時(shí)間序列計(jì)量模型課件

第八章時(shí)間序列計(jì)量模型第八章時(shí)間序列計(jì)量

第一節(jié)時(shí)間序列的基本概念一、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性隨機(jī)變量是刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的有力工具。隨機(jī)變量的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程。一般地，對(duì)于每一特定的t（t∈T），Yt為一隨機(jī)變量，稱(chēng)這一族隨機(jī)變量{Yt}為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。若T為一連續(xù)區(qū)間，則{Yt}為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。第一節(jié)時(shí)間序列的基本概念

若T為離散集合，則{Yt}為離散型隨機(jī)過(guò)程。離散型時(shí)間指標(biāo)集的隨機(jī)過(guò)程通常稱(chēng)為隨機(jī)型時(shí)間序列，簡(jiǎn)稱(chēng)為時(shí)間序列。經(jīng)濟(jì)分析中常用的時(shí)間序列數(shù)據(jù)都是經(jīng)濟(jì)變量隨機(jī)序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。若T為離散集合，則{Yt}為離散型隨機(jī)過(guò)程。

時(shí)間序列的平穩(wěn)性（stationaryprocess）是時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析中的非常重要問(wèn)題。時(shí)間序列的平穩(wěn)性是指時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化。就是說(shuō)產(chǎn)生變量時(shí)間序列數(shù)據(jù)的隨機(jī)過(guò)程的特征不隨時(shí)間變化而變化。用平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行計(jì)量分析，估計(jì)方法和假設(shè)檢驗(yàn)才有效。時(shí)間序列的平穩(wěn)性（stationaryGDP的時(shí)間序列19901991199219931994199519961997Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.6GDP的時(shí)間序列199019911992199

一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列過(guò)程的概率分布與時(shí)間的位移無(wú)關(guān)。如果從序列中任意取一組隨機(jī)變量并把這個(gè)序列向前移動(dòng)h個(gè)時(shí)間，其聯(lián)合概率分布保持不變。這就是嚴(yán)格平穩(wěn)的含義，其嚴(yán)格定義如下:

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：對(duì)一個(gè)隨過(guò)程{Yt:t=1,2,…},h為整數(shù)，如的聯(lián)合分布與的聯(lián)合分布相同，那么隨機(jī)過(guò)程{Yt}就是平穩(wěn)的。一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列過(guò)程的概率分布與時(shí)間的位移無(wú)

平穩(wěn)性的特征就是要求所有時(shí)間相鄰項(xiàng)之間的相關(guān)關(guān)系具有相同的性質(zhì)。判斷一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)是否產(chǎn)生于一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程是很困難的。通常而言，時(shí)間序列數(shù)據(jù)是弱平穩(wěn)的就足夠了。因此，弱平穩(wěn)是時(shí)間序列分析中的常用平穩(wěn)性概念。平穩(wěn)性的特征就是要求所有時(shí)間相鄰項(xiàng)之間的弱平穩(wěn)也稱(chēng)為協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程。弱平穩(wěn)是指隨機(jī)過(guò)程{Yt}的均值和方差不隨時(shí)間的推移而變化，并且任何兩時(shí)期之間的協(xié)方差僅依賴(lài)于該兩時(shí)期的間隔，而與t無(wú)關(guān)。即隨機(jī)過(guò)程{Yt}滿足弱平穩(wěn)也稱(chēng)為協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程。(1)均值，μ為與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)。(2)方差為與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)。(3)協(xié)方差，只與時(shí)間間隔h有關(guān)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)。則稱(chēng){Yt}為弱平穩(wěn)過(guò)程。在時(shí)間序列計(jì)量分析中，平穩(wěn)過(guò)程通常指的是弱平穩(wěn)。(1)均值，μ為與時(shí)間t無(wú)關(guān)的如果一個(gè)時(shí)間序列是不平穩(wěn)的，就稱(chēng)它為非平穩(wěn)時(shí)間序列。也就是說(shuō)，時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨時(shí)間的推動(dòng)而發(fā)生變化。此時(shí)，要通過(guò)回歸分析研究某個(gè)變量在跨時(shí)間區(qū)域的對(duì)一個(gè)或多變量的依賴(lài)關(guān)系就是困難的，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)間序列為非平穩(wěn)時(shí)，就無(wú)法知道一個(gè)變量的變化如何影響另一個(gè)變量。如果一個(gè)時(shí)間序列是不平穩(wěn)的，就稱(chēng)它為非平穩(wěn)時(shí)間序列。也在時(shí)間序列計(jì)量分析實(shí)踐中，時(shí)間序列的平穩(wěn)性是根本性前提，因此，在進(jìn)經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析前，必須對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。在時(shí)間序列計(jì)量分析實(shí)踐中，時(shí)間序列的平穩(wěn)性是根本性前提二、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性可通過(guò)圖形和自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。在現(xiàn)代，單位根檢驗(yàn)方法為時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)的最常用方法。1.單位根檢驗(yàn)（unitroottest）二、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)時(shí)間序列中往往存在滯后效應(yīng)，即前后變量彼此相關(guān)。對(duì)于時(shí)間序列Yt而言，最典型的狀況就是一階自回歸形式AR（1），即Yt與Yt-1

相關(guān)，而與Yt-2,Yt-3

，…無(wú)關(guān)。其表達(dá)式為（8.1）其中，vt為經(jīng)典誤差項(xiàng)，也稱(chēng)之為白噪聲。時(shí)間序列中往往存在滯后效應(yīng)，即前后變量彼此相關(guān)。對(duì)于如果式（8.1）中ρ=1，則（8.2）式（8.2）中Yt稱(chēng)為隨機(jī)游走序列。隨機(jī)游走序列的特征為:Yt以前一期的Yt-1為基礎(chǔ)，加上一個(gè)均值為零且獨(dú)立于Yt-1的隨機(jī)變量。隨機(jī)游走的名字正是來(lái)源于它的這個(gè)特征。如果式（8.1）中ρ=1，則對(duì)式（8.2）進(jìn)行反復(fù)迭代，可得（8.3）對(duì)式（8.3）取期望可得（8.4）隨機(jī)游走時(shí)間序列的期望值與t無(wú)關(guān)。對(duì)式（8.2）進(jìn)行反復(fù)迭代，可得假定Y0非隨機(jī)，則，因此

（8.5）式（8.5）表明隨機(jī)游走序列的方差是時(shí)間t的線性函數(shù)，說(shuō)明隨機(jī)游走過(guò)程是非平穩(wěn)的。假定Y0非隨機(jī)，則表達(dá)時(shí)間序列前后期關(guān)系的最一般模型為m階自回歸模型AR（m）。

(8.6)引入滯后算子L，（8.7）表達(dá)時(shí)間序列前后期關(guān)系的最一般模型為m階自回歸模型AR則式(8.6)變換為（8.8）記為則稱(chēng)多項(xiàng)式方程為AR（m）的特征方程。可以證明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR（m）模型是平穩(wěn)的。則式(8.6)變換為對(duì)于AR（1）過(guò)程。（8.9）vt為經(jīng)典誤差項(xiàng)，如果ρ＝1，則Yt有一個(gè)單位根，稱(chēng)Yt為單位根過(guò)程，序列Yt是非平穩(wěn)的。因此，要判斷某時(shí)間序列是否平穩(wěn)可通過(guò)判斷它是否存在單位根，這就是時(shí)間序列平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)。對(duì)于AR（1）過(guò)程。檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Yt的平穩(wěn)性，可通過(guò)檢驗(yàn)一階自回歸模型中的參數(shù)ρ是否小于1。或者檢驗(yàn)另一種表達(dá)形式（8.10）中參數(shù)γ是否小于0。式（8.9）中的參數(shù)ρ=1時(shí)，時(shí)間序列Yt是非平穩(wěn)的。式（8.10）中，γ=0時(shí)，時(shí)間序列Yt是非平穩(wěn)的。檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Yt的平穩(wěn)性，可通過(guò)檢驗(yàn)一階自回歸模型中的參2.DF檢驗(yàn)要檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性，可通過(guò)t檢驗(yàn)完成假設(shè)檢驗(yàn)。即對(duì)于下式

（8.11）要檢驗(yàn)該序列是否含有單位根。設(shè)定原假設(shè)為:ρ=1，則t統(tǒng)計(jì)量為（8.12）2.DF檢驗(yàn)但是，在原假設(shè)下（序列非平穩(wěn)），t不服從傳統(tǒng)的t分布，因此t檢驗(yàn)方法就不再適用。Dickey和Fuller于1976年提出了這一情況下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（此時(shí)表示為τ統(tǒng)計(jì)量），即DF分布，因此該檢驗(yàn)方法稱(chēng)為DF檢驗(yàn)。但是，在原假設(shè)下（序列非平穩(wěn)），t不服從傳統(tǒng)的t該方法采用OLS法估計(jì)式（8.11），計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較。如果t統(tǒng)計(jì)量的值小于臨界值（左尾單側(cè)檢驗(yàn)），就意味著ρ足夠小，拒絕原假設(shè):ρ=1，判別時(shí)間序列Yt不存在單位根，是平穩(wěn)的。該方法采用OLS法估計(jì)式（8.11），計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的Dickey和Fuller研究認(rèn)為DF檢驗(yàn)的臨界值與數(shù)據(jù)序列的生成過(guò)程以及回歸模型的類(lèi)型有關(guān)。因此，他們針對(duì)以下三種模型編制了DF分布表。Dickey和Fuller研究認(rèn)為DF檢驗(yàn)的臨界值與數(shù)(1)一階自回歸模型（8.13）（2）包含常數(shù)項(xiàng)的模型（8.14）（3）包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)的模型（8.15）DF檢驗(yàn)常用的表達(dá)式為如下的差分表達(dá)式，即第八章_時(shí)間序列計(jì)量模型課件DF檢驗(yàn)常用的表達(dá)式為如下的差分表達(dá)式，即（8.16）令γ＝ρ－1，則（8.17）同理，可得另外兩種模型為（8.18）（8.19）DF檢驗(yàn)常用的表達(dá)式為如下的差分表達(dá)式，即對(duì)于式（8.17）、（8.18）、（8.19）而言，對(duì)應(yīng)的原假設(shè)和備擇假設(shè)為（非平穩(wěn)）（平穩(wěn)）DF檢驗(yàn)的判別規(guī)則是：DF≥臨界值，則Yt非平穩(wěn)，D<臨界值，Yt則是平穩(wěn)的。對(duì)于式（8.17）、（8.18）、（8.19）而言，對(duì)應(yīng)的原

3.ADF檢驗(yàn)進(jìn)行DF檢驗(yàn)時(shí)，假定誤差項(xiàng)為經(jīng)典誤差項(xiàng)，不存在自相關(guān)，即時(shí)間序列是一階自相關(guān)過(guò)程AR（1）。但多數(shù)時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型均不能滿足這一條件，使用OLS法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)通常表現(xiàn)為隨機(jī)誤差項(xiàng)為自相關(guān)，導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無(wú)效。為了保證單位根檢驗(yàn)的有效性，Dickey和Fuller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行擴(kuò)充，形成了ADF（augmentDickey-Fullertest）。3.ADF檢驗(yàn)ADF檢驗(yàn)是通過(guò)如下三個(gè)模型完成的(1)（8.20）(2)（8.21）(3)（8.22）ADF檢驗(yàn)是通過(guò)如下三個(gè)模型完成的模型（3）中t是時(shí)間變量。原假設(shè)都是，即存在單位根。ADF檢驗(yàn)的原理與DF檢驗(yàn)相同，模型不同時(shí)，檢驗(yàn)臨界值亦不同。實(shí)際檢驗(yàn)時(shí)，首先對(duì)模型（3）進(jìn)行單位根檢驗(yàn)，然后模型（2）、模型（1）。在此過(guò)程中，只要“不存在單位根”的結(jié)論出現(xiàn)，檢驗(yàn)就結(jié)束。否則就一直檢驗(yàn)到模型（1）。模型（3）中t是時(shí)間變量。原假設(shè)都是【例8.1】檢驗(yàn)中國(guó)1985-2005年城鎮(zhèn)居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出與實(shí)際可支配收入的平穩(wěn)性。表8.1中國(guó)1985-2005年城鎮(zhèn)居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出與實(shí)際可支配收入單位：元【例8.1】檢驗(yàn)中國(guó)1985-2005年城鎮(zhèn)居民家庭人均實(shí)由于城鎮(zhèn)居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出與實(shí)際可支配收入均為有長(zhǎng)期趨勢(shì)的時(shí)間序列，因此應(yīng)選用模型（3）進(jìn)行ADF檢驗(yàn)。檢驗(yàn)結(jié)果如表8.2所示。設(shè)X為居民家庭人均實(shí)際可支配收入，Y為居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出。由于城鎮(zhèn)居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出與實(shí)際可支配收入均為有

表8.2時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)表變量ADF檢驗(yàn)值顯著性水平臨界值檢驗(yàn)結(jié)果XY0.0790.2515%5%-3.675-3.675不平穩(wěn)不平穩(wěn)表8.2時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)表變量ADF由檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，ADF檢驗(yàn)的τ統(tǒng)計(jì)量均為正值，大于臨界值，因此不能拒絕原假設(shè)，序列X,Y均存在單位根，居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出Y與實(shí)際可支配收入X均為不平穩(wěn)時(shí)間序列。由檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，ADF檢驗(yàn)的τ統(tǒng)計(jì)量均為正值，大于第二節(jié)單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

一、單整對(duì)于隨機(jī)游走序列，其一階差分為（8.23）由于是一個(gè)白噪聲序列，因此差分后時(shí)間序列{}是平穩(wěn)的。第二節(jié)單整、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)的序列，則稱(chēng)該時(shí)間序列是一階單整序列，記為{Yt}～I(xiàn)(1)。一般地，如果序列{Yt}經(jīng)過(guò)d次差分后平穩(wěn)，則稱(chēng)該序列是d階單整，記為{Yt}～I(xiàn)(d)，如果時(shí)序列本身是平穩(wěn)的，稱(chēng)為0階單整序列，記為{Yt}～I(xiàn)(0)。如果一個(gè)時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次差分后變?yōu)槠椒€(wěn)的序列，則稱(chēng)該時(shí)在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，多數(shù)經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如GDP、財(cái)政收入、居民收入等。只有少數(shù)時(shí)間序列是平穩(wěn)的，如利率、通貨膨脹率等。多數(shù)非平穩(wěn)的時(shí)間序列經(jīng)過(guò)一次或多次差分可變?yōu)槠椒€(wěn)的。也有少數(shù)時(shí)間序列不能通過(guò)差分變?yōu)槠椒€(wěn)的，稱(chēng)這類(lèi)序列為非單整時(shí)間序列。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中，多數(shù)經(jīng)濟(jì)變量的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的，如【例8.2】檢驗(yàn)例8.1中居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出Y與實(shí)際可支配收入X的單整性。使用ADF檢驗(yàn)，結(jié)果如表8.3所示。

表8.3時(shí)間序列單整性檢驗(yàn)表變量ADF檢驗(yàn)值顯著性水平臨界值檢驗(yàn)結(jié)果X二次差分Y二次差分-4.902-4.3055%5%-3.712-3.712平穩(wěn)平穩(wěn)【例8.2】檢驗(yàn)例8.1中居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出Y與實(shí)際可由表8.3的檢驗(yàn)結(jié)果可以看出ADF檢驗(yàn)的τ統(tǒng)計(jì)量均小于臨界值，因此拒絕原假設(shè)，序列X,Y的二次差分序列均不存在單位根，為平穩(wěn)序列。因此，居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出Y與實(shí)際可支配收入X均為二階單整序列，即I(2)序列。由表8.3的檢驗(yàn)結(jié)果可以看出ADF檢驗(yàn)的τ統(tǒng)計(jì)量均小于

二、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中存在一些時(shí)間序列，雖然在經(jīng)濟(jì)意義上彼此不相關(guān)，但由于二者表現(xiàn)出共同的變化趨勢(shì)，當(dāng)對(duì)它們進(jìn)行回歸時(shí)往往表現(xiàn)出較高的擬合優(yōu)度和統(tǒng)計(jì)顯著性。但這種回歸結(jié)果并沒(méi)有實(shí)際意義，這是一種虛假的回歸，稱(chēng)為偽回歸。二、趨勢(shì)平穩(wěn)與差分平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程

偽回歸就是對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的一階單整序I（1）進(jìn)行回歸時(shí)，常常會(huì)得到一個(gè)顯著的t估計(jì)量。偽回歸就是對(duì)于兩個(gè)獨(dú)立的一階單整序I（1）進(jìn)行回歸時(shí)

例如，{Xt}和{Yt}分別為相互獨(dú)立的隨機(jī)游走序列。，，

at,et為白噪聲，且相互獨(dú)立。這就意味著{Xt}和{Yt}是相互獨(dú)立的，如果Yt對(duì)Xt做回歸，即，因?yàn)閄t,Yt彼此獨(dú)立，回歸系數(shù)應(yīng)該是不顯著的，即原假設(shè)是不能拒絕的。例如，{Xt}和{Yt}分別為相互獨(dú)立的隨機(jī)游走序列但是，葛蘭杰和紐博爾德（GrangerandNewbold,1974）通過(guò)模擬證明事實(shí)并非如此，即使與是彼此獨(dú)立的，在很大比例的次數(shù)里，對(duì)的回歸都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)統(tǒng)計(jì)上顯著的t統(tǒng)計(jì)量。這種現(xiàn)象就是偽回歸，即Yt與Xt之間根本沒(méi)有關(guān)系，但用了t統(tǒng)計(jì)量的OLS回歸往往表示它們之間存在某種關(guān)系。但是，葛蘭杰和紐博爾德（GrangerandNew為了避免這種偽回歸，可通過(guò)引入趨勢(shì)變量t消除這種趨勢(shì)性影響。但這種方法僅適用于趨勢(shì)變量是確定性的，不適用于趨勢(shì)變量為隨機(jī)性的。要判斷一個(gè)時(shí)序的趨勢(shì)是確定性的還是隨機(jī)性的，可通過(guò)ADF檢驗(yàn)的模型（3）來(lái)完成。如檢驗(yàn)表明給定時(shí)間序列有單位根，則該時(shí)序列具有隨機(jī)性趨勢(shì)。如果它沒(méi)有單位根，則表明該序列具有確定性趨勢(shì)。為了避免這種偽回歸，可通過(guò)引入趨勢(shì)變量t消除這種趨勢(shì)性

對(duì)于具有確定性趨勢(shì)的時(shí)間序列{Yt}，可表示為（8.24）如果式（8.24）中vt是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，此時(shí)稱(chēng){Yt}是趨勢(shì)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于具有確定性趨勢(shì)的時(shí)間序列{Yt}，可表示為

對(duì)于具有隨機(jī)性趨勢(shì)的時(shí)間序列{Yt}可表示為（8.25）如果式（8.25）中的vt是平穩(wěn)的，則是平穩(wěn)的，稱(chēng){Yt}為差分平穩(wěn)過(guò)程。對(duì)于經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)而言，趨勢(shì)平穩(wěn)過(guò)程的預(yù)測(cè)是可靠的，而差分平穩(wěn)過(guò)程的預(yù)測(cè)則是靠不住的。對(duì)于具有隨機(jī)性趨勢(shì)的時(shí)間序列{Yt}可表示為第三節(jié)時(shí)間序列模型利用平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行時(shí)間序列分析就是建立恰當(dāng)?shù)臅r(shí)間序列模型并利用模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。時(shí)間序列模型不同于經(jīng)典回歸模型，建立模型的依據(jù)不是據(jù)不同變量之間的因果關(guān)系，而是通過(guò)對(duì)時(shí)間序列的分析尋找時(shí)間序列自身的變化規(guī)律。在進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)則是依據(jù)時(shí)間序列的過(guò)去值預(yù)測(cè)未來(lái)值。第三節(jié)時(shí)間序列模型利用平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行時(shí)間序列分析一、時(shí)間序列模型的分類(lèi)時(shí)間序列模型是指僅用時(shí)間序列的過(guò)去值和誤差項(xiàng)建立的模型，其一般形式為

（8.26）一、時(shí)間序列模型的分類(lèi)1.自回歸過(guò)程如果一個(gè)線性隨機(jī)過(guò)程可以表達(dá)為（8.27）其中，是回歸系數(shù)，是白噪聲，則稱(chēng)式（8.27）為p階自回歸過(guò)程，用AR（p）表示。它是由的p個(gè)滯后變量的加權(quán)和以vt及相加而成的，因此稱(chēng)為自回歸過(guò)程。1.自回歸過(guò)程對(duì)于自回歸模型AR（p），如果特征方程的所有根的絕對(duì)值都大于1（根的模大于1），則該自回歸模型AR（p）是平穩(wěn)的，即該隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的。對(duì)于自回歸模型AR（p），如果特征方程2.移動(dòng)平均過(guò)程如果一個(gè)線性隨機(jī)過(guò)程可以表達(dá)為

（8.28）是回歸系數(shù)，vt是白噪聲，則稱(chēng)式（8.28）為q階移動(dòng)平均過(guò)程。2.移動(dòng)平均過(guò)程可以用滯后算子表達(dá)為（8.29）由定義可知，任何一個(gè)q階移動(dòng)平均過(guò)程都是由q＋1個(gè)白噪聲變量的加權(quán)和組成，因此有限階移動(dòng)平均過(guò)程都是平穩(wěn)的過(guò)程?？梢杂脺笏阕颖磉_(dá)為3.自回歸移動(dòng)平均過(guò)程由自回歸和移動(dòng)平均兩部分共同構(gòu)造的隨機(jī)過(guò)程稱(chēng)為自回歸移動(dòng)平均過(guò)程。記為ARMA（p,q），其中p,q為自回歸和移動(dòng)平均分量的滯后階數(shù)。ARMA（p,q）的一般表達(dá)式為

（8.30）3.自回歸移動(dòng)平均過(guò)程ARMA（p,q）模型是由AR（p）模型和MA（q）模型組合而成的。由于MA（q）模型總是平穩(wěn)的，因此，ARMA（p,q）模型的平穩(wěn)性就只依賴(lài)于AR（p）部分的平穩(wěn)性。如果AR（p）部分是平穩(wěn)的，則ARMA（p,q）模型是平穩(wěn)的。ARMA（p,q）模型是由AR（p）模型和MA（q）模如果特征方程的根的值在單位圓上，稱(chēng)這種根為單位根，含有單位根的時(shí)間序列是非平穩(wěn)的時(shí)間序列。但經(jīng)過(guò)若干次差分后該過(guò)程可以轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)過(guò)程。如果隨機(jī)過(guò)程經(jīng)過(guò)d次差分后可以變換為一個(gè)包含p階自回歸算子，q階移動(dòng)平均算子平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，則稱(chēng)為（p,d,q）階單整自回歸移動(dòng)平均過(guò)程，記為ARIMA(p,d,q)過(guò)程。如果特征方程的根的值在單位圓上，稱(chēng)這種根為單位根，含有二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別就是找出一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)間序列是由什么隨機(jī)過(guò)程或模型生成的，即判斷該時(shí)間序列是AR(p)過(guò)程或MA(q)過(guò)程或ARMA(p,q)過(guò)程。實(shí)際中單憑對(duì)時(shí)間序列的觀察很難確定其屬于哪一種模型，通常使用自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)識(shí)別模型的類(lèi)別。二、隨機(jī)時(shí)間序列模型的識(shí)別（一）自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)1.自相關(guān)函數(shù)ACF為了了解自相關(guān)函數(shù)先介紹自協(xié)方差概念。隨機(jī)過(guò)程{Yt}中的每一個(gè)元素都是隨機(jī)變量。對(duì)于平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，其期望為常數(shù)μ，其方差也是常數(shù)。（一）自相關(guān)函數(shù)和偏自相關(guān)函數(shù)相隔k期的兩個(gè)隨機(jī)變量和的協(xié)方差就是自協(xié)方差，其定義為（8.31）自協(xié)方差序列，k=0,1,…,K，稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程{Yt}的自協(xié)方差函數(shù)，其中K一般為有限值。當(dāng)k＝0時(shí)，，轉(zhuǎn)化為方差。相隔k期的兩個(gè)隨機(jī)變量和的協(xié)方差就是自協(xié)方差，其定義為自相關(guān)系數(shù)的定義為對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，所以

當(dāng)k＝0時(shí)，有（自相關(guān)系數(shù)為1）。自相關(guān)系數(shù)的定義為對(duì)于平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，所以當(dāng)k＝0時(shí)，有以滯后期k為變量的自相關(guān)系數(shù)序列稱(chēng)為自相關(guān)函數(shù)，其中K為有限值。自相關(guān)函數(shù)是隨機(jī)變量與其不同滯后期變量的相關(guān)系數(shù)序列，可以用來(lái)考察變量與其滯后變量的自相關(guān)程度。因?yàn)?，即Yt與的自相關(guān)系數(shù)相等，所以自相關(guān)函數(shù)是以0為對(duì)稱(chēng)的，實(shí)際研究中只需給出自相關(guān)函數(shù)的正半部分即可。以滯后期k為變量的自相關(guān)系數(shù)序列2.偏自相關(guān)函數(shù)PACF偏自相關(guān)函數(shù)是描述隨機(jī)過(guò)程結(jié)構(gòu)特征的另一種方法。用表示k階自回歸式中第j個(gè)回歸系數(shù)，則k階自回歸模型表示為

（8.34）2.偏自相關(guān)函數(shù)PACF其中是最后一個(gè)回歸系數(shù)。若把視為滯后期的函數(shù)，則稱(chēng)，k＝1，2，…為偏自相關(guān)函數(shù)。它由式（8.35）的組成。

（8.35）其中是最后一個(gè)回歸系數(shù)。若把視因?yàn)槠韵嚓P(guān)函數(shù)中每一個(gè)回歸系數(shù)恰好表示與在排除了其中間變量影響后的相關(guān)系數(shù)，因此稱(chēng)為偏自相關(guān)系數(shù)。因?yàn)槠韵嚓P(guān)函數(shù)中每一個(gè)回歸系數(shù)恰好表示（二）AR(p)過(guò)程的識(shí)別1.用自相關(guān)函數(shù)ACF識(shí)別對(duì)于一階自回歸模型AR(1)

（8.36）用同乘式（8.31）兩側(cè)得（8.37）兩側(cè)同取期望（其中），得，兩側(cè)同除，得（二）AR(p)過(guò)程的識(shí)別1.用自相關(guān)函數(shù)ACF識(shí)別

（8.38）因?yàn)?，所以有?.39）對(duì)于平穩(wěn)時(shí)間序列，有，所以當(dāng)?shù)闹禐檎龝r(shí)，自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減至0。當(dāng)?shù)闹禐樨?fù)1時(shí)，自相關(guān)函數(shù)正負(fù)交錯(cuò)呈指數(shù)衰減至0。這種現(xiàn)象稱(chēng)為拖尾或稱(chēng)AR(1)有無(wú)窮記憶。

對(duì)于AR（p）過(guò)程，按特征根的取值不同，自相關(guān)函數(shù)有兩種不同表現(xiàn)。（1）當(dāng)特征方程的根為實(shí)數(shù)時(shí)，自相關(guān)函數(shù)將隨著k的增加而呈幾何衰減至0，稱(chēng)為指數(shù)衰減。（2）當(dāng)特征方程的根中含有一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)，自相關(guān)函數(shù)將按正弦振蕩形式衰減。對(duì)于AR（p）過(guò)程，按特征根的取值不同，自相關(guān)函數(shù)有兩實(shí)際中的平穩(wěn)自回歸過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)常由指數(shù)衰減和正弦衰減兩部分混合而成。由式（8.39）可以看出，當(dāng)特征方程的根較小時(shí)，自相關(guān)函數(shù)會(huì)很快衰減至0。當(dāng)有一個(gè)實(shí)數(shù)根接近1時(shí)，自相關(guān)函數(shù)將衰減很慢，近似于線性衰減，稱(chēng)具有拖尾特征。當(dāng)有兩個(gè)以上的根接近1時(shí)，自相關(guān)函數(shù)同樣會(huì)衰減很慢。實(shí)際中的平穩(wěn)自回歸過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)常由指數(shù)衰減和正弦衰2.用偏自相關(guān)函數(shù)PACF識(shí)別對(duì)于AR（p）過(guò)程，當(dāng)k≤p時(shí)，，當(dāng)k>p時(shí)，。偏自相關(guān)函數(shù)在滯后期p以后具有截尾特性，因此可以用此特性識(shí)別AR(p)過(guò)程的階數(shù)。對(duì)于AR(1)過(guò)程，當(dāng)k＝1時(shí)，，當(dāng)k>1時(shí)，。所以AR(1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)特征是在k＝1時(shí)出現(xiàn)峰值（），然后截尾。2.用偏自相關(guān)函數(shù)PACF識(shí)別在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)是總體偏自相關(guān)函數(shù)的一個(gè)估計(jì)，因?yàn)闃颖静▌?dòng)，當(dāng)k>p時(shí)，不會(huì)全為0，而是在0的左右波動(dòng)?？梢宰C明，當(dāng)k>p時(shí)，服從漸近正態(tài)分布：～N(0,1/n),n為樣本容量。如果樣本偏自回歸函數(shù)滿足,就可以以95.5％的置信水平判斷該時(shí)間序列在k>p后截尾。在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本偏自相關(guān)函數(shù)是總體偏自相關(guān)函數(shù)（三）MA(q)過(guò)程的識(shí)別1.用自相關(guān)函數(shù)ACF識(shí)別對(duì)于MA(1)過(guò)程（8.40）有當(dāng)k＝0時(shí)

當(dāng)k＝1時(shí)

（三）MA(q)過(guò)程的識(shí)別1.用自相關(guān)函數(shù)ACF識(shí)別當(dāng)k>1時(shí)因此，MA(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為

（8.41）由式（8.41）可以看出，MA(1)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特征。當(dāng)k>1時(shí)，。當(dāng)k>1時(shí)同理，MA(q)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)也具有截尾特征。當(dāng)k≤q時(shí)，自相關(guān)函數(shù)呈衰減特征。當(dāng)k>q時(shí)，自相關(guān)函數(shù)為0，具有截尾特征。同理，MA(q)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)也具有截尾特征。當(dāng)k在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù)是總體自相關(guān)函數(shù)的一個(gè)估計(jì)，因?yàn)闃颖静▌?dòng)，當(dāng)k>p時(shí)，不會(huì)全為0，而是在0的左右波動(dòng)?？梢宰C明，當(dāng)k>p時(shí)，服從漸近正態(tài)分布：～N(0,1/n),n為樣本容量。如果樣本自回歸函數(shù)滿足,就可以以95.5％的置信水平判斷該時(shí)間序列在k>p后截尾。在實(shí)際識(shí)別時(shí)，由于樣本自相關(guān)函數(shù)是總體自相關(guān)2.用偏自相關(guān)函數(shù)PACF識(shí)別

MA(1)過(guò)程可以表達(dá)為關(guān)于無(wú)窮序列的線性組合，即（8.42）

這是一個(gè)AR(∞)過(guò)程，它的偏自相關(guān)函數(shù)非截尾但確趨于0，因此MA(1)偏自相關(guān)函數(shù)是拖尾但卻趨于0.2.用偏自相關(guān)函數(shù)PACF識(shí)別在式（8.42）中，只有時(shí)才有意義，否則就表示距離越遠(yuǎn)的Y值對(duì)的影響越大，這是不符合常理的。所以，是MA(1)的可逆性條件（invertibilitycondition）或可逆性。在式（8.42）中，只有時(shí)才有意義，否因?yàn)槿魏我粋€(gè)可逆的MA(q)過(guò)程都可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階的、系數(shù)按幾何級(jí)數(shù)衰減的AR過(guò)程，所以MA(q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)呈緩慢衰減特征，稱(chēng)為拖尾特征。MA(1)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減特征。若，偏自相關(guān)函數(shù)呈交替改變符號(hào)式衰減；若，偏自相關(guān)函數(shù)呈負(fù)數(shù)的指數(shù)衰減。因?yàn)槿魏我粋€(gè)可逆的MA(q)過(guò)程都可以轉(zhuǎn)換成一個(gè)無(wú)限階對(duì)于MA(2)過(guò)程，若特征方程的根是實(shí)數(shù)，偏自相關(guān)函數(shù)由兩個(gè)指數(shù)衰減形式疊加而成。特征方程的根是虛數(shù)若，偏自相關(guān)函數(shù)呈正弦衰減特征（拖尾特征）。對(duì)于MA(2)過(guò)程，若特征方程的根是實(shí)數(shù)，偏自相關(guān)函數(shù)（四）ARMA(p,q)過(guò)程的識(shí)別ARMA(p,q)的自相關(guān)函數(shù)可以視為AR(p)的自相關(guān)函數(shù)和MA(q)的自相關(guān)函數(shù)的混合物。當(dāng)p＝0時(shí)，它具有截尾性質(zhì)，當(dāng)q＝0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)，當(dāng)p,q都不為0時(shí)，它具有拖尾性質(zhì)。（四）ARMA(p,q)過(guò)程的識(shí)別ARMA(p,q)的對(duì)于ARMA(1,1)過(guò)程，自相關(guān)函數(shù)從開(kāi)始衰減。的大小取決于和。若，指數(shù)衰減是平滑的，或正或負(fù)。若，自相關(guān)函數(shù)為正負(fù)交替式指數(shù)衰減。對(duì)于高階的ARMA過(guò)程，自相關(guān)函數(shù)的表現(xiàn)形式比較復(fù)雜，有可能呈指數(shù)衰減、正弦衰減或二者的混合衰減。對(duì)于ARMA(1,1)過(guò)程，自相關(guān)函數(shù)從開(kāi)始衰ARMA(p,q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)也是無(wú)限延長(zhǎng)的，其表現(xiàn)形式與MA(q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)類(lèi)似。據(jù)模型中移動(dòng)平均分量的階數(shù)q和參數(shù)的不同，偏自相關(guān)函數(shù)呈指數(shù)衰減和正弦衰減混合形式。ARMA(p,q)過(guò)程的偏自相關(guān)函數(shù)也是無(wú)限延長(zhǎng)的，其對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。相關(guān)圖是對(duì)自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。因?yàn)镸A過(guò)程和ARMA過(guò)程中MA分量的自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以可以利用相關(guān)圖估計(jì)MA過(guò)程的階數(shù)q。相關(guān)圖是識(shí)別MA過(guò)程和ARMA過(guò)程中MA分量階數(shù)的重要方法。對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。相關(guān)圖是對(duì)對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。偏相關(guān)圖是對(duì)偏自相關(guān)函數(shù)的估計(jì)。因?yàn)锳R過(guò)程和ARMA過(guò)程中AR分量的偏自相關(guān)函數(shù)具有截尾特性，所以可以利用偏相關(guān)圖估計(jì)自回歸過(guò)程的階數(shù)p。偏相關(guān)圖是識(shí)別AR過(guò)程和ARMA過(guò)程中AR分量階數(shù)的重要方法。對(duì)于時(shí)間序列數(shù)據(jù)，偏自相關(guān)函數(shù)通常是未知的。偏相關(guān)圖是三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的建立對(duì)于時(shí)間序列模型，完成了平穩(wěn)性檢驗(yàn)和模型識(shí)別后就可以估計(jì)模型參數(shù)建立計(jì)量模型。時(shí)間序列模型的建立主要有以下三個(gè)步驟。第一步，進(jìn)行模型識(shí)別。第二步，模型參數(shù)的估計(jì)。三、隨機(jī)時(shí)間序列模型的建立對(duì)于時(shí)間序列模型，完成了平對(duì)AR(p)模型的估計(jì)較簡(jiǎn)單。因?yàn)闇笞兞慷际莟期以前的，這些滯后變量與誤差項(xiàng)相互獨(dú)立，所以可以使用普通最小二乘法估計(jì)模型參數(shù)，得到具有一致性的估計(jì)量。對(duì)于MA(q)和ARMA(p,q)模型的估計(jì)就比較困難。不能簡(jiǎn)單的用最小二乘法估計(jì)參數(shù)，一般應(yīng)該采用迭代式的非線性最小二乘法，這些方法在流行的經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析軟件中的廣泛使用。對(duì)AR(p)模型的估計(jì)較簡(jiǎn)單。因?yàn)闇笞兞慷际莟期以完成模型的識(shí)別與參數(shù)估計(jì)后，應(yīng)對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行診斷與檢驗(yàn)，以求發(fā)現(xiàn)所選用的模型是否正確。若不合適，應(yīng)該知道下一步怎樣修改。這一階段主要檢驗(yàn)擬合的模型是否正確。一是檢驗(yàn)估計(jì)值是否具有統(tǒng)計(jì)顯著性；二是檢驗(yàn)殘差序列的隨機(jī)性。完成模型的識(shí)別與參數(shù)估計(jì)后，應(yīng)對(duì)估計(jì)結(jié)果進(jìn)行診斷與檢驗(yàn)參數(shù)估計(jì)值的顯著性檢驗(yàn)是通過(guò)t統(tǒng)計(jì)量完成的，而模型擬合的優(yōu)劣以及殘差序列隨機(jī)性的判別是用伯克斯-皮爾斯（Box-Pierce,1970）提出的Q統(tǒng)計(jì)量完成的。若擬合模型的誤差項(xiàng)為白噪聲過(guò)程，統(tǒng)計(jì)量參數(shù)估計(jì)值的顯著性檢驗(yàn)是通過(guò)t統(tǒng)計(jì)量完成的，而模型擬合的漸近服從分布，其中T表示樣本容量，rk表示用殘差序列計(jì)算的自相關(guān)系數(shù)值，K表示自相關(guān)系數(shù)的個(gè)數(shù)或最大滯后期，p表示模型自回歸部分的最大滯后值，q表示移動(dòng)平均部分的最大滯后值。這時(shí)的原假設(shè)為（模型的誤差序列是白噪聲過(guò)程）。漸近服從分布，其中T用殘差序列計(jì)算自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值，進(jìn)而計(jì)算Q統(tǒng)計(jì)量的值。若擬合的模型不正確，殘差序列中必含有其他成分，Q值將很大。反之，Q值將很小。判別規(guī)則是：若，則接受H0。若，則拒絕H0。其中α表示檢驗(yàn)水平。用殘差序列計(jì)算自相關(guān)系數(shù)估計(jì)值，進(jìn)而計(jì)算Q統(tǒng)計(jì)量的值。EViews操作：1.進(jìn)入方程對(duì)話框，輸入自回歸模型估計(jì)命令D(Y)cAR(1)2.如果有移動(dòng)平均項(xiàng)，用MA（q）表示。3.點(diǎn)View鍵，選ResidualTests,Correlogram-Q-statistics,指定滯后期，得到殘差序列的相關(guān)和偏相關(guān)圖。4.點(diǎn)擊估計(jì)結(jié)果窗口的Forcast鍵，進(jìn)行預(yù)測(cè)。EViews操作：自相關(guān)圖判斷：平穩(wěn)序列：自相關(guān)系數(shù)很快（滯后階數(shù)大于2或3）趨于0，即落入隨機(jī)區(qū)間。非平穩(wěn)序列：自相關(guān)系數(shù)很慢趨于0。白噪聲序列：自相關(guān)系數(shù)都落入隨機(jī)區(qū)間。自相關(guān)圖判斷：第四節(jié)協(xié)整與誤差修正模型一、協(xié)整的概念協(xié)整（Cointegration）的概念是由恩格爾和格蘭杰（EngleandGranger）于1987年正式指出，這個(gè)概念的提出使得非零階單整變量的回歸也變得有意義。經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中的某些變量具有長(zhǎng)期依存關(guān)系，經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱(chēng)其為均衡關(guān)系，這種均衡關(guān)系的存在是經(jīng)濟(jì)計(jì)量等建模的依據(jù)。第四節(jié)協(xié)整與誤差修正模型一、協(xié)整的概念這種均衡關(guān)系的存在表示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中形成均衡的機(jī)制是穩(wěn)定的，當(dāng)因?yàn)榧竟?jié)影響或隨機(jī)干擾這些變量偏離其均衡點(diǎn)時(shí)，均衡機(jī)制會(huì)在下一期進(jìn)行調(diào)整使其重新回到均衡狀態(tài)。但是，如果這種偏離是持久的，則變量之間的均衡機(jī)制是不穩(wěn)定的，均衡關(guān)系已遭到破壞。協(xié)整就是這種均衡關(guān)系的統(tǒng)計(jì)表示。這種均衡關(guān)系的存在表示經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中形成均衡的機(jī)制是穩(wěn)定的協(xié)整概念的提出使得我們能研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)變量之間的均衡關(guān)系。對(duì)于每個(gè)單獨(dú)的序列而言可能是非平穩(wěn)的，但是這些時(shí)間序列的線性組合卻可能是平穩(wěn)的。協(xié)整：時(shí)間序列{Xt}，{Yt}是兩個(gè)I（1）過(guò)程，如果存在β使得Yt-βXt成為I（0）過(guò)程，則稱(chēng)Xt和Yt是協(xié)整的。其實(shí)，協(xié)整就是指多個(gè)非平穩(wěn)時(shí)間序列的某種線性組合是平穩(wěn)的。協(xié)整概念的提出使得我們能研究?jī)蓚€(gè)或多個(gè)變量之間的均衡協(xié)整的定義告訴我們，只有兩個(gè)變量都是單整變量，并且它們的單整階數(shù)相同時(shí)，才能協(xié)整，如果它們的單整階數(shù)不同，就不可能協(xié)整。協(xié)整的經(jīng)濟(jì)定義在于：具有各自長(zhǎng)期波動(dòng)規(guī)律的兩個(gè)時(shí)間序列，如果它們是協(xié)整的，則它們之間存在著一個(gè)長(zhǎng)期穩(wěn)定的協(xié)整關(guān)系。從變量之間的協(xié)整關(guān)系出發(fā)建立經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型是牢固可靠的，可以避免出現(xiàn)偽回歸。因此，協(xié)整檢驗(yàn)是經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析建模的根本所在。協(xié)整的定義告訴我們，只有兩個(gè)變量都是單整變量，并且它二、協(xié)整的檢驗(yàn)協(xié)整檢驗(yàn)從檢驗(yàn)對(duì)象上可以分為兩類(lèi)，一類(lèi)是基于回歸殘差的協(xié)整檢驗(yàn)，這種檢驗(yàn)也稱(chēng)為單一方程的協(xié)整檢驗(yàn)。另一類(lèi)是基于回歸系數(shù)的協(xié)整檢驗(yàn)。這里，我們只考慮單一方程的協(xié)整檢驗(yàn)。二、協(xié)整的檢驗(yàn)1.兩變量的恩格爾－格蘭杰檢驗(yàn)這種協(xié)整檢驗(yàn)方法就是對(duì)回歸方程的殘差進(jìn)行單位根檢驗(yàn)。從協(xié)整的思想來(lái)看，兩變量之間具有協(xié)整關(guān)系就是具有長(zhǎng)期均衡關(guān)系。因此，被解釋變量不能由解釋變量解釋的部分即殘差序列應(yīng)該是平穩(wěn)的。如果殘差是平穩(wěn)的，說(shuō)明兩變量之間的線性組合是平穩(wěn)的，則變量之間具有協(xié)整關(guān)系。1.兩變量的恩格爾－格蘭杰檢驗(yàn)

恩格爾－格蘭杰檢驗(yàn)法也稱(chēng)為EG兩步法，其檢驗(yàn)程序如下。第一步，如果Xt,Yt均為d階單整序列，用OLS法估計(jì)回歸方程（協(xié)整回歸）

(8.22)

得到殘差恩格爾－格蘭杰檢驗(yàn)法也稱(chēng)為EG兩步法，其檢驗(yàn)程序如第二步，檢驗(yàn)的平穩(wěn)性。如果為平穩(wěn)序列，則Xt與Yt是協(xié)整的，否則不是協(xié)整的。如果Xt與Yt不是協(xié)整的，則它們的任一線性組都是非平穩(wěn)的，因此殘差也是非平穩(wěn)的。通過(guò)對(duì)殘差的平穩(wěn)性檢驗(yàn)，就可判斷Xt與Yt之間是否存在協(xié)整關(guān)系。第二步，檢驗(yàn)的平穩(wěn)性。如果為平穩(wěn)序檢驗(yàn)的平穩(wěn)性的方法可使用前面介紹的DF檢驗(yàn)或ADF檢驗(yàn)。這里的DF或ADF檢驗(yàn)是針對(duì)協(xié)整回歸計(jì)算出的殘差項(xiàng)進(jìn)行的，并不是針對(duì)非均衡誤差進(jìn)行的，對(duì)于平穩(wěn)性檢驗(yàn)的DF與ADF臨界值比正常的DF與ADF臨界值要小。麥克金農(nóng)（Mackinnon,1991）通過(guò)模擬試驗(yàn)給出了協(xié)整檢驗(yàn)的臨界值。檢驗(yàn)的平穩(wěn)性的方法可使用前面介紹的DF檢驗(yàn)或ADF檢驗(yàn)【例8.3】中國(guó)城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入與消費(fèi)支出的協(xié)整檢驗(yàn)。由前面的檢驗(yàn)結(jié)果可知，居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出Y與實(shí)際可支配收入X均為二階單整的。Y對(duì)X進(jìn)行協(xié)整回歸可得

(8.23)t(17.480)(128.318)DW=2.001【例8.3】中國(guó)城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入與

對(duì)該模型的殘差進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果τ統(tǒng)計(jì)量為-3.712，5％顯著性水平臨界值為-2.918。檢驗(yàn)結(jié)果表明ADF檢驗(yàn)的τ統(tǒng)計(jì)量小于臨界值，因此拒絕原假設(shè)，殘差序列不存在單位根，為平穩(wěn)序列。因此，居民家庭人均實(shí)際消費(fèi)支出Y與實(shí)際可支配收入X均為（2，2）階協(xié)整的，兩變量之間存在長(zhǎng)期的穩(wěn)定均衡關(guān)系。對(duì)該模型的殘差進(jìn)行ADF檢驗(yàn)，結(jié)果τ統(tǒng)計(jì)量為-3.72.多變量協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)對(duì)多個(gè)變量間的協(xié)整關(guān)系的檢驗(yàn)要比雙變量協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)復(fù)雜。因?yàn)閷?duì)于多變量而言，可能存在多種穩(wěn)定的線性組合，也就是存在多個(gè)協(xié)整關(guān)系。多變量協(xié)整檢驗(yàn)與雙變量協(xié)整檢驗(yàn)的原理是相同的，就是判斷是否有穩(wěn)定的線性組合。檢驗(yàn)的步驟如下：2.多變量協(xié)整關(guān)系檢驗(yàn)第一步，對(duì)于k個(gè)同階單整序列，建立回歸方程

(8.24)用OLS法估計(jì)該模型，得到殘差為

(8.25)第一步，對(duì)于k個(gè)同階單整序列，建立回歸方程第二步，檢驗(yàn)殘差序列是否平穩(wěn)如果通過(guò)變換各種線性組合（即用不同的變量為被解釋變量），都不能得到平穩(wěn)的殘差序列，則認(rèn)為這些變量之間不存在協(xié)整關(guān)系。第二步，檢驗(yàn)殘差序列是否平穩(wěn)三、誤差修正模型誤差修正模型最早是由Sarger(1964)提出的，誤差修正模型的基本形成是在1978年由Davidson、Hendry、Srba和Yeo提出的，因此又稱(chēng)為DHSY模型。變量之間存在協(xié)整關(guān)系說(shuō)明變量間存在長(zhǎng)期穩(wěn)定的均衡關(guān)系，這種長(zhǎng)期穩(wěn)定的均衡關(guān)系是在短期動(dòng)態(tài)過(guò)程的不斷波動(dòng)下形成的。三、誤差修正模型變量間長(zhǎng)期均衡關(guān)系的存在是因?yàn)榇嬖谝环N調(diào)節(jié)機(jī)制，即誤差修正機(jī)制使得長(zhǎng)期關(guān)系的偏差被控制在一定范圍內(nèi)。任何一組協(xié)整時(shí)間序列變量都存在誤差修正機(jī)制，反映短期調(diào)節(jié)行為。變量間長(zhǎng)期均衡關(guān)系的存在是因?yàn)榇嬖谝环N調(diào)節(jié)機(jī)制，即誤差對(duì)于具有協(xié)整關(guān)系序列,，其誤差修正模型為

(8.26)其中，ecm表示誤差修正項(xiàng)。一般情況下0<λ<1。ecm的修正原理如下：若t-1時(shí)刻Y大于其長(zhǎng)期均衡值，ecm為正，則-λecm為負(fù)，使得△Y減少；若t-1時(shí)刻Y小于其長(zhǎng)期均衡值，ecm為負(fù)，-λecm為正，使得△Y增大。ecm體現(xiàn)了對(duì)Yt與Xt長(zhǎng)期均衡關(guān)系的控制。對(duì)于具有協(xié)整關(guān)系序列,，其誤差修正模型為對(duì)于誤差修正模型，恩格爾和格蘭杰于1987年提出了著名的Granger表述定理。如果變量X與Y是協(xié)整的，則它們之間的短期非均衡關(guān)系總能由一個(gè)誤差修正模型表述。建立誤差修正模型，首先需要對(duì)變量進(jìn)行協(xié)整檢驗(yàn)，變量之間具有長(zhǎng)期均衡關(guān)系時(shí)，方可以這種關(guān)系構(gòu)成誤差修正項(xiàng)。從而可以建立短期模型，將誤差修正項(xiàng)看做一個(gè)解釋變量，連同其它反映短期波動(dòng)的解釋變量一起建立短期模型。對(duì)于誤差修正模型，恩格爾和格蘭杰于1987年提出了著名在誤差修正模型中是非均衡誤差。表示Yt和Xt的長(zhǎng)期關(guān)系。和是長(zhǎng)期參數(shù)，和是短期參數(shù)。由于Xt與Yt存在協(xié)整關(guān)系，因此ecm是平穩(wěn)的，如果Xt,Yt～I(xiàn)(1)，則△X,△Y～I(xiàn)(0)，在誤差修正模型中變量都是平穩(wěn)的。使用OLS法估計(jì)參數(shù)不存在偽回歸問(wèn)題。在誤差修正模型中建立誤差修正模型一般由二步完成。第一步，建立長(zhǎng)期關(guān)系模型。檢驗(yàn)變量間的協(xié)整關(guān)系，估計(jì)長(zhǎng)期均衡關(guān)系參數(shù)。第二步，建立短期動(dòng)態(tài)關(guān)系，即誤差修正模型。建立誤差修正模型一般由二步完成?！纠拷⒅袊?guó)城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入與消費(fèi)支出的誤差修正模型。由ADF檢驗(yàn)可知城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入X與消費(fèi)支出Y的對(duì)數(shù)均為一階單整的，即Ln（X），Ln（Y）均為I（1）序列。Ln(Y)對(duì)Ln(X)進(jìn)行協(xié)整回歸可得

(8.27)t(9.7311)(74.7606)DW=1.2684【例】建立中國(guó)城鎮(zhèn)居民家庭人均可支配收入與消費(fèi)支出的誤對(duì)協(xié)整方程的殘差進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)得知其是平穩(wěn)的，因此可建立誤差修正模型。誤差修正模型為

t(1.1229)(5.6873)(-3.3143)DW=1.8430對(duì)協(xié)整方程的殘差進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)得知其是平穩(wěn)的，因此可建由長(zhǎng)期協(xié)整模型可知，中國(guó)城鎮(zhèn)居民可支配收增加1％，居民消費(fèi)增加0.86％，這是長(zhǎng)期居民消費(fèi)的收入彈性。而由短期誤差修正模型可知，短期彈性為0.69％。誤差修正項(xiàng)的系數(shù)為-0.7596，說(shuō)明在每一年，居民消費(fèi)對(duì)其長(zhǎng)期均衡值的偏離由75.69％得到糾正。居民消費(fèi)受到短期沖擊后，很快就會(huì)回到其長(zhǎng)期增長(zhǎng)路徑上去。由長(zhǎng)期協(xié)整模型可知，中國(guó)城鎮(zhèn)居民可支配收增加1％，居民ENDEND第八章_時(shí)間序列計(jì)量模型課件第八章時(shí)間序列計(jì)量模型第八章時(shí)間序列計(jì)量

第一節(jié)時(shí)間序列的基本概念一、時(shí)間序列數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性隨機(jī)變量是刻畫(huà)隨機(jī)現(xiàn)象的有力工具。隨機(jī)變量的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程。一般地，對(duì)于每一特定的t（t∈T），Yt為一隨機(jī)變量，稱(chēng)這一族隨機(jī)變量{Yt}為一個(gè)隨機(jī)過(guò)程。若T為一連續(xù)區(qū)間，則{Yt}為連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程。第一節(jié)時(shí)間序列的基本概念

若T為離散集合，則{Yt}為離散型隨機(jī)過(guò)程。離散型時(shí)間指標(biāo)集的隨機(jī)過(guò)程通常稱(chēng)為隨機(jī)型時(shí)間序列，簡(jiǎn)稱(chēng)為時(shí)間序列。經(jīng)濟(jì)分析中常用的時(shí)間序列數(shù)據(jù)都是經(jīng)濟(jì)變量隨機(jī)序列的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。若T為離散集合，則{Yt}為離散型隨機(jī)過(guò)程。

時(shí)間序列的平穩(wěn)性（stationaryprocess）是時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析中的非常重要問(wèn)題。時(shí)間序列的平穩(wěn)性是指時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化。就是說(shuō)產(chǎn)生變量時(shí)間序列數(shù)據(jù)的隨機(jī)過(guò)程的特征不隨時(shí)間變化而變化。用平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行計(jì)量分析，估計(jì)方法和假設(shè)檢驗(yàn)才有效。時(shí)間序列的平穩(wěn)性（stationaryGDP的時(shí)間序列19901991199219931994199519961997Y1Y2Y3Y4Y5Y6Y7Y818547.921617.826638.134634.446759.458478.167884.674462.6GDP的時(shí)間序列199019911992199

一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列過(guò)程的概率分布與時(shí)間的位移無(wú)關(guān)。如果從序列中任意取一組隨機(jī)變量并把這個(gè)序列向前移動(dòng)h個(gè)時(shí)間，其聯(lián)合概率分布保持不變。這就是嚴(yán)格平穩(wěn)的含義，其嚴(yán)格定義如下:

平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：對(duì)一個(gè)隨過(guò)程{Yt:t=1,2,…},h為整數(shù)，如的聯(lián)合分布與的聯(lián)合分布相同，那么隨機(jī)過(guò)程{Yt}就是平穩(wěn)的。一個(gè)平穩(wěn)的時(shí)間序列過(guò)程的概率分布與時(shí)間的位移無(wú)

平穩(wěn)性的特征就是要求所有時(shí)間相鄰項(xiàng)之間的相關(guān)關(guān)系具有相同的性質(zhì)。判斷一個(gè)時(shí)間序列數(shù)據(jù)是否產(chǎn)生于一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程是很困難的。通常而言，時(shí)間序列數(shù)據(jù)是弱平穩(wěn)的就足夠了。因此，弱平穩(wěn)是時(shí)間序列分析中的常用平穩(wěn)性概念。平穩(wěn)性的特征就是要求所有時(shí)間相鄰項(xiàng)之間的弱平穩(wěn)也稱(chēng)為協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程。弱平穩(wěn)是指隨機(jī)過(guò)程{Yt}的均值和方差不隨時(shí)間的推移而變化，并且任何兩時(shí)期之間的協(xié)方差僅依賴(lài)于該兩時(shí)期的間隔，而與t無(wú)關(guān)。即隨機(jī)過(guò)程{Yt}滿足弱平穩(wěn)也稱(chēng)為協(xié)方差平穩(wěn)過(guò)程。(1)均值，μ為與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)。(2)方差為與時(shí)間t無(wú)關(guān)的常數(shù)。(3)協(xié)方差，只與時(shí)間間隔h有關(guān)，與時(shí)間t無(wú)關(guān)。則稱(chēng){Yt}為弱平穩(wěn)過(guò)程。在時(shí)間序列計(jì)量分析中，平穩(wěn)過(guò)程通常指的是弱平穩(wěn)。(1)均值，μ為與時(shí)間t無(wú)關(guān)的如果一個(gè)時(shí)間序列是不平穩(wěn)的，就稱(chēng)它為非平穩(wěn)時(shí)間序列。也就是說(shuō)，時(shí)間序列的統(tǒng)計(jì)規(guī)律隨時(shí)間的推動(dòng)而發(fā)生變化。此時(shí)，要通過(guò)回歸分析研究某個(gè)變量在跨時(shí)間區(qū)域的對(duì)一個(gè)或多變量的依賴(lài)關(guān)系就是困難的，也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)間序列為非平穩(wěn)時(shí)，就無(wú)法知道一個(gè)變量的變化如何影響另一個(gè)變量。如果一個(gè)時(shí)間序列是不平穩(wěn)的，就稱(chēng)它為非平穩(wěn)時(shí)間序列。也在時(shí)間序列計(jì)量分析實(shí)踐中，時(shí)間序列的平穩(wěn)性是根本性前提，因此，在進(jìn)經(jīng)濟(jì)計(jì)量分析前，必須對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行平穩(wěn)性檢驗(yàn)。在時(shí)間序列計(jì)量分析實(shí)踐中，時(shí)間序列的平穩(wěn)性是根本性前提二、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性可通過(guò)圖形和自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)。在現(xiàn)代，單位根檢驗(yàn)方法為時(shí)間序列平穩(wěn)性檢驗(yàn)的最常用方法。1.單位根檢驗(yàn)（unitroottest）二、平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)時(shí)間序列中往往存在滯后效應(yīng)，即前后變量彼此相關(guān)。對(duì)于時(shí)間序列Yt而言，最典型的狀況就是一階自回歸形式AR（1），即Yt與Yt-1

相關(guān)，而與Yt-2,Yt-3

，…無(wú)關(guān)。其表達(dá)式為（8.1）其中，vt為經(jīng)典誤差項(xiàng)，也稱(chēng)之為白噪聲。時(shí)間序列中往往存在滯后效應(yīng)，即前后變量彼此相關(guān)。對(duì)于如果式（8.1）中ρ=1，則（8.2）式（8.2）中Yt稱(chēng)為隨機(jī)游走序列。隨機(jī)游走序列的特征為:Yt以前一期的Yt-1為基礎(chǔ)，加上一個(gè)均值為零且獨(dú)立于Yt-1的隨機(jī)變量。隨機(jī)游走的名字正是來(lái)源于它的這個(gè)特征。如果式（8.1）中ρ=1，則對(duì)式（8.2）進(jìn)行反復(fù)迭代，可得（8.3）對(duì)式（8.3）取期望可得（8.4）隨機(jī)游走時(shí)間序列的期望值與t無(wú)關(guān)。對(duì)式（8.2）進(jìn)行反復(fù)迭代，可得假定Y0非隨機(jī)，則，因此

（8.5）式（8.5）表明隨機(jī)游走序列的方差是時(shí)間t的線性函數(shù)，說(shuō)明隨機(jī)游走過(guò)程是非平穩(wěn)的。假定Y0非隨機(jī)，則表達(dá)時(shí)間序列前后期關(guān)系的最一般模型為m階自回歸模型AR（m）。

(8.6)引入滯后算子L，（8.7）表達(dá)時(shí)間序列前后期關(guān)系的最一般模型為m階自回歸模型AR則式(8.6)變換為（8.8）記為則稱(chēng)多項(xiàng)式方程為AR（m）的特征方程。可以證明，如果該特征方程的所有根在單位圓外（根的模大于1），則AR（m）模型是平穩(wěn)的。則式(8.6)變換為對(duì)于AR（1）過(guò)程。（8.9）vt為經(jīng)典誤差項(xiàng)，如果ρ＝1，則Yt有一個(gè)單位根，稱(chēng)Yt為單位根過(guò)程，序列Yt是非平穩(wěn)的。因此，要判斷某時(shí)間序列是否平穩(wěn)可通過(guò)判斷它是否存在單位根，這就是時(shí)間序列平穩(wěn)性的單位根檢驗(yàn)。對(duì)于AR（1）過(guò)程。檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Yt的平穩(wěn)性，可通過(guò)檢驗(yàn)一階自回歸模型中的參數(shù)ρ是否小于1?；蛘邫z驗(yàn)另一種表達(dá)形式（8.10）中參數(shù)γ是否小于0。式（8.9）中的參數(shù)ρ=1時(shí)，時(shí)間序列Yt是非平穩(wěn)的。式（8.10）中，γ=0時(shí)，時(shí)間序列Yt是非平穩(wěn)的。檢驗(yàn)一個(gè)時(shí)間序列Yt的平穩(wěn)性，可通過(guò)檢驗(yàn)一階自回歸模型中的參2.DF檢驗(yàn)要檢驗(yàn)時(shí)間序列的平穩(wěn)性，可通過(guò)t檢驗(yàn)完成假設(shè)檢驗(yàn)。即對(duì)于下式

（8.11）要檢驗(yàn)該序列是否含有單位根。設(shè)定原假設(shè)為:ρ=1，則t統(tǒng)計(jì)量為（8.12）2.DF檢驗(yàn)但是，在原假設(shè)下（序列非平穩(wěn)），t不服從傳統(tǒng)的t分布，因此t檢驗(yàn)方法就不再適用。Dickey和Fuller于1976年提出了這一情況下t統(tǒng)計(jì)量服從的分布（此時(shí)表示為τ統(tǒng)計(jì)量），即DF分布，因此該檢驗(yàn)方法稱(chēng)為DF檢驗(yàn)。但是，在原假設(shè)下（序列非平穩(wěn)），t不服從傳統(tǒng)的t該方法采用OLS法估計(jì)式（8.11），計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的值，與DF分布表中給定顯著性水平下的臨界值比較。如果t統(tǒng)計(jì)量的值小于臨界值（左尾單側(cè)檢驗(yàn)），就意味著ρ足夠小，拒絕原假設(shè):ρ=1，判別時(shí)間序列Yt不存在單位根，是平穩(wěn)的。該方法采用OLS法估計(jì)式（8.11），計(jì)算t統(tǒng)計(jì)量的Dickey和Fuller研究認(rèn)為DF檢驗(yàn)的臨界值與數(shù)據(jù)序列的生成過(guò)程以及回歸模型的類(lèi)型有關(guān)。因此，他們針對(duì)以下三種模型編制了DF分布表。Dickey和Fuller研究認(rèn)為DF檢驗(yàn)的臨界值與數(shù)(1)一階自回歸模型（8.13）（2）包含常數(shù)項(xiàng)的模型（8.14）（3）包含常數(shù)項(xiàng)和時(shí)間趨勢(shì)項(xiàng)的模型（8.15）DF檢驗(yàn)常用的表達(dá)式為如下的差分表達(dá)式，即第八章_時(shí)間序列計(jì)量模型課件DF檢驗(yàn)常用的表達(dá)式為如下的差分表達(dá)式，即（8.16）令γ＝ρ－1，則（8.17）同理，可得另外兩種模型為（8.18）（8.19）DF檢驗(yàn)常用的表達(dá)式為如下的差分表達(dá)式，即對(duì)于式（8.17）、（8.18）、（8.19）而言，對(duì)應(yīng)的原假設(shè)和備擇假設(shè)為（非平穩(wěn)）（平穩(wěn)）DF檢驗(yàn)的判別規(guī)則是：DF≥臨界值，則Yt非平穩(wěn)，D<臨界值，Yt則是平穩(wěn)的。對(duì)于式（8.17）、（8.18）、（8.19）而言，對(duì)應(yīng)的原

3.ADF檢驗(yàn)進(jìn)行DF檢驗(yàn)時(shí)，假定誤差項(xiàng)為經(jīng)典誤差項(xiàng)，不存在自相關(guān)，即時(shí)間序列是一階自相關(guān)過(guò)程AR（1）。但多數(shù)時(shí)間序列經(jīng)濟(jì)計(jì)量模型均不能滿足這一條件，使用OLS法進(jìn)行參數(shù)估計(jì)通常表現(xiàn)為隨機(jī)誤差項(xiàng)為自相關(guān)，導(dǎo)致DF檢驗(yàn)無(wú)效。為了保證單位根檢驗(yàn)的有效性，Dickey和Fuller對(duì)DF檢驗(yàn)進(jìn)行擴(kuò)充，形成了ADF（augmentDickey-Fullertest）。3.ADF檢驗(yàn)ADF檢驗(yàn)是通過(guò)如下三個(gè)模型完成的(1)