量子力學中有關角動量及其耦合問題的討論

量子力學中有關角動量及其耦合問題的討論隴東學院電氣工程學院，甘肅慶陽745000)摘要:軌道角動量在直角坐標系與球極坐標系下的算符表示及相關推導，同時通過對易關系,得出軌道角動量并不能描寫一個可觀察量。然后運用力學量算符和波函數(shù)的矩陣表示，在給定表象下,討論電子自旋算符的表示及自旋波函數(shù)的構造。接著討論角動量的LS耦合，其中主要計算總角動量與角動量分量的共同本征態(tài)，并且通過介紹耦合表象與非耦合表象，以及在展開耦合基矢的基礎上規(guī)定量子數(shù)j的取值，進而分析角動量的J耦合關鍵詞:角動量;算符;對易關系;自旋;角動量耦合TheDisscussionofAngularMomentumandItsCouplingQuestioninQuantumMechemics(ElectricalEngineeringCollege,LongdongUniversity,Qingyang745000,Gansu,China)Abstract:First,usingabasicassumptionthatthemechanicalquantitiesinQuantumMechanicsistheappropriateoperatorthe,itdiscusstherepresentationoforbitalangimomentumoptratorinbothrectangularandsphericalsystemsandrelateddeductioninthetext,atthesametimeitgetsthatorbitalangularmomentumoptratordoesnotdescribeanobservablequantitythroughthecommunicationrelations.Thenuseingmechanicalquantityoperatorandmatrixrepresentationofwavefuntion,itdiscussethereprentationoftheelectronicspinoperatorsandretructrueofspinwavefuntioninagivenreprentation.NextitdiscussetheLScouplingofangularmomentum,inwhichitmainlycalculatethecommoneigenstatesofthetotalangularmomentumandangularmomentumcomponent,andthroughintrodutionthecouplingandthenon-couplingreprentationanddeterminethevaluesofquantumnumberjonthebasisofexpandthecouplingvectors,analyzeingtheJJcouplingofangularmomentum.Keywords:angularmomentum;operator;commutationrelation;spin;angularmomentumcoupling;clebsh-gordancofficient0引言量子力學中有關角動量及其耦合的問題，在很多量子力學教材和文獻[1,2,3,4,5,6]中都作過比較簡明的闡述，但在許多文獻中都是就某一方面進行分析的，并且由于角動量耦合的克萊布希-高登系數(shù)計算比較繁瑣，大多數(shù)教材和文獻中都是直接給出或查表得到，只有在一些高等量子力學教材中出現(xiàn)過較簡明扼要的計算。本文對量子力學中的角動量及其耦合的問題進行了比較系統(tǒng)的闡述，首先詳細討論軌道角動量在直角坐標系下的算符表示向球極坐標系下的算符表示的推導，進而通過角動量的對易關系得出了軌道角動量的一些重要性質。接下來討論自旋角動量的算符表示和波函數(shù)的矩陣形式。最后討論角動量的LS耦合，主要通過比較耦合表象與非耦合表象的異同，詳細分析角動量的JJ耦合。1軌道角動量1.1軌道角動量算符=rp在直角笛卡兒坐標中的表示1.1.軌道角動量算符L三個分量算符為L=yp-zp=y-zxzyizyL二zp-xp二z-xyxy （1）ixz L=xpppzyz=ixy-yx平方算符表示為L2=L2x+L2y+L2z=-2-z22yzy+zx-xz+2xy^yx .1.1.2推導軌道角動量在球極坐標中的算符表示笛卡兒坐標（x,y,z和球極坐標（r,0）之間的關系為x二rsinOcos,y二rsinOsinz二rcosOr2=x2+y2+z2,cosO二zyr,tan將r2=x2+y2+z2兩邊對x,y,分別求偏導數(shù)，得rxx二r二sinOsin r=y二sinOsinyrrzz=r二cosO|將cosO=zr兩邊分別對x,y,求偏導數(shù)，得 Ox=1zrsinOr2x=1rcosOcos0lzrly=sin0r2y=rcos0sin01zrlcos2z=0sin0r2z=rsin0再將tan二yx兩邊分別對X,y,求偏導數(shù)，得⑵(3)(4)(5)lysin二-二-xsec2x2rsin0lllcos (6)==ysec2crsin0z=0聯(lián)立(4),(5),式)得r0 x=xr+x0+x =sin0cos+1cos0cos1sinrr0—rsinOry=yr+0y0+y.=sin0sin+1cos0sin+1cosrrOrsinO=r+0+ zzrzOz二cosOTsinOrr01.1.3軌道角動量算符L=r p在球極坐標中的表示三個分量算符是 Lx=isinO+ctgOcosL=— yicosO—ctgOsinLz=—i三個分量算符的平方表示分別為(7)(8)2222 22 sii2+2ctgOsincosO+ctgOcos22=—2Lx222+ctgOcos—ctgO+cscOsis()O 2222 22cosO2—2ctgOsinosO+ctgOsin2 22 (9)Ly=—222+ctgOsin+ctgO+cscOcsisi()O 222Lz=—2算符平方表示為 12222221.(10)L=Lx+Ly+Lz=-sinO+22sinOOOsinO1.2軌道角動量算符的對易關系,L,L之間的對易關系為三個分量Lxyz,L=iLLxyz (11)Ly,Lz=iLx,L=iLLyzx即L=iL(12)L2和L,L,L的對易關系為Lxyz,L2 =0Lx 2 Ly,L=0(13),L2 =0Lz的三個分量L是厄米矢量算符，丄,L彼此不對易，意味著雖然L由此可見,軌道角動量算符Lxyz但其并不能描寫一個可觀察量，不能描寫量子力學中所謂軌道角動量這么一個矢量力學量，即是說,量子力學中沒有角動量矢量。雖然經(jīng)典力學中有軌道角動量，對應到量子力學中就有軌道角動量算符,卻不存在軌道角動量，因此，軌道角動量矢量是經(jīng)典概念而不是量子概念。量子力學中沒有軌道角動量矢量，但是，經(jīng)典力學中有軌道角動量，特別是有軌道角動量平方及軌道角動量在n方向上的投影。和L和L,而且L存在本征值和本值矢量完全集，可以描寫對應到量子力學中就有相應的算符Lnn22量子力學中軌道角動量平方以及軌道角動量n分量這樣的力學量。2自旋角動量2.1自旋角動量算符自旋角動量算符滿足的對易關系為S=iS(14)S在Sz表象中，自旋角動量的分量算符的矩陣表示為 S01x=210 S0-iy=2i0=0S1z20-1因為=4I=4S01 01 210 222x=210 2 10 =4 01=4I=4其中I是單位矩陣。同樣可得S2222y=4,Sz=4從而可以得到S2二S2+S2+S2xyz=324所以S2,S2xy,S2z和S2算符都是常數(shù)算符。并且Sx,Sy,Sz滿足反對易關系Sx,Sy+=0 Sy,Sz+=0Sz,Sx+=02.2自旋波函數(shù)在Sz表象中，自旋角動量的一般態(tài)可表示為X二c1x1(Sz)+c2x1(Sz)2-2其中X1X01(Sz)=,1(Sz)=1J202同理可得(15)(16)(17)(18)(19)(20)X1(Sx)=2XS=1(y/2y)211,xS=l(x)2 1-22-1.(21)11 ,x1(□Sy)=i-2-i3總角動量(LS耦合)3.1基本關系之和，即為軌道角動量L=rp與自旋角動量S電子的總角動量JJ=L+S或Ja二La+Sa,a=x,y|由Z于L與s屬于不同自由度,相應的算符相互對易，即La,S0=0,a,^=x^v角動量仍滿足角動量的普遍對易式JJ=iJ3.2下面討論J2,L2,JZ的共同本征態(tài)波函數(shù)的一般形式可寫為〃(r,sz,t)=/1(r,t)x1(sz)+/2(r,t)xsz)2-1(2采用(x,y,z,S表象,上式可以表示成〃(r,sz,t)=1〃0 〃l(r,t)1(r,t)0 +/2(r,t)l=2(r,t)歸一化條件為/+/dxdydz二 (〃*11+/*2/2)dxdydz=1.88如果采用球極坐標(r,0),則本征函數(shù)表示成〃(0,,s妙1(0),z)=1(0,)x1(sz)+/2(0,)x-(sz)=22〃(0),2 ,試令：〃(0,,sz)二c1Ylml(0,)x1(sz)+c2Ylml(0,)x-1(sz)22征函數(shù)，曲滿足Jz的本征方程Jz/=(Lz+Sz)〃二m1j〃二m+2/只須m1=m,m2=m+1,有〃二c1Ylmx1+c2Ylm+1x212(22)(23)(24) (25)(26)(27)(28)(2作為Jz

的本(30)(31)的本征函數(shù)，應該滿足J的本征方程又/作為J22〃二L2+2S L2+aL^(32)2/=L+S2+S〃二L2+SJ即〃應該滿足aL的本征方程。(Lx五Ly)(Lx五Ly)aL二aL+aL+aLxxyyzz aL的本征值為l,-(l+l)(33)土用+1)1Ylm=l,m±1得azLzYlmxl二mYlmxl,22azLzYlm+1x1=-(m+1)Ylm+lxl,(2-2axLx+ayLy)Ylmx1=(Lx+iLy)Ylmx122=l+m+1l-mYlm+lxl,-2(axLx+ayLy)Ylm+1-X=(Lx-iLy)Yi+1x122=l+m+1lmYlmxl.2由此可得出(J2,L2,Jz)的共同本征函數(shù)lAljmj.(1)j=l+112,mj=m+2時，11/l+m+1 22ljm=2l+1Y+l-mjlmx1Ylm+122l+1x12=1+m+1Ylm2l+1-mYlm+1(2)j=l-l2,mm+lj=2時，11/l-m2121jmj=-21+1 Y+m+11mx1+221+1Ylm+lxl2=1-1-mYlm21+1+m+1Y1m+14任意兩個角動量的耦合(JJ耦合)4.1體系的兩種表象4.1.1無耦合表象(34)(35)(36),它滿足和J假設體系有兩個角動量J21J=iJ,JJ=iJJ1112222,J=0,J2,J=0J11a22a (37)J21,J22 =0,J1a,J20=0(a,0二x,y,z)有2J1j1m1=j1(j1+1)2j1m1J1zj1m1=m1j1m1J2j2j22m2=j2(j2+1)2m2J2zj2m2=m2j2m2由于J2J2J1z,J2z相互對易,因此它們的共同本征矢寫為j1m1j2m2=j1m1j2m2構成正交歸—完全系,用它們作為基矢的表象稱為無耦合表象。4.1.2耦合表象定義體系的總角動量為J=J1+J2，則其滿足角動量的基本對易關系式JJ=iJ2J,Ja=O (a二x,y,z)由于J1,J2 =0,總角動量平方算符可寫為J2=(J1+J2)2=J21+J22+2J1J2滿足J2,J2=0, J2,J2=0J2,J1a弄0,J2,J2弄0aJ,J2=0,J,J2=0ala2Ja,J10弄0,Ja,J20弄0(a,0二x,y,z)可見,J2J2J2,Jz對易,它們必有共同本征矢，以jlj2jn表示，有(38)(39)(40)⑷)(22jjjm=j(j+l)2jjjmi21222Jljlj2jm=jl(jl+1)jlj2jn(43)22jjjm=j(j+1)jjjmJ2122212Jzj1j2jm=mjlj2jm由此,jlj2j也構成一組正交歸一完備系，用它們作為基矢的表象稱為耦合表象。4.2耦合表象基矢的展開算符與無2,J2相同，但因耦合表象中J以上兩個表象，從它們相應的力學量完全集來看，盡管J122,J算符不對易，因此它們是描述同一體系的兩個不同的表象?耦合表象中J1z2z,J確定，可將耦合表象基矢按無耦合表象基矢展開假定J12j1j2jm=m1,m2工j1m1j2m2j1m1j2m2j1j2jm(44式中j1m1j2m2j1j2jm稱為矢量耦合系數(shù).=J+J可知，m=m1+m2,有m1=m-m2,因此(44式可寫為由Jz1z2zj1j2jm二工m2j1,mm2,j2m2j1,m-m2,j2m2j1j2jm.(45)4.3量了數(shù)j的取值,J給定時，mmax二m1max+m2max二j1+j2,而-j<mmax<?當J12jmax=mmax=j1+j2.兩個表象中的基矢數(shù)都為工(2j+l)=(2jjminjmaxl+l)(2j2+l)(4從而只能有jmin=jl-j因此j的取值為jl+j2,jl+j2-l,,jl-j24.4在JJ耦合下CG系數(shù)的計算2,J,J2,J,正交歸一本征矢量為jmjm;耦合表象非耦合表象中，力學量完備集為Jllz22zll22()2,J2,J2,J),正交歸一本征態(tài)基矢量為jjjm其中，力學量完備集為(J1212z=J+J,J=J+J.中，J12±±±CG系數(shù)的定義:耦合表象與非耦合表象之間的變換幺正矩陣元稱為CG系數(shù)。即將耦合表象中的基矢用非耦合表象中的基矢展開得到j1j2=mlm2工jlmlj2m2jlmlj2m2jlj2jm(47)其中展開系數(shù)jImlj2m2jlj2jm就是CG系數(shù).jjjm二由口町仃土刖+1)Jd12j,m4±f基本關系n(j-)用—⑵□—用+1?？冢﹍Ya-ij1j2jm=卅j+用-町!（j—用）!j1j2j,m-n=jjj,m+n12Ya-i（48）njj1j2jm=Rj_用川■/十切于科)!用)!jlj2j,m+n()+jjj,m+n=12當j1,j給定,j=jl+j2,mj,取耦合表象中的本征態(tài)jj=jl+j2,jl+與非耦合表象中的本征態(tài)jljlj2j相等，即jj=jl+j2,jl+j2=jljlj2j2將49)49代入式(47)可得態(tài)jlj2jm=jlj2,jl+j2的展開式(j-)其中C2j=nnnjj=n!C2jj,j-n(50)是二項式系數(shù)，而n!2j-n!n(j-)jjn=(j1-+j2-)jjkkn-k二:￡Cnj卜j2-j1j1j2j2k=0nk二工Cnjljl—kj2,j2—n+k(n—k)!kk=0n(51)由(50和(51兩式得j,j-n=令:m=j-n有jlj2jm二:￡k=0nn-kC2j1C2j2nC2jj1,j1-kj2n+k-(52)工k=mkj-m-kC2j1C2j2Cj-m2jj1,j1-kj2,m+k-(53)式(38求出了j=j1+j2,m=m1+m2二j1+j2,j1+j2-1,j1+j2-2,,-j1-j2+的jl-系數(shù)j1m1j2m2j1j2jm=j1,j1-k,j2,m+k-j1j1j2jm=(54)=當jl,j給定時，本征態(tài)j-n,j-n二jl+j2-n,jl+可2由非耦合表象中的本征態(tài)的線性組合得到j-n,n=Eakjl,-kj2,j2-n+J由j-n,j-是J2的本征態(tài)可矢UJ2j-n,j-n=(j-n)(j-n+l)j-n,j又由于J二J1+J2,可知J2j-n,j-n=(Jl+J2)2j-n,j-n=(J21+J22+2JlJ2)j-n,j-n令：Jl±=Jlx±iJly,J2±=J2x±iJ2yJ1+J2-=(Jlx+iJly)(J2x-iJ2y)=J1xJ2xTJlxJ2y+iJ2xJ2y+JlyJ2y J1-J2+=(J1xTJly)(J2x+iJ2y)=JlxJ2x+iJlxJ2yTJ2xJly+JlyJ2y所以J1+J2-+J1-J2+=2JlxJ2x+2JlyJ2y從而有2J1J2=2JlxJ2x+2JlyJ2y+2JlzJ2z=J1+J2 -+J1-J2++2JlzJ2z將(61式代入(57式,取自然單位=1)得J2j-n,j-n=(J21+J22+J1+J2-+J1-J2++2J1zJ2z)j-n,j-n= j1(j1+1)+j2(j2+1)j-n,j-n(55)(56)(57則(58))(60)(61)+￡ak2(j1-k)(j2-n+k)j1,j1-kj2,j2-n+kk=0nn+￡akk=0n—k2j2—n+k+12j1—kk+12j2—n+kn—k+1k2j1—k+1j1,j1—k—1n+k+j2-62)+Xakj1-j1k+1;j2,j2-n+聯(lián)立(54廠(57式,分別取k=0,1,2,???-n得a0n2j2-n+1+a12j1=0,a1n-12j2-n+2+a222j1-1=0,a2n-22j2-n+1+a32j1-2=0,akn—k2j2—n+k+1+ak+1k+12j1—k=0,anT2j2+ann2j1-n+1=0.將看作參數(shù)，解出(63式,得an2j2-n+11=-2ja0,1a2-n+22=-n-12j22ja01-1=(-l)2nn-12j2-n+12j2-n+2a02j2j,11-1a二-n-22j2-n+3332jl-2=(-l)3nn-ln-22j2-n+12j2-n+22j2-n+3 322j2ja0,11-12j1-2k2ja2—n+12j2—n+2k=(—1)kCn22—n+k2j12ja01—k+1—k+22j1k=(T)kCCkn2j2—n+kCkaO,2j1 an=(-1)nCn2j2Cna0.2j1利用歸一化條件:a21+a22++a2k++a2n=1,得(63)(64)a0=(2jna=0nkk=0n-11-a