附解排列組合應(yīng)用題的21種策略

解排列組合應(yīng)用題的21種策略排列組合問題是高考的必考題，它聯(lián)系實際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌握，實踐證明，掌握題型和解題方法，識別模式，熟練運用，是解決排列組合應(yīng)用題的有效途徑；下面就談一談排列組合應(yīng)用題的解題策略.相鄰問題捆綁法:題目中規(guī)定相鄰的幾個元素捆綁成一個組，當(dāng)作一個大元素參與排列.例1.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有A、60種 B、48種 C、36種 D、24種解析：把A,B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于4人的全排列，A4二24種，4答案：D.相離問題插空排:元素相離（即不相鄰）問題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定的相離的幾個元素插入上述幾個元素的空位和兩端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數(shù)是A、1440種B、3600種C、4820種D、4800種解析：除甲乙外，其余5個排列數(shù)為A5種，再用甲乙去插6個空位有A2種，不同的排法種56數(shù)是A5A2二3600種，選B.56定序問題縮倍法:在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定的順序，可用縮小倍數(shù)的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必須站在A的右邊（A,B可以不相鄰）那么不同的排法種數(shù)是A、24種 B、60種 C、90種 D、120種解析：B在A的右邊與B在A的左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是5個元素全排列數(shù)的1—半，即—A5=60種，選B.25標(biāo)號排位問題分步法:把元素排到指定位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素，如此繼續(xù)下去，依次即可完成.例4.將數(shù)字1，2，3，4填入標(biāo)號為1，2，3，4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有A、6種 B、9種C、11種 D、23種解析：先把1填入方格中，符合條件的有3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，共有3X3X1=9種填法，選B.有序分配問題逐分法:有序分配問題指把元素分成若干組，可用逐步下量分組法.例5.（1）有甲乙丙三項任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需一人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項任務(wù)，不同的選法種數(shù)是A、1260種B、2025種C、2520種D、5040種解析：先從10人中選出2人承擔(dān)甲項任務(wù)，再從剩下的8人中選1人承擔(dān)乙項任務(wù)，第三步從另外的7人中選1人承擔(dān)丙項任務(wù)，不同的選法共有C2CiCi=2520種，選C.1087（2）12名同學(xué)分別到三個不同的路口進(jìn)行流量的調(diào)查，若每個路口4人，則不同的分配方案有A、C4C4C4種B、3C4C4C4種C、C4C4A3種C4C4C4D、^28_4種i28 4i28 4i28 3A33答案：A.全員分配問題分組法:例6.（1）4名優(yōu)秀學(xué)生全部保送到3所學(xué)校去，每所學(xué)校至少去一名，則不同的保送方案有多少種？解析：把四名學(xué)生分成3組有C2種方法，再把三組學(xué)生分配到三所學(xué)校有A3種，故共有43C2A3二36種方法.43說明：分配的元素多于對象且每一對象都有元素分配時常用先分組再分配.（2）5本不同的書，全部分給4個學(xué)生，每個學(xué)生至少一本，不同的分法種數(shù)為A、480種 B、240種 C、120種 D、96種答案：B.名額分配問題隔板法:例7.10個三好學(xué)生名額分到7個班級，每個班級至少一個名額，有多少種不同分配方案？解析：10個名額分到7個班級，就是把10個名額看成10個相同的小球分成7堆，每堆至少一個，可以在10個小球的9個空位中插入6塊木板，每一種插法對應(yīng)著一種分配方案，故共有不同的分配方案為C6二84種.9限制條件的分配問題分類法:例8.某高校從某系的10名優(yōu)秀畢業(yè)生中選4人分別到西部四城市參加中國西部經(jīng)濟(jì)開發(fā)建設(shè)，其中甲同學(xué)不到銀川，乙不到西寧，共有多少種不同派遣方案？解析：因為甲乙有限制條件，所以按照是否含有甲乙來分類，有以下四種情況：①若甲乙都不參加，則有派遣方案A4種；②若甲參加而乙不參加，先安排甲有3種方法，8然后安排其余學(xué)生有A3方法，所以共有3A3；③若乙參加而甲不參加同理也有3A3種；④若888甲乙都參加，則先安排甲乙，有7種方法，然后再安排其余8人到另外兩個城市有A2種，8共有7A2方法.所以共有不同的派遣方法總數(shù)為A4+3A3+3A3+7A2二4088種.88888多元問題分類法：元素多，取出的情況也多種，可按結(jié)果要求分成不相容的幾類情況分別計數(shù)，最后總計.例9.（1）由數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有A、210種 B、300種 C、464種 D、600種解析：按題意，個位數(shù)字只可能是0、1、2、3和4共5種情況，分別有A5、AiAiA3、AiAiA3、5 43 3 3 3 3A1A1A3和AiA3個，合并總計300個，選B.23 3 3 3從1,2,3???，100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法(不計順序)共有多少種？解析：被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時,他們的乘積就能被7整除,將這100個數(shù)組成的集合視為全集I,能被7整除的數(shù)的集合記做A=｛7,14,21,98｝共有14個元素，不能被7整除的數(shù)組成的集合記做6A=｛1,2,3,4,,100｝共有86個元素；由此可知，從A中任取2個元素的取法有C2，從A中任取一個，又從6A中任取一個共有C1C1，兩種情形共符合TOC\o"1-5"\h\z14 I 1486要求的取法有C2+C1C1=1295種.14 1486從1，2，3，?，100這100個數(shù)中任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計順序)有多少種？\o"CurrentDocument"解析：將I=｛1,2,3 ,100｝分成四個不相交的子集，能被4整除的數(shù)集A=｛4,8,12, 100｝；能被4除余1的數(shù)集B=｛1,5,9, 97｝，能被4除余2的數(shù)集C=｛2,6, ,98｝，能被4除余3的數(shù)集D=｛3,7,11,99｝，易見這四個集合中每一個有25個元素;從A?中任取兩個數(shù)符合要；從B,D中各取一個數(shù)也符合要求；從C中任取兩個數(shù)也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有C2+C1C1+C2種.25 25 25 25交叉問題集合法：某些排列組合問題幾部分之間有交集,可用集合中求元素個數(shù)公式n(AJB)=n(A)+n(B)一n(處B).例10?從6名運動員中選出4人參加4X100米接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒,共有多少種不同的參賽方案？解析：設(shè)全集二｛6人中任取4人參賽的排列｝,A=｛甲跑第一棒的排列｝,B=｛乙跑第四棒的排列｝,根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：n(I)一n(A)一n(B)+n(AnB)=A4-A3-A3+A2=252種.6554定位問題優(yōu)先法：某個或幾個元素要排在指定位置，可先排這個或幾個元素；再排其它的元素。例11.1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照相留念，若老師不站兩端則有不同的排法有多少種？解析：老師在中間三個位置上選一個有A1種，4名同學(xué)在其余4個位置上有A4種方法；所34以共有A1A4=72種.34多排問題單排法:把元素排成幾排的問題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理.例12.(1)6個不同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是A、36種 B、120種 C、720種 D、1440種解析：前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可看成6個不同的元素排成一排，共A6=7206種，選C.（2）8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？解析：看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有A2種，某1個元素排在后4半段的四個位置中選一個有Ai種，其余5個元素任排5個位置上有A5種，故共有45AiA2A5二5760種排法.445“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:抽取兩類混合元素不能分步抽.例13.從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有A、140種 B、80種 C、70種 D、35種解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不同的取法共有C3-C3-C3二70種，選.C945解析2：至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有C2C1+CiC2二70臺，選C.5 4 5 4選排問題先取后排:從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定的位置上，可用先取后排法.例14.（1）四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？解析：“先取”四個球中二個為一組，另二組各一個球的方法有C2種，“再排”在四個盒中4每次排3個有A3種，故共有C2A3二144種.4 4 4（2）9名乒乓球運動員，其中男5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少種不同的分組方法？解析：先取男女運動員各2名，有C2C2種，這四名運動員混和雙打練習(xí)有A2中排法，故共5 4 2有C2C2A2二120種.542部分合條件問題排除法:在選取的總數(shù)中，只有一部分合條件，可以從總數(shù)中減去不符合條件數(shù)，即為所求.例15.（1）以正方體的頂點為頂點的四面體共有A、70種 B、64種 C、58種 D、52種解析：正方體8個頂點從中每次取四點，理論上可構(gòu)成C4四面體，但6個表面和6個對角8面的四個頂點共面都不能構(gòu)成四面體，所以四面體實際共有C4-12二58個.8（2）四面體的頂點和各棱中點共10點，在其中取4個不共面的點，不同的取法共有A、150種 B、147種C、144種D、141種解析：10個點中任取4個點共有C4種，其中四點共面的有三種情況：①在四面體的四個面10上，每面內(nèi)四點共面的情況為C4,四個面共有4C4個；②過空間四邊形各邊中點的平行四邊66形共3個；③過棱上三點與對棱中點的三角形共6個.所以四點不共面的情況的種數(shù)是C4-4C4-3-6=141種.10616?圓排問題線排法:把n個不同元素放在圓周n個無編號位置上的排列，順序（例如按順時鐘）不同的排法才算不同的排列，而順序相同（即旋轉(zhuǎn)一下就可以重合）的排法認(rèn)為是相同的，它與普通排列的區(qū)別在于只計順序而首位、末位之分，下列n個普通排列：a,a,a,a;a,a,a,,a,;a,a,,a在圓排列中只算一種，因為旋轉(zhuǎn)后可以重合，故123n234 n n1 n-1認(rèn)為相同；n個元素的圓排列數(shù)有也種?因此可將某個元素固定展成線排，其它的n-1元素n全排列.例16.5對姐妹站成一圈，要求每對姐妹相鄰，有多少種不同站法？解析：首先可讓5位姐姐站成一圈，屬圓排列有A4種，然后在讓插入其間，每位均可插入4其姐姐的左邊和右邊，有2種方式，故不同的安排方式24x25=768種不同站法.說明：從n個不同元素中取出m個元素作圓形排列共有丄Am種不同排法.mn可重復(fù)的排列求冪法:允許重復(fù)排列問題的特點是以元素為研究對象，元素不受位置的約束，可逐一安排元素的位置，一般地n個不同元素排在m個不同位置的排列數(shù)有mn種方法.例17.把6名實習(xí)生分配到7個車間實習(xí)共有多少種不同方法？解析：完成此事共分6步，第一步；將第一名實習(xí)生分配到車間有7種不同方案，第二步：將第二名實習(xí)生分配到車間也有7種不同方案，依次類推，由分步計數(shù)原理知共有76種不同方案.復(fù)雜排列組合問題構(gòu)造模型法:例18?馬路上有編號為1，2,3…，9九只路燈，現(xiàn)要關(guān)掉其中的三盞，但不能關(guān)掉相鄰的二盞或三盞，也不能關(guān)掉兩端的兩盞，求滿足條件的關(guān)燈方案有多少種？解析：把此問題當(dāng)作一個排對模型，在6盞亮燈的5個空隙中插入3盞不亮的燈C3種方法，5所以滿足條件的關(guān)燈方案有10種.說明：一些不易理解的排列組合題，如果能轉(zhuǎn)化為熟悉的模型如填空模型，排隊模型，裝盒模型可使問題容易解決.元素個數(shù)較少的排列組合問題可以考慮枚舉法:例19.設(shè)有編號為1，2，3，4，5的五個球和編號為1，2，3，4，5的盒子現(xiàn)將這5個球投入5個盒子要求每個盒子放一個球，并且恰好有兩個球的號碼與盒子號碼相同，問有多少種不同的方法？解析：從5個球中取出2個與盒子對號有C2種，還剩下3個球與3個盒子序號不能對應(yīng)，5利用枚舉法分析，如果剩下3，4，5號球與3，4，5號盒子時，3號球不能裝入3號盒子，當(dāng)3號球裝入4號盒子時，4，5號球只有1種裝法，3號球裝入5號盒子時，4，5號球也只有1種裝法，所以剩下三球只有2種裝法，因此總共裝法數(shù)為2C2二20種.5復(fù)雜的排列組合問題也可用分解與合成法:例20.（1）30030能被多少個不同偶