相似三角形專題

相似三角形知識點一（相似三角形的性質）【知識梳理】知識點1：相似三角形：三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形如^ABC與4DEF相似,記作△ABCs^DEF（其中對應頂點要寫在對應位置,如A與D,B與E,C與F相對應.AB:DE等于相似比.）知識點2：相似三角形的性質：對應角相等，對應邊成比例，對應線段（對應高，對應中線，對應角平分線等）的比等于相似比。知識點3：位似圖形的定義：如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一點并且對應邊平行（或在同一直線上）那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心.知識點4：位似圖形是相似圖形的特殊情形，其相似比又叫做它們的位似比知識點5：位似圖形的性質：位似圖形上任意一組對應點到位似中心的距離之比等于位似比【例題精講】例1?如圖，已知：在A例1?如圖，已知：在AABC與ACAD中,DA//BC,CD交AB于E，且AE:EB=1:2,EF//BC交AC于fS11。求SABCE和S&AEF例2例2.如圖,在ABCD中，E為CD上一點，連接AE、BD,且AE、BD交于點F,S^DEF：S^ABF=4：3：53：53：23?如圖，坐標原點O為矩形ABCD的對稱中心，頂點A的坐標為（1,力，AB//x軸，矩形A/B'CD/與矩形ABCD是位似圖形，點O為位似中心，點A',B'分別是點A,B的對應點，R=k.已知關于AB\mnx+y=3n+1x,y的二元一次方程<, < （m,n是實數(shù)）無解，在以m,n為坐標（記為（m,n）的所有的[3x+y=4TOC\o"1-5"\h\z點中，若有且只有一個點落在矩形A'B'C'D'的邊上，則k”的值等于（ ）【課堂練習】1?如圖，在平行四邊形_ABCD中，AB=6,AD=9,NBAD的平分線交BC于E,交DC的延長線于F,BG±AE于G,86=4;”，則^EFC的周長為（ ）\o"CurrentDocument"A11 B10 C9 D82?如圖，邊長為6的大正方形中有兩個小正方形，若兩個小正方形的面積分別為S1,S2，則S]+S2的值為( )\o"CurrentDocument"A.16B.17 C.18 D.19.如圖，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b6>6).在^ABC內依次作NCBD=NA，NDCE=NCBD，

NEDF=NDCE.貝UEF等于（ ）.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點O,E為OD的中點，連接AE并延長交DC于點知識點二：相似三角形的判定【知識梳理】相似三角形的判定定理:（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所構成的三角形與原三角形相似;（2）如果一個三角形的兩條邊和另一個三角形的兩條邊對應成比例,并且夾角相等,那么這兩個三角形相似（簡敘為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似.）;⑶如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例，那么這兩個三角形相似（簡敘為:三邊對應成比例，兩個三角形相似.）；（4）如果兩個三角形的兩個角分別對應相等（或三個角分別對應相等），則有兩個三角形相似（簡敘為兩角對應相等，兩個三角形相似.）.【例題精講】例1.如圖，在△ABC中NA=60°,BM±AC于點M,CN±AB于點N,P為BC邊的中點，連接PM,PN,則下列結論：①PM=PN；②照理?△PMN為等邊三角形；④當NABC=45°時，BN=-2PC.其Al：'A1.--中正確的個數(shù)是（中正確的個數(shù)是（例12.如圖，在Rt△ABC中，NC=90°，翻折NC，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E、F分別在邊AC、BC上）（1）若4CEF與八ABC相似.①當AC=BC=2時，AD的長為；②當AC=3,BC=4時，AD的長為；（2）當點D是AB的中點時，△CEF與^ABC相似嗎？請說明理由.CA.A.【課堂練習】1.1.已知在^ABC中，NABC=90°,AB=3,BC=4.點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB(如圖1)或線段AB的延長線(如圖2)于點P.(1)當點P在線段AB上時，求證：△APQs△ABC；(2)當^PQB為等腰三角形時，求AP的長.必+S”必+S”，，＞”、，，="、“〈”填空);則S1.2.如圖，矩形ABCD中，以對角線BD為一邊構造一個矩形BDEF,使得另一邊EF過原矩形的頂點C.⑴設RtACBD的面積為S1,RtABFC的面積為S2,RtADCE的面積為S3,(2)寫出圖中的三對相似三角形，并選擇其中一對進行證明.知識點三：相似類比探究

【例題精講】例11?類比轉化、從特殊到一般等思想方法，在數(shù)學學習和研究中經(jīng)常用到，如下是一個案例，請補充完整。如圖1，在□ABCD中，點E是BC邊的中點，點F是線段AE上一點，BF的延長線交射線CD于點G。若CD求行的值。CG(1)嘗試探究系是在圖1中，過點(1)嘗試探究系是在圖1中，過點E作EH//AB交BG于點H，則AB和EH的數(shù)量關系是CD，CG和EH的數(shù)量關—的值是CG（2）類比延伸如圖2,在原題的條件下，（2）類比延伸如圖2,在原題的條件下，^AF ,八、。…口右_=mm>°），則花的值是（用含m的代數(shù)式表示），試寫出解答過程。（3）拓展遷移如圖3,梯形ABCD中DC〃AB，點E如圖3,梯形ABCD中DC〃AB，點E是BC的延長線上一點BCBEAF=b(a>°,b>°)，則面的值是，，（用含a，AE和BD相交于點F。若AB=a例2?【提出問題】（1）如圖1,在等邊△ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C）,連結AM,以AM為邊作等邊^(qū)AMN，連結CN.求證：NABC=NACN.【類比探究】（2）如圖2,在等邊△ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C）,其它條件不變，（1）中結論NABC=NACN還成立嗎？請說明理由.【拓展延伸】.Y圖1 至2 至3（3）如圖3,在等腰△ABC中，BA=BC,^M是BC上的任意一點（不含端點B、C）,連結AM,以AM為邊作等腰△AMN,使頂角NAMN=NABC.連結CN.試探究/ABC.Y圖1 至2 至3【課堂練習】1?如圖，在正方形ABCD中，對角線AC與BD相交于點0,點E是BC上的一個動點，連接DE,交AC于點F.(1)如圖①，當事義時，求生變的值；以3SACDF _(2)如圖②當DE平分NCDB時，求證：AF=.10A；(3)如圖③，當點E是BC的中點時，過點F作FG±BC于點G,求證：CG==BG.一、知識收獲相似三角形的定義；相似三角形的性質及位似；相似三角形的判定二、方法總結常見相似三角形的模型，類比探究題型的思路作業(yè)1：如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點(不與A,B重合)，對角線AC,BD相交于點

O,過點P分別作AC,BD的垂線，分別交AC,BD于點E,F,交AD,BC于點M,N.下列結論：@AAPEM△AME；②PM+PN=AC；③PE2+PF2=PO2；@APOF-△BNF；⑤當△PMN-△AMP時，點P是AB的中點.其中正確的結論有（ ）APSA:5個 B4個 C3個 D2個PS作業(yè)2：如圖，R3ABC中，NACB=90°,NABC=60°,BC=2cm,D為BC的中點，若動點E以1cm/s的速度從A點出發(fā)，沿著AfB-A的方向運動，設E點的運動時間為t秒（0Wt<6）,連接口￡,當4BDE是直角三角形時，t的值為（ ）A2 B2.5或3.5 C3.5或4.5 D2或3.5或4.5作業(yè)3：如圖，在ABCD中，E在AB上，CE、BD交于F,若AE：BE=4：3,且BF=2,則DF二A D作業(yè)4：如圖，D是^ABC的邊BC上一點，已知AB=4,AD=2.NDAC=N8,若4ABD的面積為a,則△ACD的面積為（ ）D.D.作業(yè)5：如圖，點A,B,C,D的坐標分別是(1,7),(1,1),(4,1),(6,1),以C,D,E為頂點的三角形與AABC相似，則點E的坐標不可能是( )A(6,0) B (6,3) C(6,5) D(4,2)作業(yè)6：勞技課上小敏拿出了一個腰長為8厘米，底邊為6厘米的等腰三角形，她想用這個等腰三角形加工成一個邊長比是1：2的平行四邊形，平行四邊形的一個內角恰好是這個等腰三角形的底角，平行四邊形的其它頂點均在三角形的邊上，則這個平行四邊形的較短的邊長為10作業(yè)7：已知在4ABC中，NABC=90°,AB=3,BC=4.點Q是線段AC上的一個動點，過點Q作AC的垂線交線段AB（如圖1）或線段AB的延長線（如圖2）于點P.（1）當點P在線段AB上時，求證：△APQs△ABC；（2）當^PQB為等腰三角形時，求AP的長.圖1圖1圖211

作業(yè)8：如圖1,在Rt△AB