2023學(xué)年北京市西城區(qū)回民學(xué)校高三（最后沖刺）數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知不同直線、與不同平面、，且，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則2．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若對(duì)，恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．把滿足條件（1），，（2），，使得的函數(shù)稱為“D函數(shù)”，下列函數(shù)是“D函數(shù)”的個(gè)數(shù)為（）①②③④⑤A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．已知是的共軛復(fù)數(shù),則（）A． B． C． D．5．若不相等的非零實(shí)數(shù)，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列，則（）A． B． C．2 D．6．波羅尼斯（古希臘數(shù)學(xué)家，的公元前262-190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡，幾乎使后人沒(méi)有插足的余地．他證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)k（k＞0，且k≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱為阿波羅尼斯圓．現(xiàn)有橢圓=1（a＞b＞0），A，B為橢圓的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，C，D為橢圓的短軸端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足=2，△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．函數(shù)圖象的大致形狀是（）A． B．C． D．8．已知點(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上且滿足，若取得最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的橢圓上，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．10．設(shè)是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．11．已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，其中三視圖的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，且，則此三棱錐外接球表面積的最小值為（）A． B． C． D．12．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則其共軛復(fù)數(shù)（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程在定義域上有四個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.14．某校高三年級(jí)共有名學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)（滿分分），已知這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)均不低于分，將這名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)分組如下：，，，，，，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則下列說(shuō)法中正確的是________（填序號(hào)）．①；②這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠韵碌娜藬?shù)為；③這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)約為；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為．15．已知圓，直線與圓交于兩點(diǎn)，，若，則弦的長(zhǎng)度的最大值為___________.16．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓C1：x2＋（y－1）2＝r2（r>0）上存在點(diǎn)P，且點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q在圓C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1上，則r的取值范圍是________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為．（l）求直線的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程：（2）若直線與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，且．求直線的方程．18．（12分）如圖，直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，分別為，的中點(diǎn)，為棱上一點(diǎn)，若平面.（1）求線段的長(zhǎng)；（2）求二面角的余弦值.19．（12分）已知數(shù)列{an}滿足條件，且an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，n∈N*．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝，Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求證：Sn．20．（12分）已知，，函數(shù)的最小值為.（1）求證：；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.21．（12分）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且.（Ｉ）求角的大??；（Ⅱ）若，求面積的取值范圍.22．（10分）選修4-5：不等式選講已知函數(shù).（1）設(shè)，求不等式的解集；（2）已知，且的最小值等于，求實(shí)數(shù)的值.

2023學(xué)年模擬測(cè)試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【答案解析】

根據(jù)空間中平行關(guān)系、垂直關(guān)系的相關(guān)判定和性質(zhì)可依次判斷各個(gè)選項(xiàng)得到結(jié)果.【題目詳解】對(duì)于，若，則可能為平行或異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，則可能為平行、相交或異面直線，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，且，由面面垂直的判定定理可知，正確；對(duì)于，若，只有當(dāng)垂直于的交線時(shí)才有，錯(cuò)誤.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查空間中線面關(guān)系、面面關(guān)系相關(guān)命題的辨析，關(guān)鍵是熟練掌握空間中的平行關(guān)系與垂直關(guān)系的相關(guān)命題.2．A【答案解析】

先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)是偶函數(shù).，即，又，所以，.函數(shù)的定義域?yàn)?，所以，則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).又在上，，所以為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.由，可得，對(duì)恒成立，則，對(duì)恒成立，，得，所以的取值范圍是.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，屬壓軸題.3．B【答案解析】

滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，分別對(duì)所給函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證.【題目詳解】滿足（1）（2）的函數(shù)是偶函數(shù)且值域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，①不滿足（2）；②不滿足（1）；③不滿足（2）；④⑤均滿足（1）（2）.故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查新定義函數(shù)的問(wèn)題，涉及到函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生邏輯推理與分析能力，是一道容易題.4．A【答案解析】

先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則求出的值，再利用共軛復(fù)數(shù)的定義求出a+bi，從而確定a，b的值，求出a+b．【題目詳解】i，∴a+bi＝﹣i，∴a＝0，b＝﹣1，∴a+b＝﹣1，故選：A．【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了共軛復(fù)數(shù)的概念，是基礎(chǔ)題．5．A【答案解析】

由題意，可得，，消去得,可得，繼而得到，代入即得解【題目詳解】由，，成等差數(shù)列，所以，又，，成等比數(shù)列，所以，消去得，所以，解得或，因?yàn)?，，是不相等的非零?shí)數(shù)，所以，此時(shí)，所以．故選：A【答案點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用，考查了學(xué)生概念理解，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.6．D【答案解析】

求得定點(diǎn)M的軌跡方程可得，解得a，b即可.【題目詳解】設(shè)A（-a，0），B（a，0），M（x，y）．∵動(dòng)點(diǎn)M滿足=2，則=2，化簡(jiǎn)得.∵△MAB面積的最大值為8，△MCD面積的最小值為1，∴，解得，∴橢圓的離心率為．故選D．【答案點(diǎn)睛】本題考查了橢圓離心率，動(dòng)點(diǎn)軌跡，屬于中檔題．7．B【答案解析】

判斷函數(shù)的奇偶性，可排除A、C，再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小，即可得出答案.【題目詳解】解：因?yàn)椋?，所以函?shù)是奇函數(shù)，可排除A、C；又當(dāng)，，可排除D；故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像，屬于中檔題.8．B【答案解析】

設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)求出的最大值時(shí)的點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合橢圓的定義以及橢圓的離心率公式求解即可.【題目詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，所以，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，，點(diǎn)在以為焦點(diǎn)的橢圓上，，由橢圓的定義得，所以橢圓的離心率，故選B.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的定義及離心率，屬于難題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來(lái)求解．9．D【答案解析】

先根據(jù)三視圖還原幾何體是一個(gè)四棱錐，根據(jù)三視圖的數(shù)據(jù)，計(jì)算各棱的長(zhǎng)度.【題目詳解】根據(jù)三視圖可知，幾何體是一個(gè)四棱錐，如圖所示：由三視圖知：，所以，所以，所以該幾何體的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為故選：D【答案點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖的應(yīng)用，還考查了空間想象和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.10．A【答案解析】

利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算可求得結(jié)果.【題目詳解】由復(fù)數(shù)的乘法法則得.故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．B【答案解析】

根據(jù)三視圖得到幾何體為一三棱錐，并以該三棱錐構(gòu)造長(zhǎng)方體，于是得到三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，進(jìn)而得到外接球的半徑，求得外接球的面積后可求出最小值．【題目詳解】由已知條件及三視圖得，此三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)位于長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)，即為三棱錐，且長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，∴此三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，且球半徑為，∴三棱錐外接球表面積為，∴當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，三棱錐外接球的表面積取得最小值為．故選B．【答案點(diǎn)睛】（1）解決關(guān)于外接球的問(wèn)題的關(guān)鍵是抓住外接的特點(diǎn)，即球心到多面體的頂點(diǎn)的距離都等于球的半徑，同時(shí)要作一圓面起襯托作用．（2）長(zhǎng)方體的外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，對(duì)于一些比較特殊的三棱錐，在研究其外接球的問(wèn)題時(shí)可考慮通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體，通過(guò)長(zhǎng)方體的外球球來(lái)研究三棱錐的外接球的問(wèn)題．12．B【答案解析】

先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法計(jì)算出，然后再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念直接寫出即可.【題目詳解】由，所以其共軛復(fù)數(shù).故選：B.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算以及共軛復(fù)數(shù)的概念，難度較易.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

由題意可在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，運(yùn)用參變分離和構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值，畫出函數(shù)圖象，即可得到所求范圍.【題目詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個(gè)不同的解等價(jià)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立可得有兩個(gè)解，即可設(shè)，則，進(jìn)而且不恒為零，可得在單調(diào)遞增.由可得時(shí)，單調(diào)遞減；時(shí)，單調(diào)遞增，即在處取得極小值且為作出的圖象，可得時(shí)，有兩個(gè)解.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問(wèn)題，還考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于難題.14．②③【答案解析】

由頻率分布直方圖可知，解得，故①不正確；這名學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜忠韵碌娜藬?shù)為，故②正確；設(shè)這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為，則，解得，故③正確；④這名學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)為，故④不正確．綜上，說(shuō)法正確的序號(hào)是②③．15．【答案解析】

取的中點(diǎn)為M，由可得，可得M在上，當(dāng)最小時(shí)，弦的長(zhǎng)才最大.【題目詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，，即，即，，.設(shè)，則，得.所以，.故答案為：【答案點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯推理、數(shù)形結(jié)合的思想，是一道有一定難度的題.16．【答案解析】

設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P（x0，y0），則Q（y0，x0），分別滿足兩個(gè)圓的方程，列出方程組，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)新圓有公共點(diǎn)求參數(shù)范圍.【題目詳解】設(shè)圓C1上存在點(diǎn)P（x0，y0）滿足題意，點(diǎn)P關(guān)于直線x－y＝0的對(duì)稱點(diǎn)Q（y0，x0），則，故只需圓x2＋（y－1）2＝r2與圓（x－1）2＋（y－2）2＝1有交點(diǎn)即可，所以|r－1|≤≤r＋1，解得.故答案為：【答案點(diǎn)睛】此題考查圓與圓的位置關(guān)系，其中涉及點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)問(wèn)題，兩個(gè)圓有公共點(diǎn)的判定方式.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．(1)見解析(2)【答案解析】

（1）將消去參數(shù)t可得直線的普通方程，利用x=ρcosθ，可將極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)為直角坐標(biāo)方程．（2）利用直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式計(jì)算可得答案．【題目詳解】（1）由消去參數(shù)t得（），由得曲線C的直角坐標(biāo)方程為：（2）由得，圓心為（1，0），半徑為2，圓心到直線的距離為，∴，即，整理得，∵，∴，，，所以直線l的方程為：．【答案點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的互化，考查直線被圓截得的弦長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查分析能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．18．（1）（2）【答案解析】

（1）先證得，設(shè)與交于點(diǎn)，在中解直角三角形求得，由此求得的值.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計(jì)算出二面角的余弦值.【題目詳解】（1）由題意，，設(shè)與交于點(diǎn)，在中，可求得，則，可求得，則（2）以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系.，，，，，易得平面的法向量為.，，易得平面的法向量為.設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，所以.即二面角的余弦值為.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)線面垂直求邊長(zhǎng)，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19．（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析【答案解析】

（Ⅰ）由an+2＝（﹣1）n（an﹣1）+2an+1，對(duì)分奇偶討論，即可得；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，用錯(cuò)位相減法求出，運(yùn)用分析法證明即可.【題目詳解】（Ⅰ），當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，又由，得，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，又由a2＝3，得，；（Ⅱ）由（1）得，則①②①-②可得：，，若證明Sn，則需要證明，又，即證明，即證，又顯然成立，故Sn得證.【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了由遞推公式求通項(xiàng)公式，錯(cuò)位相減法求前項(xiàng)和，分析法證明不等式，考查了分類討論的思想，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.20．（1）見解析；（2）最大值為.【答案解析】

（1）將函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求出該函數(shù)的最小值，進(jìn)而可證得