高考理科數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題訓(xùn)練：空間中的位置關(guān)系與體積、表面積(含詳細(xì)答案解析)

i6i6A.平行B.相交A.平行B.相交C.垂直D.異面【解析】因?yàn)閷?duì)于任意的直線m與平面，在平面內(nèi)必有直線l,使m與l垂直，故選C.2.圓臺(tái)上底半徑為2.圓臺(tái)上底半徑為2,下底半徑為6,母線長(zhǎng)為5,則圓臺(tái)的體積為（40幾52幾50幾2i2D.——冗33,即圓臺(tái)的高為624,由CD5,故DE3,所以圓臺(tái)的體積為V-340幾52幾50幾2i2D.——冗33,即圓臺(tái)的高為624,由CD5,故DE3,所以圓臺(tái)的體積為V-3冗22冗362 / 22 62527t.故選B.3.如圖，正方體ABCDAiBiCiDi中,E為棱BBi的中點(diǎn),用過點(diǎn)A、E、Ci的平面截去該正方體的下半部分，則剩余幾何體的正視圖（也稱主視圖）是（C.【解析】正方體ABCDABGD^）中，過點(diǎn)A,E,C1的平面截去該正方體的上半部分后,剩余部分的直觀圖如圖:

則該幾何體的正視圖為圖中粗線部分，故選 A.4.如圖，正方體/"切fJWW,昂凡m,n分別為WGcq4因，的中點(diǎn),則直線環(huán),八4.如圖，正方體角的大小為（ ）B.-4【解析】連接71叫，%",根據(jù)耳風(fēng)M,w分別為明，eq,h也,C1%的中點(diǎn),可得到是三角形'L'/i的中位線，故得到MN//A1c1,同理可得到BC1//EF,進(jìn)而直線村，財(cái)修所成角的大小，可轉(zhuǎn)化為4G與"G的夾角,三角形三邊均為正方體的面對(duì)角線，是等邊三角形,故得到“if；L與"G的夾角為2t.故答案為C.35.已知兩個(gè)平面相互垂直，下列命題

①一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線②一個(gè)平面內(nèi)已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線③一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線必垂直于另一個(gè)平面④過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面其中正確命題個(gè)數(shù)是（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】由題意，對(duì)于①，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的不垂直于交線的直線不垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，設(shè)平面an平面3=m^n?a,l?B,???平面a，平面B,.??當(dāng)l，m時(shí)，必'有l(wèi)，a,而n?a,l，n,個(gè)平面而在平面3內(nèi)與l平行的直線有無數(shù)條，這些直線均與n垂直，故一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一內(nèi)的無數(shù)條直線，即②正確；個(gè)平面對(duì)于③，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線不垂直于另一個(gè)平面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，過一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面，這是面面垂直的性質(zhì)定理，故④正確，故選B..下圖是某幾何體的三視圖，其中網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為 1,則該幾何體的體積為（ ）12【答案】D15C.4012【答案】D15C.40D.503TOC\o"1-5"\h\z【解析】由三視圖可以判定出這是一個(gè)底面為四邊形的四棱錐，其高 〃為5.1 1底面四邊形可以分割成二個(gè)三角形，面積 S—44—2210,\o"CurrentDocument"2 2

一1一50體積V—Sh—，故本題選D.3 3.古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德構(gòu)造了一個(gè)“圓柱容器”的幾何體：在圓柱容器里放一個(gè)球，使該球四周碰壁，且與上，下底面相切，則在該幾何體中，圓柱的體積與球的體積之比為（ ）D.【解析】由已知可知,【解析】由已知可知,rr22r4 3—河3即圓柱的底面半徑與球的半徑 相等，高等于球的直徑2r|,所以迎故選D..矩形中，/日=久成=3,沿八C將腦5矩形折起，使面JML-U面則四面體小一仃。。的外接球的體TOC\o"1-5"\h\z積為（ ）A125 B125 C125 D12567t 97t 127t 37t【答案】A【解析】設(shè)與BD的交點(diǎn)為0點(diǎn)，在矩形H8CD中，可得0A=O[i=0C=0D?當(dāng)沿八C‘翻折后，上述等量關(guān)系不會(huì)發(fā)生改變，因?yàn)樗拿骟w力一8修）的外接球的球心到各頂點(diǎn)的距離相等，所以點(diǎn) 。即為球心，在田必武中，第二、如產(chǎn)+第2=5,故roaOBOCOD52 4q1251r所以球的體積為V—五3 ,故選A.3 6.在正方體ABCDABGD1中，E為棱CD上一點(diǎn)，且CE2DE,F為棱AA的中點(diǎn),

且平面BEF與DDi交于點(diǎn)G,則BiG與平面ABCD所成角的正切值為（A.二 B,立 C,5:2 D.X12 6 12 6【答案】C【解析】因?yàn)槠矫鍭BCD//平面AiBiCiDi,所以BG與平面ABCD所成角，即為BiG與平面ABiCiDi所成角，可知BG與平面所成角為 DiBiG.設(shè)AB6,則AF3,DE2,平面BEFI面CDDiCiGE且BF//面CDDiCi,可知BF//GE,則尤DG,即3變DGi,DiG5,ABDE6 2在RtzXBDG在RtzXBDG中，tanDiBiGDiG5 5.2函6.2IT5.2故4G與平面ABCD所成角的正切值為5^2,本題正確選項(xiàng)C.i2io.如圖，一個(gè)正四棱錐心-人/G”和一個(gè)正三棱錐p「斗QS,所有棱長(zhǎng)都相等，F(xiàn)為棱斗G的中點(diǎn)，將小々、%，出、加，J分別對(duì)應(yīng)重合為P,日，Q得到組合體.關(guān)于該組合體有如下三個(gè)結(jié)論： ①ID1SJ②H）③八?！L(fēng)其中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)是（ ）A司 B. CH D.【答案】A

【解析】由于正四棱錐F二-八和一個(gè)正三棱錐所有的棱長(zhǎng)都相等，可看作有兩個(gè)相同的正四棱柱拼湊而成，如圖所示:P點(diǎn)對(duì)應(yīng)正四棱錐的上底面中心由圖形可知拼成一個(gè)三棱柱，設(shè)又因?yàn)槠矫鍼EFS,所以%，X點(diǎn)對(duì)應(yīng)另一正四棱錐的上底面中心外,￡’為八口的中點(diǎn)，由此可知A01SP,P點(diǎn)對(duì)應(yīng)正四棱錐的上底面中心由圖形可知拼成一個(gè)三棱柱，設(shè)又因?yàn)槠矫鍼EFS,所以%，X點(diǎn)對(duì)應(yīng)另一正四棱錐的上底面中心外,￡’為八口的中點(diǎn)，由此可知A01SP,因?yàn)辂悺ㄓ泌臁ū闼訰B〃5P.故選a.11.以棱長(zhǎng)為1的正方體各面的中心為頂點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)正八面體，再以這個(gè)正八面體各面的中心為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)小正方體，那么該小正方體的棱長(zhǎng)為（ ）B「3B.3C.131D.—【解析】正方體C各面中心為頂點(diǎn)的凸多面體G為正八面體,它的中截面（垂直平分相對(duì)頂點(diǎn)連線的界面）是正方形,該正方形對(duì)角線長(zhǎng)等于正方體的棱長(zhǎng)，所以它的棱長(zhǎng)a2ai21、2_22，以G各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正方體為圖形 C3是正方體,2正方體。面對(duì)角線長(zhǎng)等于2正方體。面對(duì)角線長(zhǎng)等于Q棱長(zhǎng)的232（正三角形中心到對(duì)邊的距離等于高的 -）,3一，一，2

因此對(duì)角線為一，一，2

因此對(duì)角線為23-22彳2，所以a312.在三棱錐PABC中，PA平面ABC,Sxapc2,ABC30，則三棱錐PABC的外接球體積的最小值為（ ）4冗——3644冗——364幾D.32冗【解析】如圖所示,4設(shè)ACx,由z\APC的面積為2,得PA因?yàn)锳BC30,z\ABC外接圓的半徑rx,4因?yàn)閜a平面ABC，且PA-,1 2所以O(shè)到平面ABC的距離為d1PA-,2 x設(shè)球。的半徑為R設(shè)球。的半徑為R則R小2d22,當(dāng)且僅當(dāng)xJ2時(shí)等號(hào)成立,所以三棱錐PABC所以三棱錐PABC的外接球的體積的最小值為32九,——，故選D.3第n卷二、填空題：本大題共 4小題，每小題5分..某長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為2cm,2cm,4cm,則該長(zhǎng)方體的體積與其外接球的體積之比為【答案】?,6:3冗【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 2cm,2cm,4cm,所以其體積為V長(zhǎng)方體224=16cm3,其外接球直徑為2RJ2222~/2J6，故R廄,所以其外接球體積為V球=9tR3876Ttcm3,3

因此，該長(zhǎng)方體的體積與其外接球的體積之比為 16妙.故答案為J6：37t.8767t3冗.“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個(gè)問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小.以鋸鋸之，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺.問徑幾何.”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：“如圖所示，一圓柱形埋在墻壁中，AB1尺，D為AB的中點(diǎn)，ABCD,CD1寸，則圓柱底面的直徑長(zhǎng)是寸”.（注：l尺=10寸）【答案】26【解析】-ABCD,ADBD,AB10寸，，AD5寸，在RtzXAOD中，=OA2OD2AD2,，OA2OA1252,OA13寸，，圓柱底面的直徑長(zhǎng)是2AO26寸.故答案為26..已知兩條不重合的直線m,n,兩個(gè)不重合的平面， ，有下列四個(gè)命題:①若m//②若，且①若m//②若，且m//n,則③若④若nm,則n④若其中所有正確命題的序號(hào)為【答案】②④【解析】逐一考查所給的命題:①若m//,不一定有n// ,題中的命題錯(cuò)誤;②若，且m//由線面垂直的性質(zhì)定理可得,題中的命題正確;③若m//nil，若m//n,有可能與相交，題中的命題錯(cuò)誤;④若,nm,由線面垂直的性質(zhì)定理可得 n,題中的命題正確,綜上可得：正確命題的序號(hào)為②④..已知三棱錐口-川北的四個(gè)頂點(diǎn)均在體積為不用的球面上，其中月月！平面八底面為正三角形，則三棱錐|P-#"。體積的最大值為36幾 r 4Q36幾【解析】由球的體積公式可得-7H33不妨設(shè)底面正三角形的邊長(zhǎng)為2。，則S*AABC2asin60V3a2,設(shè)棱錐的高為h,由三棱錐的性質(zhì)可得R223a3h236162la，據(jù)此可得￡ABCPABC不妨設(shè)底面正三角形的邊長(zhǎng)為2。，則S*AABC2asin60V3a2,設(shè)棱錐的高為h,由三棱錐的性質(zhì)可得R223a3h236162la，據(jù)此可得￡ABCPABC9sSABCh13a436229 381648a298a291216a298164816464當(dāng)且僅當(dāng)8a291216a92 9a-時(shí)等號(hào)成立.2綜上可得，三棱錐p-q8C體積的最大值為9.三、解答題：本大題共 6個(gè)大題,共70分,三、解答題：本大題共 6個(gè)大題,共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.(10分)如圖，在三棱柱ABCAB1C1中,ABAC,側(cè)面B1C1CB底面ABC,E,F分別為棱BC和AG的中點(diǎn).(1)求證：EF//平面ABBA；⑵求證：平面AEF平面BCC1B1.【答案】（1）見證明；（2）見證明.【解析】（1）取AB的中點(diǎn)G,連接BG,FG,在^AiBiCi中，因?yàn)镕,G分別為AG,ABi的中點(diǎn)，~ ,一―八 1所以FG//BiCi，且FG-BiCi,2在三^^柱ABCAB1cl中，BC//B1cl,又E為棱BC的中點(diǎn)，所以FG//BE且FGBE,從而四邊形BEFG為平行四邊形，于是EF//BG,又因?yàn)锽G面ABBA,EF面ABBA,所以EF//平面ABBA.（2）證明：在AABC中，因?yàn)锳BAC,E為BC的中點(diǎn)，所以AEBC,又因?yàn)閭?cè)面BiGCB底面ABC,側(cè)面BCG4I底面ABCBC,且AE面ABC,所以AEL平面BCCiBi,又AE面AEF,所以平面AEF平面BCGBi.18.（12分）如圖，四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCDE為線段AD的中點(diǎn)，且AEEDBC2.PAPDPB4.PBAC.（i）證明：平面PBE平面PAC；（2）若BC//AD,求三棱錐PACD的體積.

【答案】（1）見證明；（2）4.【解析】（1）證明：???PAPD,E是AD的中點(diǎn)，.二PEAD,又平面PAD平面ABCD平面PADI平面ABCDAD，?二PE平面ABCD又AC平面ABCDPEAC,又PBAC,PEIPBP,AC平面PBE又AC平面PAC平面PBE平面PAC⑵解：由（1）知AC平面PBE故ACBE,?一…1一一.BC//AD,BC-ADDE,2???四邊形BCDE1平行四邊形，，CDBE,CD//BE,?.ACCD,PAPDPB4,AEDEBC2, PEPPA2AE2273，BEJPB2PE22，即CD2， AC,AD2CD22屈?-VPACD1_ 113SAACD 32219.（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，△PCD為等邊三角形，平面PAC平面PCDPACD,CD2,AD3,GH//平面PAD；（1）H分別為PB,AC的中點(diǎn)，求證:（2）求證:PA平面PCD;（3）求直線AD與平面PAC所成角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）—3【解析】（1）證明：連接BD,易知ACIBD又由BGPG,故GH//PD,又因?yàn)镚H平面PAD,PD平面PAD,所以GH//平面PAD.（2）證明：取棱PC的中點(diǎn)N,連接DN,依題意，得DNPC,又因?yàn)槠矫鍼AC平面PCD,平面PACI平面PCDPC,所以DN平面PAC,又PA平面PAC,故DNPA,又已知PACD,CDIDND,所以PA平面PCD.（3）解：連接AN,由（2）中DN平面PAC,可知DAN為直線AD與平面PAC所成的角.DN_/3AD3因?yàn)?PCD為等邊三角形，CD2且N為PC的中點(diǎn)，所以DNDN_/3AD3又DNAN,在RtAAND中，sinDAN所以直線AD與平面PAC所成角的正弦值為叵.320.（12分）在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊AB,BC上（如左圖），且BE=BF,將4AED,△DCF分別沿DE,DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A（如右圖）.（1）求證：ADEF;一 1 ⑵當(dāng)BF—BC時(shí)，求點(diǎn)A測(cè)平面DEF的距離.3【答案】（1）見解析；（2）雪.【解析】（1）由ABCD是正方形及折疊方式，得AEAD,AFAD,

QAEIAFAAD平面AEFADEF./、八 1八⑵QBEBF—BC1,3AEAF2,EF72,AD3,S*AAEFDEDF而,Sadef設(shè)點(diǎn)QAEIAFAAD平面AEFADEF./、八 1八⑵QBEBF—BC1,3AEAF2,EF72,AD3,S*AAEFDEDF而,Sadef設(shè)點(diǎn)A的J平面DEF的距離為d,QVADEF=VDAEF,-dSadef -ADSaaef，解得d包3 3 5點(diǎn)A?J平面DEF的距離為￡7.21.（12分）如圖，長(zhǎng)方體ABCDABC1D1中,ABBC4,BB12灰，點(diǎn)E,F,M分別為GD,AD,B1G的中點(diǎn)，過點(diǎn)M的平面與平面DEF平行，且與長(zhǎng)方體的面相交，交線圍成一個(gè)幾何圖形.圖i（1）在圖1中，畫出這個(gè)幾何圖形，并求這個(gè)幾何圖形的面積（不必說明畫法與理由）⑵在圖2中，求證：D1B平面DEF.【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）【解析】（1）設(shè)N為AB1的中點(diǎn)，連結(jié)MN,AN、AC、CM,如下圖所示:則四邊形MNAC為所求幾何圖形,QMN//AC"AC, 1一QMN//AC"AC,四邊形MNAC為梯形，且MN-AC2短,2過M作MPAC于點(diǎn)P,QMCJ842用,PCAC2MN22,MPJmC2QC2而，1梯形MNAC的面積S—2J24J2M6J5.2(2)連接DR，交EF于Q,連接DQ,則Q為EF的中點(diǎn)，且為QB,的四等分點(diǎn),由則Q為EF的中點(diǎn)，且為QB,的四等分點(diǎn),由BB平面A1B1c1D1可知BBiEF,1 — —DiQ-472V2,

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