2022-2023學(xué)年新疆阿克蘇地區(qū)沙雅縣二中高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．在長方體中，，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.2．若函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.3．已知某產(chǎn)品的總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為C=310Q2+3000.設(shè)該產(chǎn)品年產(chǎn)量為Q時(shí)的平均成本為fA.30 B.60C.900 D.1804．某甲、乙兩人練習(xí)跳繩，每人練習(xí)10組，每組40個(gè).每組計(jì)數(shù)的莖葉圖如下圖，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的一個(gè)是（）A.甲比乙的極差大B.乙的中位數(shù)是18C.甲的平均數(shù)比乙的大D.乙的眾數(shù)是215．表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，是方程的根，則（）A. B.C. D.6．設(shè)，，，則的大小順序是A. B.C. D.7．若全集，且，則（）A.或 B.或C. D.或.8．集合的真子集的個(gè)數(shù)是（）A. B.C. D.9．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸上，且點(diǎn)到點(diǎn)與點(diǎn)的距離相等，則點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有三個(gè)零點(diǎn)，則的最大值為A. B.C. D.11．設(shè)集合，則是A. B.C. D.有限集12．已知扇形的圓心角為，面積為，則扇形的半徑為（）A. B.C. D.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則___________.14．已知集合A＝{﹣1，2，3}，f：x→2x是集合A到集合B的映射，則寫出一個(gè)滿足條件的集合B_____15．已知一個(gè)圓錐的母線長為1，其高與母線的夾角為45°，則該圓錐的體積為____________.16．設(shè)集合，,則_________三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知函數(shù)是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸.（1）求的最大值，并寫出取得最大值時(shí)自變量的取值集合；（2）求在上的單調(diào)遞增區(qū)間.18．函數(shù)f（x）=Asin（2ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分圖象如圖所示（1）求A，ω，φ的值；（2）求圖中a，b的值及函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間；（3）若α∈[0，π]，且f（α）=，求α的值19．我們知道，函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù).若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，.（1）求的值；（2）設(shè)函數(shù).(i)證明函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；(ii)若對(duì)任意，總存在，使得成立，求的取值范圍.20．已知函數(shù)（1）求的最小正周期；（2）設(shè)，求的值域和單調(diào)遞減區(qū)間21．已知函數(shù)且（1）判斷函數(shù)的奇偶性；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并給出證明；（3）當(dāng)時(shí)，函數(shù)值域是，求實(shí)數(shù)與自然數(shù)的值22．已知函數(shù)f(x)=x-（1）討論并證明函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)的單調(diào)性；（2）若對(duì)任意的x∈[1,+∞)，f(mx)+mf(x)<0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】如圖，連接交于點(diǎn)，連接，則結(jié)合已知條件可證得為直線與平面所成角，然后根據(jù)已知數(shù)據(jù)在求解即可【詳解】解：如圖，連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)殚L方體中，，所以四邊形為正方形，所以，，所以，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，所以平面，所以為直線與平面所成角，因?yàn)?，，所以，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為，故選：D【點(diǎn)睛】此題考查線面角的求法，考查空間想象能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題2、D【解析】由分段函數(shù)可知必須每段有且只有1個(gè)零點(diǎn)，寫出零點(diǎn)建立不等式組即可求解.【詳解】因?yàn)闀r(shí)至多有一個(gè)零點(diǎn)，單調(diào)函數(shù)至多一個(gè)零點(diǎn)，而函數(shù)恰有個(gè)零點(diǎn)，所以需滿足有1個(gè)零點(diǎn)，有1個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，故選：D3、B【解析】利用基本不等式進(jìn)行最值進(jìn)行解題.【詳解】解：∵某產(chǎn)品的總成本C（單位：元）與年產(chǎn)量Q（單位：件）之間的關(guān)系為C=∴f(Q)=當(dāng)且僅當(dāng)3Q10=3000Q∴fQ的最小值是60故選：B4、B【解析】通過莖葉圖分別找出甲、乙的最大值以及最小值求出極差即可判斷A；找出乙中間的兩位數(shù)即可判斷B；分別求出甲、乙的平均數(shù)判斷C；觀察乙中數(shù)據(jù)即可判斷D；【詳解】對(duì)于A，由莖葉圖可知，甲的極差為，乙的極差為，故A正確；對(duì)于B，乙中間兩位數(shù)為，故中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲的平均數(shù)為，乙的平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，乙組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多為21，故D正確；故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了由莖葉圖估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】先求出函數(shù)的零點(diǎn)的范圍，進(jìn)而判斷的范圍，即可求出.【詳解】由題意可知是的零點(diǎn)，易知函數(shù)是（0，）上的單調(diào)遞增函數(shù)，而，，即所以，結(jié)合性質(zhì)，可知.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)問題，屬于基礎(chǔ)題6、A【解析】利用對(duì)應(yīng)指數(shù)函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別得到其與中間值0,1的大小比較，從而判斷的大小.【詳解】因?yàn)榈讛?shù)2>1，則在R上為增函數(shù)，所以有；因?yàn)榈讛?shù)，則為上的減函數(shù)，所以有；因?yàn)榈讛?shù)，所以為上的減函數(shù)，所以有；所以，答案為A.【點(diǎn)睛】本題為比較大小的題型，常利用函數(shù)單調(diào)性法以及中間值法進(jìn)行大小比較，屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】根據(jù)集合補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由題意，全集，且，根據(jù)集合補(bǔ)集的概念及運(yùn)算，可得或.故選：D.8、B【解析】確定集合的元素個(gè)數(shù)，利用集合真子集個(gè)數(shù)公式可求得結(jié)果.【詳解】集合的元素個(gè)數(shù)為，故集合的真子集個(gè)數(shù)為.故選：B.9、B【解析】先由題意設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)空間中的兩點(diǎn)間距離公式，列出等式，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在軸上，所以可設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，依題意，得，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為故選：B.10、C【解析】因?yàn)樵谏嫌腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以在上有三個(gè)不同的解，即函數(shù)與的圖象在上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，畫出函數(shù)圖像，結(jié)合圖象進(jìn)而求得答案【詳解】因?yàn)樵谏嫌腥齻€(gè)零點(diǎn)，所以在上有三個(gè)不同的解，即函數(shù)與的圖象在上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，從而取得最大值，且.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是得出函數(shù)與的圖象在上有三個(gè)不同的交點(diǎn)，屬于一般題11、C【解析】根據(jù)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別求出兩集合中函數(shù)的值域，求出兩集合的交集即可【詳解】由集合S中的函數(shù)y＝3x＞0，得到集合S＝{y|y＞0}；由集合T中的函數(shù)y＝x2﹣1≥﹣1，得到集合T＝{y|y≥﹣1}，則S∩T＝S故選C【點(diǎn)睛】本題屬于求函數(shù)值域，考查了交集的求法，屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】利用扇形的面積公式即可求解.【詳解】設(shè)扇形的半徑為，則扇形的面積，解得：，故選：C二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】由系數(shù)為1解出的值，再由單調(diào)性確定結(jié)論【詳解】由題意，解得或，若，則函數(shù)為，在上遞增，不合題意若，則函數(shù)為，滿足題意故答案為：14、{﹣2，4，6}【解析】先利用應(yīng)關(guān)系f：x→2x，根據(jù)原像求像的值，像的值即是滿足條件的集合B中元素【詳解】∵對(duì)應(yīng)關(guān)系為f：x→2x，={-1，2，3}，∴2x=-2，4，6共3個(gè)值，則-2，4，6這三個(gè)元素一定在集合B中，根據(jù)映射的定義集合B中還可能有其他元素，我們可以取其中一個(gè)滿足條件的集合B，不妨取集合B={-2，4，6}.故答案為：{-2，4，6}【點(diǎn)睛】本題考查映射的概念，像與原像的定義，集合A中所有元素的集合即為集合B中元素集合.15、##【解析】由題可得，然后利用圓錐的體積公式即得.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為r，高為h,由圓錐的母線長為1，其高與母線的夾角為45°，∴，∴該圓錐的體積為.故答案為：.16、【解析】根據(jù)集合的交集的概念得到.故答案為三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1），；，（2）【解析】（1）化簡得，根據(jù)對(duì)稱軸可得的值，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得最值；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得在上的單調(diào)遞增區(qū)間【小問1詳解】由已知又是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，所以，得，，即，，此時(shí)，即，，此時(shí)，即，【小問2詳解】，則，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，單調(diào)遞增，在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.18、（1）；（2），遞增區(qū)間為；（3）或.【解析】（1）利用函數(shù)圖像可直接得出周期T和A，再利用，求出，然后利用待定系數(shù)法直接得出的值（2）通過第一問求得的值可得到的函數(shù)解析式，令，再根據(jù)a的位置確定出a的值；令得到的函數(shù)值即為b的值；利用正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間即可求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（3）令結(jié)合即可求得的取值【詳解】解：（1）由圖象知A=2，=-（-）=，得T=π，即=2，得ω=1，又f（-）=2sin[2×（-）+φ]=-2，得sin（-+φ）=-1，即-+φ=-+2kπ，即ω=+2kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴當(dāng)k=0時(shí)，φ=，即A=2，ω=1，φ=；（2）a=--=--=-，b=f（0）=2sin=2×=1，∵f（x）=2sin（2x+），∴由2kπ-≤2x+≤2kπ+，k∈Z，得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，即函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[kπ-，kπ+]，k∈Z；（3）∵f（α）=2sin（2α+）=，即sin（2α+）=，∵α∈[0，π]，∴2α+∈[，]，∴2α+=或，∴α=或α=【點(diǎn)睛】關(guān)于三角函數(shù)圖像需記住：兩對(duì)稱軸之間的距離為半個(gè)周期；相鄰對(duì)稱軸心之間的距離為半個(gè)周期；相鄰對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的距離為個(gè)周期關(guān)于正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間要掌握：當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減19、（1）；（2）(i)證明見解析；(ii).【解析】(1)根據(jù)題意∵為奇函數(shù)，∴，令x＝1即可求出；(2)(i)驗(yàn)證為奇函數(shù)即可；(ii))求出在區(qū)間上的值域?yàn)锳，記在區(qū)間上的值域?yàn)椋瑒t.由此問題轉(zhuǎn)化為討論f(x)的值域B，分，，三種情況討論即可.【小問1詳解】∵為奇函數(shù)，∴，得，則令，得.【小問2詳解】(i)，∵為奇函數(shù)，∴為奇函數(shù)，∴函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱.(ii)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴在區(qū)間上的值域?yàn)?，記在區(qū)間上的值域?yàn)?，由?duì)，總，使得成立知，①當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性知，在上單調(diào)遞增，∴在上單調(diào)遞增，只需即可，得，∴滿足題意；②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由對(duì)稱性知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴或，當(dāng)時(shí)，，，∴滿足題意；③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，由對(duì)稱性知，在上單調(diào)遞減，∴在上單調(diào)遞減，只需即可，得，∴滿足題意.綜上所述，的取值范圍為.20、（1）；（2）的值域?yàn)?，的遞減區(qū)間為【解析】（1）先根據(jù)二倍角公式和兩角和與差的公式進(jìn)行化簡，再求出周期即可；（2）先根據(jù)的范圍求得，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到函數(shù)的值域，求得單調(diào)遞減區(qū)間【詳解】（1）（2）∵，，的值域?yàn)?，?dāng)，即，時(shí),單調(diào)遞減，且，所以的遞減區(qū)間為21、（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）答案見解析，證明見解析；（3），.【解析】（1）利用奇偶性定義判斷奇偶性.（2）利用單調(diào)性定義，結(jié)合作差法、分類討論思想求的單調(diào)性.（3）由題設(shè)得且，結(jié)合（2）有在上遞減，結(jié)合函數(shù)的區(qū)間值域，求參數(shù)a、n即可.【小問1詳解】由題設(shè)有，可得函數(shù)定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù).【小問2詳解】令，則，又，則，當(dāng)時(shí)，，即，則在上遞增.當(dāng)時(shí)，，即，則在上遞減.【小問3詳解】由，則，即，結(jié)合（2）知：在上遞減且值域?yàn)?，要使在值域是，則且，即，所以，又，故.綜上，，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第三問，注意，即有在上遞減，再根據(jù)區(qū)間值域求參數(shù).22、(1)函數(shù)f(