知識講解-導(dǎo)數(shù)幾何意義

編稿 y

f(xyf(x2f(x1)y

f(x)

x2f(x的平均變化率yf(x2f(x1)AB x2

yAyBf(x2f(x1)y x x QyfQyfPMOP(x0,y0及其附近一點(diǎn)Q(x0x,y0y經(jīng)過點(diǎn)P、Q作曲線的割線PQ 則有

y0yy0y

x) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義——曲線的切 1Pn(xn,f(xn))(n1234f(xP(x0,f(x0PPn的變化趨勢是我們發(fā)現(xiàn),PnP即Δx→0時(shí),PPnPTP處的切線QyQyfPTM定義：如圖，當(dāng)點(diǎn)Q(x0x,y0yP(x0,y0，即x0PQPTP也就是：當(dāng)x0時(shí)，割線PQ斜率的極限，就是切線的斜率 klimy

f(x0xf(x)f(xx0 （1）xx0yf(xP(x0,f(x0xf'(x0)0xf(xf'(x00xf(xf'(x0)0xCCC1-1-2-1的曲線C是我y=sinx的一部分，直線l2CM，但我們不能說直線l2C相切；而直線l1盡管與曲線C有不止一個(gè)公共點(diǎn)，但我們可以說直線l1CN處的切線。①求出切點(diǎn)(x0,f(x0y

f(xx0f在點(diǎn)(x0,f(x0處的切線與過點(diǎn)（x0，y0）在點(diǎn)(x0,f(x0處的切線是說明點(diǎn)(x0,f(x0為此切線的切點(diǎn)；而過點(diǎn)（x0，y0）的切線，則強(qiáng)調(diào)切線是過點(diǎn)（x0，y0，此點(diǎn)可以是切點(diǎn)，也可以不是切點(diǎn)。因此在求過點(diǎn)（x0，y0）的切線方程時(shí)，先應(yīng)判（x0，y0）f(x上的點(diǎn)，若是則為第一類解法，若不同則必須先在曲線上取一切點(diǎn)(x1,f(x1yy1f'(x1)(xx1，再將點(diǎn)（x0，y0）代入，求得切點(diǎn)(x1,f(x1的坐標(biāo)，進(jìn)而f(x)x=x0處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到,當(dāng)時(shí),f(x0一個(gè)函數(shù),f(x)的導(dǎo)函數(shù).f(xy，

是一個(gè)確定的數(shù)，那么,x變化時(shí),x即:f(xy

f(xx)ff(xx0f(x0f(xf(x0，就是在該點(diǎn)的函數(shù)的改變量與自變量的改變量之比的極限，它是一個(gè)常f(xxf(xf(xx

導(dǎo)函數(shù)求法y

f(x

f

（2）.x

f(xx)f。（3）.y＝limyx0y'

f(xxf(x（y

f(x)f(xx)；y'

f(xx)f

y'

f'(x)

f(xf(x0 x

x要點(diǎn)詮釋：只要是x0時(shí)，極限式所表示的是割線的斜率（或其若干倍類型一、求曲線的切線方【課堂：導(dǎo)數(shù)的幾何意義385147例11yx21P（1，2） 利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在點(diǎn)P（1，2）處的切線的斜率等于函數(shù)yx21在x1處的導(dǎo)由yx21得y(x21)2x，所以曲線在點(diǎn)P處的切線斜率為ky 2Py22(x1y2x y=f(xxx0y=f(xP(x0，f(x0②由點(diǎn)斜式寫出直線方程：yy0f(x0)(xx0y=f(xP(x0，f(x0y（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）xx0.【變式】已知函數(shù)f(x)＝x2＋3，則f(x)在(2，f(2))處的切線方程 0∵f(x)＝x2＋3，x0y＝4＋Δxlimy＝4. x0又切線過(2,7)點(diǎn)，所以f(x)在(2，f(2))處的切線方程為【課堂：導(dǎo)數(shù)的幾何意義385147例2】2求曲線yx3P(1,1的切線方程.【解析 P(1,1yx3y3x2，則k3y13(x1y3x20P(1,1不是切點(diǎn)，設(shè)切點(diǎn)為(xx3：則切線率ky3x2，所以3x0

1x

1x1，所以k3y13(x1y3x1

1f(x)x33x，經(jīng)過點(diǎn)(22f(x)x33xf(xlimy3x2x0由于點(diǎn)(22f(x當(dāng)點(diǎn)(22f(x圖象在點(diǎn)(22處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，kf(2)32239，09xy16000當(dāng)點(diǎn)(22不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)點(diǎn)0

,x3

x33xf(x在此處的導(dǎo)數(shù)（即切線的斜率）k

f

)3x23 （x2）000即x33x240(x1)(x2)20

1

x0 即此時(shí)點(diǎn)(1,2y22y1x求滿足斜率為1的曲線的切線方程3（1）A（1，0）的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為a1

f(ax)f(a)

a

切線的斜率為1y11(xa。 A（1，0）代入①式，得a1。所以所求的切線方程為y=―4x+42 1

3（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為Px0,x，由（1）知，切線的斜率為kx2，則x23，x0 3 0 3 3么切點(diǎn)為 或P'3, 3 3 y1x23y1x23 【課堂：導(dǎo)數(shù)的幾何意義385147例3【變式3】設(shè)f(xx32ax2bxag(xx23x2xRabyf(xyg(x點(diǎn)（2,0）處有相同的切線lab的值，并寫出切線l

f'(2)

(2x)32a(2x)2b(2x)a(238a2b lim128ab6x(x)2128a g'(2)

(2x)23(2x)2(2232

lim(1x)由已知f(2)0f'(2g'(2)a2b5，因?yàn)閗g'(2所以lyx類型二、利用定義求導(dǎo)函3．y

x=2導(dǎo)數(shù)定義法 (x)2∵y 1 (x (x (x∴y

x。 (x∴l(xiāng)imy

x

1x0

x0(x（∵y

4(x

4x(2xx)x2(xy4(2xx) x2(x∴y'limy

4(2x

8x0

x0x2(x f'(2y|x211f(x

xf'(xxxxxxxxxx2 xxx2 x(xx2)(xx(xx2 xxx2 x 當(dāng)Δx→0時(shí)，f'(x) ，當(dāng)x=2時(shí)，f'(2) 2x 22 x2yx

1在(0xx

1 xx xxx x x x xx (x xx)(x xx xx x(x xxx xxx xx x(x xx x(x xxy

1 x xx x(x xx x2x類型三、導(dǎo)數(shù)的幾種形例4.若f'(x)2，則limf(x0k)f(x0) k 【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義：f'(x)limf[x0kf(x0（這時(shí)Δ=－k k 所以limf(x0kf(x0k lim1f[x0(k)]f(x0) k0

1limf[x0kf(x0)1212k f'(xlimf(x0kf(x0)（這時(shí)Δx=k k 所以limf(x0kf(x0)1limf(x0kf(x0)121k 2k

fx02xfx0

fx02xfx0

＝2

fx02xfx0

【變式2】設(shè)f(x)為可導(dǎo)函數(shù)，且滿足

f(1)f(12x)

－1，則過曲線y＝f(x)上點(diǎn)(1，f(1))處的線斜率為

f(1)f(12x)

f(12x)f

－1，則y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線斜率為－1，故選 若f'