相似三角形專題

相似三角形知識(shí)點(diǎn)一（相似三角形的性質(zhì)）【知識(shí)梳理】知識(shí)點(diǎn)1：相似三角形：三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形如^ABC與4DEF相似,記作△ABCs^DEF（其中對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)要寫在對(duì)應(yīng)位置,如A與D,B與E,C與F相對(duì)應(yīng).AB:DE等于相似比.）知識(shí)點(diǎn)2：相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)線段（對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線等）的比等于相似比。知識(shí)點(diǎn)3：位似圖形的定義：如果兩個(gè)圖形不僅相似，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)并且對(duì)應(yīng)邊平行（或在同一直線上）那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心.知識(shí)點(diǎn)4：位似圖形是相似圖形的特殊情形，其相似比又叫做它們的位似比知識(shí)點(diǎn)5：位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一組對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比【例題精講】例1?如圖，已知：在A例1?如圖，已知：在AABC與ACAD中,DA//BC,CD交AB于E，且AE:EB=1:2,EF//BC交AC于fS11。求SABCE和S&AEF例2例2.如圖,在ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，連接AE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F,S^DEF：S^ABF=4：3：53：53：23?如圖，坐標(biāo)原點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1,力，AB//x軸，矩形A/B'CD/與矩形ABCD是位似圖形，點(diǎn)O為位似中心，點(diǎn)A',B'分別是點(diǎn)A,B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，R=k.已知關(guān)于AB\mnx+y=3n+1x,y的二元一次方程<, < （m,n是實(shí)數(shù)）無解，在以m,n為坐標(biāo)（記為（m,n）的所有的[3x+y=4TOC\o"1-5"\h\z點(diǎn)中，若有且只有一個(gè)點(diǎn)落在矩形A'B'C'D'的邊上，則k”的值等于（ ）【課堂練習(xí)】1?如圖，在平行四邊形_ABCD中，AB=6,AD=9,NBAD的平分線交BC于E,交DC的延長(zhǎng)線于F,BG±AE于G,86=4;”，則^EFC的周長(zhǎng)為（ ）\o"CurrentDocument"A11 B10 C9 D82?如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為S1,S2，則S]+S2的值為( )\o"CurrentDocument"A.16B.17 C.18 D.19.如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b6>6).在^ABC內(nèi)依次作NCBD=NA，NDCE=NCBD，

NEDF=NDCE.貝UEF等于（ ）.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O,E為OD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)二：相似三角形的判定【知識(shí)梳理】相似三角形的判定定理:（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似;（2）如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例,并且夾角相等,那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩個(gè)三角形相似.）;⑶如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為:三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)三角形相似.）；（4）如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等（或三個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等），則有兩個(gè)三角形相似（簡(jiǎn)敘為兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似.）.【例題精講】例1.如圖，在△ABC中NA=60°,BM±AC于點(diǎn)M,CN±AB于點(diǎn)N,P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM,PN,則下列結(jié)論：①PM=PN；②照理?△PMN為等邊三角形；④當(dāng)NABC=45°時(shí)，BN=-2PC.其Al：'A1.--中正確的個(gè)數(shù)是（中正確的個(gè)數(shù)是（例12.如圖，在Rt△ABC中，NC=90°，翻折NC，使點(diǎn)C落在斜邊AB上某一點(diǎn)D處，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AC、BC上）（1）若4CEF與八ABC相似.①當(dāng)AC=BC=2時(shí)，AD的長(zhǎng)為；②當(dāng)AC=3,BC=4時(shí)，AD的長(zhǎng)為；（2）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，△CEF與^ABC相似嗎？請(qǐng)說明理由.CA.A.【課堂練習(xí)】1.1.已知在^ABC中，NABC=90°,AB=3,BC=4.點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB(如圖1)或線段AB的延長(zhǎng)線(如圖2)于點(diǎn)P.(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△APQs△ABC；(2)當(dāng)^PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng).必+S”必+S”，，＞”、，，="、“〈”填空);則S1.2.如圖，矩形ABCD中，以對(duì)角線BD為一邊構(gòu)造一個(gè)矩形BDEF,使得另一邊EF過原矩形的頂點(diǎn)C.⑴設(shè)RtACBD的面積為S1,RtABFC的面積為S2,RtADCE的面積為S3,(2)寫出圖中的三對(duì)相似三角形，并選擇其中一對(duì)進(jìn)行證明.知識(shí)點(diǎn)三：相似類比探究

【例題精講】例11?類比轉(zhuǎn)化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究中經(jīng)常用到，如下是一個(gè)案例，請(qǐng)補(bǔ)充完整。如圖1，在□ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F是線段AE上一點(diǎn)，BF的延長(zhǎng)線交射線CD于點(diǎn)G。若CD求行的值。CG(1)嘗試探究系是在圖1中，過點(diǎn)(1)嘗試探究系是在圖1中，過點(diǎn)E作EH//AB交BG于點(diǎn)H，則AB和EH的數(shù)量關(guān)系是CD，CG和EH的數(shù)量關(guān)—的值是CG（2）類比延伸如圖2,在原題的條件下，（2）類比延伸如圖2,在原題的條件下，^AF ,八、。…口右_=mm>°），則花的值是（用含m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程。（3）拓展遷移如圖3,梯形ABCD中DC〃AB，點(diǎn)E如圖3,梯形ABCD中DC〃AB，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)BCBEAF=b(a>°,b>°)，則面的值是，，（用含a，AE和BD相交于點(diǎn)F。若AB=a例2?【提出問題】（1）如圖1,在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）,連結(jié)AM,以AM為邊作等邊^(qū)AMN，連結(jié)CN.求證：NABC=NACN.【類比探究】（2）如圖2,在等邊△ABC中，點(diǎn)M是BC延長(zhǎng)線上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)C）,其它條件不變，（1）中結(jié)論NABC=NACN還成立嗎？請(qǐng)說明理由.【拓展延伸】.Y圖1 至2 至3（3）如圖3,在等腰△ABC中，BA=BC,^M是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C）,連結(jié)AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角NAMN=NABC.連結(jié)CN.試探究/ABC.Y圖1 至2 至3【課堂練習(xí)】1?如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接DE,交AC于點(diǎn)F.(1)如圖①，當(dāng)事義時(shí)，求生變的值；以3SACDF _(2)如圖②當(dāng)DE平分NCDB時(shí)，求證：AF=.10A；(3)如圖③，當(dāng)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)時(shí)，過點(diǎn)F作FG±BC于點(diǎn)G,求證：CG==BG.一、知識(shí)收獲相似三角形的定義；相似三角形的性質(zhì)及位似；相似三角形的判定二、方法總結(jié)常見相似三角形的模型，類比探究題型的思路作業(yè)1：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,B重合)，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)

O,過點(diǎn)P分別作AC,BD的垂線，分別交AC,BD于點(diǎn)E,F,交AD,BC于點(diǎn)M,N.下列結(jié)論：@AAPEM△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；@APOF-△BNF；⑤當(dāng)△PMN-△AMP時(shí)，點(diǎn)P是AB的中點(diǎn).其中正確的結(jié)論有（ ）APSA:5個(gè) B4個(gè) C3個(gè) D2個(gè)PS作業(yè)2：如圖，R3ABC中，NACB=90°,NABC=60°,BC=2cm,D為BC的中點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AfB-A的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)E點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（0Wt<6）,連接口￡,當(dāng)4BDE是直角三角形時(shí)，t的值為（ ）A2 B2.5或3.5 C3.5或4.5 D2或3.5或4.5作業(yè)3：如圖，在ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,則DF二A D作業(yè)4：如圖，D是^ABC的邊BC上一點(diǎn)，已知AB=4,AD=2.NDAC=N8,若4ABD的面積為a,則△ACD的面積為（ ）D.D.作業(yè)5：如圖，點(diǎn)A,B,C,D的坐標(biāo)分別是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E為頂點(diǎn)的三角形與AABC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)不可能是( )A(6,0) B (6,3) C(6,5) D(4,2)作業(yè)6：勞技課上小敏拿出了一個(gè)腰長(zhǎng)為8厘米，底邊為6厘米的等腰三角形，她想用這個(gè)等腰三角形加工成一個(gè)邊長(zhǎng)比是1：2的平行四邊形，平行四邊形的一個(gè)內(nèi)角恰好是這個(gè)等腰三角形的底角，平行四邊形的其它頂點(diǎn)均在三角形的邊上，則這個(gè)平行四邊形的較短的邊長(zhǎng)為10作業(yè)7：已知在4ABC中，NABC=90°,AB=3,BC=4.點(diǎn)Q是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長(zhǎng)線（如圖2）于點(diǎn)P.（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，求證：△APQs△ABC；（2）當(dāng)^PQB為等腰三角形時(shí)，求AP的長(zhǎng).圖1圖1圖211

作業(yè)8：如圖1,在Rt△AB