學(xué)生 第1講 相似三角形培優(yōu)講義1

學(xué)生第1講相似三角形培優(yōu)講義1!學(xué)生第1講相似三角形培優(yōu)講義1!學(xué)生第1講相似三角形培優(yōu)講義1!學(xué)生第1講相似三角形培優(yōu)講義1!編制僅供參考審核批準(zhǔn)生效日期地址：電話：傳真:郵編:第1講相似三角形講義學(xué)習(xí)目標(biāo)解三角形相似的判定方法學(xué)習(xí)重點(diǎn)：能夠運(yùn)用三角形相似判定方法解決數(shù)學(xué)問題及實(shí)際問題．學(xué)習(xí)難點(diǎn)：運(yùn)用三角形相似判定方法解決數(shù)學(xué)問題的思路學(xué)習(xí)過程一、證明三角形相似例1：已知，如圖，D為△ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD求證：△DBE∽△ABC例2、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問圖中是否存在非全等的相似三角形請(qǐng)證明你的結(jié)論。下面我們來看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中∠1=∠2，則△ADE∽△ABC稱為“相交線型”的相似三角形。(3)如圖：∠1=∠2，∠B=∠D，則△ADE∽△ABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及△EAF與△ECA二、相似三角形證明比例式和乘積式例3、△ABC中，在AC上截取AD，在CB延長線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE例4：已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DM⊥BC于點(diǎn)E，交BA的延長線于點(diǎn)D。求證：（1）MA2=MDME；（2）三、相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例5：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。求證：∠AEF=∠FBD例6、直角三角形ABC中，∠ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)G∥AC交AB于G，求證：FC=FG例7、Rt△ABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF目標(biāo)訓(xùn)練一、填空題1、兩個(gè)相似三角形的面積比S1:S2與它們對(duì)應(yīng)高之比h1:h2之間的關(guān)系為．（第3題圖）OA1A2A3A4ABB1B2B314ECDAF（第3題圖）OA1A2A3A4ABB1B2B314ECDAFB圖23、如圖，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，且，．若，的面積分別為1，4，則圖中三個(gè)陰影三角形面積之和為．4.△ABC中，DE∥FG∥BC，且AD：DF：FB=3：2：1，則S△ADE：S四邊形DFGE：S四邊形FBCG=二、選擇題1.已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，則△ABC的面積與△DEF的面積之比為（）(A)1：2(B)1：4(C)2：1(D)4：12.如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是6和8，另一個(gè)與它相似的直角三角形邊長分別是3和4及x，那么x的值（）A．只有1個(gè)B．可以有2個(gè)C．有2個(gè)以上但有限D(zhuǎn)．有無數(shù)個(gè)3.美是一種感覺，當(dāng)人體下半身長與身高的比值越接近時(shí)，越給人一種美感．如圖，某女士身高165cm，下半身長x與身高l的比值是，為盡可能達(dá)到好的效果，她應(yīng)穿的高跟鞋的高度大約為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．4、如圖，△ABC是等邊三角形，被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，則圖中陰影部分的面積是△ABC的面積的（）EHFGCBA（（第4題圖）Ａ．Ｂ．EHFGCBA（（第4題圖）AADBCEFM(第5題圖)5、如圖，直角梯形ABCD中，∠BCD＝90°，AD∥BC，BC＝CD，E為梯形內(nèi)一點(diǎn)，且∠BEC＝90°，將△BEC繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°使BC與DC重合，得到△DCF，連EF交CD于M．已知BC＝5，CF＝3，則DM:MC的值為（）:3:5:3:46、如圖，在Rt△ABC內(nèi)有邊長分別為的三個(gè)正方形，則滿足的關(guān)系式是（）A、B、C、D、7、如圖,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點(diǎn),作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,設(shè)BP=x,則PD+PE=（）A.B.C.D.三、解答題1、如圖5，在△ABC中，BC>AC，點(diǎn)D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分線CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)EF.（1）求證：EF∥BC.（2）若四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積.2、（本小題滿分10分）如圖：在等腰△ABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)E,連接BP交AC于點(diǎn)F.證明：∠CAE=∠CBF;證明：AE=BF;以線段AE，BF和AB為邊構(gòu)成一個(gè)新的三角形ABG（點(diǎn)E與點(diǎn)F重合于點(diǎn)G），記△ABC和△ABG的面積分別為S△ABC和S△ABG,如果存在點(diǎn)P,能使得S△ABC=S△ABG,求∠C的取之范圍。FFCABPEH3、如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E.（1）求證：AB·AF＝CB·CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)DP＝xcm（x＞0），四邊形BCDP的面積為ycm2.①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x為何值時(shí)，△PBC的周長最小，并求出此時(shí)y的值.4、如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N．求證：（1）；（2）5、如圖，在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若?ABC固定不動(dòng)，?AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),設(shè)BE=m，CD=n.（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明.（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫出自變量n的取值范圍.（3）以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖12).在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過計(jì)算驗(yàn)證BD＋CE=DE.（4）在旋轉(zhuǎn)過程中,(3)中的等量關(guān)系BD＋CE=DE是否始終成立,若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說明理由.GyGyxOFEDCBAGGFEDCBA6、為了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，小明想在長為米，寬為米的書房里掛一張測試距離為5米的視力表．在一次課題學(xué)習(xí)課上，小明向全班同學(xué)征集“解決空間過小，如何放置視力表問題”的方案，其中甲、乙、丙三位同學(xué)設(shè)計(jì)方案新穎，構(gòu)思巧妙．（1）甲生的方案：如圖1，將視力表掛在墻和墻的夾角處，被測試人站立在對(duì)角線上，問：甲生的設(shè)計(jì)方案是否可行請(qǐng)說明理由．（2）乙生的方案：如圖2，將視力表掛在墻上，在墻ABEF上掛一面足夠大的平面鏡，根據(jù)平面鏡成像原理可計(jì)算得到：測試線應(yīng)畫在距離墻米處．（3）丙生的方案：如圖3，根據(jù)測試距離為5m的大視力表制作一個(gè)測試距為3m的小視力表．如果大視力表中“”的長是，那么小視力表中相應(yīng)“”的長是多少cmHHH（圖1）（圖2）（圖3）（第6題）㎝ACF3mB5mD7、將兩塊大小一樣含30°角的直角三角板，疊放在一起，使得它們的斜邊AB重合，直角邊不重合，已知AB=8，BC=AD=4，AC與BD相交于點(diǎn)E，連結(jié)CD．(1)填空：如圖9，AC=，BD=；四邊形ABCD是梯形.(2)請(qǐng)寫出圖9中所有的相似三角形（不含全等三角形）.(3)如圖10，若以AB所在直線為軸，過點(diǎn)A垂直于AB的直線為軸建立如圖10的平面直角坐標(biāo)系，保持ΔABD不動(dòng)，將ΔABC向軸的正方向平移到ΔFGH的位置，F(xiàn)H與BD相交于點(diǎn)P，設(shè)AF=t，ΔFBP面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值值范圍.DCDCBAE圖9EDCHFGBAPyx圖1010.8、如圖1，一副直角三角板滿足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF＝90°，∠EDF＝30°【操作】將三角板DEF的直角頂點(diǎn)E放置于三角板ABC的斜邊AC上，再將三角板DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，并使邊DE與邊AB交于點(diǎn)P，邊EF與邊BC于點(diǎn)Q【探究一】在旋轉(zhuǎn)過程中，(1)如圖2，當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系并給出證明.(2)如圖3，當(dāng)時(shí)EP與EQ滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)根據(jù)你對(duì)（1）、（2）的探究結(jié)果，試寫出當(dāng)時(shí)，EP與EQ滿足的數(shù)量關(guān)系式為_________,其中的取值范圍是_______(直接寫出結(jié)論，不必證明)【探究二】若，AC＝30cm，連續(xù)PQ，設(shè)△EPQ的面積為S(cm2)，在旋轉(zhuǎn)過程中：(1)S是否存在最大值或最小值若存在，求出最大值或最小值，若不存