縮放圓法巧解磁場中粒子運(yùn)動的臨界問題

..高中物理縮放圓法巧解磁場中粒子運(yùn)動的臨界問題編稿老師劉汝發(fā)一校楊雪二校黃楠審核王紅仙一、考點(diǎn)突破：知識點(diǎn)考綱要求題型說明縮放圓法巧解磁場中粒子運(yùn)動的臨界問題進(jìn)一步熟悉粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心、半徑,及軌跡的確定方法；理解縮放圓法確定臨界的技巧；理解移動圓法確定臨界的技巧。選擇題、計算題本知識點(diǎn)屬于高考重點(diǎn)難點(diǎn),縮放圓和旋轉(zhuǎn)圓是確定臨界非常有效的方法,在考查同學(xué)們想象能力的同時,也考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,因此高考命題者對這種方法情有獨(dú)鐘。二、重難點(diǎn)提示：重點(diǎn)：1.粒子在磁場中做圓周運(yùn)動的圓心、半徑及軌跡的確定方法；2.縮放圓法和移動圓法確定臨界的技巧。難點(diǎn)：縮放圓法和移動圓法確定臨界的技巧。一、帶電粒子在有界磁場中的運(yùn)動這類問題綜合性較強(qiáng),解答時既要用到物理中的洛倫茲力、圓周運(yùn)動的知識,又要用到數(shù)學(xué)中的平面幾何中圓及解析幾何知識。1.一個基本思路：定圓心、找半徑、畫軌跡、求時間〔1圓心的確定：因為洛倫茲力F指向圓心,根據(jù)Fv畫出粒子運(yùn)動軌跡中任意兩點(diǎn)〔一般是射入和射出磁場兩點(diǎn)的F的方向,沿兩個洛倫茲力F畫其延長線,兩延長線的交點(diǎn)即為圓心；或利用圓心位置必定在圓中一根弦的中垂線上,作出圓心位置?！?半徑的確定和計算：qvB＝m,R＝或是利用平面幾何關(guān)系,求出該圓的可能半徑〔或圓心角?！?粒子在磁場中運(yùn)動時間的確定：由公式,或?？汕蟪隽Ｗ釉诖艌鲋械倪\(yùn)動時間。2.兩個重要結(jié)論〔1如下圖,帶電粒子以速度v指向圓形磁場的圓心入射,出磁場時速度方向的反向延長線肯定經(jīng)過圓形磁場的圓心?！?粒子從圓形磁場邊界上某一點(diǎn)射入磁場區(qū)域,若粒子軌道半徑和磁場半徑相同,則粒子飛出磁場時速度方向相同；反之若從圓形磁場邊界平行射出,則粒子的軌道半徑和圓形磁場半徑相同二、解決帶電粒子在有界磁場中運(yùn)動的臨界問題的兩種方法1.軌跡圓的縮放當(dāng)入射粒子的入射方向不變而速度大小可變時,粒子做圓周運(yùn)動的圓心一定在入射點(diǎn)所受洛倫茲力所表示的射線上,但位置〔半徑R不確定,用圓規(guī)作出一系列大小不同的軌跡圖,從圓的動態(tài)變化中即可發(fā)現(xiàn)"臨界點(diǎn)"。如下圖：2.軌跡圓的旋轉(zhuǎn)當(dāng)粒子的入射速度大小確定而方向不確定時,所有不同方向入射的粒子的軌跡圓是一樣大的,只是位置繞入射點(diǎn)發(fā)生了旋轉(zhuǎn),從定圓的動態(tài)旋轉(zhuǎn)中,也容易發(fā)現(xiàn)"臨界點(diǎn)"。如下圖：例題1如圖所示,正方形abcd區(qū)域內(nèi)有垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場,O點(diǎn)是cd邊的中點(diǎn)。一個帶正電的粒子〔重力忽略不計若從O點(diǎn)沿紙面以垂直于cd邊的速度射入正方形內(nèi),經(jīng)過時間t0剛好從c點(diǎn)射出磁場?，F(xiàn)設(shè)法使該帶電粒子從O點(diǎn)沿紙面以與Od成30°角的方向〔如圖中虛線所示,以各種不同的速率射入正方形內(nèi),那么下列說法中正確的是〔A.該帶電粒子不可能剛好從正方形的某個頂點(diǎn)射出磁場B.若該帶電粒子從ab邊射出磁場,它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是t0C.若該帶電粒子從bc邊射出磁場,它在磁場中經(jīng)歷的時間可能是D.若該帶電粒子從cd邊射出磁場,它在磁場中經(jīng)歷的時間一定是思路分析：隨粒子速度逐漸增大,軌跡由①→②→③→④依次漸變,由圖可知粒子從四個邊射出時,射出范圍分別為OG、FE、DC、BA之間,不可能從四個頂點(diǎn)射出,故A正確；當(dāng)粒子從O點(diǎn)沿紙面垂直于cd邊射入正方形內(nèi),軌跡恰好為半個圓周,即時間t0剛好為半周期,從ab邊射出的粒子所用時間小于半周期〔t0,從bc邊射出的粒子所用時間小于周期〔t0,所有從cd邊射出的粒子圓心角都是,所用時間為〔即t0,故B、C錯誤,D正確。答案：AD例題2電子質(zhì)量為m,電荷量為e,從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限,射入時速度方向不同,速度大小均為v0,如圖所示?，F(xiàn)在某一區(qū)域加一方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上,熒光屏與y軸平行,求：〔1熒光屏上光斑的長度；〔2所加磁場范圍的最小面積。思路分析：本題可先作出這些射入第一象限的電子做圓周運(yùn)動的軌道圓心的集合,必在弧O1O2上〔如下圖所示,然后設(shè)想以該弧上的各點(diǎn)〔如圖中的O2等四點(diǎn)為圓心作出粒子運(yùn)動的軌跡,最終垂直射到MN上的PQ間,所以熒光屏上光斑的長度即為PQ＝R＝mv0/eB；所加磁場范圍即為圖中由弧OO4O3O所圍的區(qū)域,其中弧O3O4可看成是由弧O1O2向上平移R得到的?！?如圖所示,求光斑長度,關(guān)鍵是找到兩個邊界點(diǎn),初速度方向沿x軸正方向的電子,沿弧OB運(yùn)動到P；初速度方向沿y軸正方向的電子,沿弧OC運(yùn)動到Q,電子在磁場中的半徑由圖可知〔2沿任一方向射入第一象限的電子經(jīng)電場偏轉(zhuǎn)后都能垂直打到熒光屏MN上,所加最小面積的磁場的邊界是以O(shè)'〔0,R為圓心,R為半徑的圓的一部分,如圖中實線所示,所以磁場范圍的最小面積為。答案：〔1〔2[易錯警示]靜摩擦力和洛倫茲力參與情況下的臨界問題要點(diǎn)1.能否相對滑動的依據(jù)是兩物體間摩擦力是否達(dá)到最大值。2.洛倫茲力通常會影響最大靜摩擦力,但不一定影響靜摩擦力。3.常見的幾種臨界：〔1恰好滑動；〔2恰好勻速；〔3恰好無摩擦力。滿分訓(xùn)練：如圖所示,一根不光滑的長豎直絕緣桿,套有一個質(zhì)量為m,帶正電q的小球,勻強(qiáng)電場E與勻強(qiáng)磁場B互相垂直,E和B都與桿垂直,當(dāng)小球由靜止開始下落后〔A.小球加速度不斷減小,最后為零B.小球加速度先增加后減小,最后為零C.小球速度先增加后減小,最后為零D.小球動能不斷增大,直到達(dá)到某一最大值思路分析：小球下滑過程中,受到重力、摩擦力〔可能有、彈力〔可能有、向右的洛倫茲力、向右的電場力,開始階段,摩擦力小于重力時,小球向下做加速運(yùn)動時,速度增大,洛倫茲力增大,小球所受的桿的彈力向左,大小為N=qE+qvB,N隨著v的增大而增大,滑動摩擦力f=μN(yùn)也增大,小球所受的合力F合=mg-f,f增大,F合減小,加速度a減?。划?dāng)合力等于重力時,加速度最小為零；此時小球速度達(dá)到最大,以后小球?qū)⒆鰟蛩龠\(yùn)動,故選項AD正確,BC錯誤。答案：AD〔答題時間：30分鐘1.如圖所示,O點(diǎn)處有一粒子源,在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子,它們的速度大小相等、速度方向均在xOy平面內(nèi),在直線x＝a與x＝2a之間存在垂直于xOy平面向外的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場,與y軸正方向成60°角發(fā)射的粒子恰好垂直于磁場右邊界射出,不計粒子的重力和粒子間的相互作用力.關(guān)于這些粒子的運(yùn)動,下列說法正確的是〔A.粒子的速度大小為B.粒子的速度大小為C.與y軸正方向成120°角射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時間最長D.與y軸正方向成90°角射出的粒子在磁場中運(yùn)動的時間最長2.如圖所示,圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B1,P為磁場邊界上的一點(diǎn),相同的帶正電荷粒子,以相同的速率從P點(diǎn)射入磁場區(qū)域,速度方向沿位于紙面內(nèi)的各個方向,這些粒子射出邊界的位置均處于邊界的某一段弧上,這段圓弧的弧長是圓周長的。若將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小變?yōu)锽2,結(jié)果相應(yīng)的弧長變?yōu)閳A周長的,不計粒子的重力和粒子間的相互影響,則等于〔A.B.C.D.3.如圖所示,在一個邊長為l的菱形區(qū)域內(nèi),有垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,菱形的一個銳角為60o。在菱形中心有一粒子源S,向紙面內(nèi)各個方向發(fā)射速度大小相同的同種帶電粒子,這些粒子電量為q、質(zhì)量為m。如果要求菱形內(nèi)的所有區(qū)域都能夠有粒子到達(dá),則下列粒子速度能夠滿足要求的有〔A.B.C.D.4.°,AO=L,在O點(diǎn)放置一個粒子源,可以向各個方向發(fā)射某種帶負(fù)電粒子。已知粒子的比荷為,發(fā)射速度大小都為。設(shè)粒子發(fā)射方向與OC邊的夾角為,不計粒子間相互作用及重力。對于粒子進(jìn)入磁場后的運(yùn)動,下列說法正確的是〔A.當(dāng)=45°時,粒子將從AC邊射出B.所有從OA邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動時間相等C.隨著角的增大,粒子在磁場中運(yùn)動的時間先變大后變小D.在AC邊界上只有一半?yún)^(qū)域有粒子射出5.如圖所示,在x>0、y>0的空間中有恒定的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向垂直于xOy平面向里,大小為B,現(xiàn)有一質(zhì)量為m、電量為q的帶正電粒子,從在x軸上的某點(diǎn)P沿著與x軸成30°角的方向射入磁場。不計重力影響,則下列說法中正確的是〔A.粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)歷的時間可能為B.粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)歷的時間可能為C.粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)歷的時間可能為D.粒子一定不能通過坐標(biāo)原點(diǎn)6.如圖所示,在豎直放置的金屬板M上放一個放射源C,可向紙面內(nèi)各個方向射出速率均為v的粒子,P是與金屬板M平行的足夠大的熒光屏,到M的距離為d,現(xiàn)在P與金屬板M間加上垂直紙面的勻強(qiáng)磁場,調(diào)整磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小,恰使沿M板向上射出的粒子剛好垂直打在熒光屏上。若粒子的質(zhì)量為m,電荷量為2e。則〔A.磁場方向垂直紙面向里,磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為B.磁場方向垂直紙面向外,磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小為C.在熒光屏上能觀察到的亮斑區(qū)的長度為2dD.在熒光屏上能觀察到的亮斑區(qū)的長度為3d7.如圖所示,圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場,三個質(zhì)量和電荷量都相同的帶電粒子a、b、c,以不同的速率對準(zhǔn)圓心O沿著AO方向射入磁場,其運(yùn)動軌跡如圖,若帶電粒子只受磁場力的作用,則下列說法錯誤的是〔A.三個粒子都帶正電荷B.c粒子速率最小C.c粒子在磁場中運(yùn)動時間最短D.它們做圓周運(yùn)動的周期Ta=Tb=Tc8.如圖所示,半徑為的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,磁場邊界上A點(diǎn)有一粒子源,源源不斷地向磁場發(fā)射各種方向〔均平行于紙面且速度大小相等的帶正電的粒子〔重力不計,已知粒子的比荷為,速度大小為。則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為〔A.B.C.D.9.如圖甲,真空中豎直放置兩塊相距為d的平行金屬板P、Q,兩板間加上如圖乙所示,最大值為U0的周期性變化的電壓,在Q板右側(cè)某個區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的有界勻強(qiáng)磁場,在緊靠P板處有一粒子源A,自t=0開始連續(xù)釋放初速不計的粒子,經(jīng)一段時間從Q板小孔O射入磁場,然后射出磁場,射出時所有粒子的速度方向均豎直向上,已知電場變化周期T=,粒子質(zhì)量為m,電荷量為+q,不計粒子重力及相互間的作用力。求：〔1t=0時刻釋放的粒子在P、Q間運(yùn)動的時間；〔2粒子射入磁場時的最大速率和最小速率；〔3有界磁場區(qū)域的最小面積。1.AC解析：粒子在磁場中受洛倫茲力作用,做勻速圓周運(yùn)動,,由題意：與y軸正方向成60°角發(fā)射的粒子恰好垂直于磁場右邊界射出,說明該方向上的粒子勻速圓周運(yùn)動的圓心正好在2a點(diǎn)處,由幾何關(guān)系可得：Rcos60°=a；所以勻速圓周運(yùn)動的半徑R=2a,所以粒子的速度,故A正確,B錯誤；而粒子在磁場中運(yùn)動的時間由圓心角決定,根據(jù)圓的對稱性可知,粒子與y軸正方向成120°角射出時在磁場中運(yùn)動對應(yīng)的圓心角最大,故運(yùn)動時間越長,故C正確,D錯誤,故選AC。2.C解析：設(shè)磁場所在圓的半徑為r,則磁感應(yīng)強(qiáng)度為B1時,從P點(diǎn)射入的粒子與磁場邊界的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為M,最遠(yuǎn)的點(diǎn)是軌跡上直徑與磁場邊界圓的交點(diǎn),即打到圓弧上的粒子在PM之間,則∠POM=120°,如圖所示：所以粒子做圓周運(yùn)動的半徑R為：同理,磁感應(yīng)強(qiáng)度為B2時,從P點(diǎn)射入的粒子與磁場邊界的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為N,最遠(yuǎn)的點(diǎn)是軌跡上直徑與磁場邊界圓的交點(diǎn),∠PON=90°,如圖所示；所以粒子做圓周運(yùn)動的半徑R′為：,由帶電粒子做圓周運(yùn)動滿足,則得：；故選C。3.AD解析：粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動,根據(jù)牛頓第二定律,有：,解得：；則速度越大,軌道半徑越大；臨界軌跡是軌跡經(jīng)過菱形的上頂點(diǎn)〔或下頂點(diǎn)且與邊相切,如圖所示：臨界軌跡對應(yīng)的圓心角為60°,故軌道半徑為：；要想菱形內(nèi)的所有區(qū)域都能夠有粒子到達(dá),則r≥R；聯(lián)立解得：；故AD正確,BC錯誤；故選AD。4.AD解析：粒子在磁場中運(yùn)動的半徑為,當(dāng)θ=45°時,由幾何關(guān)系可知,粒子將從AC邊射出,選項A正確；所有從OA邊射出的粒子在磁場中運(yùn)動時所對應(yīng)的弧長不相等,故時間不相等,選項B錯誤；當(dāng)θ=0°飛入的粒子在磁場中,粒子恰好從AC中點(diǎn)飛出,在磁場中運(yùn)動時間也恰好是；當(dāng)θ=60°飛入的粒子在磁場中運(yùn)動時間恰好也是,是在磁場中運(yùn)動時間最長,故θ從0°到60°,粒子在磁場中運(yùn)動時間先減小后增大,當(dāng)θ從60°增大到90°過程中,粒子從OA邊射出,此時在磁場中運(yùn)動的時間逐漸減小,故C錯誤；當(dāng)θ=0°飛入的粒子在磁場中,粒子恰好從AC中點(diǎn)飛出,因此在AC邊界上只有一半?yún)^(qū)域有粒子射出,故D正確；故選AD。5.ACD解析：粒子在磁場中運(yùn)動的周期為；由于P點(diǎn)的位置不定,所以粒子在磁場中的運(yùn)動圓弧對應(yīng)的圓心角也不同,當(dāng)粒子從P點(diǎn)射入,并能從x軸上射出時,軌跡對應(yīng)的圓心角最大,此時的圓心角為300°,則運(yùn)動的時間為；而最小的圓心角為P點(diǎn)從坐標(biāo)原點(diǎn)出發(fā),圓心角為120°,所以運(yùn)動時間,故粒子在磁場中運(yùn)動所經(jīng)歷的時間為,選項AC正確,B錯誤；粒子由P點(diǎn)成30°角入射,則圓心在過P點(diǎn)與速度方向垂直的方向上,粒子在磁場中要想到達(dá)O點(diǎn),轉(zhuǎn)過的圓心角肯定大于180°,而因磁場為有界,故粒子不可能通過坐標(biāo)原點(diǎn),故D正確。6.BC解析：因為沿M板向上射出的粒子剛好垂直打在熒光屏上,由左手定則可判斷磁場方向垂直紙面向外,粒子的運(yùn)動半徑為R=d,根據(jù),解得：,選項A錯誤,B正確；沿M板向上射出的粒子,打到屏上時最遠(yuǎn)距離為d,同樣沿M板向下射出的粒