b型+c5(t)+d?u(t)TOC\o"1-5"\h\zdt2dt2dtdr(t)d5(t)=a+b5(t)+c?u(t)dtdtr(t)€a5(t)+b?u(t)(2)將上述3式代入(1)式，可得a€1,b€，2,c€6,d=—14系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，也就是r(0)€0,r'(0)€0，所以r(0+)€，2，r'(0+)€60+時刻以后系統(tǒng)處于零輸入狀態(tài)，系統(tǒng)的微分方程是:d2r(t)dr(t)0+3+2r(t)€0dt2dt設系統(tǒng)的齊次解(特解為零)為：r(t)€Ae，2tu(t)+Be-tu(t)則