（渝皖瓊）2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 6.1 垂直關(guān)系的判定學(xué)案 北師大版2

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精6．1垂直關(guān)系的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與平面垂直的定義、判定定理.2。掌握平面與平面垂直的概念、判定定理.3。會(huì)應(yīng)用兩定義及兩定理證明有關(guān)的垂直問題．知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的定義思考在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時(shí)間的變化，影子的位置在移動(dòng),在各個(gè)時(shí)刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線夾角是否發(fā)生變化,為多少？答案不變，90°。梳理線面垂直的概念定義如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫作平面α的垂線,平面α叫作直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫作垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的橫邊垂直知識(shí)點(diǎn)二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)．觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系．思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？答案不一定．思考2當(dāng)折痕AD滿足什么條件時(shí)，AD與桌面垂直？答案當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時(shí),折痕AD與桌面垂直．梳理判定定理文字語言如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語言l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝A?l⊥α圖形語言知識(shí)點(diǎn)三二面角思考1觀察教室內(nèi)門與墻面，當(dāng)門繞著門軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀．?dāng)?shù)學(xué)上，用哪個(gè)概念來描述門所在的平面與墻面所在的平面所形成的角？答案二面角．思考2平時(shí),我們常說“把門開大一點(diǎn)”，在這里指的是哪個(gè)角大一點(diǎn)？答案二面角的平面角．梳理（1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形．(2）相關(guān)概念：①這條直線叫作二面角的棱．②兩個(gè)半平面叫作二面角的面．（3）二面角的記法以直線AB為棱，半平面α，β為面的二面角,記作二面角面α－AB－β。（4）二面角的平面角:若有①O∈l;②OAα，OBβ；③OA⊥l,OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB。知識(shí)點(diǎn)四平面與平面垂直思考建筑工人常在一根細(xì)線上拴一個(gè)重物，做成“鉛錘”，用這種方法來檢查墻與地面是否垂直．當(dāng)掛鉛錘的線從上面某一點(diǎn)垂下時(shí)，如果墻壁貼近鉛錘線，則說明墻和地面什么關(guān)系？此時(shí)鉛錘線與地面什么關(guān)系？答案都是垂直．梳理（1)平面與平面垂直的概念①定義:如果兩個(gè)平面相交,且它們所成的二面角是直二面角,就說這兩個(gè)平面互相垂直．②畫法：③記法：α⊥β.（2）判定定理文字語言如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直圖形語言符號(hào)語言l⊥α，lβ?α⊥β1．若直線l⊥平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面,也可能平行．(×)2．若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則l⊥α.(×）3．若l⊥α,則過l有無數(shù)個(gè)平面與α垂直．（√）4．兩垂直平面的二面角的平面角大小為90°。（√)類型一線面垂直的定義及判定定理的理解例1下列命題中，正確的序號(hào)是________．①若直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直,則l⊥α；②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α；③若直線l不垂直于平面α,則α內(nèi)沒有與l垂直的直線；④若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無數(shù)條直線與l垂直；⑤過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條．考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案④⑤解析當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的無數(shù)條直線垂直時(shí)，l與α不一定垂直,所以①不正確；當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無數(shù)條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確．反思與感悟(1)對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說法與“直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線”不是一回事，后者說法是不正確的，它可以使直線與平面斜交．(2）判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線．跟蹤訓(xùn)練1(1)若三條直線OA,OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（）A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC(2)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的:①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號(hào))考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案(1)C（2）①③④解析（1）∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB,OC?平面OBC，∴OA⊥平面OBC。（2）根據(jù)直線與平面垂直的判定定理,平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊,它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件．類型二線面垂直的判定例2如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，求證：BC⊥平面PAC?？键c(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)直線與平面垂直的證明證明∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直徑,∴BC⊥AC.而PA∩AC＝A,PA，AC平面PAC,∴BC⊥平面PAC.引申探究若本例中其他條件不變,作AE⊥PC交PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC。證明由例2知BC⊥平面PAC,又∵AE平面PAC,∴BC⊥AE。∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C,PC，BC平面PBC，∴AE⊥平面PBC。反思與感悟(1）使用直線與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線都與已知直線垂直,即把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直來解決．（2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,那么它也垂直于另一個(gè)平面．跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn),過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，作AF⊥PB于點(diǎn)F,求證：PB⊥平面AEF.考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)直線與平面垂直的證明證明由引申探究知AE⊥平面PBC.∵PB平面PBC，∴AE⊥PB，又AF⊥PB,且AE∩AF＝A，AE，AF平面AEF,∴PB⊥平面AEF.類型三面面垂直的判定例3如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點(diǎn)．求證：平面EBD⊥平面ABCD.考點(diǎn)平面與平面垂直的判定題點(diǎn)利用判定定理證明兩平面垂直證明連接AC，與BD交于O點(diǎn),連接OE.∵O為AC的中點(diǎn)，E為SA的中點(diǎn)，∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD。又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD.反思與感悟（1)由面面垂直的判定定理知，要證兩個(gè)平面互相垂直，關(guān)鍵是證明其中一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線．(2)證明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角．跟蹤訓(xùn)練3如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中,側(cè)棱垂直于底面，∠ACB＝90°,AC＝eq\f(1,2)AA1,D是棱AA1的中點(diǎn)．證明：平面BDC1⊥平面BDC?？键c(diǎn)平面與平面垂直的判定題點(diǎn)利用判定定理證明兩平面垂直證明由題設(shè)知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC＝C，CC1，AC平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1。又DC1平面ACC1A1,所以DC1⊥BC。由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°,所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC。又DC∩BC＝C，DC，BC平面BDC，所以DC1⊥平面BDC。又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC。類型四與二面角有關(guān)的計(jì)算例4如圖,在正方體ABCD－A1B1C1D1中,求二面角B－A1C1－B1的正切值．考點(diǎn)二面角題點(diǎn)看圖索角解取A1C1的中點(diǎn)O，連接B1O，BO.由題意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1,O為A1C1的中點(diǎn)，所以BO⊥A1C1,所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1，所以BB1⊥OB1。設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則OB1＝eq\f（\r(2）,2）a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f（BB1,OB1）＝eq\f(a，\f(\r（2)，2）a）＝eq\r(2），所以二面角B－A1C1－B1的正切值為eq\r（2）。反思與感悟(1）求二面角的大小關(guān)鍵是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值,其步驟為作角→證明→計(jì)算．(2）為了能在適當(dāng)位置作出平面角要注意觀察二面角兩個(gè)面的圖形特點(diǎn)，如是否為等腰三角形等．跟蹤訓(xùn)練4如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大?。键c(diǎn)二面角題點(diǎn)看圖索角解由已知PA⊥平面ABC,BC平面ABC，∴PA⊥BC。∵AB是⊙O的直徑,且點(diǎn)C在圓周上，∴AC⊥BC.又∵PA∩AC＝A,PA，AC平面PAC，∴BC⊥平面PAC。又PC平面PAC，∴PC⊥BC。又∵BC是二面角P－BC－A的棱，∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．由PA＝AC知,△PAC是等腰直角三角形，∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.1．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面(）A．有且只有一個(gè) B．至多一個(gè)C．有一個(gè)或無數(shù)個(gè) D．不存在考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案B解析若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個(gè)，否則不存在．2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中,一定能推出m⊥β的是（)A．α∥β，且mα B．m∥n，且n⊥βC．m⊥n，且nβ D．m⊥n,且n∥β考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案B解析A中，由α∥β，且mα，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n,知m也垂直于β內(nèi)的任意直線,所以m⊥β，符合題意；C,D中，mβ或m∥β或m與β相交，不符合題意，故選B.3．如圖,α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β,且BA⊥α，BC⊥β,那么直線l與直線AC的關(guān)系是()A．異面 B．平行C．垂直 D．不確定考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案C解析∵BA⊥α,α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l,又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平面ABC?！逜C平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC。4．三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝eq\r（73)，AB＝10,BC＝8，CA＝6，則二面角P－AC－B的大小為________．考點(diǎn)二面角題點(diǎn)看圖索角答案60°解析由題意易得點(diǎn)P在平面ABC上的射影O是AB的中點(diǎn)．取AC的中點(diǎn)Q,連接OQ，則OQ∥BC。由題意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴∠AQO＝90°,即OQ⊥AC.又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC，∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角．∵PA＝eq\r(73），AQ＝eq\f(1,2）AC＝3，∴PQ＝8。又∵OQ＝eq\f（1，2）BC＝4，∴cos∠PQO＝eq\f（OQ,PQ）＝eq\f(1,2)，∴∠PQO＝60°,即二面角P－AC－B的大小為60°。5。如圖，在四面體ABCD中,CB＝CD，AD⊥BD,且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)．求證：平面EFC⊥平面BCD.考點(diǎn)平面與平面垂直的判定題點(diǎn)利用判定定理證明兩平面垂直證明∵E，F(xiàn)分別是AB,BD的中點(diǎn)，∴EF∥AD，又∵AD⊥BD，∴EF⊥BD.∵CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，∴CF⊥BD.又EF∩CF＝F，EF，CF平面EFC,∴BD⊥平面EFC。又∵BD平面BCD，∴平面EFC⊥平面BCD。1.直線和平面垂直的判定方法:（1)利用線面垂直的定義；（2)利用線面垂直的判定定理；（3)利用下面兩個(gè)結(jié)論:①若a∥b，a⊥α，則b⊥α；②若α∥β，a⊥α，則a⊥β。2．證明兩個(gè)平面垂直的主要途徑:（1）利用面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理，即如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直．3．證明兩個(gè)平面垂直，通常是通過證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來實(shí)現(xiàn)的，因此，在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的．一、選擇題1．已知l⊥α，則過l與α垂直的平面（)A．有1個(gè) B．有2個(gè)C．有無數(shù)個(gè) D．不存在考點(diǎn)平面與平面垂直的判定題點(diǎn)判定兩平面垂直答案C解析過直線l的平面都與α垂直．2．過兩點(diǎn)與一個(gè)已知平面垂直的平面()A．有且只有一個(gè) B．有無數(shù)個(gè)C．有且只有一個(gè)或無數(shù)個(gè) D．可能不存在考點(diǎn)平面與平面垂直的判定題點(diǎn)判定兩平面垂直答案C解析若過兩點(diǎn)的直線與已知平面垂直時(shí)，此時(shí)過這兩點(diǎn)有無數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直，若過兩點(diǎn)的直線與已知平面不垂直時(shí)，則有且只有一個(gè)過這兩點(diǎn)的平面與已知平面垂直．3．下列說法中，正確的有()①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直；②過直線l外一點(diǎn)P，有且僅有一個(gè)平面與l垂直；③如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直,那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面；④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面；⑤過點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)．A．2個(gè) B．3個(gè)C．4個(gè) D．5個(gè)考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案B解析①④不正確，其他三項(xiàng)均正確．4．從空間一點(diǎn)P向二面角α－l－β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°,則二面角α－l－β的平面角的大小是（）A．60° B．120°C．60°或120° D．不確定考點(diǎn)二面角題點(diǎn)求二面角的大小答案C解析若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為60°.5．三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱PA，PB,PC兩兩垂直，O是頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影，則(）A．S△ABC＝S△PBC＋S△OBCB．Seq\o\al（2,△PBC）＝S△OBC·S△ABCC．2S△PBC＝S△OBC＋S△ABCD．2S△OBC＝S△PBC＋S△ABC答案B解析如圖,由題設(shè)，知O是垂心，且有AP⊥PD，所以PD2＝OD·AD,即Seq\o\al（2，△PBC)＝S△OBC·S△ABC。6．如圖,O為正方體ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是()A．A1D B．AA1C．A1D1 D．A1C1考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)判定直線與平面垂直答案D解析由題易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1平面BB1D1D，∴A1C1⊥B1O。7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中,截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值為（)A。eq\f(\r（3)，2）B。eq\f（\r（2),2)C。eq\r（2)D。eq\r(3)考點(diǎn)二面角題點(diǎn)求二面角的大小答案C解析如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接A1O，則O為BD中點(diǎn)．因?yàn)锳1D＝A1B，所以A1O⊥BD。又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中，AC⊥BD，所以∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角．設(shè)AA1＝1,則AO＝eq\f（\r（2），2）。所以tan∠A1OA＝eq\f(1,\f（\r(2),2)）＝eq\r（2）.二、填空題8．在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8,EC⊥平面ABC，且EC＝12,則ED＝________?？键c(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計(jì)算與探索性問題答案13解析如圖，在Rt△ABC中，CD＝eq\f(1，2)AB.因?yàn)锳C＝6，BC＝8,所以AB＝eq\r(62＋82)＝10，所以CD＝5.因?yàn)镋C⊥平面ABC,CD平面ABC，所以EC⊥CD.所以ED＝eq\r(EC2＋CD2）＝eq\r(122＋52）＝13.9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6,PA⊥平面ABC,PA＝8，則P到BC的距離是________．考點(diǎn)線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用題點(diǎn)平行與垂直的計(jì)算與探索性問題答案4eq\r(5)解析如圖所示，作PD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD.∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又PD∩PA＝P,∴CB⊥平面PAD，∴AD⊥BC.在△ACD中,AC＝5，CD＝3,∴AD＝4.在Rt△PAD中,PA＝8，AD＝4，∴PD＝eq\r（82＋42)＝4eq\r（5)。10．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：①m⊥n；②α⊥β;③n⊥β；④m⊥α.以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論,寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________.(用序號(hào)表示）考點(diǎn)題點(diǎn)答案①③④?②（或②③④?①)解析當(dāng)m⊥α，m⊥n時(shí)，有n∥α或nα.∴當(dāng)n⊥β時(shí)，α⊥β，即①③④?②或當(dāng)α⊥β，m⊥α?xí)r，有m∥β或mβ,∴當(dāng)n⊥β時(shí)，m⊥n,即②③④?①。11．已知三棱錐D－ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝eq\r（3），BC＝2，則二面角D－BC－A的大小為________．考點(diǎn)二面角題點(diǎn)求二面角的大小答案90°解析如圖,由題意知AB＝AC＝BD＝CD＝eq\r(3)，BC＝AD＝2。取BC的中點(diǎn)E，連接DE，AE,則AE⊥BC，DE⊥BC，所以∠DEA為所求二面角的平面角．易得AE＝DE＝eq\r（2）,又AD＝2，所以∠DEA＝90°。三、解答題12．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2eq\r(2）,E,F分別是AD，PC的中點(diǎn)．證明:PC⊥平面BEF。考點(diǎn)直線與平面垂直的判定題點(diǎn)直線與平面垂直的證明證明如圖,連接PE,EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD,AE＝DE，∴PE＝CE,即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點(diǎn),∴EF⊥PC.又BP＝eq\r（AP2＋AB2)＝2eq\r(2）＝BC，F(xiàn)是PC的中點(diǎn),∴BF⊥PC.又BF∩EF＝F,BF，EF平面BEF，∴PC⊥平面BEF。13．如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E為BB1的中點(diǎn)，求證：截面A1CE⊥側(cè)面ACC1A1.考點(diǎn)平面與平面垂直的判定題點(diǎn)利用判定定理證明兩平面垂直證明如圖所示,取A1C的中點(diǎn)F，AC的中點(diǎn)G，連接FG,EF，BG，則FG∥AA1,且GF＝eq\f(1，2）AA1.因?yàn)锽E＝EB1，A1B1