連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣SamplingofContinuous-TimeSignals第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣SamplingofConti4.0引言離散時(shí)間信號(hào)實(shí)際存在或連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣（常見(jiàn)）問(wèn)題：連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)的完全準(zhǔn)確表示（包含全部信息）決定因素：采樣率（samplingrate）,采樣周期、采樣頻率方法：時(shí)域？頻域！恢復(fù)（表明問(wèn)題的方法）：離散時(shí)間信號(hào)（恢復(fù)）連續(xù)時(shí)間信號(hào) 或稱重構(gòu)4.0引言4.1周期采樣（Periodicsampling）xc(t)----連續(xù)時(shí)間信號(hào)周期采樣后得到樣本序列：x[n]=xc(nT),－∞＜

n

＜

∞T---采樣周期，等間隔采樣；fs

=1/T---采樣頻率---Ωs=2π/T（弧度/秒）理想（C/D）轉(zhuǎn)換器（ContinuoustoDiscrete）：實(shí)際實(shí)現(xiàn)：理想轉(zhuǎn)換器的一種近似， A/D轉(zhuǎn)換器，AnalogtoDigital

（量化級(jí)數(shù)，線性度，采樣保持）采樣的可逆性：x[n]xc(t)------采樣的條件（輸入信號(hào)的限制）4.1周期采樣（Periodicsampling）數(shù)學(xué)表示（兩步）：沖擊串調(diào)制器+沖擊串到序列的轉(zhuǎn)換器xs(t)與x[n]區(qū)別連續(xù)，離散時(shí)間歸一化沖擊面積，有限數(shù)值數(shù)學(xué)表示（兩步）：沖擊串調(diào)制器+沖擊串到序列的轉(zhuǎn)換器xs(t4.2采樣的頻域表示數(shù)學(xué)上表示采樣的兩步：第一步：xc(t)xs(t)第二步：xs(t)

x[n]首先考慮第一步，周期沖擊串調(diào)制：由沖擊函數(shù)的篩選性：

4.2采樣的頻域表示xs(t)的傅立葉變換根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)：時(shí)域相乘頻域卷積先求S(jΩ)，由傅里葉變換特性s(t)周期沖擊串S(jΩ)周期沖擊串即：

xs(t)的傅立葉變換證明：因?yàn)閟(t)為周期函數(shù)，用傅立葉級(jí)數(shù)可表示為：

由于t的區(qū)間：-1/T~1/T證明：

Xc(jΩ)與Xs(jΩ)的關(guān)系周期重復(fù)疊加

Xs(jΩ)重復(fù)部分不重疊的條件：Ωs-ΩN>ΩN或：Ωs>2ΩN結(jié)果：低通濾波器恢復(fù)出Xc(jΩ)xc(t)

混疊aliasingXs(jΩ)重復(fù)部分混疊aliasing

Xr(jΩ)=Hr(jΩ)Xs(jΩ)，若

ΩN<Ωc<(Ωs-ΩN

)，有 Xr(jΩ)=Xc(jΩ)Xr(jΩ)=Hr(jΩ)Xs(jΩ)，若ΩN<例子：xc(t)=cosΩ0t

xc(t)=cosΩ0txc(t)=cos(Ωs-Ω0)t例子：xc(t)=cosΩ0txc(t)=cosΩ0ΩN

----NyquistFrequency2ΩN

----NyquistRate采樣頻率必須大于NyquistRate第二步：xs(t)

x[n]也就是Xs(jΩ)，Xc(jΩ)X(ejω)x[n]考慮Xs(jΩ)的另一種表示形式

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件對(duì)其做傅立葉變換：

由于

對(duì)其做傅立葉變換：最終可得：

最終可得：從Xs(jΩ)X(ejω)表示頻率尺度變換：ω=ΩT

頻率軸歸一化

Xs(jΩ)----Ω=Ωs

X(ejω)----ω=2π頻率軸歸一化對(duì)應(yīng)于時(shí)間軸的采樣周期T的歸一化。x[n]的間隔為1例：一個(gè)正弦信號(hào)的采樣與重建

T=1/6000有其中ω0=4000πT=2π/3,

Ωs=2π/T=12000π

xc(t)=cos(4000πt)x[n]=xc(nT)=cos(4000πTn)=cos(ω0n)從Xs(jΩ)X(ejω)表示頻率尺度變換：ω=ΩT 信號(hào)的最高頻率ΩN=4000π，滿足Nyquiest定理，沒(méi)有混疊。其傅立葉變換為：在Ωs=12000π時(shí)

信號(hào)的最高頻率ΩN=4000π，滿足Nyquiest定理，4.3由樣本重構(gòu)帶限信號(hào)由x[n](恢復(fù))xc(t)見(jiàn)圖4.44.3由樣本重構(gòu)帶限信號(hào)Xc(jΩ)=Xr(jΩ)=Hr(jΩ)Xs(jΩ)Xs(jΩ)=X(ejΩT),X(ejω)xc(t)=xr(t)=hr(t)＊xs(t)xs(t)=x[n]有前知，Xc(jΩ)=Xr(jΩ)=Hr(jΩ)Xs(jΩ理想重構(gòu)濾波器增益為T(mén)（補(bǔ)償作用） 截止頻率為Ωc，取Ωc=Ωs/2=π/T

理想重構(gòu)濾波器增益為T(mén)（補(bǔ)償作用）第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件理想離散到連續(xù)時(shí)間轉(zhuǎn)換器（D/C）頻域輸入輸出關(guān)系理想離散到連續(xù)時(shí)間轉(zhuǎn)換器（D/C）4.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理過(guò)程的數(shù)學(xué)表示：C/D轉(zhuǎn)換器：x[n]=xc(nT)傅立葉變換的關(guān)系：D/C轉(zhuǎn)換器輸出：4.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理4.4.1線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)如果上圖連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的離散時(shí)間系統(tǒng)是線性和時(shí)不變的，有

Y(ejω)=H(ejω)X(ejω)H(ejω)----系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換）X(ejω)，Y(ejω)------輸入輸出的傅立葉變換考慮D/C轉(zhuǎn)換器的濾波器Hr(jΩ):

Yr(jΩ)=Hr(jΩ)H(ejΩT)X(ejΩT)再考慮C/D轉(zhuǎn)換器的傅立葉變換的關(guān)系，并用ω=ΩT得到連續(xù)系統(tǒng)輸入、輸出的頻域關(guān)系：4.4.1線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)如果輸入是帶限的，經(jīng)過(guò)D/C理想低通重構(gòu)濾波器，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出頻域關(guān)系：或?qū)憺椋菏街蠬eff(jΩ)

為有效頻率響應(yīng)（effectivefrequencyresponse）表示：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（等效）線性時(shí)不變系統(tǒng)

如果輸入是帶限的，經(jīng)過(guò)D/C理想低通重構(gòu)濾波器，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)4.4.2脈沖響應(yīng)不變（Impulseinvariance）已知連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（實(shí)現(xiàn)）離散時(shí)間系統(tǒng)也就是：Hc(jΩ)H(ejω)本節(jié)討論：hc(t)h[n]關(guān)系4.4.2脈沖響應(yīng)不變（Impulseinvarianc實(shí)現(xiàn)的頻域表示：實(shí)現(xiàn)的時(shí)域關(guān)系： 由連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣，用h[n],hc(t)代替x[n],xc(t)考慮幅度因子T,

脈沖響應(yīng)不變

實(shí)現(xiàn)的頻域表示：例：連續(xù)理想低通濾波器（沖擊響應(yīng)不變）離散理想低通濾波器

Ωc=ωc/T<π/T ωc<π也就是用得到

H(ejω)與Hc(jω/T)的特性相同

例：連續(xù)理想低通濾波器（沖擊響應(yīng)不變）離散理想低通濾波器例：脈沖響應(yīng)不變法用于具有有理系統(tǒng)函數(shù)形式的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：其單位沖擊響應(yīng)：用于沖擊響應(yīng)不變法：得到離散系統(tǒng)的z變換和頻率響應(yīng)：是Hc(jΩ)的混疊結(jié)果，除非Hc(jΩ)是帶限的。作為數(shù)字濾波器的一種設(shè)計(jì)方法。例：脈沖響應(yīng)不變法用于具有有理系統(tǒng)函數(shù)形式的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)4.5離散時(shí)間信號(hào)的連續(xù)時(shí)間處理4.6利用離散時(shí)間處理改變采樣率改變x[n]=xc(nT)的采樣率TT’

x’[n]=xc(nT’)一種方法：x[n]（恢復(fù)，重構(gòu)）xc(t)（周期采樣，T’）x’[n]

非理想模擬重構(gòu)濾波器、A/D、D/A

考慮直接用離散時(shí)間的算法，即直接對(duì)x[n]4.6.1采樣率按整數(shù)因子減小

xd[n]=x[nM]=xc(nMT)采樣率壓縮器（samplingratecompressor）如果Xc(jΩ)=0,|Ω|>ΩN

并且π/T’=π/(MT)≥

ΩN

xd[n]

xc(t)

減采樣（downsampling）

4.5離散時(shí)間信號(hào)的連續(xù)時(shí)間處理減采樣前后的傅立葉變換之間關(guān)系x[n]=xc(nT)的傅里葉變換xd[n]=x[nM]=xc(nT’)=xc(nMT)的傅里葉變換即將求和指數(shù)r表示為:r=i+kM，i

和k均為整數(shù)若－∞<k<∞和0≤i≤

M-1－∞<r<∞

減采樣前后的傅立葉變換之間關(guān)系上式可寫(xiě)為：方括號(hào)項(xiàng)：減采樣前后的傅立葉變換關(guān)系：Xd(ejω)的兩個(gè)解釋：（1）與Xc(jΩ)的關(guān)系：ω=ΩT’，2π/T’周期重復(fù)（疊加）（2）與X(ejω)的關(guān)系：頻率M倍擴(kuò)展，2π/M整數(shù)倍移位，M個(gè)周期疊加

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件Xd(ejω)的性質(zhì)： 周期性，周期為2π

若X

(ejω)帶限，即 和2π/M≥2ωN，不產(chǎn)生混疊

Xd(ejω)的性質(zhì)：

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件M因子減采樣時(shí)不產(chǎn)生混疊的條件：

ωNM<π

或ωN<π/M如果不能滿足上面的條件，則可以在減采樣前減小信號(hào)x[n]的帶寬。但減采樣后的序列已不再代表原來(lái)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，盡管在減采樣過(guò)程中沒(méi)有產(chǎn)生混疊。M因子減采樣時(shí)不產(chǎn)生混疊的條件：

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件4.6.2采樣率按整數(shù)因子增加

x[n]的采樣率增加L倍，xi[n]為：

xi[n]=xc(nT’) 其中的采樣率T’=T/L

關(guān)心

xi[n]

x[n]

增采樣（upsampling）

采樣擴(kuò)展器（samplingrateexpander）（左邊）

4.6.2采樣率按整數(shù)因子增加擴(kuò)展器的輸出為：系統(tǒng)右邊：低通離散時(shí)間濾波器（截止頻率π/L，增益L）頻域解釋（upsampling）

擴(kuò)展器的輸出為：

π/T=ΩNπ/T=ΩN

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件具體由x[n]xi[n]內(nèi)插公式低通濾波器單位脈沖響應(yīng)濾波后輸出：?jiǎn)挝幻}沖響應(yīng)hi[n]有：表示：在n=0,±L,±2L,…上x(chóng)i[n]與x[n]相等，在其它n，xi[n]由內(nèi)插公式求得。與真正xc(t)采樣得到的xc[nT’]完全相同。

內(nèi)插公式具體由x[n]xi[n]內(nèi)插公式內(nèi)插公式實(shí)際中使用簡(jiǎn)單的線性內(nèi)插：相應(yīng)濾波器的內(nèi)插輸出：

實(shí)際中使用簡(jiǎn)單的線性內(nèi)插：線性內(nèi)插濾波器與理想低通內(nèi)插濾波器的頻率響應(yīng)：說(shuō)明：在n=0,±L,±2L,…點(diǎn)上x(chóng)lin[n]與x[n]相等，在其它n，xlin[n]與真正xc(t)采樣得到的xc[nT’]不同。相同程度取決x

[n]序列的原采樣率，原采樣率越高，xlin[n]越逼近。

線性內(nèi)插濾波器與理想低通內(nèi)插濾波器的頻率響應(yīng)：4.6.3采樣率按非整數(shù)因子變化T’=TM/L

4.6.3采樣率按非整數(shù)因子變化4.7多采樣率信號(hào)處理（multiratesignalprocessing）4.8模擬信號(hào)的數(shù)字處理理想情況：輸入帶限+Nyquist抽樣離散系統(tǒng)====連續(xù)系統(tǒng)實(shí)際情況：非帶限、非理想濾波器、C/D和D/C的近似性實(shí)際模型

4.7多采樣率信號(hào)處理（multiratesignal4.8.1消除混疊的預(yù)濾波（抗混疊低通濾波）輸入信號(hào)頻帶與采樣率的矛盾采樣率盡可能低噪聲的混入（高頻，混疊）措施：抗混疊低通濾波（antialiasingfilter）濾波器的頻率響應(yīng)：

4.8.1消除混疊的預(yù)濾波（抗混疊低通濾波）抗混疊低通濾波器：模擬，銳截止，非線性相位，實(shí)際實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波器：容易實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)方法：簡(jiǎn)單模擬抗混疊濾波C/D數(shù)字濾波降采樣

MΩN

π/M

M

抗混疊低通濾波器：模擬，銳截止，非線性相位，實(shí)際實(shí)現(xiàn)第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件4.8.2模擬到數(shù)字轉(zhuǎn)換（A/D）量化器（數(shù)字信號(hào)的量化誤差），編碼器4.8.2模擬到數(shù)字轉(zhuǎn)換（A/D）

第四章習(xí)題4.1，4.2，4.3，4.4，4.5，4.6，4.8，4.9，4.13，4.14，4.15，4.17紅色題不做。 第四章習(xí)題第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣SamplingofContinuous-TimeSignals第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣SamplingofConti4.0引言離散時(shí)間信號(hào)實(shí)際存在或連續(xù)時(shí)間信號(hào)采樣（常見(jiàn)）問(wèn)題：連續(xù)時(shí)間信號(hào)離散時(shí)間信號(hào)的完全準(zhǔn)確表示（包含全部信息）決定因素：采樣率（samplingrate）,采樣周期、采樣頻率方法：時(shí)域？頻域！恢復(fù)（表明問(wèn)題的方法）：離散時(shí)間信號(hào)（恢復(fù)）連續(xù)時(shí)間信號(hào) 或稱重構(gòu)4.0引言4.1周期采樣（Periodicsampling）xc(t)----連續(xù)時(shí)間信號(hào)周期采樣后得到樣本序列：x[n]=xc(nT),－∞＜

n

＜

∞T---采樣周期，等間隔采樣；fs

=1/T---采樣頻率---Ωs=2π/T（弧度/秒）理想（C/D）轉(zhuǎn)換器（ContinuoustoDiscrete）：實(shí)際實(shí)現(xiàn)：理想轉(zhuǎn)換器的一種近似， A/D轉(zhuǎn)換器，AnalogtoDigital

（量化級(jí)數(shù)，線性度，采樣保持）采樣的可逆性：x[n]xc(t)------采樣的條件（輸入信號(hào)的限制）4.1周期采樣（Periodicsampling）數(shù)學(xué)表示（兩步）：沖擊串調(diào)制器+沖擊串到序列的轉(zhuǎn)換器xs(t)與x[n]區(qū)別連續(xù)，離散時(shí)間歸一化沖擊面積，有限數(shù)值數(shù)學(xué)表示（兩步）：沖擊串調(diào)制器+沖擊串到序列的轉(zhuǎn)換器xs(t4.2采樣的頻域表示數(shù)學(xué)上表示采樣的兩步：第一步：xc(t)xs(t)第二步：xs(t)

x[n]首先考慮第一步，周期沖擊串調(diào)制：由沖擊函數(shù)的篩選性：

4.2采樣的頻域表示xs(t)的傅立葉變換根據(jù)傅立葉變換的性質(zhì)：時(shí)域相乘頻域卷積先求S(jΩ)，由傅里葉變換特性s(t)周期沖擊串S(jΩ)周期沖擊串即：

xs(t)的傅立葉變換證明：因?yàn)閟(t)為周期函數(shù)，用傅立葉級(jí)數(shù)可表示為：

由于t的區(qū)間：-1/T~1/T證明：

Xc(jΩ)與Xs(jΩ)的關(guān)系周期重復(fù)疊加

Xs(jΩ)重復(fù)部分不重疊的條件：Ωs-ΩN>ΩN或：Ωs>2ΩN結(jié)果：低通濾波器恢復(fù)出Xc(jΩ)xc(t)

混疊aliasingXs(jΩ)重復(fù)部分混疊aliasing

Xr(jΩ)=Hr(jΩ)Xs(jΩ)，若

ΩN<Ωc<(Ωs-ΩN

)，有 Xr(jΩ)=Xc(jΩ)Xr(jΩ)=Hr(jΩ)Xs(jΩ)，若ΩN<例子：xc(t)=cosΩ0t

xc(t)=cosΩ0txc(t)=cos(Ωs-Ω0)t例子：xc(t)=cosΩ0txc(t)=cosΩ0ΩN

----NyquistFrequency2ΩN

----NyquistRate采樣頻率必須大于NyquistRate第二步：xs(t)

x[n]也就是Xs(jΩ)，Xc(jΩ)X(ejω)x[n]考慮Xs(jΩ)的另一種表示形式

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件對(duì)其做傅立葉變換：

由于

對(duì)其做傅立葉變換：最終可得：

最終可得：從Xs(jΩ)X(ejω)表示頻率尺度變換：ω=ΩT

頻率軸歸一化

Xs(jΩ)----Ω=Ωs

X(ejω)----ω=2π頻率軸歸一化對(duì)應(yīng)于時(shí)間軸的采樣周期T的歸一化。x[n]的間隔為1例：一個(gè)正弦信號(hào)的采樣與重建

T=1/6000有其中ω0=4000πT=2π/3,

Ωs=2π/T=12000π

xc(t)=cos(4000πt)x[n]=xc(nT)=cos(4000πTn)=cos(ω0n)從Xs(jΩ)X(ejω)表示頻率尺度變換：ω=ΩT 信號(hào)的最高頻率ΩN=4000π，滿足Nyquiest定理，沒(méi)有混疊。其傅立葉變換為：在Ωs=12000π時(shí)

信號(hào)的最高頻率ΩN=4000π，滿足Nyquiest定理，4.3由樣本重構(gòu)帶限信號(hào)由x[n](恢復(fù))xc(t)見(jiàn)圖4.44.3由樣本重構(gòu)帶限信號(hào)Xc(jΩ)=Xr(jΩ)=Hr(jΩ)Xs(jΩ)Xs(jΩ)=X(ejΩT),X(ejω)xc(t)=xr(t)=hr(t)＊xs(t)xs(t)=x[n]有前知，Xc(jΩ)=Xr(jΩ)=Hr(jΩ)Xs(jΩ理想重構(gòu)濾波器增益為T(mén)（補(bǔ)償作用） 截止頻率為Ωc，取Ωc=Ωs/2=π/T

理想重構(gòu)濾波器增益為T(mén)（補(bǔ)償作用）第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件理想離散到連續(xù)時(shí)間轉(zhuǎn)換器（D/C）頻域輸入輸出關(guān)系理想離散到連續(xù)時(shí)間轉(zhuǎn)換器（D/C）4.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理過(guò)程的數(shù)學(xué)表示：C/D轉(zhuǎn)換器：x[n]=xc(nT)傅立葉變換的關(guān)系：D/C轉(zhuǎn)換器輸出：4.4連續(xù)時(shí)間信號(hào)的離散時(shí)間處理4.4.1線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)如果上圖連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中的離散時(shí)間系統(tǒng)是線性和時(shí)不變的，有

Y(ejω)=H(ejω)X(ejω)H(ejω)----系統(tǒng)的頻率響應(yīng)（單位脈沖響應(yīng)的傅立葉變換）X(ejω)，Y(ejω)------輸入輸出的傅立葉變換考慮D/C轉(zhuǎn)換器的濾波器Hr(jΩ):

Yr(jΩ)=Hr(jΩ)H(ejΩT)X(ejΩT)再考慮C/D轉(zhuǎn)換器的傅立葉變換的關(guān)系，并用ω=ΩT得到連續(xù)系統(tǒng)輸入、輸出的頻域關(guān)系：4.4.1線性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)如果輸入是帶限的，經(jīng)過(guò)D/C理想低通重構(gòu)濾波器，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的輸入輸出頻域關(guān)系：或?qū)憺椋菏街蠬eff(jΩ)

為有效頻率響應(yīng)（effectivefrequencyresponse）表示：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（等效）線性時(shí)不變系統(tǒng)

如果輸入是帶限的，經(jīng)過(guò)D/C理想低通重構(gòu)濾波器，連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)4.4.2脈沖響應(yīng)不變（Impulseinvariance）已知連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)（實(shí)現(xiàn)）離散時(shí)間系統(tǒng)也就是：Hc(jΩ)H(ejω)本節(jié)討論：hc(t)h[n]關(guān)系4.4.2脈沖響應(yīng)不變（Impulseinvarianc實(shí)現(xiàn)的頻域表示：實(shí)現(xiàn)的時(shí)域關(guān)系： 由連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣，用h[n],hc(t)代替x[n],xc(t)考慮幅度因子T,

脈沖響應(yīng)不變

實(shí)現(xiàn)的頻域表示：例：連續(xù)理想低通濾波器（沖擊響應(yīng)不變）離散理想低通濾波器

Ωc=ωc/T<π/T ωc<π也就是用得到

H(ejω)與Hc(jω/T)的特性相同

例：連續(xù)理想低通濾波器（沖擊響應(yīng)不變）離散理想低通濾波器例：脈沖響應(yīng)不變法用于具有有理系統(tǒng)函數(shù)形式的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：其單位沖擊響應(yīng)：用于沖擊響應(yīng)不變法：得到離散系統(tǒng)的z變換和頻率響應(yīng)：是Hc(jΩ)的混疊結(jié)果，除非Hc(jΩ)是帶限的。作為數(shù)字濾波器的一種設(shè)計(jì)方法。例：脈沖響應(yīng)不變法用于具有有理系統(tǒng)函數(shù)形式的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)4.5離散時(shí)間信號(hào)的連續(xù)時(shí)間處理4.6利用離散時(shí)間處理改變采樣率改變x[n]=xc(nT)的采樣率TT’

x’[n]=xc(nT’)一種方法：x[n]（恢復(fù)，重構(gòu)）xc(t)（周期采樣，T’）x’[n]

非理想模擬重構(gòu)濾波器、A/D、D/A

考慮直接用離散時(shí)間的算法，即直接對(duì)x[n]4.6.1采樣率按整數(shù)因子減小

xd[n]=x[nM]=xc(nMT)采樣率壓縮器（samplingratecompressor）如果Xc(jΩ)=0,|Ω|>ΩN

并且π/T’=π/(MT)≥

ΩN

xd[n]

xc(t)

減采樣（downsampling）

4.5離散時(shí)間信號(hào)的連續(xù)時(shí)間處理減采樣前后的傅立葉變換之間關(guān)系x[n]=xc(nT)的傅里葉變換xd[n]=x[nM]=xc(nT’)=xc(nMT)的傅里葉變換即將求和指數(shù)r表示為:r=i+kM，i

和k均為整數(shù)若－∞<k<∞和0≤i≤

M-1－∞<r<∞

減采樣前后的傅立葉變換之間關(guān)系上式可寫(xiě)為：方括號(hào)項(xiàng)：減采樣前后的傅立葉變換關(guān)系：Xd(ejω)的兩個(gè)解釋：（1）與Xc(jΩ)的關(guān)系：ω=ΩT’，2π/T’周期重復(fù)（疊加）（2）與X(ejω)的關(guān)系：頻率M倍擴(kuò)展，2π/M整數(shù)倍移位，M個(gè)周期疊加

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件Xd(ejω)的性質(zhì)： 周期性，周期為2π

若X

(ejω)帶限，即 和2π/M≥2ωN，不產(chǎn)生混疊

Xd(ejω)的性質(zhì)：

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件M因子減采樣時(shí)不產(chǎn)生混疊的條件：

ωNM<π

或ωN<π/M如果不能滿足上面的條件，則可以在減采樣前減小信號(hào)x[n]的帶寬。但減采樣后的序列已不再代表原來(lái)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，盡管在減采樣過(guò)程中沒(méi)有產(chǎn)生混疊。M因子減采樣時(shí)不產(chǎn)生混疊的條件：

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件

第四章連續(xù)時(shí)間信號(hào)的采樣課件4.6.2采樣率按整數(shù)因子增加

x[n]的采樣率增加L倍，xi[n]為：

xi[n]=xc(nT’) 其中的采樣率T’=T/L

關(guān)心

xi[n]

x[n]

增采樣（upsampling）

采樣擴(kuò)展器（samplingrateexpander）（左邊）

4.6.