2等差數(shù)列及其前n項和高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義版含答案

§6.2等差數(shù)列及其前n項和取新考明考情考向分析.理解等差數(shù)列的概念..掌握等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式..能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題..了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.以考查等差數(shù)列的通項、前n項和及性質(zhì)為主，等差數(shù)列的證明也是考查的熱點.本節(jié)內(nèi)容在高考中既可以以選擇、填空的形式進行考查，也可以以解答題的形式進行考查.解答題往往與等比數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等問題綜合考查.基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)一回扣其礎(chǔ)知識訓(xùn)練基址題目一「知巧榛理.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,用密用字母d表示..等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列｛an｝的首項為a1，公差為d,那么它的通項公式是an=ad(n—1)d..等差中項由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列.這時，A叫做a與b的等差中項..等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項公式的推廣：an=am+(n-m)d(n,mCN*).(2)若｛an｝為等差數(shù)列，且k+l=m+n(k,l,m,nCN),則ak.+ai=am)+an.⑶若｛an｝是等差數(shù)列，公差為d,則｛a2n｝也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若｛an｝,｛bn｝是等差數(shù)列，則｛pan+qbn｝也是等差數(shù)列.…-八*-(5)右｛an｝是等差數(shù)列，公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,??(k,mCN)是公差為md的等差數(shù)列.(6)數(shù)列Sm,S2m—Sm,S3m—S2m,…構(gòu)成等差數(shù)列..等差數(shù)列的前n項和公式設(shè)等差數(shù)列｛an｝的公差為d,其前n項和Sn=ma|a)或Sn=na1+~^~~2d.

.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn=2n2+|[ai-|h.數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列？Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))..等差數(shù)列的前n項和的最值在等差數(shù)列｛an｝中，ai>0,d<0,則Sn存在最乂t;若a[<0,d>0,則Sn存在最公俱.【知識拓展1等差數(shù)列的四種判斷方法⑴定義法：an+i—an=d(d是常數(shù))？｛an｝是等差數(shù)列.(2)等差中項法：2an+i=an+an+2(nCNc8X7??Sc8X7??S8=8ai+-2-d=32.(3)通項公式：an=pn+q(p,q為常數(shù))?｛an｝是等差數(shù)列.(4)前n項和公式：Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))?｛為｝是等差數(shù)列.u基礎(chǔ)自測題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打或"X”)(1)若一個數(shù)列從第二項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列.(X)(2)等差數(shù)列｛an｝的單調(diào)性是由公差d決定的.(V)(3)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0的二次函數(shù).(x)(4)已知等差數(shù)列｛an｝的通項公式an=3-2n,則它的公差為一2.(V)⑸數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列的充要條件是對任意nCN*，都有2an+i=an+an+2.(,)(6)已知數(shù)列｛an｝的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù))，則數(shù)列｛an｝一定是等差數(shù)列.(，)題組二教材改編[P46A組T2]設(shè)數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，其前n項和為Sn,若a6=2且Ss=30,則S8等于(B.32D.34B.32D.34C.3326ai=26ai=3,解得ld=-￡Zi+5d=2,解析由已知可得1l5ai+10d=30,

[P39T5]在等差數(shù)列｛an｝中，若33+34+35+35+ay=450,則a2+a8=答案180解析由等差數(shù)列的性質(zhì),得a3+a4_l_a§+a6+ay=5a5=450,?-a5=90,，a2+a8=2a5=180.解析由等差數(shù)列的性質(zhì),題組三易錯自糾4.一個等差數(shù)列的首項為_14.一個等差數(shù)列的首項為_125'從第10項起開始比1大，則這個等差數(shù)列的公差d的取值范TOC\o"1-5"\h\z圍是()A.d>7FB.d<;^7525C.^<d<;|D.78<d<;375257525答案D_..a10>1,萌+9d>'解析由題意可得￡即《月產(chǎn)1'I工+8d<1,25所以④<"25.故選D..若等差數(shù)列｛an｝滿足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,則當(dāng)n=時，｛an｝的前n項和最大.答案8解析因為數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列，且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a〔0=a8+a9<0,所以a9<0.故當(dāng)n=8時，其前n項和最大..一物體從1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,那么經(jīng)過秒落到地面.答案20解析設(shè)物體經(jīng)過t秒降落到地面.物體在降落過程中，每一秒降落的距離構(gòu)成首項為4.90,公差為9.80的等差數(shù)列.1所以4.90t+2t(t-1)X9.80=1960,即4.90t2=1960,解得t=20.題型分類深度剖析真題典題深度剖析重點堆點多維探究題型一等差數(shù)列基本量的運算……*自主演練(2017全國I)記Sn為等差數(shù)列｛an｝的前n項和.若a4+as=24,&=48,則｛an｝的公差為()A.1B.2C.4D.8答案C解析設(shè)｛an｝的公差為d,,+%=24,［儂+3d廣(ai+4d廣24,由1得I6X5、Ss=48,6ai+—2-d=48,解得d=4.故選C.TOC\o"1-5"\h\z(2016全國I)已知等差數(shù)列｛an｝前9項的和為27,a10=8,則a^等于()A.100B.99C.98D.97答案C9a〔+a99X2a5一^一斛析由等差數(shù)列性質(zhì)，知Sg=2=2=9a5=27,得a5=3,而a10=8,因此公a101a5差d==1,10-5??a100=a10+90d=98,故選C.思維升華等差數(shù)列運算問題的通性通法(1)等差數(shù)列運算問題的一般求法是設(shè)出首項a1和公差d,然后由通項公式或前n項和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解.(2)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an,d,n,Sn,知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題.題型二等差數(shù)列的判定與證明--師生共研典例已知數(shù)列｛an｝中，a1=3,an=2一」一(n>2,nCN*),數(shù)列｛bn｝滿足bn=-'(nCN*).5an1an—1(1)求證：數(shù)列｛bn｝是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列｛an｝中的最大項和最小項，并說明理由.

⑴證明因為an=2-(n>2,nCN),an-1bn=(n€N),an—1一,1an11.an—15所以數(shù)列｛bn｝是以一2an11.an—15所以數(shù)列｛bn｝是以一2為首項,1為公差的等差數(shù)列.(2)解由(1)知bn=n-7,則an=1+9=1+

bn2n-75?2設(shè)f(x)=1+,2x—7則f(x)則f(x)在區(qū)間_8,2卜口g,為減函數(shù).所以當(dāng)n=3時，an取得最小值一1,當(dāng)n=4時，an取得最大值3.引申探究本例中，若將條件變?yōu)?a1本例中，若將條件變?yōu)?a1=5'nan+1=(n+1)an+n(n+1),試求數(shù)列｛an｝的通項公式.an+1onan+1onQ即「―『1,又a1=5.ann=g+(n-1)1=n—5,…2***-|n.an+1解由已知可得——n+1是以ar=3為首項，1為公差的等差數(shù)列,

15思維升華等差數(shù)列的四個判定方法(1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an+1—an等于同一個常數(shù).(2)等差中項法：證明對任意正整數(shù)n都有2an+1=an+an+2.(3)通項公式法：得出an=pn+q后，再根據(jù)定義判定數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列.(4)前n項和公式法：得出Sn=An—anT+Bn后，再使用定義法證明數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列.—anT1跟蹤訓(xùn)練右數(shù)列｛an｝的刖n項和為Sn,且滿足an+2SnSn1=0(n>2),ai=2.(1)求證：總忌等差數(shù)列；(2)求數(shù)列｛an｝的通項公式.(1)證明(1)證明當(dāng)n>2時，由an+2SnSn1=0,TOC\o"1-5"\h\z11一得Sn—Sn—1=-2&Sn—1,-=2,SnSn1w'1w'1"”故W遑首項為2,公差為2的等差數(shù)列.1__1(2)解由(1)可得^"=2n,Sn=了;.Sn2n當(dāng)n>2時,11n—1—nan=Sn—Sn1==2n2n-12nn-11一一.2nn—1,一，1―一.，，、當(dāng)n=1時，a1=2不適合上式.’2，n=1,故an=1一,nR2.2nn-1題型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用命題點1等差數(shù)列項的性質(zhì)典例已知｛an｝,｛bn｝都是等差數(shù)列，若a〔+b10=9,as+b8=15,則as+b6=答案212(as+b8)=(a1解析因為｛an｝,｛bn｝都是等差數(shù)列，所以2a3=a〔+a5,2b8=b1o+b6,所以+b1o)+(as+be),即2x15=9+(as+be),解得2(as+b8)=(a1命題點2等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)典例(1)設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,若S3=9,0=36,則a7+ag+a9等于()

A.63B.45C.36D.27答案B解析由｛an｝是等差數(shù)列，得S3,S6—S3,S9—4為等差數(shù)列，即2(S6—83)=S3+(S9-S6),得到S9-Ss=2S6-3S3=45,故選B.S2014S2008(2)已知Sn是等差數(shù)列｛an｝的前n項和，若ai=—2014,20R—20麗=6,則$018=答案6054解析由等差數(shù)列的性質(zhì)可得號］也為等差數(shù)列.S2014S2008僅其么差為d,則：014—nnna=6d=6)>,d=1.20142008S?018S1故不力=7+2017d=-2014+2017=3,20181.?S2018=3X2018=6054.思維升華等差數(shù)列的性質(zhì)(1)項的性質(zhì)：在等差數(shù)列｛an｝中，m+n=p+q(m,n,p,qCN),則am+an=ap+aq.(2)和的性質(zhì)：在等差數(shù)列｛an｝中，Sn為其前n項和，則①S2n=n(a[+a2n)=…=n(an+an+1);②S2n1=(2n—1)an.跟蹤訓(xùn)練(1)在等差數(shù)列｛an｝中，已知a4+a8=16,則該數(shù)列前11項和S1等于()A.58B.88C.143D.176答案B解析S11=解析S11=11(a1+a11)11(a4+a8)11X16288.(2)等差數(shù)列｛an｝與｛bn｝的前n項和分別為Sn和Tn,若魯有，則臚于()A.3727B.A.3727B.191439C.2939C.294D.3答案A解析a1+a131c---X13a72a7a1+a132813b72b7b1+b13b〔+b13T13x133X13—237解析a1+a131c---X13a72a7a1+a132813b72b7b1+b13b〔+b13T13x133X13—237==.2X13+127?高頻小考點?等差數(shù)列的前n項和及其最值考點分析公差不為0的等差數(shù)列，求其前n項和與最值在高考中時常出現(xiàn),題型有小題,也有大題，難度不大.典例1⑴在等差數(shù)列｛an｝中,2(ai+a3+a5)+3(a7+a9)=54,則此數(shù)列前10項的和810等于C.4575B.60D.90(2)在等差數(shù)列｛an｝中，810=100,8|00=10,則8110=解析(1)由題意得a3+as=9,所以S|0=10(ai+aio)10(a3+as)10x9=45.(2)方法一設(shè)數(shù)列｛an｝的首項為a1,公差為d,10a1+-則100a1十10X9-d=100,100X992d=10,1099a1=,a100'解得，，11d=—50.110X109,…所以8|10=110a1+2d=—110.方法二因為8100-810=(a11+a100)x90=-90,所以an+a100=—2,所以Sn0=(a1+a110jx110(a〔1+a〔00A110L=-110.答案(1)A(2)-110

典例2在等差數(shù)列｛an｝中，已知ai=20,前n項和為Sn,且S|0=S5,求當(dāng)n取何值時，Sn取得最大值，并求出它的最大值.規(guī)范解答解.「ai=20,Si0=Si5,15X14―2~~15X14―2~~d,10X20+—2-d=15X20+方法一由%=20+(n—1)X[3j=—5n+65',得a13=0.即當(dāng)nw12時，an>0,當(dāng)n>14時，an<0.，當(dāng)門=12或n=13時，Sn取得最大值，TOC\o"1-5"\h\z一一12X11『5、且取大值為s[2=63=12x20+2n€N,.,.當(dāng)n€N,.,.當(dāng)n=12或n=13時，Sn有最大值，且最大值為S12=S13=130.nn—15方法二Sn=20n+—匕3/-5n2+詈n662522+2522+312524方法三由S10=S15,得an+a12+a〔3+a〔4+a15=0.?1-5a13=0,即a13=0.S12=S〔3=130.???當(dāng)n=12或S12=S〔3=130.課時作業(yè)▽基礎(chǔ)保分練（2018濟南質(zhì)檢）在等差數(shù)列｛an｝中，若a2=4,a4=2,則a6等于（）B.0A.-B.0C.1D.6C.1答案B解析因為數(shù)列是等差數(shù)列，32=4,234=32+36=4,所以36=0,故選B.（2018日照模擬）由公差為d的等差數(shù)列31,32,33,…組成的新數(shù)列3i+34,32+3s,3g+36,…是（）A.公差為d的等差數(shù)列B.公差為2d的等差數(shù)列C.公差為3d的等差數(shù)列D.非等差數(shù)列答案B解析設(shè)新數(shù)列3i+34,32+35,33+36,…的第n項是bn,則bn=3n+3n+3=231+（n—1）d+（n+2）d=23i+（2n+1）d,，bn+i—bn=2d,.??新數(shù)列是以2d為公差的等差數(shù)列，故選B.TOC\o"1-5"\h\z（2017寧德一模）若數(shù)列｛3n｝為等差數(shù)列，Sn為其前n項和，且32=334—6,則S9等于（）A.54B.50C.27D.25答案C解析數(shù)列｛3n｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,則34=32+2d,，32=3（32+2d）—6,，232+6d—（31+3g\X96=0,32+3d=3,即35=3,則Sg=2=9X35=27.故選C.（2017河南百校聯(lián)盟模擬）等差數(shù)列｛3n｝中，Sn是其前n項和，31=—9,S9—S7=2,則S10等于（）A.0B.-9C.10D.—10答案A解析設(shè)公差為d,?號一乎=2,，\^d—三二=2,7.一10X9一一一.?d=2,-31=—9,..&0=10*（—9）+2X2=0,故選A.（2017唐山統(tǒng)考）等差數(shù)列｛3n｝的前n項和為Sn,若&1=22,則33+37+38等于（）A.18B.12答案D解析11fai+解析11fai+aii由題意得Sn=——2——11（2ai+10dj2,22,即a1+5d=2,所以a3+a7+as=a1+2d+a1+6d+a〔+7d=3（a〔+5d）=6,故選D.（2017湖南省湘中名校聯(lián)考）若｛2才是等差數(shù)列，首項a1>0,a2016+a2017>。，a2016a2017<0,則使前n項和&>0成立的最大正整數(shù)門是（）A.2016B,2017C.4032D.4033答案C解析因為a1>0,a2016+a2017>0,a2016a2017<0,所以d<0,a2016>0,a2017<0,所以St032=4032a1a4032）4032a1a4032）4032（a2016+a20170,S4033=4033（&+a40332）=4033a2017<0,所以使前項和S>0成立的最大正整數(shù)n是4032,故選C.（2017安徽省安師大附中、馬鞍山二中階段性測試）若等差數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn,且滿足a2+S3=4,23+25=12,則a4+S7的值是.答案244al+4d=4,解析由a2+S3=4及a3+3=12,得56a1+12d=12,a1=0,解得1a4+S7=8a1+24d=24.d=1,等差數(shù)列｛an｝中的a4,a2016是3x2—12x+4=0的兩根，則10gla1010=.4,1答案得解析因為a4和a2016是3x2—12x+4=0的兩根，所以84+a2016=4^a4,a1010,a2016成等1差數(shù)列，所以2a1010=a4+a2016,即a1010=2,所以10gla1010=一？.4（2017鄭州模擬）《張丘建算經(jīng)》卷上第22題為：“今有女善織，日益功疾.初日織五尺，今一月日織九匹三丈."其意思為今有女子善織布，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布.若第一天織5尺布，現(xiàn)在一個月（按30天計）共織390尺布，則該女最后一天織尺布.

答案21｛a"，其中｛a"，其中ai30/5+aso\=5,前30項和為390,于是有———乙390,解得a30=21,即該織女最后一天織21尺布.設(shè)數(shù)列｛an｝的通項公式為an=2n-10(nN),則冏|+園+…+|ais|=.答案130解析由an=2n—10(nGN*)知｛an｝是以一8為首項，2為公差的等差數(shù)列，又由an=2n-10>0,得n>5,.??當(dāng)n&5時,an<0,當(dāng)n>5時,an>0,|ai|+|a2|+???+|ais|=-(ai+32+as+a4)+(as+ae+…+ais)=20+110=130.(2016全國n)等差數(shù)列｛an｝中，as+a4=4,a5+a7=6.(1)求｛an｝的通項公式；(2)設(shè)bn=[an],求數(shù)列｛bn｝的前10項和，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0.9]=0,[2.6]=2.解(1)設(shè)數(shù)列｛an｝的首項為31,公差為d,TOC\o"1-5"\h\z[2ai+5d=4,ai=1,由題意得1解得52ai+5d=3,d=g2n+3所以｛an｝的通項公式為an=~~一(2)由(2)由(1)知,bn=2n+3當(dāng)n=1,2,3時，<2,bn=1；□2n+3當(dāng)n=4,5時，2W—^<3,bn=2;□2n+32n+3當(dāng)n=6,7,8時，3<—^<4,bn=3;□2n+3當(dāng)i。時，”-5,bn=4.所以數(shù)列｛bn｝的前10項和為1X3+2X2+3X3+4X2=24.(2018貴州質(zhì)檢)已知數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù)，前n項和為Sn,且滿足2Sn=a2+n—4(nCN*).(1)求證：數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列｛an｝的通項公式.2⑴證明當(dāng)n=1時，有2ai=a1+1—4,即a1—2a〔—3=0,解得a=3(a=—1舍去).當(dāng)n>2時，有2Sn—1=an1+n—5,又2Sn=an+n—4,兩式相減得2an=a2—a〉什1,即an—2an+1=an―1,也即(an—1)=an—1，因此an—1=an-1或an—1=—an1.若an—1=—an-1,則an+an-1=1.而a[=3,所以a2=—2,這與數(shù)列｛a