高中二年級(jí)理科數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí)――隨機(jī)變量及其分布(答案)

高二理科數(shù)學(xué)期末專題復(fù)習(xí) 隨機(jī)變量與其分布考點(diǎn)一：離散型隨機(jī)變量與其分布列題型1:離散型隨機(jī)變量分布列的計(jì)算.求選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)的分［例1］旅游公司為3個(gè)旅游團(tuán)提供4.求選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)的分解析：設(shè)選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)為E,那么E=0,1,2,3P(E=0)332764P(E=1)C3322764,P(E=2)C；3"7^64,p池=3〕峠右E的分布列為:0123272791P64646464［名師指引］求離散型隨機(jī)變量分布列時(shí)，應(yīng)明確隨機(jī)變量可能取哪些值，然后計(jì)算其相應(yīng)的概率填入相應(yīng)的表中即可。010123p0.1mn0.1—101P121—2q2q［練習(xí)］?老師要從10篇課文中隨機(jī)抽3篇讓學(xué)生背誦，規(guī)定至少要背出其中 2篇才能與格?某同學(xué)只能背誦其中的6篇，試求：〔1〕抽到他能背誦的課文的數(shù)量的分布列； 〔2〕他能與格的概率.題型2:離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用［例2］某一隨機(jī)變量的概率分布如下表，且m2n1.2,那么mn的值為〔)A.—0.2;B.0.2;C.0.1;D.—0.1解析：由mnO.21，又m2n1-2，可得m芋0.2答案：B［練習(xí)］?設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下表，求 q的值解：因?yàn)殡S機(jī)變量的概率非負(fù)且隨機(jī)變量取遍所有可能值時(shí)相應(yīng)的概率之和等于 1,

1212qq1所以2°12q1解得q1 -。22q1考點(diǎn)二：二項(xiàng)分布與超幾何分布題型1：條件概率例1一儲(chǔ)蓄卡的密碼共有6位數(shù)字，每位數(shù)字都可從°?9中任選一個(gè)?某人在銀行自動(dòng)提款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字?求： (1)任意按最后一位數(shù)字，不超過 2次就按對(duì)的概率；(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過 2次就按對(duì)的概率.解析：設(shè)事件A(i1,2)表示第i次按對(duì)密碼 1⑴卩( 1⑴卩(陽(yáng)入)9⑵事件入A表示恰好按兩次按對(duì)密碼，那么P(AA)P(A)P(A2|A)9 1 11° 9 1°⑶設(shè)事件B表示最后一位按偶數(shù)，事件解：設(shè)B表示取得一等品，⑶設(shè)事件B表示最后一位按偶數(shù)，事件解：設(shè)B表示取得一等品，A表示取得合格品，那么(1)因?yàn)?°°件產(chǎn)品中有7°件一等品，P(B)丄° °.71°°⑵方法一：因?yàn)?5件合格品中有7°件一等品，所以；BAABBP(BA)7°950.7368方法二:P(BA)込P(A)7°1°°951°°°.7368AAAA2表示不超過2次按對(duì)密碼，因?yàn)槭录嗀與事件TOC\o"1-5"\h\z一 一 1412AA2為互斥事件，由概率的加法公式得： P(AB)P(A1B)P(AAB)-——一5 54 5變式：任意按最后一位數(shù)字，第 3次就按對(duì)的概率？［練習(xí)］?1.設(shè)10°件產(chǎn)品中有7°件一等品，25件二等品，規(guī)定一、二等品為合格品.從中任取 1件,求(1)取得一等品的概率；(2)取得的是合格品，求它是一等品的概率.5，既刮風(fēng)又下雨的概率為1°,2?某地區(qū)氣象臺(tái)統(tǒng)計(jì)，該地區(qū)下雨的概率是15,刮三級(jí)以上風(fēng)的概率為設(shè)A為下雨，B為刮風(fēng)，求：(1)P(AB)； (2)P(5，既刮風(fēng)又下雨的概率為1°,題型2: 兩點(diǎn)分布與超幾何分布的應(yīng)用［例3］高二(十)班共5°名同學(xué)，其中35名男生，15名女生，隨機(jī)從中取出5名同學(xué)參加學(xué)生代表大會(huì),所取出的5名學(xué)生代表中，女生人數(shù)X的頻率分布如何？解析：從5°名學(xué)生中隨機(jī)取5人共有c°種方法，沒有女生的取法是g；c35,恰有1名女生的取法是

C；5C；5，恰有2名女生的取法是c!5c35，恰有3名女生的取法是C；5C5，恰有4名女生的取法是Ci；C；5,恰有5名女生的取法是c155c35,因此取出的5名學(xué)生代表中，女生人數(shù) X的頻率分布為：X012345PC0C5C15C35C1G5c?gC5c0C15C35c5C50c50c50c50c50c5C50［例4］假設(shè)隨機(jī)事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P，用隨機(jī)變量表示A在1次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)?！?〕2D1求方差D的最大值；〔2〕求一1的最大值。E［解題思路］:〔1〕問題；由兩點(diǎn)分布，分布列易寫出，而要求方差D的最大值需求得D的表達(dá)式,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值(2)21 2(pp) 1［解題思路］:〔1〕問題；由兩點(diǎn)分布，分布列易寫出，而要求方差D的最大值需求得D的表達(dá)式,轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值(2)21 2(pp) 1解析:2D得到E〔1〕 的分布列如表：所以12p-后自然會(huì)聯(lián)想均值不等式求最值。P(0P)2(1P)(1P)2(1P)P211；所以P2時(shí)，22(PP)122pP2D1時(shí)取等號(hào)，所以 1的最大值是2 22。E22PP2 22，當(dāng)且僅當(dāng)1有最大值 。42P二.游戲者解：由題意可見此問題歸結(jié)為超幾何分布模型由上述公式得P(X4).游戲者解：由題意可見此問題歸結(jié)為超幾何分布模型由上述公式得P(X4)C10C20

c3°0.029個(gè)紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同［練習(xí)］.在一個(gè)口袋中裝有30個(gè)球，其中有10個(gè)紅球，其余為白球，這些球除顏色外完全相同一次從中摸出5個(gè)球.摸到4個(gè)紅球就中一等獎(jiǎng)，那么獲一等獎(jiǎng)的概率是多少?2?假定一批產(chǎn)品共100件，其中有4件不合格品，隨機(jī)取出的6件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)X的概率分布如何？解：從ioo件產(chǎn)品中隨機(jī)取6件產(chǎn)品共有c10o種方法，都是合格品的取法是 C0C96，恰有i件不合格品的取法是c4c96,恰有2件不合格品的取法是 c：c：6，恰有3件不合格品的取法是 c：c；6，恰有4件不合格品的取法是C：C；6。因此取出的6件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)X的概率分布為:X01234PC0q6C4C96c1c96cMC3q3C4C96c：c96C6C100C100C00c600C00題型3:獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布的應(yīng)用取出后記下球的顏色，然后［例5］一口袋裝有5個(gè)黃球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次取出一個(gè),取出后記下球的顏色，然后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，停止時(shí)取球的次數(shù)放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，停止時(shí)取球的次數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量,那么P(12)=解析：P(12)C191(|)9(5)2IC191(|)10(|)2［例6］某人對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次命中率都是 ［例6］某人對(duì)一目標(biāo)進(jìn)行射擊，每次命中率都是 0.25,擊幾次？解析：假設(shè)使至少命中1次的概率不小于 0.75，至少應(yīng)射解：設(shè)要使至少命中 1次的概率不小于0.75，應(yīng)射擊n次.記事件???射擊n次相當(dāng)于n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，二事件A至少發(fā)生1次的概率為P記事件???射擊n次相當(dāng)于n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，二事件A至少發(fā)生1次的概率為P1Pn(0) 10.75n.1由題意，令10.75n0.75 (上)n4答：要使至少命中1次的概率不小于0.75,lg1?n飛4.82,?n至少取5.至少應(yīng)射擊5次.［練習(xí)］.1?某種植物種子發(fā)芽的概率為 0.7，那么4顆種子中恰好有3顆發(fā)芽的概率為2?假設(shè)某射擊手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是 °.9，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，那么在他連續(xù) 4次的射擊中,第1次未擊中目標(biāo)，但后3次都擊中目標(biāo)的概率是多少？考點(diǎn)三：離散型隨機(jī)變量的期望和方差［例1］旅游公司為3個(gè)旅游團(tuán)提供4條旅游線路，每個(gè)旅游團(tuán)任選其中一條(I)求3個(gè)旅游團(tuán)選擇3條不同的線路的概率;(H)求選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)的分布列和期望A=“射擊一次，擊中目標(biāo)〞，那么P(A)0.25.p=ja|243 IPp=ja|243 IP(E=0)=334312C333~27喬…=1)=42764P(E=2)=書439P(E=3)=64164???E的分布列為:［解題思路］:先求分布列，再用公式求期望?解析：(1)3個(gè)旅游團(tuán)選擇3條不同線路的概率為:10分(2)設(shè)選擇甲線路旅游團(tuán)數(shù)為

10分TOC\o"1-5"\h\z???期望EE=0x^7+lx^7+2X2+3X丄=? 12 分64 64 64 644［例2］一次英語單元測(cè)驗(yàn)由20個(gè)選擇題構(gòu)成，每個(gè)選擇題有 4個(gè)選項(xiàng)，其中有且僅有一個(gè)選項(xiàng)是正確答案，每題選擇正確答案得 5分，不作出選擇或選錯(cuò)不得分，總分值 100分一學(xué)生甲選對(duì)任一題的概率為 0.9，學(xué)生乙那么在測(cè)驗(yàn)中對(duì)每題都從 4個(gè)選擇中隨機(jī)地選擇一個(gè)， 求學(xué)生甲和乙在這次英語單元測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望+［解題思路］:利用二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的期望 EE=np+解析：設(shè)學(xué)生甲和乙在這次英語測(cè)驗(yàn)中正確答案的選擇題個(gè)數(shù)分別是那么~B(20,0.9), ~B(20,0.25), E200.9 18,E 200.25 5.由于答對(duì)每題得5分，學(xué)生甲和乙在這次英語測(cè)驗(yàn)中的成績(jī)分別是 5和5?所以，他們?cè)跍y(cè)驗(yàn)中的成績(jī)的期望分別是：E(5) 5E() 518 90,E(5) 5E() 55 25.［例3］袋中有20個(gè)大小相同的球，其中記上 0號(hào)的有10個(gè)，記上n號(hào)的有門個(gè)(n=1,2,3,4).現(xiàn)從袋中任取一球.表示所取球的標(biāo)號(hào).(I)求的分布列，期望和方差；(I)求的分布列，期望和方差；(n)假設(shè)ab,E1,D11,試求a,b的值.［解題思路］:本小題主要考查概率、隨機(jī)變量的分布列、期望和方差等概念，以與根本的運(yùn)算能力解析：(I)的分布列為:01234P111312201020511131E0-12 34 1.5.22010205(01.5)21(11.5)2—(22121.5)2 (31.5)23(4 1.5)2 試求考試成績(jī)位于區(qū)間(70, 試求考試成績(jī)位于區(qū)間(70,110)上的概率是多少？22010205(n)由D a2D，得a2x2.75=11,即a2.又EaEb,所以當(dāng)a=2時(shí)，由1=2X1.5+b,得b=-2; 當(dāng)a=-2時(shí)，由1=-2x1.5+b,得b=4.a2,或a2,即為所求.b2b4［練習(xí)］?1?3 —,且D13，那么D的值為?812?隨機(jī)變量 ~B(4,—)，貝UD的值為.33.擲一枚均勻的骰子，以 表示其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù).(1)求的分布列； (2)求P(1 3);(3)求E、D的值.正態(tài)分布中的三個(gè)概率：P(X)；P(3X3)考點(diǎn)四：正態(tài)分布P(2X2);44、12 ，求該正態(tài)分布的例1. 假設(shè)一個(gè)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，且該函數(shù)的最大值等于概率密度函數(shù)的解析式.解析:=0. 〔T=4.該正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的解析式為x€〔-g，+g〕例2.在某次數(shù)學(xué)考試中，考生的成績(jī)服從一個(gè)正態(tài)分布，即 ?N(90,100).一共有2000名考生，所以考試成績(jī)?cè)凇?0,100〕間的考生大約有2000X0.6826沁1365〔人〕［練習(xí)］1?期望是2?［練習(xí)］1?期望是2?假設(shè)隨機(jī)變量X2,標(biāo)準(zhǔn)差為?N〔5,22〕,那么P〔3X7〕.課堂小測(cè):1.假設(shè)P(n)1a，P(m)1b，其中mn,那么P(mn〕等于〔)?1.假設(shè)P(n)1a，P(m)1b，其中mn,那么P(mn〕等于〔)?A.(1a)(1b)Ba(1b)C.1(ab)b(1a)2.設(shè)隨機(jī)變量 的分布列為P(9 11A.1;B.;C.13 133.某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為A. 0.2B . 0.41 C1.i〕a〔3〕，,i1,2,3,27D.1380%那么5次預(yù)報(bào)中至少有4次準(zhǔn)確的概率為〔〕0.74那么a的值為〔D4?設(shè)隨機(jī)變量N〔2,4〕，那么d(20.67A.1B.2C5.P(A)0.55.P(A)0.5,P(B)0.3,P(AB)0.2，那么P(AB)=,P(BA)=.〔I〕所選3人中至少有〔I〕所選3人中至少有1名女生的概率;〔H〕設(shè)隨機(jī)變量表示所選3人中的女生人數(shù)。寫出的分布列并求出 的數(shù)學(xué)期望。解析：〔I〕設(shè)所選三人中至少有1名女生的事件為A如果生男孩和生女孩的概率相等，求有 3個(gè)小孩的家庭中至少有2個(gè)女孩的概率設(shè)隨機(jī)變量 可能取值為0,1，且滿足P〔1〕p,P〔0〕1p，那么D=.4 2N〔Q：〕 〔,匚〕&正態(tài)總體 9，那么數(shù)據(jù)落在 3的概率是.9.假定一批產(chǎn)品共100件，其中有4件不合格品，隨機(jī)取出的6件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)X的概率分布如何？X01234P|gLg|gJ取出的6件產(chǎn)品中，不合格品數(shù)X的概率分布為:10.從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽。P(A)=1 ￡ 1 1c3 5〔n〕E可能取的值為0,1,2,分Pk.C2Ck=0,1,2E的分布列為E0 1 2p131555EA110EA110120125130135P0.10.20.40.10.211.有A、B兩種鋼筋，從中取等量樣品檢查它們的抗拉強(qiáng)度，指標(biāo)如下:EB100115125130145P0.10.20.40.10.2131,EE=0-1-21555120,試120,試比擬),成績(jī)X位其中Ea、Eb分別表示A、B兩種鋼筋的抗拉強(qiáng)度?在使用時(shí)要求鋼筋的抗拉強(qiáng)度不低于AB兩種鋼筋哪一種質(zhì)量較好+解：先比擬EA與EB的期望值，因?yàn)镋Ea=110X0.1+120X0.2+125X0.4+130X0.1+135X0.2=125,EEb=10