北京市昌平區(qū)新學道臨川學校2023屆數(shù)學高一上期末考試試題含解析

2022-2023學年高一上數(shù)學期末模擬試卷考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．下列各式正確是A. B.C. D.2．將半徑都為1的4個鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個正四面體的高的最小值為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則函數(shù)（）A. B.C. D.4．終邊在y軸上的角的集合不能表示成A. B.C. D.5．四棱柱中，，，則與所成角為A. B.C. D.6．已知點是第三象限的點，則的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．設集合，，則集合與集合的關系是（）A. B.C. D.8．設，，，則a、b、c的大小關系是A. B.C. D.9．當生物死后，它體內的碳14含量會按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經過5730年衰減為原來的一半.2010年考古學家對良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料草裹泥）上提取的草莖遺存進行碳14檢測，檢測出碳14的殘留量約為初始量的，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前（）（參考數(shù)據(jù)：，)A.年 B.年C.年 D.年10．已知某種樹木的高度（單位：米）與生長年限t（單位：年，）滿足如下的邏輯斯諦（Logistic）增長模型：，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，設該樹栽下的時刻為0，則該種樹木生長至3米高時，大約經過的時間為（）A.2年 B.3年C.4年 D.5年11．“”是“為第二象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知偶函數(shù)在區(qū)間單調遞減，則滿足的x取值范圍是A. B.C D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．設函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)），若為偶函數(shù)，則實數(shù)______；若對，恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是______14．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有“數(shù)學王子”的稱號，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家．用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：，表示不超過x的最大整數(shù)，如，，[2]=2，則關于x的不等式的解集為__________.15．若，則________.16．函數(shù)的單調遞減區(qū)間為_______________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知直線與圓相交于點和點（1）求圓心所在的直線方程；（2）若圓心的半徑為1，求圓的方程18．已知集合.（1）當時.求;（2）若是的充分條件，求實數(shù)的取值范圍.19．如圖，正方體的棱長為，連接，，，，，，得到一個三棱錐．求：（1）三棱錐的表面積；（2）三棱錐的體積20．若函數(shù)的自變量的取值范圍為時，函數(shù)值的取值范圍恰為，就稱區(qū)間為的一個“和諧區(qū)間”.（1）先判斷“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間”是否正確，再寫出函數(shù)“和諧區(qū)間”；（2）若是定義在上的奇函數(shù)，當時，.（i）求的“和諧區(qū)間”；（ii）若函數(shù)的圖象是在定義域內所有“和諧區(qū)間”上的圖象，是否存在實數(shù)，使集合恰含有個元素，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.21．化簡求值：（1）已知都為銳角，，求的值；（2）.22．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點為函數(shù)的圖象與y軸的一個交點，點B為函數(shù)圖象上的一個最高點，且點B的橫坐標為，點為函數(shù)的圖象與x軸的一個交點（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知函數(shù)的值域為，求a，b的值

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】對于，，，故，故錯誤；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性，可知錯誤故選2、C【解析】由題意可得，底面放三個鋼球，上再落一個鋼球時體積最小，于是把鋼球的球心連接，則可得到一個棱長為2的小正四面體，該小正四面體的高為，且由正四面體的性質可知，正四面體的中心到底面的距離是高的，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心是重合的，所以小正四面體的中心到底面的距離是，正四面體的中心到底面的距離是，所以可知正四面體的高的最小值為，故選擇C考點：幾何體的體積3、C【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域先求出，再根據(jù)，根據(jù)定義域，結合，即可求出結果.【詳解】由題意可知，，所以.故選：C.4、B【解析】分別寫出終邊落在y軸正半軸和負半軸上的角的集合，然后進行分析運算即可得解.【詳解】終邊落在y軸正半軸上的角的集合為：，終邊落在y軸負半軸上的角的集合為：，故終邊在y軸上的角的集合可表示成為，故A選項可以表示；將與取并集為：，故C選項可以表示；將與取并集為：，故終邊在y軸上的角的集合可表示成為，故D選項可以表示；對于B選項，當時，或，顯然不是終邊落在y軸上的角；綜上，B選項不能表示，滿足題意.故選：B.【點睛】本題考查軸線角的定義，側重對基礎知識的理解的應用，考查邏輯思維能力和分析運算能力，屬于?？碱}.5、D【解析】四棱柱中，因為,所以,所以是所成角，設,則,+=,所以,所以+=,所以，所以選擇D6、D【解析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號即可求出【詳解】因為點是第三象限的點，所以，故的終邊位于第四象限故選：D7、D【解析】化簡集合、，進而可判斷這兩個集合的包含關系.【詳解】因為，，因此，.故選：D.8、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)性質知，，，可比較大小，【詳解】解：，，；故選D【點睛】在比較冪或對數(shù)大小時，一般利用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)的單調性，有時還需要借助中間值與中間值比較大小，如0,1等等9、B【解析】根據(jù)碳14的半衰期為5730年，即每5730年含量減少一半，設原來的量為，經過年后變成了，即可列出等式求出的值，即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意可設原來的量為，經過年后變成了，即，兩邊同時取對數(shù)，得：，即，，，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前年.故選：B.10、C【解析】根據(jù)題意，列方程，即可求解.【詳解】由題意可得，令，即，解得：t=4.故選：C11、B【解析】利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質解三角形不等式，再根據(jù)集合的包含關系判斷充分條件、必要條件即可；【詳解】解：由，即，所以，，解得，，即，又第二象限角為，因為真包含于，所以“”是“為第二象限角”的必要不充分條件；故選：B12、D【解析】根據(jù)題意，結合函數(shù)的奇偶性與單調性分析可得，解不等式可得x的取值范圍，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，偶函數(shù)在區(qū)間單調遞減，則在上為增函數(shù)，則，解可得：，即x的取值范圍是；故選D【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調性綜合應用，注意將轉化為關于x的不等式，屬于基礎題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、①.1②.【解析】第一空根據(jù)偶函數(shù)的定義求參數(shù)，第二空為恒成立問題，參變分離后轉化成求函數(shù)最值【詳解】由，即，關于恒成立，故恒成立，等價于恒成立令，，，故a的取值范圍是故答案為：1，14、【解析】解一元二次不等式，結合新定義即可得到結果.【詳解】∵，∴，∴，故答案為：15、【解析】利用三角函數(shù)的誘導公式，化簡得到原式，代入即可求解.【詳解】因為，由故答案為：16、【解析】由題得，利用正切函數(shù)的單調區(qū)間列出不等式，解之即得.【詳解】由題意可知，則要求函數(shù)的單調遞減區(qū)間只需求的單調遞增區(qū)間，由得，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）x-y=0(2)【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關系的運用，．以及圓的方程的求解（1）PQ中點M(,),,所以線段PQ的垂直平分線即為圓心C所在的直線的方程:（2）由條件設圓的方程為:，由圓過P,Q點得得到關系式求解得到．則或故圓的方程為18、（1）或.（2）【解析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由集合的補、并運算求即可.（2）由充分條件知，則有，進而求的取值范圍.【小問1詳解】，當時，，或，∴或；【小問2詳解】由是的充分條件，知：，∴，解得，∴的取值范圍為.19、（1）（2）【解析】（1）直接按照錐體表面積計算即可；（2）利用正方體體積減去三棱錐，，，的體積即可.【小問1詳解】∵是正方體，∴，∴三棱錐的表面積為【小問2詳解】三棱錐，，，是完全一樣的且正方體的體積為，故20、（1）正確，；（2）（i）和，（ii）存在符合題意，理由見解析.【解析】（1）根據(jù)和諧區(qū)間的定義判斷兩個函數(shù)即可；（2）（i）根據(jù)是奇函數(shù)求出的解析式，再利用“和諧區(qū)間”的定義求出的“和諧區(qū)間”，（ii）由（i）可得的解析式，由與都是奇函數(shù)，問題轉化為與的圖象在第一象限內有一個交點，由單調性求出的端點坐標，代入可得臨界值即可求解.【小問1詳解】函數(shù)定義域為，且為奇函數(shù)，當時，單調遞減，任意的，則，所以時，沒有“和諧區(qū)間”，同理時，沒有“和諧區(qū)間”，所以“函數(shù)沒有“和諧區(qū)間”是正確的，在上單調遞減，所以在上單調遞減，所以值域為，即，所以，所以，是方程的兩根,因為，解得，所以函數(shù)的“和諧區(qū)間”為.【小問2詳解】（i）因為當時，所以當時，，所以因為是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以當時，，可得，設，因為在上單調遞減，所以，，所以，，所以，是方程的兩個不相等的正數(shù)根，即，是方程的兩個不相等的正數(shù)根，且，所以，，所以在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是，同理可得，在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是.所以的“和諧區(qū)間”是和，（ii）存在，理由如下：因為函數(shù)的圖象是以在定義域內所有“和諧區(qū)間”上的圖象，所以若集合恰含有個元素，等價于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點，且一個交點在第一象限，一個交點在第三象限.因為與都是奇函數(shù)，所以只需考慮與的圖象在第一象限內有一個交點.因為在區(qū)間上單調遞減，所以曲線的兩個端點為，.因為，所以的零點是，，或所以當?shù)膱D象過點時，，；當圖象過點時，，，所以當時，與的圖象在第一象限內有一個交點.所以與的圖象有兩個交點.所以的取值范圍是.21、（1），（2）0.【解析】（1）先計算出，的值，然后根據(jù)角的配湊以及兩角差的余弦公式求解出的值；（2）利用誘導公式以及兩角和的正切公式結合正、余弦的齊次式計算化簡原式【小問1詳解】因為，都為銳角，，，所以，，則【小問2詳解】原式22、（1）（2）或【解析】(1)根據(jù)