北京市昌平區(qū)新學(xué)道臨川學(xué)校2023屆數(shù)學(xué)高一上期末考試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．下列各式正確是A. B.C. D.2．將半徑都為1的4個(gè)鋼球完全裝入形狀為正四面體的容器里，這個(gè)正四面體的高的最小值為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則函數(shù)（）A. B.C. D.4．終邊在y軸上的角的集合不能表示成A. B.C. D.5．四棱柱中，，，則與所成角為A. B.C. D.6．已知點(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，則的終邊位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限7．設(shè)集合，，則集合與集合的關(guān)系是（）A. B.C. D.8．設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系是A. B.C. D.9．當(dāng)生物死后，它體內(nèi)的碳14含量會(huì)按確定的比率衰減（稱為衰減率），大約每經(jīng)過(guò)5730年衰減為原來(lái)的一半.2010年考古學(xué)家對(duì)良渚古城水利系統(tǒng)中一條水壩的建筑材料草裹泥）上提取的草莖遺存進(jìn)行碳14檢測(cè)，檢測(cè)出碳14的殘留量約為初始量的，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前（）（參考數(shù)據(jù)：，)A.年 B.年C.年 D.年10．已知某種樹(shù)木的高度（單位：米）與生長(zhǎng)年限t（單位：年，）滿足如下的邏輯斯諦（Logistic）增長(zhǎng)模型：，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，設(shè)該樹(shù)栽下的時(shí)刻為0，則該種樹(shù)木生長(zhǎng)至3米高時(shí)，大約經(jīng)過(guò)的時(shí)間為（）A.2年 B.3年C.4年 D.5年11．“”是“為第二象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則滿足的x取值范圍是A. B.C D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．設(shè)函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，a為常數(shù)），若為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)______；若對(duì)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______14．高斯是德國(guó)著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號(hào)，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學(xué)家．用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：，表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如，，[2]=2，則關(guān)于x的不等式的解集為_(kāi)_________.15．若，則________.16．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為_(kāi)______________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知直線與圓相交于點(diǎn)和點(diǎn)（1）求圓心所在的直線方程；（2）若圓心的半徑為1，求圓的方程18．已知集合.（1）當(dāng)時(shí).求;（2）若是的充分條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，連接，，，，，，得到一個(gè)三棱錐．求：（1）三棱錐的表面積；（2）三棱錐的體積20．若函數(shù)的自變量的取值范圍為時(shí)，函數(shù)值的取值范圍恰為，就稱區(qū)間為的一個(gè)“和諧區(qū)間”.（1）先判斷“函數(shù)沒(méi)有“和諧區(qū)間”是否正確，再寫出函數(shù)“和諧區(qū)間”；（2）若是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.（i）求的“和諧區(qū)間”；（ii）若函數(shù)的圖象是在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，是否存在實(shí)數(shù)，使集合恰含有個(gè)元素，若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．化簡(jiǎn)求值：（1）已知都為銳角，，求的值；（2）.22．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，點(diǎn)為函數(shù)的圖象與y軸的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)B為函數(shù)圖象上的一個(gè)最高點(diǎn)，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)為函數(shù)的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知函數(shù)的值域?yàn)?，求a，b的值

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】對(duì)于，，，故，故錯(cuò)誤；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知錯(cuò)誤故選2、C【解析】由題意可得，底面放三個(gè)鋼球，上再落一個(gè)鋼球時(shí)體積最小，于是把鋼球的球心連接，則可得到一個(gè)棱長(zhǎng)為2的小正四面體，該小正四面體的高為，且由正四面體的性質(zhì)可知，正四面體的中心到底面的距離是高的，且小正四面體的中心和正四面體容器的中心是重合的，所以小正四面體的中心到底面的距離是，正四面體的中心到底面的距離是，所以可知正四面體的高的最小值為，故選擇C考點(diǎn)：幾何體的體積3、C【解析】根據(jù)分段函數(shù)的定義域先求出，再根據(jù)，根據(jù)定義域，結(jié)合，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意可知，，所以.故選：C.4、B【解析】分別寫出終邊落在y軸正半軸和負(fù)半軸上的角的集合，然后進(jìn)行分析運(yùn)算即可得解.【詳解】終邊落在y軸正半軸上的角的集合為：，終邊落在y軸負(fù)半軸上的角的集合為：，故終邊在y軸上的角的集合可表示成為，故A選項(xiàng)可以表示；將與取并集為：，故C選項(xiàng)可以表示；將與取并集為：，故終邊在y軸上的角的集合可表示成為，故D選項(xiàng)可以表示；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，或，顯然不是終邊落在y軸上的角；綜上，B選項(xiàng)不能表示，滿足題意.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查軸線角的定義，側(cè)重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解的應(yīng)用，考查邏輯思維能力和分析運(yùn)算能力，屬于?？碱}.5、D【解析】四棱柱中，因?yàn)?所以,所以是所成角，設(shè),則,+=,所以,所以+=,所以，所以選擇D6、D【解析】根據(jù)三角函數(shù)在各象限的符號(hào)即可求出【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)是第三象限的點(diǎn)，所以，故的終邊位于第四象限故選：D7、D【解析】化簡(jiǎn)集合、，進(jìn)而可判斷這兩個(gè)集合的包含關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，因此?故選：D.8、D【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，，，可比較大小，【詳解】解：，，；故選D【點(diǎn)睛】在比較冪或?qū)?shù)大小時(shí)，一般利用指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性，有時(shí)還需要借助中間值與中間值比較大小，如0,1等等9、B【解析】根據(jù)碳14的半衰期為5730年，即每5730年含量減少一半，設(shè)原來(lái)的量為，經(jīng)過(guò)年后變成了，即可列出等式求出的值，即可求解.【詳解】解：根據(jù)題意可設(shè)原來(lái)的量為，經(jīng)過(guò)年后變成了，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得：，即，，，以此推斷此水壩建成的年代大概是公元前年.故選：B.10、C【解析】根據(jù)題意，列方程，即可求解.【詳解】由題意可得，令，即，解得：t=4.故選：C11、B【解析】利用輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)解三角形不等式，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷充分條件、必要條件即可；【詳解】解：由，即，所以，，解得，，即，又第二象限角為，因?yàn)檎姘?，所以“”是“為第二象限角”的必要不充分條件；故選：B12、D【解析】根據(jù)題意，結(jié)合函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得，解不等式可得x的取值范圍，即可得答案【詳解】根據(jù)題意，偶函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，則在上為增函數(shù)，則，解可得：，即x的取值范圍是；故選D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性綜合應(yīng)用，注意將轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的不等式，屬于基礎(chǔ)題二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、①.1②.【解析】第一空根據(jù)偶函數(shù)的定義求參數(shù)，第二空為恒成立問(wèn)題，參變分離后轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最值【詳解】由，即，關(guān)于恒成立，故恒成立，等價(jià)于恒成立令，，，故a的取值范圍是故答案為：1，14、【解析】解一元二次不等式，結(jié)合新定義即可得到結(jié)果.【詳解】∵，∴，∴，故答案為：15、【解析】利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，化簡(jiǎn)得到原式，代入即可求解.【詳解】因?yàn)椋晒蚀鸢笧椋?6、【解析】由題得，利用正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間列出不等式，解之即得.【詳解】由題意可知，則要求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間只需求的單調(diào)遞增區(qū)間，由得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故答案為：.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）x-y=0(2)【解析】本試題主要是考查了直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用，．以及圓的方程的求解（1）PQ中點(diǎn)M(,),,所以線段PQ的垂直平分線即為圓心C所在的直線的方程:（2）由條件設(shè)圓的方程為:，由圓過(guò)P,Q點(diǎn)得得到關(guān)系式求解得到．則或故圓的方程為18、（1）或.（2）【解析】（1）解一元二次不等式求集合A、B，再由集合的補(bǔ)、并運(yùn)算求即可.（2）由充分條件知，則有，進(jìn)而求的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，或，∴或；【小問(wèn)2詳解】由是的充分條件，知：，∴，解得，∴的取值范圍為.19、（1）（2）【解析】（1）直接按照錐體表面積計(jì)算即可；（2）利用正方體體積減去三棱錐，，，的體積即可.【小問(wèn)1詳解】∵是正方體，∴，∴三棱錐的表面積為【小問(wèn)2詳解】三棱錐，，，是完全一樣的且正方體的體積為，故20、（1）正確，；（2）（i）和，（ii）存在符合題意，理由見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)和諧區(qū)間的定義判斷兩個(gè)函數(shù)即可；（2）（i）根據(jù)是奇函數(shù)求出的解析式，再利用“和諧區(qū)間”的定義求出的“和諧區(qū)間”，（ii）由（i）可得的解析式，由與都是奇函數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)，由單調(diào)性求出的端點(diǎn)坐標(biāo)，代入可得臨界值即可求解.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，任意的，則，所以時(shí)，沒(méi)有“和諧區(qū)間”，同理時(shí)，沒(méi)有“和諧區(qū)間”，所以“函數(shù)沒(méi)有“和諧區(qū)間”是正確的，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以值域?yàn)?，即，所以，所以，是方程的兩?因?yàn)?，解得，所以函?shù)的“和諧區(qū)間”為.【小問(wèn)2詳解】（i）因?yàn)楫?dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，，可得，設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，，所以，，所以，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，即，是方程的兩個(gè)不相等的正數(shù)根，且，所以，，所以在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是，同理可得，在區(qū)間上的“和諧區(qū)間”是.所以的“和諧區(qū)間”是和，（ii）存在，理由如下：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是以在定義域內(nèi)所有“和諧區(qū)間”上的圖象，所以若集合恰含有個(gè)元素，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，且一個(gè)交點(diǎn)在第一象限，一個(gè)交點(diǎn)在第三象限.因?yàn)榕c都是奇函數(shù)，所以只需考慮與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以曲線的兩個(gè)端點(diǎn)為，.因?yàn)?，所以的零點(diǎn)是，，或所以當(dāng)?shù)膱D象過(guò)點(diǎn)時(shí)，，；當(dāng)圖象過(guò)點(diǎn)時(shí)，，，所以當(dāng)時(shí)，與的圖象在第一象限內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn).所以與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).所以的取值范圍是.21、（1），（2）0.【解析】（1）先計(jì)算出，的值，然后根據(jù)角的配湊以及兩角差的余弦公式求解出的值；（2）利用誘導(dǎo)公式以及兩角和的正切公式結(jié)合正、余弦的齊次式計(jì)算化簡(jiǎn)原式【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，都為銳角，，，所以，，則【小問(wèn)2詳解】原式22、（1）（2）或【解析】(1)根據(jù)