含參量反常積分一致收斂的判別法

題目含參量反常積分一致收斂的判別法學(xué)生姓名學(xué)號系別數(shù)學(xué)系年級2010級專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師職稱完成日期含參變量的反常積分是研究和表達函數(shù)的的有力工具。要更好的研究含參量反常積分所表達的函數(shù)，關(guān)鍵問題在于判斷他的一致收斂性。本文通過研究判斷含參量反常積分一致收斂的判別法，以幫助研究含參量反常積分所表達的函數(shù)。關(guān)鍵詞：含參量反常積分;一致收斂;判別法AbstractImproperintegralwithvariableisthestudyandexpressiontoolfunction.Tobetterfunctionofparameterimproperintegralexpressionofthekeyproblemliesinthejudgment,theuniformconvergenceofhis.Throughthestudyofjudgingfunctiondiscriminantmethodofparameterimproperintegralconvergesuniformlytohelpthestudyofparameterimproperintegralexpression.Keywords:Improperintegralwithvariable;uniformconvergence;discriminantanalysisTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1引言(1)\o"CurrentDocument"2基本概念⑴\o"CurrentDocument"2.1含參量反常積分(1)\o"CurrentDocument"2.2含參量反常積分一致收斂(2)\o"CurrentDocument"3含參量反常積分一致收斂的判別方法⑵3.1定義法(2)\o"CurrentDocument"3.2柯西準(zhǔn)則法(3)\o"CurrentDocument"3.3變上限積分的有界性法(3)\o"CurrentDocument"3.4確界法(4)\o"CurrentDocument"3.5微分法(5)\o"CurrentDocument"3.6級數(shù)判別法(6)\o"CurrentDocument"3.7維爾斯特拉斯判別法(簡稱M判別法)(6)\o"CurrentDocument"3.8狄里克萊判別法(8)\o"CurrentDocument"3.9阿貝爾判別法(8)\o"CurrentDocument"4結(jié)束語(1)\o"CurrentDocument"參考文獻(10)致謝(11)含參量反常積分一致收斂的判別法柯美蓉（閩江學(xué)院數(shù)學(xué)系；福建福州350108）引言含參量反常積分是微積分學(xué)中一類重要的積分，是研究和表達函數(shù)，特別是非初等函數(shù)的有力工具.為了討論含參變量反常積分的連續(xù)性、可微性和可積性，我們需要引進含參變量反常積分的一致收斂性的概念，它和函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性的意義是相當(dāng)?shù)?現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材［1-3、5］給出的含參量反常積分的一致收斂的判別法主要是一致收斂定義、柯西準(zhǔn)則、維爾斯特拉斯判別法、狄里克萊判別法及阿貝爾判別法，它們都有一定的局限性，不適用于每種含參量反常積分的一致收斂性的判別.為了更好的判別含參量反常積分的一致收斂性，本文研究、歸納了判別含參量反常積分的一致收斂性的九種方法:一致收斂定義、柯西準(zhǔn)則法、變上限積分的有界法、確界法、微分法、級數(shù)辨別法、魏爾斯特拉斯M判別法、狄克雷判別法和阿貝爾判別法，并且給出了典型例子以說明每種判別法的特點，以便于人們的研究、理解.基本概念2.1含參量反常積分設(shè)函數(shù)f3,y)定義在無界區(qū)域R={3,y)\a<工<+3,yeI}上，其中I為區(qū)間C,d】,反常積分f+wf3y)dx都收斂，則它的值是y在C,d】上取值的函數(shù)，當(dāng)記這個函數(shù)為Q(y)時，則有中(y)=』心f(x,y)dx,yeI，(2-1)a稱j+8f(x,y)dx式為定義在I上的含參量y的無窮限反常積分，或簡稱含參量反常a積分［1］.2.2含參量反常積分一致收斂若含參量反常積分J*”f(x,y)dx與函數(shù)中(x)對任給的正數(shù)，存在某一實數(shù)aN>a，使得當(dāng)M>N時,對一切yeC,d］都有\(zhòng)Mf(x,y)dx一中(y)<￡，(2-2)a即J*”f(x,y)dx<￡，(2-3)M則稱含參量反常積分J*”f(x,y)dx在I上一致收斂于①(y)，或者簡單的說含參量a積分J*”f(x,y)dx在I上一致收斂.a含參量反常積分一致收斂的判別方法3.1定義法定義判別法：根據(jù)以上2.2關(guān)于含參量反常積分一致收斂的定義進行判別.例3-1證明：含參量反常積分J*”xe-xydy在(0,+”)內(nèi)不一致收斂，但是在辰,+”)上0一致收斂(其中a>0)⑵.分析由含參量反常積分一致收斂定義可知，含參量反常積分J*”fG,yd在0(0,*”)上不一致收斂指：存在￡0>0對任何實數(shù)A0>0,總存在A>A0和xe(0,*”)，stJ*”A>￡.(3-1)證明1）當(dāng)x>0時，f+Mxe-xydy令stJ*”A>￡.(3-1)TOC\o"1-5"\h\zAAx=—e-t+8Ax=e—Ax取￡=—，VA>0，取A>A,x=-e（0,+8）,01000A有j+3xe-xydyA=e-ax=e-AA=e-i>-=￡，100含參量反常積分j+3xe—^xydy在（0,+3）內(nèi)不一致收斂.02）由1）可知j+3xe-xydy=e-Ax，AV￡>0，e-Ax<￡可知A>-In-，故可取A0=：ln1，則當(dāng)A>A0時，對所有的xeta,+3）有j+3xe-xydy=e-Ax<￡，A從而含參量反常積分j+3xe-xydy在R,+3）上一致收斂.j+3xe-xydyA0用含參量反常積一致收斂的定義證明含參量反常積分的一致收斂性，通常使用的方法是適量放大.3.2柯西準(zhǔn)則法定理3-1（一致收斂柯西準(zhǔn)則）含參量反常積分j+3f（x,y）dx在I區(qū)間上一致收a斂OV￡>0,BN>a,stA,A>N，A>A時，對VyeI，有1221jA2f（x,y）dx<￡.（3-2）Ai注：使用柯西準(zhǔn)則討論一致收斂性具有很大的優(yōu)越性，難度大大減少，這是因為使用這方法只要考慮充分后的有限區(qū)間Ia,A〃],而不要考慮充分后的無窮區(qū)間[A,+3）[31

例3?2設(shè)f(x,y)在無界區(qū)域R={(x,y)\a<x<b,c<y<+^)上連續(xù)，對所有xg\a,b\,含參量反常積分收斂，但尤=。時積分發(fā)散，證明:Cf+oo/G,Qy在點上非一致收斂.證明1)5+8/4,〉*發(fā)散,>0,VA>0,>0,VA>0,3Aff>Ar>A,stj*了G,y)dy>2s,，o2)?「f(x,y)在無界區(qū)域/?={(x,y)\a<x<b,c<y<+oo}Jl連續(xù),在有界閉區(qū)域R={3,y)\a<x<b,Ar<y<A")上一直連續(xù),.,.對￡>0,賣>0,當(dāng)x,xg\a,b\,yye恥A"],0121,2>一><&,有12|/匕七)一人2，履〈上，???當(dāng)時，有/.fA"(f(x,y)-f(b,yl)dyI#3)根據(jù)1)、2)可得\A"f(x,y)dyAfAff(b,y)dy-P(/G,y)-/G,yl)dyIIAr4>Af3s>0,VA>c,BAff>Af>A,a：gL,Z?Looo>E.0所以j+8fCl,在點上非一致收斂.3.3變上限積分的有界性法定理3-2若函數(shù)f(x,y)在無界區(qū)域7?={(x,y)\a<x<+oo,ye/),(?>0)連續(xù)，且BM>0,vG,R,有|fG,\xf^t,y)dt<M,(3-3)a

即sG,j^）=ixf（t,Qt在r有界，則當(dāng)s>0,含參量反常積分j+8^X^dy在區(qū)間I上一致收斂［4］.（分析：由給定的條件可以推理出滿足狄利克雷判別法的條件的）證明1）3M>0,V（x,y）gR，有|F（x,y）=ifxf（t,y）dt<M，Ia即F（x,y）=fxf（t,ydt在R有界；a2）對所有的ye\c,d］，當(dāng)xT+3時，對于參變量y，一致收斂于0,且/s關(guān)于x是單調(diào)遞減的；則由狄利克雷判別法可得到含參量反常積分f+-f（X^y）dy在區(qū)間I上一致收斂.aXS例3-3判斷含參量反常積分卜e九也dx在區(qū)間k+8）的一致收斂性.0x5解依題意可得：F（x,人）=F（x,人）+F（x,人），,X)=f1e-籽sintdt，0其中12Fixe-舄sintdt，iF2(x,人)=fe-Xtsintdt<』"+*)e-X—0(X—+8)1+X2???V(x,X)eR(<X<+8,0<X<+8)，F(xiàn)2（x,x）=『而F（x,X）=f1e-籽sintdt是定積分，所以必然有界，0即3M，V（x,X）g,X)=f1e-籽sintdt，0xe-舄sintdt，ie-Xtsintdt<』"+*)e-X—0(X—+8)1+X2<M；含參量反常積分f+8e-Xx也dx在區(qū)間h+8）是一致收斂的.0x53.4確界法定理3-3含參量積分f+8f(x,y)ix在I上一致收斂o[limsupf+8f(x,y)dx=0.ayelA例3-4分析討論含參量積分f+8Xe-xXdx(Xe(0,+8))的一致收斂性[5].0

解1）當(dāng)X>0時，令t-玖，可得+se-tdt

xaf+TOXe-x人dx—JA=——e一t+8XaF（A）=supJ+8Xe-xXdx—1，Xe（0,+8）A即limF（A）=1豐0，+se-tdt

xaA^+8「.含參量反常積分J+8xe-xydy在（0,+8）內(nèi)不一致收斂.o2）若任取a>0，就能發(fā)現(xiàn)F（A）=supJ+8Xe-xXdx-e-aA，

lela,+8）A:.limF（A）=0At+8從而含參量反常積分J+8xe-xydy在辰,+8）上一致收斂.03.5微分法定理3-4設(shè)1）函數(shù)fG,y）關(guān)于yeC,d］可微；ay3）存在一點y'e2）J+8f（x,y）dx關(guān)于yeC,d］一致收斂；C,d］，使得含參量積分J+8f（x,y'）dx收斂;ay3）存在一點y'ea則含參量反常積分J+8f（x,y）dx在C,d］上一致收斂［6］a證明對VyeC,yl，在［y,y，］uC,d］，對Vxela,+8）有fG,y，）-fG,y）=』y'fG,y^yyyJ+8fG,y）dx關(guān)于yeC,d］一致收斂，ay?:Vyel.:J+8fG,y）dx關(guān)于yeC,y，］也是一致收斂的，,y，］，3A（￡）,st對VA,A">A#）有JAfG,y認(rèn)<A'y￡2（y，-c）（2）

含參量積分j+8f(x,y')dx收斂，aVs>0,3A2(,y),st對va,a">A2(,y)有(3)jAf(x,y')dxA令A(yù)-maxjay?:VyelJAfG,y認(rèn)<A'y￡2（y，-c）（2）Vs>0,3A2(3)令A(yù)-maxjA"f(x,y'^dx+jA"j，'f(x,y)dydxA':jyj*f(x,y認(rèn)當(dāng)ygC,y，］時，jAf(x,y)dx=jA"ffG,y)—jy'f(x,y)dydxAA'Vyy)yydyyydyA's一+A'2yss2+2^即含參量積分j*”f(x,y)dx關(guān)于ygC,yl一致收斂，a同理可得含參量積分j+8f(x,y)dx關(guān)于yg［yr,d］也一致收斂，a總結(jié)可得含參量積分j+8f(x,y)dx關(guān)于ygC,d］一致收斂.A'a例3-5判斷含參量積分j+”e-4y2cos2xydy在xg(-8,+8)上的一致收斂性.o解?/對固定的x￡(-8,+8)，有「c「y2c八limy2e-4y2cos2xy=limcos2xy=0，y—8y—8e4y2「.對固定的xg(-8,+8)，含參量積分j+8e-4y2cos2xydy在xg(-8,+8)上收斂，o設(shè)f(x,y)=e-4y2cos2xy，則j+8f(x,y^dy--2j+8ye-4y2sin2xydy，.-y3supy2-ye-4y2sin2xy=——xg(-8,+8)e4y：「.limsupy2-ye-4y2sin2xy=0，y—+8xG(-8,+8)由一致收斂柯西判別法可知j+8fx(x,yd在xg(-8,+8)內(nèi)一致收斂，含參量積分j+8e-4y2cos2xydy在xg(-8,+8)范圍上的一致收斂.03.6級數(shù)判別法。函數(shù)項級數(shù)定理3-5含參量反常積分j+8f3,jy)dx在C,d］上一致收斂aEj%f(x,y^x=Eu(y)在C,d］上一致收斂，其中A是數(shù)列｛a｝的項，數(shù)列(4｝Annnn。函數(shù)項級數(shù)n=1nn=1滿足以下條件：A]=a;數(shù)列｛a｝為遞增數(shù)列；數(shù)列(4｝趨于+8.[7]n?(…)-例3-6證明含參量反常積分j+8ln1+u2"du關(guān)于V在h1]是一致收斂的.1u3證明令f(u,V)=也竺9，u3,/uG[1,+8)，VGt),1]，r()ln(+u2V2)「.fVW,V)=>0，u3同時可知：二元函數(shù)f(u,V)關(guān)于u在［1,+8)上單調(diào)遞減，令函數(shù)項級數(shù)為Eln'+n2V2)GGlo,1D，n=1ln(+n2v2)ln(+n2)TOC\o"1-5"\h\z<，n3ln(+n2)又,:limn20，ln(+n2v2)n*n3函數(shù)項級數(shù)為工ln‘+n2V2)收斂，n3n=1根據(jù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的維爾斯特拉斯判別法(M判別法)可得到:函數(shù)項級數(shù)Uln'+n2V'關(guān)于V在h1］是一致收斂的，n3n=1

由級數(shù)判別方法定理可知含參量反常積分j+8ln」"2")du關(guān)于v在hi］是一致1u3收斂的.3.7維爾斯特拉斯判別法(簡稱m判別法)定理3-6(維爾斯特拉斯判別法)：設(shè)存在函數(shù)g1)，滿足以下條件：使得|fG,M<g1)，xe",+8)，yg\c,d］，j+8g(x^x收斂，a則含參量反常積分卜f(x,y)dx在C,d］上一致收斂.［8］a要點：使用M判別法關(guān)鍵在于將被積函數(shù)絕對值|f(x,y)放大，從而找出符合條件的gG).值得注意的是:維爾斯特拉斯的M判別法雖然比較簡單，但是有一定的局限性，能用M判別法證明是一致收斂的含參量反常積分一定是絕對一致收斂的，但是絕對一致收斂的含參量反常積分并不能全用M判別法證明它的一致收斂性，同時條件一致收斂的含參量反常積分也不能用M判別法來判別一致收斂性.例3-7判斷j1(+a+a2++an)lnL]2dx(n=1,2,...)是否一致收斂.oIa)解a=0為奇點，+a+a2++an4In—■121

<——1—a(1\

ln—Ix)(1\

ln—ka1+a+a2++an4In—■121

<——1—a(1\

ln—Ix)(1\

ln—ka12=limaT01—a―.，…1故積分j101—a(1A1ln12dx收斂ka)0ka)例3-8證明積分了心e-U2)sintdu，a>0在tg〔0,+8)中一致收斂.證明???當(dāng)t-0時，e-atsint:.35>0，st當(dāng)0vtVe-atsint:.35>0，st當(dāng)0vtV8時，有e-atsint2ev.一，?5于是I+3e-(x+u2)sintdu=e-atsintj+3e-uduAA竺業(yè)I"e-x2dxJt'"A?當(dāng)tG[0,5)時，VA>0有I+3A當(dāng)5<tV+3時，I+"e-&2du收斂，0e直+u2)sintduvs，e直+u2)sintduvs，e-〈+u2)sint<e-5+U2)<e-5u2,由維爾斯特拉斯判別法可知:積分Ie-U2)e-C+u2)sintdu在tg1由維爾斯特拉斯判別法可知:積分Ie-U2)當(dāng)tG%,+3)時，3A>0,st對VA>A，有0「0J+3e-(+u2)sintduvs，A?綜合上述得：Vs>0，3A>0,st當(dāng)A>A時，|j+3e-<+u2)sintduvs對每個00IAtg(0,+3)成立.積分I+3e-匕+u2)sintdu，a>0在tgl(),+3)中一致收斂.03.8狄利克萊判別法定理3-7(狄利克萊判別法)：設(shè)f(x,y)=g(x,y》(x,y)，若滿足以下條件：

存在N>0，對所有滿足A>a的實數(shù)A以及yg\c,d］,都有jAh(x,y)dx<N,a即對所有對所有滿足A>a的實數(shù)A，含參量正常積分jAh(x,y}ix對參量y在aC,d］上一致有界；對于所有ygC,d］，函數(shù)g(x,y)關(guān)于x是單調(diào)遞減的，而且當(dāng)xT+3時，對參量y，g(x,y)一致收斂于0；則含參量反常積分j+8f(x,y)dx在C,d］上一致收斂.a例3-9證明含參量積分j+8sinxydx在［y，,+8)上一致收斂，其中y，>0.0x+y111證明Vy>y，函數(shù)二關(guān)于x單調(diào)下降，且二<1，x+yx+yx當(dāng)xT+8時，函數(shù)工關(guān)于y在頃+8)上一致收斂于0，x+y又、VA>0，Vy>y'>0，有jAsinxydx=01-jAsinxydx=01-cosAy|<2y—>，'???根據(jù)狄利克萊判別法可得到：含參量積分j+8sinxydx在［y',+8)上一致收斂.0x+y3.9阿貝爾判別法定理3-8(阿貝爾判別法)：設(shè)f(x,y)=g(x,y)(x,y)，若滿足以下條件：對所有ygC,d］，函數(shù)g(x,y)是關(guān)于x的單調(diào)函數(shù)，且對參量y，g(x,y)在C,d］上一致有界；j+8h(x,y)dx在C,d］上一致收斂；a則含參量反常積分j*"f(x,y)dx在C,d］上一致收斂.［